高中数学选修2-1数学苏教选修2-1综合练习

在竖直方向上高度之差至少为 0.25m ，靠近中轴线的车道为快车道， 两侧的车道为慢车道， 则车辆通
过隧道时，慢车道的限制高度为
．（精确到 0.1m ）
8m
A
B 2m
3m 3m 3m 3m
16m
三、解答题 ( 本大题共 5 小题，合计 70 分)
17． （本题 12 分）若双曲线与 x2
y2 1 有相同的焦点，与双曲线
E 的位
3
置，若不存在，请说明理由；
D1 A1
C1 B1
D A
E
C
B
21．（本小题 15 分）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2 ，相应于焦点 F (c,0) （ c 相交于点 A， OF FA ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、 Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
0 ）的准线 l 与 x 轴
（Ⅱ）若 OP OQ 0 ，求直线 PQ的方程；
∵ AD1 EB1 ( 1,0,1) (1,1 t ,1) 0 ，
∴ EB1 AD1。
（Ⅱ）当 E是 CD中点时，
AD1 ( 1,0,1) ， AE
( 1, 1 ,0) ，设平面 AD1E 的一个法向量是 n 2
(x, y, z) ，
AD1 n ( x, y, z) ( 1,0,1) 0
则由
1
得一组解是 n (1,2,1) ，
8k 2 2k2
2 1
3
8k 2 2k 2 1
4]
0。得证。
证法二： AP AQ ( xP 2, yP 0) ( xQ 2, yQ)
xP 2 ( xQ 2)
，
yP
yQ
xQ xP 2(
1) ， yQ
1 yP
由 xQ2 2
yQ2
1可得 [ xP
2( 1)]2 22
yP2
2
1，
2(
1)xP 2(
2
1)2 ( xP2 2
C． p 3 ， q 2
D． p 3 ， q 2
2． 设命题甲为： 0 x 5 , 命题乙为 x 2 3 , 则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C．充要条件
D
．既不充分又不必要条件
3． 抛物线 y
1 x 2 的准线方程是（
）
8
A． x 1
B ．y 2
32
C ．y 1 32
D
．y 2
8k2 2k 2 1
4k2
0，
解得 k 2 1 ， k 5
5
，直线方程是
y
5
5 ( x 2) 。 5
（Ⅲ）证法一： AP AQ ( xP 2, yP 0) ( xQ 2, yQ )
xP 2 ( xQ 2)
yP
yQ
xP 2 。 xQ 2
依题意 M ( xP , yP) 。
FM
FQ ( xP 1, yP)
C ．2 2
D ．3 2
7． 已知 a (t 1,1,t ), b (t 1,t,1) ，则 | a b |的最小值为
（）
A． 2
B． 3
C． 2
D． 4
2
2
8．
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双曲线
x a2
y b2
1 的焦点 (c,0) 到它的一条渐近线的距离是（
）
A． a
B． b
C． c
D． a b 2
9． 已知 A，B 是椭圆 x2 16
x2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为
．
12 4
13． 已知△ ABC的顶点为 A(1,1,1) ， B(0, 1,3) ， C (3, 2,3) ，则△ ABC的面积是
．
14． 若方程 x 2
y 2 1表示的曲线的离心率是
2 ，则 t
．
t5 t1
15． 设直线 a, b 的方向向量是 e1, e2 ，平面 的法向量是 n ，则下列推理中
y2 12
1 上的两点， F2 是其右焦点，如果
AF2
BF2
8 ，则 AB的中点到椭圆
左准线的距离为（ A． 6
） B． 8
C． 10
D． 12
10． 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，
ACB 90 ，D，E 分别是 CC1 与 A1B 的中
点，点 E 在平面 ABD上的射影是 ABD 的重心 G．则 B1B 与平面 ABD 所成角的余弦值
64 16
y2 x2 1 有相同渐近线，求双曲
26
线方程。
18． （本小题 14 分）三棱柱 ABC A1 B1C1 中， M 、N 分别是 A1B 、 B1C1 上的点，且 BM 2 A1M ，
C1N 2B1N 。设 AB a ， AC b ， AA1 c 。 （Ⅰ）试用 a,b, c表示向量 MN ； （Ⅱ）若 BAC 90 ， BAA1 CAA1 60 ， AB AC AA1 1 ，求 MN的长。
（Ⅲ）设 AP AQ（ 1 ），过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M，证明： FM
FQ ．
答题卷
选择题答题卡
一．选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
非选择题 ：
二．填空题 11． ________________________ ； 12． _______________________ ； 13． ________________________ ； 14． _______________________ ； 15． ________________________ ； 16． _______________________ ；
① e1∥e2
b∥
e1∥n
e1∥n
③b
b∥
e1⊥ e2
中正确的命题序号是
② e1∥ n e2∥ n
a∥ b
e1∥ e2
④
b⊥
e1∥ n
．
16． 有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道）
，每个车道宽为 3m，此隧道的截面
由一个长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部
xP 1 yP
( xQ 1)
，
yQ
(xQ 1, yQ )
由于等式 yP
yQ 成立，即证 xP 1
(xQ 1) 成立。
xP 1
(xQ
1)
xP
1
xP xQ
2 2 ( xQ 1)
1 [( xP 1)(xQ 2) ( xP 2)(xQ 1)]
