空间解析几何习题答案解析

2 2 2
(1)2得a b 25
所以
4.已知向量x与a(,1,5, 2)共线，且满足a x
解：设x的坐标为x, y, z，又a 1,5, 2
则ax x 5y 2z 3(1)
又x与a共线，则x a 0
即
i jk
y
x yz
5
152
2y
5z i
z 2x j 5x
y
k 0
所以,
2y 5z2
z 2x2
5x
y20
AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M x, y,z，则由MA MB得
化简得2x 3y 5z 270
这就是线段AB的中垂面的方程。
(1,1,0)和(0,1,1),求向量c的坐标.
解：a b c r且它们两两所成的角相等，设为
则有a b10 1 10 11
所以xy2z22
x
x
1
联立(1)、(2)、⑶求出y
面上的高.
解：已知四点A0,0,0,B2, 5,3,C0,1,2,D2,0,7,则
DA
5, 4 ,DC 2,1, 9
90
28
则有
所以
又
由DA,DB,DC
VDA,DB,DC
70 8
为邻边构成的平行六面体的体积为
由立体几何可知，三棱锥
设D到平面
2,5,3
90
V
ABC的高为
V
ABC
AB AC
所以,
因此,
ABC
、计算题与证明题
1.已知|a| 1,|b|4,|c|5,并且a b c0.计算a b b c c a.
解：因为|a| 1,|b| 4,|c| 5,并且a b c 0
所以a与b同向，且a b与c反向
因此
所以
2.已知| a b | 3,| a b | 4,求|a||b|.
解
| a b | a b sin
0,1,
7i
丄AB
2
3
2
SABC
7.已知点A在z轴上且到平面
70 0
ABC的体积为
^V
6
SABC
3V
SABC
ABC
4j
2k
AC
28
69
:4x
解：A在z轴上，故设A的坐标为
所以7z 14' 69
1 72 42
22 1 69
28 69
69
2y 7z14
0的距离为7,求点A的坐标.
(0 0z),由点到平面的距离公式，得
7z14
一7
72
则z2.. 69
那么A点的坐标为A0,0,2, 69
8.已知点.A在z轴上且到点B(0,2,1)与到平面:6x 2y 3z9的距离相等，求点A
的坐标。
故设A的坐标为0,0,z，由两点的距离公式和点到平面的距离
|3z9
62
矢aA, B,C与直线垂直
由a丄v1，有A B
由a丄v2，有A B
1120
1525262
求出k4,,286
所以，所求平面方程为15x 5y 6z 120 286 0
5.已知两平面:mx7y 6z 24 0与平面:2x 3my 11z 19 0相互垂直，求m
的值.
解：两平面的法矢分别为门1m,1, 6,门22,3m,11,由①丄匕，得
6•已知四点A(0,0,0),B(,2,5,3),C(0,1, 2),D(2,0,7),求三棱锥D ABC中ABC
AP v
AP[V、厂121212Ji21
所以900
因此点P1, 1,0到直线的距离为d AP1212J3
3x
y 2z 6
0.亠丄丄、
5.
取何值时
直线
与z轴相父
x
4y z 15
0
解:
直线3x
y
2z
6 0
与z轴
相父，则有父点坐标为0,0,z,
x
4y
z
15 0
由直线方程得
2z
6
0,求得
5
z 150
7.求过点（3,25）且与两平面x 4z 3和3x y z 1平行直线方程.
X
1
y
z 2
4
50
31
3.
求通过点
A(0,0,0)与直线丄虫
y4
z
4
4的平面的方程
2
1
1
解:
设通过点
A(0,0,0)的平面方程为
A(x
0)
B(y 0) C(z
0) 0
即
Ax
By
Cz
0
(1)
x3y4z 4
又直线在平面上，则直线的方向矢v与平面法矢n垂直
2 1 1
所以2A B C0(2)
直线上的点3, 4,4也在该平面上，贝U
的方程.
解：设所求直线的方向矢为v m,
n, p,
直线与平面3x 2z10平行，则
v丄n，有
3m n2p 0
x1
直线与直线X1
y
3z相交，即共面
0
4
2
1
则有
m
4
1 1
n
2
3 0 0
P
1
2
所以7m
8n
12
0
(2)
由(1),
(2)
得
m
n
P
即—
4
n
P
1 2
2
3
31
5
50
31
8 12
12
7
78
取m 4,n 50,p 31，得求作的直线方程为
与平面的法矢n A, B,C垂直
所以
所以
联立⑵,(3),(4)得B
Ad
39
-7d
34
Ad
34
代入(1)式消去D并化简得求作的平面方程为
5x 2y 2z390
3.求顶点为0(0,0,0)，轴与平面x+y+z=O垂直，且经过点(3,2,1))的圆锥面的方程.
解：设轨迹上任一点的坐标为P x,
y, z，依题意，该圆锥面的轴线与平面x y z0垂
解：与两平面平行的直线与这两个平面的父线平行，
则直线的方向矢垂直于这两平面法矢
所确定的平面，即直线的方向矢为
i
j
k
v①n2
1
0
4
4i 13j k
3
1
1
将已知点代入直线的标准方程得
x
3
y
2
z 5
4
13
1
x 5 y 2 z
8•一平面经过直线（即直线在平面上）I:,且垂直于平面
314
x y z150,求该平面的方程.
0或
y
z
1
z
1
3
4
3
1
⑶求BCD的面积.
⑷求点A到平面BCD的距离.
解：因为A3,0,1,B2, 4,1,C0, 2,3,D2,0,3
解：设截距的比例系数为k,则该平面的截距式方程为
x y z
1
2k 6k 5k
化成一ห้องสมุดไป่ตู้式为15x 5y 6z 30k 0
又因点O 0,0,0至呼面的距离为120，则有
30k|
3A 4B 4C
由(1), (2), (3)得知，将A,B,C作为未知数，有非零解的充要条件为
x y z
2110
344
即8x 5y 11z0，这就是求作的平面方程。
X 2y z 1
4.求点P(1, 1,0)到直线的距离.
1 1 0
解：点A2,0, 1在直线上，直线的方向矢v1, 1,0
AP
1, 1,1，则AP与v的夹角为
即29x2
5y2
26z2
20 yz 4xz
10xy 0
(2)
又x与a共线，
x与a
夹角为0或
cosO1
x a
3
x2
:2
y
2二2z J
52
22
.x2y2z2、30
整理得
x2
2
y
23
z
(3)
10
6•已知点A(3,8,7),B(1,2, 3)求线段AB的中垂面的方程.
解：因为A3,8,7,B(1,2, 3)
直，则轴线的方向矢为v1,1,1,又点
00,0,0与点3,2,1在锥面上过这两点的线的方向矢为
l13,2,1,点O(0,0,0)与点P x, y,z的方向矢为12x, y,z，则有l1与v