大题训练1答案

第20题
h
a
第21题A
B
C M
D 1. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示-3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于n m -.如果表示数a 和－2的两点之间的距离是3，那么a= ； （2）若数轴上表示数a 的点位于－4与2之间，求24-++a a 的值；
（3）当a 取何值时，415-+-++a a a 的值最小，最小值是多少？请说明理由．
解：（1）3，5，1或-5；
（2）因为|a+4|+|a-2|表示数轴上数a 和-4，2之间距离的和． 又因为数a 位于-4与2之间， 所以|a+4|+|a-2|=6；
（3）根据|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和． 所以当a=1时，式子的值最小， 此时|a+5|+|a-1|+|a-4|的最小值是9．
2. 如图是一些小正方块搭成的几何体的从上面观察得到的图形，小正方块中的数字表示该位置的小方块的个数，请画出这个几何体从正面和左面观察得到的图形
3. 某中学库存若干套桌凳，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲单独修完这些桌凳比乙单独修完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费．
（1）问该中学库存多少套桌凳？
（2）在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③甲、乙合作同时修理．你认为哪种方案省时又省钱为什么？
解：（1）设该中学库存x 套桌凳，甲需要16x 天，乙需要8
16+x
天，
由题意得：
208
1616=+-x x 解方程得：x=960． 经检验x=960是所列方程的解， 答：该中学库存960套桌凳；
（2）修理方案①的费用为：()540016960
1080=⨯+（元） 修理方案②的费用为：()52008
16960
10120=+⨯
+（元） 修理方案③的费用为：()50408
1616960
1012080=++⨯
++（元） 又 5400>5200>5040
综上可知，选择方案③更省时省钱．
4 （12分）某铁路由于沿线多为山壑，需修建桥梁和隧道共300个，桥梁和隧道的长度约占这条铁路全长的五分之四，其中桥梁数量（座）又比隧道数量（条）多50%．这条铁路工程总投资约135亿元，平均每千米造价约4500万元。

⑴ 求该铁路隧道数量。

⑵ 若该铁路平均每条隧道长度大约是平均每座桥梁长度的6倍。

求该铁路隧道的总长度。

解：(1)设隧道有x 个,则x+x(1+50%)=300,(2分),解得x=120,答:共有120个隧道(4分) (2)方法一:设平均每座桥梁长度为y 千米,则平均每座隧道长度为6y 千米, 则 [x ×6y+x(1+50%) ×y]÷0.8×4500=1350000(8分)
得7.5xy ×1.25=300 ,xy=32,则6xy=192,答; 铁路隧道的总长度为192千米. (12分) 方法二: 设平均每座桥梁长度为y 千米,则平均每座隧道长度为6y 千米, 则 [120×6y+120×(1+50%) ×y]÷0.8×4500=1350000(8分)
得900y ×1.25=300 ,y=4/15,则120×6×y=192,答; 铁路隧道的总长度为192千米. (12分)
5. （本题8分）用一张正方形的纸制作成一个无盖的长方体盒子，设这个正方形的边长为a ，这个无盖的长方体盒子高为h .（只考虑如图所示，在正方形的四个角上各减去一个大小相同的正方形的情况。

） ⑴ 若cm h cm a 2,6==，求这个无盖长方体盒子的容积； ⑵ 用含a 和h 的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积； ⑶ 某学习小组合作探究发现：当a h 61
=
时，折成的长方体盒子容积最大。

试用这一结论计算当cm a 18=时这个无盖长方体盒子的最大容积。

解：（1）容积（6－4）2×2=8 cm 3（2分） （2）容积为h （a －2h ）2 cm 3（5分） （3）当a =18 cm 时，h =
a 6
1
=3， 最大容积=3×（18－2×3）2=432 cm 3（8分）
6. (本题8分)如图，M 是线段AB 上一点，且AB=10cm ，C,D 两点分别从M,B 同时出发以s
cm 1，s
cm 3的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）。

⑴ 当点C, D 运动了2s ，求这时MD AC +的值。

⑵ 若点C, D 运动时，总有AC MD 3=，求AM 的长.
解：（1）当点C ,D 运动了2s 时，CM =2 cm ，BD =6 cm （1分） ∵AB =10cm ，CM =2 cm ，BD =6 cm
∴AC +MD= AB －CM －BD=10―2―6=2 cm （3分）
（2）∵C ,D 两点的速度分别为1cm /s ,3 cm /s ，∴BD =3CM . （5分） 又∵MD =3AC , ∴BD +MD =3CM +3AC ,即BM =3AM , （7分）
∴AM =4
1
AB =2.5 cm （8分）
图3图2图1
A 7. （本题10分）某自行车厂计划每天平均生产n 辆自行车，而实际产量与计划产量相比有出入。

下表记录了某
⑵ 该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，当100=n 时，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？⑶ 若将上面第⑵问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，当100=n 时，在此方式下这一周工人的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由。

