高考数学柱坐标系和球坐标系
高中数学新人教A版选修4-4 柱坐标系与球坐标系简介
四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
柱坐标系和球坐标系
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图 1-5-2
如图 1-5-2 所示，设 z 轴的正向与向量O→M的夹角为 φ，x 轴的正向与O→M0的 夹角为 θ，M 点到原点 O 的距离为 r，则由三个数 r，θ，φ 构成的有序数组 (r，θ，φ)称为空间中点 M 的球坐标.若设投影点 M0 在 xOy 平面上的极坐标为(ρ， θ)，则极坐标 θ 就是上述的第二个球坐标 θ.在球坐标中限定 r≥0,0≤θ<2π， 0≤φ≤π.
则有11＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝1，
解之得，ρ＝ 2，θ＝π4.
因此，点 M 的柱坐标为( 2，π4，1).
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由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为ρ，θ，
z代入变换公式xy＝ ＝ρρcsions
θ， θ，
z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，
∵(r，θ，φ)＝(3，53π，56π)，
x＝rsin φcos θ＝3sin56πcos53π＝34，
y＝rsin φsin θ＝3sin56πsin53π＝－343，
z＝rcos
φ＝3cos56π＝－3
2
3 .
∴点
M
的直角坐标为(34，－3
4
3，－3
2
3 ).
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类型三 空间点的直角坐标化为球坐标 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
圆柱,圆球坐标系
1 ∂ 1 ∂Fφ ∂Fz ∇ ⋅ F (ρ ,φ ,z) = (ρ Fρ ) + + ρ ∂ρ ρ ∂φ ∂z
1
ρ
eρ
eφ ∂ ∂φ ρ Fφ
1
ρ
ez
∇ × F (ρ ,φ ,z )
=
∂ ∂ρ Fρ
∂ ∂z Fz
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
1.8.2 球面坐标系 坐标变量
r ,θ , φ
坐标单位矢量 er , eθ , eφ 位置矢量 线元矢量 面元矢量
= 0, ∂ρ ∂e z = 0, ∂ρ
= −eρ , ∂φ ∂e z = 0, ∂φ
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
CQU
圆柱坐标系中的三度表达式
∇ = eρ
∇f =
∂ 1 ∂ ∂ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
∂f 1 ∂f ∂f eρ + eφ + ez ∂ρ ρ ∂φ ∂z
(ρ ≠ 0)
e ρ = cos φ e x + sin φ e y eφ = −sin φ e x + cosφ e y
∂e ρ ∂ρ ∂eφ = 0, ∂e ρ ∂φ ∂eϕ = eφ , =0 ∂z ∂eφ = 0 ∂z ∂e z =0 ∂z ∂e ρ
eρ、eφ、ez对坐标ρ、φ、z求偏导 求偏导
1.8 圆柱坐标系与球坐标系
1.8.1 圆柱坐标系 坐标变量
1
CQU
ρ ,φ , z
r = eρ ρ + ez z
dl = eρ dρ + eφ ρ dφ + e z dz
坐标单位矢量 eρ , eφ , e z 位置矢量 线元矢量 面元矢量
柱坐标系和球坐标系
§3柱坐标系和球坐标系1．柱坐标系如图1－3－1，建立空间直角坐标系O －xyz .设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.图1－3－1特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面； z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面． 2．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM →与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段O P →的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图1－3－2)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r <＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.图1－3－2特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面． 3．空间中点的坐标之间的变换公式设空间一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，则1．空间中点的三种坐标各有何特点？【提示】 设空间中点M 的直角坐标为(x ，y，z )，柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，它们都是有序数组，但意义不同．直角坐标为三个实数；柱坐标分别表示距离、角、实数；球坐标分别表示距离、角、角．2．在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在空间的柱坐标系中，方程r ＝r 0表示中心轴为z 轴，底半径为r 0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面． 3．在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)，θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，φ＝φ0(0≤φ0＜π)，各表示什么图形？【提示】 在空间的球坐标系中，方程r ＝r 0(r 0为正常数)，表示球心在原点，半径为r 0的球面；方程θ＝θ0(0≤θ0＜2π)，表示过z 轴的半平面，它与zOx 坐标面的夹角为θ0；方程φ＝φ0(0≤φ0≤π)，表示顶点在原点，半顶角为φ0的圆锥面，它的中心轴是z 轴，φ0＜π2时它在上半空间，φ0＞π2时它在下半空间，φ0＝π2时它是xOy 平面(如图所示).根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：(1)(2，5π6，3)；(2)(2，π4，5)． 【思路探究】柱坐标――→x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z直角坐标 【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，θ，z )＝(2，5π6，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos 5π6＝－3，y ＝r sin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，∴(－3，1,3)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝(2，π4，5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π4＝1，y ＝r sin θ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴(1,1,5)为所求．