xQ 2
1 xQ 2 [2 xP xQ 3(xP xQ ) 4]
1 [2 xQ 2
4． 在棱长为 1 的正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， M和 N 分别为 A1B1 和 BB1 的中点，那么直线
余弦值是（
）
AM与 CN所成角的
A． 2 5
2
B．
5
C． 3 5
D． 10 10
D1
A1
M
C1 B1
N
D
C
A
B
5． 曲线 f ( x) x3 x 2 在 P0 处的切线平行于直线 y 4x 1 , 则 P0 点的坐标为（ ）
5 (t,1, )
2
∵ 平面 AD1E ⊥平面 AME ，
∴
n1 n2
5 (t ,1,t) (t,1, )
2
t2
1
5 t
2
0，
解得 t 1 或 t 2 ， 2
故当点 E 是 CD的中点时，平面 AD1E ⊥平面 AME ，
21．解：（Ⅰ）由 OF
FA 得， a 2 c
2c ， a2
2c2 ， b c ，
数学苏教选修 2-1 综合练习
一、选择题 ( 本大题共 10 小题，每题 5 分，合计 50 分。将答案填在答题卷的相应位置 )
1． 已知空间三点的坐标为 A(1,5, 2) ， B(2,4,1) ， C ( p,3,q 2) ，若 A、B、 C三点共线，则（ ）
A． p 3 ， q 2
B． p 3 ， q 2
y2P )
1
2
1 ，考虑到
x
2 P
2
yP2 1 ，
有 2( 1)xP 2( 1)2 2 1 ，又 1，
故 xP
3 ， xQ
2
xP 2(
1) 3 1 2
依题意 M ( xP , yP) 。
FM
FQ ( xP 1, yP 0)
( xQ 1, yQ 0) ，
yP
xP 显然成立，即证 xP 1
( xQ 1)
AE n (x, y, z) ( 1, ,0) 0
2
又 EB1
1 (1, ,1) ，由 | cos
EB1, n |
EB1 n
2
| EB1 ||n |
3 63
2， 3
2
从而直线 EB1 与平面 AD1E 所成的角的正弦值是
6。 3
（Ⅲ）平面 AD1E 的一个法向量是 n1 (t,1, t) ，
平面 AME 的一个法向量是 n2
3
由 xP 1 ( xQ 1) (
1)
2
31
(
1) 0
2
即有 FM
FQ 。
又 b 1 ，所以 a 2
x2 2 ，椭圆方程是
y2 1。
2
（Ⅱ） 点 A(2,0) ，直线 PQ的斜率显然存在，可设直线方程是
y k ( x 2) ，
代入椭圆方程并整理得： (2 k2 1)x2 8k 2x 8k 2 2 0 。
设 P( xP , yP ) ， Q(xQ , yQ ) ， xQ , xQ 是此方程的两根，故有
A1 M A
B
C1
N B1
C
19． （本小题 14 分）已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点
是抛物线上的三点． （Ⅰ）求该抛物线的方程； （Ⅱ）若直线 PA与 PB的倾斜角互补，求线段 AB中点的轨迹方程。 （Ⅲ）若 AB PA，求点 B 的纵坐标的取值范围．
P(2, 4) ，A(x1, y1) ， B( x2 , y2 )
1
1
111 0 211
2 11
5，
2
2
| a b c | 5 ， | MN | 1 |a b c|
5
。
3
3
19．（Ⅰ） y2 8x （Ⅱ） y 4( x 2) （Ⅲ） ,12 20,
20．解：以 D为坐标原点， DA， DC， DD1 依次为 x 轴、 y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系，并高正方 体棱长为 1, 设点 E 的坐标为 E (0, t ,0) 。 （Ⅰ） AD1 ( 1,0,1) ， EB1 (1,1 t,1)
20． （本小题 15 分）如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 在棱 CD上。
（Ⅰ）求证： EB1 AD1；
（Ⅱ）若 E是 CD中点，求 EB1与平面 AD1E 所成的角。
（Ⅲ）设 M在 BB1 上，且 BM MB1
2
，是否存在点
E，使平面 AD1E ⊥平面 AME ，若存在，指出点
7
8
9
10
D
A
B
B
C
A
C
B
B
C
11． 54 14． 3
12． y2
x2 1
16 4
15．②③④
9
13．
2 16． 4.3m
x2
17．
y2
1
36 12
18．（Ⅰ） MN MA1 A1B1 B1N
1
1
1
(c a) a ( b a) a
3
3
3
1 BA1 AB
3 11
b c。 33
1 B1C1
3
（Ⅱ） ( a b c)2 a 2 b2 c2 2a b 2b c 2c a
三．解答题答题说明： 解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
17．（本题满分 12 分）
18．（本题满分 14 分）
A1 M A
B
C1
N B1
C
19．（本题满分 14 分）
20．（本题满分 15 分）
D1 A1
C1 B1
D A
E
C
B
21．（本题满分 15 分）
参考答案
1
2
3
4
5
6
（）
A． 1 2
B． 3 2
C． 3 3
D． 6 3
C1
A1
D B1
EC
G
A
B
二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，合计 30 分。将答案填在答题卷的相应位置）
11． 如果质点 A 的位移 s与时间 t 满足方程 s 2t3 ，则在 t 3 时的瞬时速度为 _________．
12． 以 y2
xP xQ
8k 2 2k 2
1
，
xP xQ
8k 2 2k 2
2。 1
又 OP OQ 0 ，即 xP xQ yP yQ 0 ， 又 yP k( xP 2) ， yQ k (xQ 2) 故 (1 k 2 )xPxQ 2k 2 (xP xQ ) 4k 2 0 ，
所以 (1
k2)
8k 2 2k 2
2 1
2k 2
A．（ 1， 0） B ．（ 2， 8） C ．（ 1， 0）和（ -1 ， -4 ） D （ 2，8）和（ -1 ， -4 ）
6． 已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
角形，则这个椭圆的离心率为（
）
A， B 两点，若⊿ ABF2 是正三
A． 3 3
B ．2 3