解：(1) (3n －1)辆；（2分）
(2) 按日计件的工资为(n +5+n －2+n －4+n +13+n －3)×60+18×15－9×20（4分）
=300n +630=300×100+630=30630(元)；（6分）
（3）按周计工资更多. ∵按周计件的工资为（5n +5－2－4+13－3）×60+(5－2－4+13－3)×15（8分）
=300n +675=300×100+675=30675＞30630,∴按周计工资更多.（10分）
8. （本题11分）如图1，射线OC,OD 在∠AOB 的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM ，ON 分别平分∠AOD ，∠BOC.
⑴ 若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NPD 和∠MOC 的大小； ⑵ 如图2，若将图1中∠COD 在∠AOB 内部绕点O 顺时针旋转. ① 旋转过程中∠MON 的大小始终不变. 求∠MON 的值；
② 如图3，若旋转后OC 恰好为∠MOA 的角平分线，试探究∠NOD 与∠MOC 的数量关系.
解：(1)∵∠AOC =60°, ∠DOC =30°, ∴∠DOC =90°, ∴∠DOM =45°, ∴∠MOC =45°—30°=15°.(2分) ∵∠AOC =60°, ∠AOB =150°, ∴∠BOC =90°, ∴∠NOC =45°, ∴∠NOD =45°—30°=15°. ∴∠MOC =∠NOD (4分)
(2) ①方法一:∵OM 平分∠AOD , ON 平分∠BOC , ∴∠AOD =2∠AOM , ∠BOC =2∠BON . ∴∠AOB =∠AOD +∠BOC —∠COD =2∠AOM +2∠BON —30°=150° ∴∠AOM +∠BON =90° ∴∠MON =150°—90°=60°（8分）
方法二: ∵OM 平分∠AOD , ∴∠AOM =
2
1
∠AOD . ∴∠MON =∠DOM +∠NOD =21∠AOD +∠NOD =2
1
∠AOD +∠NOC —∠DOC. 又∵ON 平分∠BOD ,
∴∠NOC =2
1
∠BOC .
∴∠MON =
21∠AOD +21∠BOC —∠DOC =21
(∠AOC +∠DOC +∠BOC ) —∠DOC =21(∠AOB +∠DOC ) —∠DOC =2
1
(150°+30°) —30°=60°（8分） ②令∠MOC =∠AOC =x , ,则∠DOM =30°－x ,则30°－x =2 x ,可得x =10°, （10分）
则∠DOM =20°, 则∠NOD =40°, 则∠AOC =10°,∠NOD =4∠MOC . （11分）
9. 利民商店购进一批电蚊香,原计划每袋按进价加价40%标价出售.但是,按这种标价卖出这批电蚊香的90%时,夏季即将过去.为加快资金周转,商店以打7折(即按标价的70%)的优惠价,把剩余电蚊香全部卖出. (1)剩余的电蚊香以打7折的优惠价卖出，这部分是亏损还是盈利？请说明理由.
(2)按规定,不论按什么价格出售,卖完这批电蚊香必须交税费300元(税费与购进蚊香用的钱一起作为成本),若实际所得纯利润比原计划的纯利润少了15%.问利民商店买进这批电蚊香用了多少钱? 解：(1)设进价为每袋a 元.
则剩余的电蚊香每盘获利为[a(1+40%)×70%-a]=0.98a-a=-0.02a ＜0,……2分 所以剩余的电蚊香以打7折的优惠价卖出亏损.……3分
(2)设共买x 袋.据题意列方程得
[a(1+40%)－a]×90%x+[a(1+40%)70%－a]×10%x －300=（40%ax －300）×(1－15%)……7分 解得ax=2500元.所以买进这批电蚊香用了2500元.……10分
10. （本小题10分）国家规定初中每班的标准人数为a 人，七年级共有八个班，各班人数情况如下表，八年级学
生数是七年级学生数的2倍少400人，九年级学生数的2倍刚好是七、八年级学生数的总和。

（1）用含a 的代数式表示该中学七年级学生总数；
（2）学校决定按七年级每人一根跳绳，八年级两人一副羽毛球拍，九年级每人一个毽球的标准购买相应的体育器材以满足学生锻炼需要，其中跳绳每根5元，羽毛球拍每副18元，毽球每个3元，请你计算当a=50时，需购买体育器材的费用是多少？
解：七年级学生总数是：8a ＋3＋2－3＋4＋0－2－5－1＝8a －2，……（2分） 八年级学生总数是：2(8a －2)－400＝16a －404，……………………（4分）
九年级学生总数是：[8a －2＋2(8a －2)－400]÷2＝12a －203，…………（6分） 购买体育器材的总费用是：
5(8a －2)＋9(16a －404)＋3(12a －203)＝220a －4255…………………（8分） 当a ＝50时，220a －4255＝6745（元），即总费用是6745元…………（10分）
11. (本题11分)如图，OD ，OC 分别是∠AOB 和∠EOF 的角平分线，∠AOB=∠EOF 。