点(r ，θ，z )是三维空间坐标系中的点的坐标，在平面xOy 内实际为极坐标系，且r ≥0,0≤θ＜2π，在竖直方向上，z 为任意实数．化点的柱坐标(r ，θ，z )为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z 转化为三角函数的求值与运算即得．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标： (1)(2，π6，1)；(2)(1，π，0)．【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )， (1)∵(r ，θ，z )＝(2，π6，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝2cos π6＝3，y ＝r sin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(r ，θ，z )＝(1，π，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＝cos π＝－1，y ＝r sin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求．把下列各点的球坐标化为直角坐标．(1)(2，34π，54π)；(2)(6，π3，π6)． 【思路探究】球坐标――→x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ直角坐标【自主解答】 设点的直角坐标为(x ，y ，z )， (1)∵(r ，φ，θ)＝(2，3π4，5π4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin 3π4cos 5π4＝－1，y ＝r sin φsin θ＝2sin 3π4sin 5π4＝－1，z ＝r cos φ＝2cos 3π4＝－2，∴(－1，－1，－2)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝(6，π3，π6)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos π6＝364，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin π6＝324，z ＝r cos φ＝6cos π3＝62，∴(364，324，62)为所求．首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ＜2π.化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ转化为三角函数的求值与运算．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标： (1)(6，π3，23π)；(2)(3，π，π)． 【解】 设点的直角坐标为(x ，y ，z ) (1)∵(r ，φ，θ)＝(6，π3，2π3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴(－332，92，3)为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝(3，π，π)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin πcos π＝0，y ＝r sin φsin θ＝3sin πsin π＝0，z ＝r cos φ＝3cos π＝－3，∴(0,0，－3)为所求．坐标图1－3－3已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图1－3－3，建立空间直角坐标系A －xyz ，以Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．【思路探究】 先求C 1的直角坐标，再根据柱坐标、球坐标与直角坐标的关系，求得其柱坐标、球坐标．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)．设点C 1的柱坐标为(r ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，tan θ＝1，及⎩⎨⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形，得θ＝π4， 由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(r ，θ，z )或球坐标(r ，φ，θ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θz ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0)z ＝z以及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr .提醒在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值．若本例中条件不变，求点C 、D 的柱坐标与球坐标．【解】 结合图形知点C 的直角坐标为(1,1,0)，柱坐标为(2，π4，0)，球坐标为(2，π2，π4)，同样点D的直角坐标为(0,1,0)，柱坐标为(1，π2，0)，球坐标为(1，π2，π2)．(教材第22页练习第1题)如图1－3－4，把边长为1个单位长度的正方体分别放到空间直角坐标系中的不同位置，试说出正方体各个顶点的柱坐标和球坐标．图1－3－4(2013·镇江模拟)结晶体的基本单位称为晶胞，如图1－3－5是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图1－3－6，建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．图1－3－5图1－3－6【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，(1，π2，0)，(2，π2，π4)，(1，π2，π2)，(22，π2，π4)；它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，(2，π4，0)，(1，π2，0)，(22，π4，0).1．要刻画绕地球运转的某气象卫星的位置，应适合运用( ) A ．极坐标系 B ．空间直角坐标系 C ．柱坐标系D ．球坐标系【解析】 由题意知D 正确． 【答案】 D2．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为( )A ．(1,1,0)B ．(1,0,1)C ．(0,1,1)D ．(1,1,1)【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，r ＝1，θ＝0，z ＝1， 故x ＝r cos θ＝1，y ＝r sin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)． 【答案】 B3．已知点A 的球坐标为(3，π2，π2)，则点A 的直角坐标为( ) A ．(3,0,0) B ．(0,3,0) C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)【解析】 ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝2×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. 