圆锥曲线轨迹方程的常用方法

圆锥曲线轨迹方程的求法

知识归纳

求轨迹方程的常用方法：

⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点M 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标（X o 、Y o ），然后代入点P 的坐标（X o 、Y o ）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知）

⒋参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得再消去参变数t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

类型一 直接法求轨迹方程

【例1】已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP

⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ,则动点P (x ，y )的轨迹方程为 。 【解析】设P （x ，y ），x ＞0，y ＞0，M （﹣2，0），N （2，0），|MN →

|=4， 则MP →

=(x +2，y)，NP →

=(x −2，y)由|MN →

|⋅|MP →

|+MN →

⋅NP →

=0， 则4√(x +2)2+y 2+4(x −2)=0，化简整理得y 2＝﹣8x ．

【点评】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简这四个步骤，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程。 【变式训练】

1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．

【解析】设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝1

2|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |

2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y

x －1

(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．

当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.

2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则动点P 的轨迹方程为 。

【解析】设P （x ，y ），x ＞0，y ＞0，M(-1,0),N(1,0)，|MN

⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |＝2 ，则MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +1，y)，NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −1，y) 由|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则2√(x +1)2+y 2+2(x −1)＝0， 化简

整理得y 2=-4x ．

3.在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、

右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形．设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →

＝－2，求点M 的轨迹方程．

【解析】由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝

3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧

3x 2＋4y 2＝12c 2，

y ＝3(x －c )，

消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝8

5

c ，

代入直线方程得⎩⎨

⎧

x 1＝0，

y 1＝－3c ，

⎩⎨⎧

x 2＝85

c ，

y 2

＝335c .

，不妨设A ⎝⎛⎭⎫

85

c ，335c ，B (0，－3c )．

设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →

＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，

得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315

y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →

＝－2， 即⎝⎛

⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85

y －335x ·3x ＝－2.化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －3

3y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.

因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．