信息论与编码第四讲
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第四讲
三、循环码
主要内容
1、循环码的定义 2、循环码的多项式描述 3、循环码编码方法 4、循环码的译码
1957年美国人E.Prange提出循环码概念；
1961年J.E.Meggitt提出了一种译码器，主要用于检 错；
1960年前后提出了两类重要的循环码：BCH码和 RS码。
1965年E.R.Berlekamp和G.D.Forney提出了有效的 译码算法后，这种循环码才获得了实际应用。
码矢C0= (cn-1,…,c1,c0) 右循环一位C1= (cn-2,…,c1, c0, cn-1,)也是码矢。它们各自对应的码多项式是: C0(x)= cn-1 xn-1+ cn-2 xn-2+…+c1 x+c0 C1(x)= cn-2 xn-1+ cn-3 xn-2+…+c0 x+cn-1 比较两者，可知
mod (xn +1)
由码空间的封闭性，可知码多项式C0(x),…, C n-1(x) 的线性组合仍应是码多项式：
C(x)=an-1xn-1C0(x)+an-2xn-2C0(x)+…+a1xC0(x)+a0C0(x)
= (an-1 xn-1+ an-2 xn-2+…+a1 x+a0)C0(x)
= A(x) C0(x)
例3. 1 分析码长n=7的所有可能二进制循环码
解：将GF(2)上多项式 (x7＋1)因式分解，得： (x7＋1)= (x＋1) (x3＋x＋1) (x3＋x2＋1)
因此(x7＋1)因式的次数可以有以下四种 1次 (x＋1) 3次 (x3＋x＋1)或(x3＋x2＋1) 4次 (x＋1) (x3＋x＋1) 或 (x＋1) (x3＋x2＋1) 6次 (x3＋x＋1) (x3＋x2＋1) (n-k)可取1、3、4、6, 因此断言： 存在(7,6)， (7,4) ， (7,3) ， (7,1) 循环码， 而不存在(7,2) ， (7,5) 循环码。
C1(x)=xC0(x), mod (xn +1)
(3-2)
以此类推，循环码循环移2位、移3位、移n-1位后仍
然应是码字, 于是得到下面一系列等式：
C2(x)= xC1(x) = x2C0(x), C3(x)= xC2(x) = x3C0(x),
:
mod (xn +1) mod (xn +1)
:
C n-1 (x)= xC n-2(x) = xn-1C0(x),
3.1 循环码的定义
一个线性分组码，若将其任意一个码字的码元向右或 向左循环移一位，所得的仍然是码字，则称该码为循 环码。
例4.1.1汉明循环码C的生成矩阵G和校验矩阵H 依次令m=(0000) …(1111)代入方程C＝mG 可得16个码字。经 分析，将16个码字归结为4个循环环 第一循环 第二循环 第三循环 第四循环 (1011000) (1110100) (0000000) (1111111) (0110001) (1101001) (1100010) (1010011) (1000101) (0100111) (0001011) (1001110) (0010110) (0011101) (0101100) (0111010)
要构成(7,3)循环码，(n-k)=4的因式有(x＋1) (x3＋x＋1) 或(x
＋1) (x3＋x2＋1)两个，任选其中一个,比如
g(x)=(x+1)(x3+x+1)=(x4+x3+x2+1)作生成多项式, 令
C(x)= m(x) g(x) =(m2x2+m1x+m0) (x4+x3+x2+1) 可产生循环码集。例如m=(011)即 m(x)=( x +1)时
mod (xn +1)
(3-3)
C0(x)是码多项式，A(x)是n-1次多项式，但不一定是 码多项式。式(4-3)给出的结论是：码多项式与任意n -1次多项式作运算后，结果一定回落到码空间。
2.3 循环码生成多项式
定理4. 2 在一个GF(2)域上的 (n, k)循环码中，一定 存在唯一的一个次数最低的(n-k)次首一码多项式