【答案】 B4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．【解析】 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4.∴点M 的柱坐标为(2，π4，2)，球坐标为(2，π4，π4)． 【答案】 (2，π4，2) (2，π4，π4)一、选择题1．在空间球坐标系中，方程r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示( ) A ．圆 B ．半圆 C ．球面 D ．半球面【解析】 由球坐标系的定义知，r ＝2(0≤φ≤π2，0≤θ＜2π)表示半球面，故选D.【答案】 D2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A ．(2，π3，3) B ．(2，2π3，3)C ．(2，4π3，3)D ．(2，5π3，3)【解析】 ∵r ＝(－1)2＋(－3)2＝2，θ＝4π3，z ＝3，∴M 的柱坐标为(2，4π3，3)，故选C. 【答案】 C3．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为( ) A ．(2，π4，π4) B ．(2，π4，5π4) C ．(2，5π4，π4) D ．(2，3π4，π4)【解析】 由坐标变换公式，得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2，cos φ＝zr ＝22，∴φ＝π4.∵tan θ＝y x ＝－1－1＝1，∴θ＝54π，∴M 的球坐标为(2，π4，54π)，故选B. 【答案】 B4．已知点M 的球坐标为(4，π4，3π4)，则点M 到Oz 轴的距离为( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )， ∵(r ，φ，θ)＝(4，π4，3π4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝r sin φsin θ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝22，∴M (－2,2,22)，到Oz 轴的距离为(－2)2＋22＝2 2.故选A. 【答案】 A 二、填空题5．若点M 的球坐标为(3，5π6，5π3)，则点M 的直角坐标为________． 【解析】 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332.∴点M 的直角坐标为(34，－334，－332)． 【答案】 (34，－334，－332)6．(2013·长春检测)在柱坐标系中，点M 的柱坐标为(2，23π，5)，则|OM |＝________.【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )． 由(r ，θ，z )＝(2，23π，5)知x ＝r cos θ＝2cos 23π＝－1， y ＝2sin 23π＝ 3. 因此|OM |＝x 2＋y 2＋z 2 ＝(－1)2＋(3)2＋(5)2＝3. 【答案】 3 三、解答题7．已知点P 的柱坐标为(2，π4，5)，点B 的球坐标为(6，π3，π6)，求这两个点的直角坐标．【解】 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )， 则x ＝2cos π4＝2×22＝1， y ＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364， y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6cos π3＝6×12＝62.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为(364，324，62)． 8．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标．【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为原点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝49π.由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝π12，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r ＝2 384＋6 371＝8 755千米．所以点P 的球坐标为(8 755，π12，4π9)．9．在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，0≤θ＜2π0≤z ≤2，的动点M (r ，θ，z )围成的几何体的体积．【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足r ＝1,0≤θ＜2π，0≤z ≤2的动点M (r ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱．圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2. 所以V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π.教师备选10．已知在球坐标系Oxyz 中，M (6，π3，π3)，N (6，2π3，π3)，求|MN |. 【解】 法一 由题意知，|OM |＝|ON |＝6，∠MON ＝π3， ∴△MON 为等边三角形，∴|MN |＝6. 法二 设M 点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6sin π3cos π3＝332，y ＝6sin π3sin π3＝92，z ＝6cos π3＝3.故点M 的直角坐标为(332，92，3)， 同理得点N 的直角坐标为(332，92，－3)， ∴|MN |＝(323－323)2＋(92－92)2＋(3＋3)2＝0＋0＋62＝6.。
人教版高中数学选修4-4《1.4柱坐标系与球坐标系简介》
φ r o θ
P(r,φ,θ) y Q
x OP与Oz轴正向所夹的角为φ
转过的最小正角为θ
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所
点P的位置可以用有序数组(r,φ,θ)表示 我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标
其中 r 0, 0 , 0 2
5 5 3 点M的直角坐标为（－ ， ） 2 2
如图，建立空间直角坐标系Oxyz, z 设P是空间任意一点, P(ρ,θ,Z) p在平面Oxy的射影为Q o θ Q x 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy上的极坐标,
y
点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示
把建立上述对应关系的坐标系叫做 柱坐标系.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
3、已知点 N的球坐标是（2， ， ）， 3 4 求它的直角坐标。
3
1、通过这节课的学习， 我们知道， 为了表示空间中所有的 点，我们可 以建立 _______________________ 、 ______________ 和 ______________ 来表示这些点。
2、这节课我们需要了解 的内容有：
谢谢
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标.