（1）若∠DOC 是直角，那么图中还有∠ 和∠ 也是直角。

（2）∠AOE=︒50，∠BOF=︒140，求∠DOC 的大小。

（3）有人说，∠DOC 的度数是∠AOE 和∠BOF 的平均数，你同意吗？说出理由。

解：（1）∠BOE ，∠AOF ………………………（2分）（每空1分） （2）∵∠AOE ＝50°，∠BOF ＝140°
∴∠AOB +∠EOF =90°………………………（3分）
∵∠AOB ＝∠EOF ，OD ，OC 分别是∠AOB 和∠EOF 的角平分线
∴∠AOD =∠BOD =∠EOC =∠COF =90°÷4＝22.5°……………（4分） ∴∠DOC =∠AOD +∠AOE +∠EOC =95°………………………（5分） （3）∠DOC 的大小是∠AOE 和∠BOF 的平均数，这种说法是正确的。

（6分） 设∠AOE ＝x ，∠BOF ＝y ，则∠AOB +∠EOF = y －x …………………（7分） ∵∠AOB ＝∠EOF ，OD ，OC 分别是∠AOB 和∠EOF 的角平分线
∴∠AOD =∠BOD =∠EOC =∠COF =4y x
-……………………………………（8分）
∴∠DOC =∠AOD +∠AOE +∠EOC =4y x -+x +4
y x
-
=
44
y x x y x
-++-……………………………………（9分）
=2x y +＝2
AOE BOF ∠+∠……………………………………（10分 即∠DOC 的大小是∠AOE 和∠BOF 的平均数. ………………………（11分）
12. （本题12分）某地区2009年年初的沙漠面积是40 000公顷，由于自然原因，沙漠面积会逐年
增加，每年沙漠新增面积是当年年初沙漠面积的5%，为了防止沙漠面积增加，该地区决定通过植树绿化沙漠，但由于气候比较干燥，当年植树后树木成活面积仅为植树面积的80%（假定当年已经成活的树木两年内仍然成活）。

（1）如果2009年植树4 000公顷，通过计算说明该地区2009年底的沙漠面积是否超过39 000公顷 ；
（2）该地区2010年底的沙漠面积为35 900公顷，2009年和2010年植树面积相同，求这两年每年植树多少公顷？
解：(1)2009年底的沙漠面积：40000×（1＋5％）－4000×80％＝38800（公顷）
未超过39 000公顷。

……………（3分）；
(2)设2009年和2010年每年植树x 公顷, ……………（4分）
根据题意列方程得：[40000×（1＋5％）－80％x ]（1＋5％）－80％x ＝35900…（9分） 解得：x ＝5000（公顷）……………（11分）
答：2009年和2010年每年植树5000公顷。

……………（12分）
13. 周末，七年级一班准备邀请所有教师14人和全班48名同学去公园举行游园活动，已知公园有两种售票方式：①成人票8元/人，学生票5元/人；②团体票统一按成人票的7折计算（50人以上可买团体票）． （1）若师生均到齐，选用哪种方式购票较合算？
（2）若教师没有到齐，用第二种购票方式共需336元，你能算出有几位教师没有到吗？ 解：（1） 第一种方式的费用为14×8+48×5=352（元）；第二种方式的费用为14+48）×8×0.7=347.2（元）； 第三种方式的费用为（14+36）×8×0.7+12×5=340（元）因此，选用第三种方式较合算． （2）设有x 位老师没到，则（14-x+48）×8×0.7=336， x=2． 故有2位教师没有到．
14. 已知：∠AOD=160°，OB 、OC 、OM 、ON 是∠AOD 内的射线．
（1）如图1，若OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ．当OB 绕点O 在∠AOD 内旋转时，求∠MON 的大小；
解：∵∠AOD=160°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOD ∴∠MOB=1/2∠AOB ，∠BON=1/2∠BOD
即∠MON=∠MOB+∠BON=1/2∠AOB+1/2∠BOD =1/2（∠AOB+∠BOD ） =1/2∠AOD=80°；
（2）如图2，若∠BOC=20°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ．当∠BOC 绕点O 在∠AOD 内旋转时求∠MON 的大小；
解：∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOD ∴∠MOC=1/2∠AOC ，∠BON=1/2∠BOD 即∠MON =∠MOC+∠BON-∠BOC
=1/2∠AOC+1/2∠BOD-∠BOC =1/2（∠AOC+∠BOD ）-∠BOC =1/2×180-20=70°；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC 在∠AOD 内绕着点O 以2°/秒的速度逆时针旋转t 秒时，∠AOM ：∠DON=2：3，求t 的值．
解：∵∠AOM ＝1/2(10°+2t+20°)，∠DON ＝1/2(160°−10°−2t)， 又∠AOM ：∠DON=2：3， ∴3（30°+2t ）=2（150°-2t ） 得t=21．。