圆锥曲线轨迹方程的常用方法

圆锥曲线轨迹方程的求法知识归纳求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。

⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。

⒊相关点法：用动点M 的坐标x ，y 表示相关点P 的坐标（X o 、Y o ），然后代入点P 的坐标（X o 、Y o ）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。

（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一变数t 的关系，得再消去参变数t ，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。

⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。

类型一 直接法求轨迹方程【例1】已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0 ,则动点P (x ，y )的轨迹方程为 。

【解析】设P （x ，y ），x ＞0，y ＞0，M （﹣2，0），N （2，0），|MN →|=4， 则MP →=(x +2，y)，NP →=(x −2，y)由|MN →|⋅|MP →|+MN →⋅NP →=0， 则4√(x +2)2+y 2+4(x −2)=0，化简整理得y 2＝﹣8x ．【点评】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简这四个步骤，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程。

【变式训练】1.已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【解析】设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P 为坐标平面内的动点，且满足|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则动点P 的轨迹方程为 。

【解析】设P （x ，y ），x ＞0，y ＞0，M(-1,0),N(1,0)，|MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |＝2 ，则MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x +1，y)，NP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ＝(x −1，y) 由|MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|MP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |+MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅NP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则2√(x +1)2+y 2+2(x −1)＝0， 化简整理得y 2=-4x ．3.在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形．设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解析】由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，代入直线方程得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .，不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2.化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．类型二 定义法求轨迹方程【例2】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．【解析】由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1； 圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以PM ＋PN ＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝MN .由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． 【点评】定义法求轨迹方程1.概念：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制． 【变式训练】1.在△ABC 中，BC ＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且BD －CD ＝22，则顶点A 的轨迹方程为______________．【解析】 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则BE ＝BD ，CD ＝CF ，AE ＝AF . 所以AB －AC ＝22<4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2， 所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．2．设定点F(1,0)，动圆D 过点F 且与直线x =−1相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为 。

【解析】动圆D 过点F 且与直线x =−1相切，根据圆的定义可得到圆心到直线x =−1的距离等于圆心到点F 的距离，根据抛物线的定义可得到圆心的轨迹是焦点为F(1,0)的抛物线，即y 2=4x.3.如图所示：在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝16内有一点A(1，0)，点Q 为圆C 上一动点，线段AQ 的垂直平分线与直线CQ 的连线交于点M ，根据椭圆定义可得点M 的轨迹方程为x 24+y 23=1；利用类比推理思想：在圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16外有一点A(3，0)，点Q 为圆C 上一动点，线段AQ 的垂直平分线与直线CQ 的连线交于点M ，根据双曲线定义可得点M 的轨迹方程为______．【解析】连结MA ，C (−3,0),A (3,0)，∵点M 在线段AQ 的垂直平分线上，∴MA =MQ ∴MA −MC =MQ −MC =CQ =4，所以点M 的轨迹为双曲线的左支，2a =4,a =2，c =3，所以b =√c 2−a 2=√5 所以双曲线的轨迹方程为x 24−y 25=1(x ≤−2)类型三 相关点法求轨迹方程【例3】 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解析】(1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)，代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0，∴y 1,2＝－2y 0±4y 20＋64x 02x 0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8y x ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]， ∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．【点评】相关点法的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． 【变式训练】1.如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【解析】由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性，得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209. ④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．2.已知三角形ABC 的顶点A (−3,0)、B (3,0)，若顶点C 在抛物线y 2=6x 上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为______【解析】设ΔABC 的重心G(x,y)，C(x′,y′)，则有{x =−3+3+y′3y =0+0+y′3，即{x′=3x y′=3y ，因为点C 在曲线y 2=6x 上，所以有(3y)2=6×3x ，即y 2=2x ，因为三角形的三个顶点不能共线，所以y ≠0，所以ΔABC 的重心的轨迹方程为：y 2=2x(y ≠0)， 故答案是：y 2=2x(y ≠0).类型四 参数法求轨迹方程【例4】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点M (1，－3)，N (5,1)，若点C 的坐标满足OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R)，且点C 的轨迹与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0)(m ≠0)，使得过点P 任意作一条抛物线y 2＝4x 的弦，并以该弦为直径的圆都经过原点？若存在，求出m 的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明 由OC →＝tOM →＋(1－t )ON →(t ∈R)，可知点C 的轨迹是直线MN ， ∴点C 的轨迹方程为y ＋31＋3＝x －15－1，即y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，得x 2－12x ＋16＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1,2＝6±25， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝2×16－4×12＋16＝0，∴OA ⊥OB .（2）假设存在这样的点P ，由已知弦所在直线斜率不为0，故设弦所在直线为x ＝ky ＋m ，代入y 2＝4x ，得y 2－4ky －4m ＝0，设弦端点D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则y 3,4＝4k ±16k 2＋16m 2＝2k ±2k 2＋m ，∴y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4m ，由已知OD →⊥OE →，∴x 3x 4＋y 3y 4＝0，∴y 234×y 244＋y 3y 4＝m 2－4m ＝0，解得m ＝0(舍去)或m ＝4，∴存在点P (4,0)满足条件，设弦DE 的中点为M (x ，y )，则x ＝x 3＋x 42＝ky 3＋4＋ky 4＋42＝k (y 3＋y 4)＋82＝2k 2＋4，①y＝y 3＋y 42＝2k ，②由①②消去k 得y 2＝2x －8，这就是所求圆心的轨迹方程．【点评】利用参数法求轨迹方程：一是选择合适的参数(可以是单参数，也可以是双参数)；二是建立参数方程后消掉参数，消参数的方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．【变式训练】设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F (0,1)，长轴和短轴的长度之比为t . (1)求椭圆的方程；(2)设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右侧部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且OPOQ＝t t 2－1，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【解析】(1)设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝1，ab ＝t ，解得⎩⎨⎧a 2＝t 2t 2－1，b 2＝1t 2－1.所以椭圆方程为t 2(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＝t 2.(2)设点P (x ，y )，Q (x 1，y 1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧t 2(t 2－1)x 21＋(t 2－1)y 21＝t 2，y 1＝tx 1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝12(t 2－1)，y 1＝t2(t 2－1).由OP OQ ＝t t 2－1和OP OQ ＝|x ||x 1|，得⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t 22，或⎩⎨⎧x ＝－t2，y ＝－t22，其中t >1.消去t ，得点P 的轨迹方程为x 2＝22y ⎝⎛⎭⎫x >22和x 2＝－22y ⎝⎛⎭⎫x <－22. 其轨迹为抛物线x 2＝22y 在直线x ＝22右侧的部分和抛物线x 2＝－22y 在直线x ＝－22左侧的部分．类型五 交轨法法求轨迹方程例5 如右图，垂直于x 轴的直线交双曲线12222=-by a x 于M 、N 两点，21,A A 为双曲线的左、右顶点，求直线M A 1与N A 2的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.【解析】：设),(y x P 及),(),,(1111y x N y x M -，又)0,(),0,(21a A a A -，可得 直线M A 1的方程为)(11a x ax y y ++=①；直线N A 2的方程为)(11a x ax y y -+-=②. ①×②得)(22221212a x ax y y ---=③. 又,1221221=-b y a x Θ)(2122221x a a b y -=-∴，代入③得)(22222a x ab y --=，化简得12222=+by a x ，此即点P 的轨迹方程.当b a =时，点P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆；当b a ≠时，点P 的轨迹是椭圆. 【变式训练】抛物线)0(42>=p px y 的顶点作互相垂直的两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射影M 的轨迹。