其中ρ≥0, 0≤θ<2π, -∞＜Z＜+∞
注：柱坐标系又称半极坐标系,它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立z)与柱坐标
(ρ,θ,Z)之间的变换关系为
x cos y sin zz
高中数学第一章坐标系1.3柱坐标系和球坐标系课件北师大选修4_4 (1)
������ = ������sin������, ������ = ������.
在柱坐标(ρ,θ,z)中,ρ=|OA|= |������������|2 + |������������|2 = ������2 + ������2, ������ =∠
POA,其中 x,y,z 的值与直角坐标中的相同.在球坐标(r,φ,θ) 中,r=|OM|= |������������|2 + |������������|2 = ������2 + ������2 + ������2, ������ =∠ROM,θ=∠ POA,其中 θ 与柱坐标中的 θ 相同,x,y,z 的值与直角坐标中的相同.
-1 = ������cos������,
������ = ������
【例1】 将点M的直角坐标化为柱坐标,将点P的柱坐标化为直
角坐标.
(1)M(-1, 3, 2); (2)������ 2,π4 ,1 .
分析:利用相关公式代入进行转化求值.
������ = ������cos������, 解:(1)设点 M 的柱坐标为(r,θ,z),则有 ������ = ������sin������,
特别地,r=常数,表示的是以原点为球心的球面; φ=常数,表示的是以原点为顶点,z轴为轴的圆锥面; θ=常数,表示的是过z轴的半平面. 点M的直角坐标与球坐标的关系为
������ = |������������|cos������ = ������sin������cos������,
圆柱坐标系和球坐标系
圆柱坐标系和球坐标系球坐标系的定义：球坐标是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，θ，φ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，r∈[0，+∞)θ为有向线段OP与z轴正向的夹角，θ∈[0，π]φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，φ∈[0，2π]这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标。
当r，θ或φ分别为常数时，可以表示如下特殊曲面：r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系与直角坐标系间的转换1).球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x= r sinθ cosφy= r sinθsinφz = r cosθ球坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(θ)=rdθ，dl(φ)=rsinθdφ球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ圆柱坐标系的定义：它是二维极坐标系往z-轴的延伸。
添加的第三个坐标专门用来表示P点离xy-平面的高低。
按照国际标准化组织建立的约定(ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为。
如图右，P 点的圆柱坐标是。
是P 点与z-轴的垂直距离。
是线OP 在xy-面的投影线与正x-轴之间的夹角。
与直角坐标的等值。
圆柱坐标系与直角坐标系间的转换1).圆柱坐标系(r，φ，z)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:x=r co sφy=r sinφz=z圆柱坐标系下的微分关系在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：dl(r)=dr，dl(φ)=rdφ，dl(z)= dz球坐标的面元面积是：dS=dl(θ)* dl(z)=r dφ dz体积元的体积为：dV=dl(r)*dl(φ)*dl(z)=r dr dφ dz。
柱坐标系与球坐标系-高中数学知识点讲解
柱坐标系与球坐标系
1．柱坐标系与球坐标系
【知识点的认识】
1．柱坐标系
