锐角三角函数课件1

时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 .
2
综上可知，在一个 Rt △ABC 中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2
是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值 .
一般地，当∠ A 取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
探
角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35m，那么需 要准备多长的水管？
究
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
这个问题可以归结为，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m ，求AB 的长.
?
A的对边 斜边
?
a c
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠ A＝30°时，我们有
sin A ? sin 30?? 1 2
当∠ A ＝45 °时，我们有
sin A ? sin 45?? 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
?sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦， 记号里习惯省去角的符号“∠”；
因此sin A ? BC ? 3，sin B ? AC ? 4 .
AB 5
AB 5
B
练习
3
1、如图，求sinA和sinB的值．
A
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点 A (3，0) 和B(0，-4)，则sin∠OAB 等于__4__.
5
3、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD是BC边
2
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___2.
∴AC = AB 2 ? BC 2 ? 52 ? 32 ? 4.
∴sinA= BC ? 3，cos A= AC ? 4，
AB 5
AB 5
tan A=
BC AB
?
3. 4
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
BC=6，sin A ? 3 ，求cosA和tan B的值． B
5
6
解：Q sin A ? BC ， AB
数.
tan A ?
? A的对边 ? A的邻边
?
a b
同样地， cosA， tan A也是A的函数.
锐角 A 的正弦、余弦、 正切都叫做∠ A的锐角三 角函数 .
例1 如图1-6，在Rt △ABC 中，∠C=Rt ∠，AB =5， BC =3．求∠ A 的正弦、余弦和正切．
解 如图1-6，在Rt △ABC 中，AB =5，BC=3，
cos
A
?
?
A的邻边 斜边
?
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角 A的对边与邻边的比叫做 ∠A的
正切（tangent ），记作tan A， 即
tan
A?
? ?
A的对边 A的邻边
?
a b
注意
?cosA，tanA 是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的 符号“∠”；
即 BC ? B'C' . AB A' B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
正弦
如图，在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A的
对边与斜边的比叫做 ∠A的正弦（sine），记作 sinA，
即
sin A ?
在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
BC＝35m，求AB 的长.
B
根据“在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜
边的一半”，即
A
C
?
A的对边 斜边
?
BC AB
?
1. 2
可得 AB =2BC=70m，即需要准备70m长的水 管.
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
A
C
? AB ? BC ? 6? 5 ? 10. sin A 3
又AC ? AB2 ? BC 2 ? 102 ? 62 ? 8,
? cos A ? AC ? 4，tan B ? AC ? 4 .
AB 5
BC 3
2、 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC=2，
AB =3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
探究
任意画Rt △ABC 和Rt △A′B′C′ ，使得∠ C＝∠C′＝
90°，∠A＝∠A′ ＝ α，那么 BC 与 B'C' 有什么关
AB
A' B'
系．你能解释一下吗？
B'
B
A
C A'
C'
由于∠C＝∠C′＝90°， ∠A＝∠A′ ＝ α
所以Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′
? BC ? AB , B'C' A' B'
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于 1 .
2
如图，任意画一个 Rt △ABC ， A
使∠ C＝90 °，∠ A ＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，
你能得出什么结论？
AB
C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于 45°
?cosA，tanA 没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、 对边与邻边的比；
?cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA 不表示 “tan”乘以“Байду номын сангаас”
sin A
?
? A的对边 斜边
?
a c
对于锐角 A的每一
cos A ?
? A的邻边 斜边
?
b c
个确定的值， sin A有 唯一确定的值与它对 应，所以 sinA是A的函
B
解：在Rt? ABC中，
3
2
AC ? AB2 ? BC 2 ? 32 ? 22 ? 5,
4、在Rt△ABC 中， ∠C=90°，a ? 3
，
则sin ∠A=___.
b3
5、如图，在△ABC 中， 求△ABC 的面积.
AB=CB=5，sinA=
4， 5
B
5
5
A
C
如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，
★我们把锐角 A的邻边与斜边的比叫做 ∠A的
余弦（cosine ），记作 cosA， 即
?sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比；
?sinA不表示“sin”乘以“A”.
1、 如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B
B 试着完成图（ 2）
3
13
5
A
4
C
(1)
C
A
(2)
解：如图（1），在Rt? ABC中，
AB ? AC2 ? BC2 ? 42 ? 32 ? 5.