3.2 循环码的多项式描述
GF(2)上n维矢量空间Vn中的任一矢量 V= (vn-1,…,v1,v0) vi GF(2) 可与GF(2)域上多项式V(x) 一一对应如下： V= (vn-1,…,v1,v0) V(x)= vn-1 xn-1+…+v1 x+v0 多项式的各系数就是矢量各元素的值，x的幂次指示对 应元素所在位置。 码空间是矢量空间Vn的一个子空间，因此n重矢量不一 定是码矢量，n次多项式不一定是码多项式。
( x+ 1)(x4＋x3＋x2＋1)
= x5+ x2+ x1+ 1 对应码矢C = ( 0100111 ) 类推，得全部码集。 经检验，符合 “码字的循环仍是码字”
信息位m
000 001 010 011
码矢C
0000000 0011101 0111010 0100111
g(x) = xn-k+ gn-k -1 x n-k -1+…+g1 x+1 使所有码多项式都是g(x)的倍式，且所有小于n次的 g(x)的倍式都是码多项式。
即 C(x)＝m(x)g(x) 及Biblioteka Baidug(x)| C(x)
“所有小于n次的g(x)的倍式都是码多项式” 意味着 m(x)g(x)一定是码字，其中m(x)是GF(2)上小于k次的 任意多项式，以致它与(n-k)次的g(x)相乘后所得倍 式的次数一定小于n次。
2.4 循环码编码方法
2.4.1 编码原理
定理4. 3 ：(n，k)循环码的生成多项式g(x)一定是 (xn-1)的因式，即一定存在一个多项式h(x)，满足：
(xn-1)＝g(x) h(x) 或 g(x)| (xn-1)
反之，如果g(x)是(xn-1)的（n-k）次因式，g(x)一定是
某(n，k)循环码的生成多项式。
上述定理告诉了构造(n，k)循环码的方法如下：
① 对xn-1 (在二元域中等效于对xn+1)实行因式分解, 找出其中的（n-k）次因式。
② 以找出的（n-k）次因式为循环码生成多项式g(x) ， 与 信 息 多 项 式 m(x) 相 乘 ， 即 得 码 多 项 式 ： C(x)= m(x) g(x)。
三、循环码
主要内容
1、循环码的定义 2、循环码的多项式描述 3、循环码编码方法 4、循环码的译码
1957年美国人E.Prange提出循环码概念；
1961年J.E.Meggitt提出了一种译码器，主要用于检 错；
1960年前后提出了两类重要的循环码：BCH码和 RS码。
1965年E.R.Berlekamp和G.D.Forney提出了有效的 译码算法后，这种循环码才获得了实际应用。
码矢C0= (cn-1,…,c1,c0) 右循环一位C1= (cn-2,…,c1, c0, cn-1,)也是码矢。它们各自对应的码多项式是: C0(x)= cn-1 xn-1+ cn-2 xn-2+…+c1 x+c0 C1(x)= cn-2 xn-1+ cn-3 xn-2+…+c0 x+cn-1 比较两者，可知
mod (xn +1)
由码空间的封闭性，可知码多项式C0(x),…, C n-1(x) 的线性组合仍应是码多项式：
C(x)=an-1xn-1C0(x)+an-2xn-2C0(x)+…+a1xC0(x)+a0C0(x)
= (an-1 xn-1+ an-2 xn-2+…+a1 x+a0)C0(x)
= A(x) C0(x)
例3. 1 分析码长n=7的所有可能二进制循环码
解：将GF(2)上多项式 (x7＋1)因式分解，得： (x7＋1)= (x＋1) (x3＋x＋1) (x3＋x2＋1)
因此(x7＋1)因式的次数可以有以下四种 1次 (x＋1) 3次 (x3＋x＋1)或(x3＋x2＋1) 4次 (x＋1) (x3＋x＋1) 或 (x＋1) (x3＋x2＋1) 6次 (x3＋x＋1) (x3＋x2＋1) (n-k)可取1、3、4、6, 因此断言： 存在(7,6)， (7,4) ， (7,3) ， (7,1) 循环码， 而不存在(7,2) ， (7,5) 循环码。
C1(x)=xC0(x), mod (xn +1)
(3-2)