如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz．设P 是空间任意一点．它在Oxy 平面上的射影为Q，用（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z）（z∈R）表示．
建立了空间的点与有序数组（ρ，θ，z）之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ，θ，z）叫做点P 的柱坐标，记作P（ρ，θ，z），其中ρ≥0，0≤θ＜2π，z∈R．
2．球坐标系
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．设P 是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ．
设P 在Oxy 平面上的射影为Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ．这样点P 的位置就可以用有序数组（r，φ，θ）表示．这样，空间的点与（r，φ，θ）之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系）．
有序数组（r，φ，θ）叫做点P 的球坐标，记做P（r，φ，θ），其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π）．
1/ 1。
柱面坐标系和球面坐标系的选择
柱面坐标系和球面坐标系的选择在数学和物理学领域，我们经常会遇到需要描述空间中点的位置的情况。
柱面坐标系和球面坐标系就是两种常见的坐标系，它们分别适用于不同的情境。
柱面坐标系柱面坐标系是一种三维坐标系，用$(r, \\theta, z)$表示，其中r代表点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在垂直xy平面的高度。
柱面坐标系适合于描述具有轴对称特点的问题，比如圆柱体或旋转对称体的情况。
在这种坐标系下，坐标变换较为简单，方便处理。
球面坐标系球面坐标系是另一种常见的三维坐标系，用$(r, \\theta, \\phi)$表示，其中r代表点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点与z轴的夹角。
球面坐标系适合于描述球体或具有球对称特点的问题。
在球面坐标系下，很多问题会变得更加简单和对称。
如何选择在选择柱面坐标系和球面坐标系时，需要根据问题的特点进行判断。
如果问题具有轴对称性，或者是圆柱体的问题，那么柱面坐标系可能更为适合。
柱面坐标系下坐标变换简单，可以方便地处理这类问题。
如果问题具有球对称性，或者是关于球体的问题，那么球面坐标系可能是更好的选择。
通过球面坐标系，可以简化许多复杂的计算，使问题更容易解决。
在实际问题中，有时会涉及到需要两种坐标系结合来描述的情况，这时需要根据具体的需求来选择合适的坐标系进行描述，以便更好地解决问题。
在数学和物理学领域中，柱面坐标系和球面坐标系是非常常用的工具，正确的选择和使用将有助于更加高效地解决问题，更准确地描述空间中的点的位置。
以上是关于柱面坐标系和球面坐标系的选择的一些基本内容，希望对您有所帮助。
高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系人教B版选修4_4
[答案] B
3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐标是( )
A．(2，π3，3)
B．(2，23π，3)
C．(2，43π，3)
D．(2，53π，3)
3．设点 M 的直角 [解析] ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，
坐标为(－1，－ 则它的柱坐标是(
3，3)， )
tan
θ＝－－13＝
[解] 设点的直角坐标为(x，y，z)． (1)∵(ρ，θ，z)＝(2，56π，3)，
x＝ρcos θ＝2cos56π＝－ 3，
∴y＝ρsin
θ＝2sin56π＝1，
z＝3，
因此所求点的直角坐标为(－ 3，1,3)．
(2)∵(ρ，θ，z)＝( 2，4π，5)，
x＝ρcos θ＝ 2cos4π＝1，
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐
x＝ρcos θ，
标为(ρ，θ，z)代入变换公式y＝ρsin θ， z＝z.
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2
＋y2，求 ρ.利用 tan θ＝yx，求 θ，在求 θ 的时候特别注意角 θ 所在的 象限，从而确定 θ 的取值．
1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，56π，3)；(2)( 2，4π，5)．
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要 明确点的球坐标(r，θ，φ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注 意各自的限定范围，即 0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ，
y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
柱坐标和球坐标公式
柱坐标和球坐标公式
在数学和物理学中，柱坐标和球坐标是表示空间中点的两种常用坐标系。
这两种坐标系是笛卡尔坐标系的重要扩展，能够更好地描述三维空间中的点的位置。
柱坐标
柱坐标是三维空间中的一种坐标系，通常用来描述点相对于原点的位置。
在柱坐标系中，一个点的位置由径向(r)、极角(θ)和高度(z)三个坐标值来确定。
柱坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * cos(θ) - y = r * sin(θ) - z = z
其中，r表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面内的极角，z表示点在z轴上的高度。
球坐标
球坐标是另一种常用的三维空间坐标系，用来描述点相对于原点的位置。
球坐标系由径向(r)、极角(θ)和方位角(φ)三个坐标值来确定一个点的位置。
球坐标系和笛卡尔坐标系之间的转换关系如下： - x = r * sin(θ) * cos(φ) - y = r * sin(θ) * sin(φ) - z = r * cos(θ)
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正z轴的倾角，φ表示点在xy平面上的旋转角度。
柱坐标和球坐标的应用
柱坐标和球坐标在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，利用柱坐标和球坐标可以更方便地描述和计算力、电场等的分布情况；在工程学中，柱坐标和球坐标可以简化对结构的分析和设计；在计算机图形学中，通过柱坐标和球坐标可以更加自然地进行三维建模和渲染。
总的来说，柱坐标和球坐标是解决三维空间中点位置描述问题的有力工具，它们为研究人员和工程师提供了更多的选择和便利。
通过深入理解柱坐标和球坐标的原理和转换关系，可以更好地应用它们解决实际问题。
柱坐标系与球坐标系
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐 标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
x cos y sin zz
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它 在柱坐标系中的坐标.
3 cos 2 2 － 2） －1 3 x 2 sin （ 4 4 2 2 3 sin 3 2 2 2 1 y 2 sin 4 4 2 2 z 2 cos 3 2 ( － 2） － 2 4 2
点在直角坐标系中的坐标为 （ －1 ，1 ，－ 2 ）.
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
z 设P是空间任意一点， P(ρ,θ,Z) 在oxy平面的射影为Q， 用(ρ ,θ )(ρ ≥0, 0≤θ ＜2π )表示点Q o y 在平面oxy上的极坐标， θ 点P的位置可用有 Q x 序数组(ρ ,θ ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱 坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱 坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中 ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x r sin cos y r sin sin z r cos
x
z
o θ
φ
P(r,φ,θ)
r
y
Q
3 3 设点的球坐标为(2， ， )，求 4 4 它的直角坐标.
小结
坐标系
数轴 平面直角坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
柱坐标与球坐标系
12345
解析 答案
5 5.已知点M的直角坐标为(1,2,3), 球坐标为(r, φ, θ), 则tan φ＝_____, ta3n θ＝ ____. 2
解析 如图所示,
tan φ＝
x2＋y2 z＝
35，tan
θ＝yx＝2.
1角坐标为(2,0,2), 则点M的柱坐标为
√A.(2,0,2)
C.( 2，0,2)
B.(2，π，2) D.( 2，π，2)
12345
答案
3.在球坐标系中, 方程r＝2表示空间的
A.球
√B.球面 C.圆 D.直线
12345
答案
4.点 P 的柱坐标为(4，π6，3)，则点 P 到原点的距离为__5___. 解析 x＝ρcos θ＝4cos π6＝2 3， y＝ρsin θ＝4sin 6π＝2. 即点 P 的直角坐标为(2 3，2,3)，
1.空间点的坐标的确定
规律与方法
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标来确定的,
即(x, y, z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成
的, 即(ρ, θ, z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成
的角θ, 点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ, 以及点到原点的距离
跟踪训练3 在例3的条件下, 求点C, A1的直角坐标、柱坐标及球坐标.