以此类推，循环码循环移2位、移3位、移n-1位后仍
然应是码字, 于是得到下面一系列等式：
C2(x)= xC1(x) = x2C0(x), C3(x)= xC2(x) = x3C0(x),
:
mod (xn +1) mod (xn +1)
:
C n-1 (x)= xC n-2(x) = xn-1C0(x),
3.1 循环码的定义
一个线性分组码，若将其任意一个码字的码元向右或 向左循环移一位，所得的仍然是码字，则称该码为循 环码。
例4.1.1汉明循环码C的生成矩阵G和校验矩阵H 依次令m=(0000) …(1111)代入方程C＝mG 可得16个码字。经 分析，将16个码字归结为4个循环环 第一循环 第二循环 第三循环 第四循环 (1011000) (1110100) (0000000) (1111111) (0110001) (1101001) (1100010) (1010011) (1000101) (0100111) (0001011) (1001110) (0010110) (0011101) (0101100) (0111010)
要构成(7,3)循环码，(n-k)=4的因式有(x＋1) (x3＋x＋1) 或(x
＋1) (x3＋x2＋1)两个，任选其中一个,比如
g(x)=(x+1)(x3+x+1)=(x4+x3+x2+1)作生成多项式, 令
C(x)= m(x) g(x) =(m2x2+m1x+m0) (x4+x3+x2+1) 可产生循环码集。例如m=(011)即 m(x)=( x +1)时
mod (xn +1)
(3-3)
C0(x)是码多项式，A(x)是n-1次多项式，但不一定是 码多项式。式(4-3)给出的结论是：码多项式与任意n -1次多项式作运算后，结果一定回落到码空间。
2.3 循环码生成多项式
定理4. 2 在一个GF(2)域上的 (n, k)循环码中，一定 存在唯一的一个次数最低的(n-k)次首一码多项式
3.2 循环码的多项式描述
GF(2)上n维矢量空间Vn中的任一矢量 V= (vn-1,…,v1,v0) vi GF(2) 可与GF(2)域上多项式V(x) 一一对应如下： V= (vn-1,…,v1,v0) V(x)= vn-1 xn-1+…+v1 x+v0 多项式的各系数就是矢量各元素的值，x的幂次指示对 应元素所在位置。 码空间是矢量空间Vn的一个子空间，因此n重矢量不一 定是码矢量，n次多项式不一定是码多项式。
( x+ 1)(x4＋x3＋x2＋1)
= x5+ x2+ x1+ 1 对应码矢C = ( 0100111 ) 类推，得全部码集。 经检验，符合 “码字的循环仍是码字”
信息位m
000 001 010 011
码矢C
0000000 0011101 0111010 0100111
g(x) = xn-k+ gn-k -1 x n-k -1+…+g1 x+1 使所有码多项式都是g(x)的倍式，且所有小于n次的 g(x)的倍式都是码多项式。
即 C(x)＝m(x)g(x) 及Biblioteka Baidug(x)| C(x)
“所有小于n次的g(x)的倍式都是码多项式” 意味着 m(x)g(x)一定是码字，其中m(x)是GF(2)上小于k次的 任意多项式，以致它与(n-k)次的g(x)相乘后所得倍 式的次数一定小于n次。
2.4 循环码编码方法
2.4.1 编码原理
定理4. 3 ：(n，k)循环码的生成多项式g(x)一定是 (xn-1)的因式，即一定存在一个多项式h(x)，满足：
(xn-1)＝g(x) h(x) 或 g(x)| (xn-1)
反之，如果g(x)是(xn-1)的（n-k）次因式，g(x)一定是
某(n，k)循环码的生成多项式。
上述定理告诉了构造(n，k)循环码的方法如下：
① 对xn-1 (在二元域中等效于对xn+1)实行因式分解, 找出其中的（n-k）次因式。
② 以找出的（n-k）次因式为循环码生成多项式g(x) ， 与 信 息 多 项 式 m(x) 相 乘 ， 即 得 码 多 项 式 ： C(x)= m(x) g(x)。