解答
当堂训练
1.在空间直角坐标系中，点 P 的柱坐标为(2，π4，3)，P 在 xOy 平面上的
射影为 Q，则 Q 点的坐标为
A.(2,0,3)
球坐标系与柱坐标系
4.1.3球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4-1-5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P 的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图4-1-6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox 轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．x 2＋y 2＋z 2＝r 2， x ＝r sin_θcos_φ， y ＝r sin_θsin_φ， z ＝r cos_θ. 3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O -xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .图4-1-74．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4，则点M 的直角坐标为________．(2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos 3π4＝－ 2.即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π6＝3， y ＝2×sin π6＝1，z ＝7. 即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________．【解析】 (1)由变换公式得： x ＝4cos π3＝2， y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos 3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4-1-8建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4-1-8【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)， 设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎨⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)及⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎨⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)， 其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(ρ，θ，z )或球坐标(r ，θ，φ)，需要对公式⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z以及⎩⎨⎧x ＝r sin θcos φ，y ＝r sin θsin φ，z ＝r cos θ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，tan φ＝y x (x ≠0)，cos θ＝zr .提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值．[再练一题]2．(1)设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． (2)设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．【导学号：98990006】【解】(1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1.(2)由坐标变换公式，可得 r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos θ＝z ＝2， 得cos θ＝2r ＝22，θ＝π4.又tan φ＝y x ＝1，φ＝π4(M 在第一象限)， 从而知M 点的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4. [真题链接赏析](教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点．结晶体的基本单位称为晶胞，如图4-1-9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图4-1-9(2)，建立空间直角坐标系O -xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．(1) (2)图4-1-9【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4； 它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0.1．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为________． 【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z ＝1，故x ＝ρcos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．【答案】 (1,0,1)2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 【解析】 由坐标变换公式，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2.cos θ＝z r ＝22，θ＝π4.∵tan φ＝yx ＝1， ∴φ＝54π.故M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π43．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为________．【导学号：98990007】【解析】 设P (x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝1， y ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴P (1,1,5)．设B (x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324，z ＝6·cos π3＝6×12＝62. 故B (364，324，62)．【答案】 P (1,1,5)，B (364，324，62)4．把A (4，π6，2)、B (3，π4，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为________．【解析】 点A 化为直角坐标为A (23，2,2)，点B 化为直角坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫322，322，－2. AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3222＋(2＋2)2＝12＋92－66＋4＋92－62＋16＝41－6(6＋2)．所以AB ＝41－6(6＋2). 【答案】41－6(6＋2)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
最新人教版高中数学选修4-4《柱坐标系与球坐标系简介》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习：1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.1．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的柱坐标为( )．A ．⎝⎛⎭⎫2，π6，2B ．⎝⎛⎭⎫2，π3，2 C ．⎝⎛⎭⎫2，π6，－2 D ．⎝⎛⎭⎫2，－π6，－2 答案：C解析：ρ＝(3)2＋12＝2，tan θ＝13＝33， ∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，－2. 2．点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( )．A ．⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6B ．⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C ．⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D ．⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4 答案：A解析：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2 2.由r cos φ＝z ＝－2，得cos φ＝－22，φ＝34π. 又tan θ＝y x ＝33，θ＝π6， 从而得M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，34π，π6. 3．空间点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫6，π3，4，则点P 关于z 轴的对称点为________． 答案：⎝⎛⎭⎫6，4π3，4 4．如图所示，一个底面半径为r ，高为h 的圆柱OO ′，四边形ABCD 是其轴截面，EF 是圆柱的一条母线，且∠BOE ＝π4，试建立适当的柱坐标系，求A ，C 的坐标．解：如图所示，建立柱坐标系．则A 点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫r ，3π2，0，C 点的柱坐标为⎝⎛⎭⎫r ，π2，h .。
柱坐标与球坐标系
(2)3，56π，53π.
解 ∵(r，φ，θ)＝3，56π，53π，
x＝rsin φcos θ＝3sin
5π 6 cos
53π＝34，
∴y＝rsin φsin θ＝3sin
5π 6 sin
53π＝－3 4 3，
z＝rcos φ＝3cos
56π＝－3
3 2.
∴34，－3
4
3，－3
2
3为所求.
解答
解 由变换公式y＝ρsin θ，
z＝z， 得 x＝4cos π3＝2，y＝4sin π3＝2 3，z＝8. ∴点 P 的直角坐标为感悟
(1)由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为 x＝ρcos θ，
(ρ，θ，z)，代入变换公式 y＝ρsin θ，求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.
答案
梳理
柱坐标系的概念 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一 点，它在平面Oxy上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0, 0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位 置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示，这样，我们建 立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种
z＝z， 利用tan θ＝ y ，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ
x 的取值.
(2)点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
跟踪训练1 (1)已知点M的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标； 解 ρ＝ x2＋y2＝ 02＋12＝1. ∵x＝0，y>0，∴θ＝π2. ∴点 M 的柱坐标为(1，π2，2).
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中 的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标 系中的竖坐标.
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1.将下列各点的柱坐标化为直角坐标.
π 2 P2，6，1，Q4，3π，－3
解
x＝ρcos θ 直接代入互化公式y＝ρsin θ ， z＝z
可得 P 的直角坐标为( 3，1，1)，Q 点的直角 坐标为(－2，2 3，－3).
§3 柱坐标系和球坐标系
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1.柱坐标系
(1)定义：在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加 一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐 标系.设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的 投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成 (r，θ，z)就叫作点M的柱坐标 的有序数组________ ______，这里规定r，θ， 0≤r＜＋∞，________ 0≤θ＜2π， －∞＜z＜＋∞ . z的变化范围为__________ 特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的圆柱面；θ＝常 数，表示的是 过z轴的半平面 xOy平面平行的平面 .
；
φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间 的变换关系为
sin φ· cos θ， x＝r· sin φ· sin θ， y＝r· z＝rcos φ.
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【思维导图】
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【反思感悟】 写空间任一点的球半径，就是 求该点到点O的距离和方位角、高低角.两个角 可以和地球的经纬度相结合，要搞清它们的联
系和区别.
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2.在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O 为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建 立坐标系.有 A， B 两个城市， 它们的球坐标分别为
纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.
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解
在赤道平面上， 我们选取地球球心为极点， 以O
为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴， 建立平 面极坐标系，在此基础上，取以 O 为端点且经过北 极的射线 Oz(垂直于赤道平面)为另一条极轴，如图 所示建立一个球坐标系 . 由已知航天器位于经度为 80° ，可知 θ＝80° ，由航天器位于纬度 75° ，可知，φ ＝90° －75° ＝15° ，由航天器离地面 2 384 千米，地 球半径为 6 371 千米，可知 r＝2 384＋6 371＝8 755 千米.所以点 P 的球坐标为(8 755，15° ，80° ).
题型三
空间点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、 纵坐标和竖坐标三 度来确定的，即(x，y，z). 2.空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的 竖坐标组成的，即(ρ，θ，z). 3.(1)空间点的球坐标是点和原点的连线与 x 轴正方向所成的 角 θ，与 z 轴的正方向所成的角 φ，以及点到原点的距离 r 组成的，即(r，φ，θ). (2)注意球坐标的顺序为：①到原点的距离 r；②与 z 轴正方 向所成的角 φ；③与 x 轴正方向所成的角 θ.
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；z＝常数，表示的是与
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(2)空间点 M 的直角坐标(x，z)与柱坐标(ρ，
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z. θ，z)之间的变换公式为_____________.
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2.球坐标系
(1)定义：设 M(x，y，z)为空间一点，点 M 可用这样三个有 次序的数 r，φ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 到点 M 间的距 → 离，φ 为有向线段OM与 z 轴正方向所夹的角，θ 为从 z 轴正 → 半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP的角， 这里 P 为点 M 在 xOy 平面上的投影.这样的三个数 r，φ，θ
π π π 2π AR，4，6，BR，4， 3 ，飞机应该走怎样的航
线最快，所走的路程有多远？
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解 由题意可知面 AOO1，面 BOO1 都垂直于两圆平面， ∴∠AO1B 是两平面 AOO1 和 BOO1 的夹角，
π π π 2π 又∵AR，4，6，BR，4， 3 ，
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【例1】 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
解 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径
的圆.因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程 ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱面. 【反思感悟】 柱坐标满足ρ＝2的点可以和平面直角坐标系 中满足x＝1的点构成一条直线，空间直角坐标系中满足y＝2 的点构成的图形是一个平面结合考虑.
2π π π π ∴∠AO1B＝ 3 －6＝2，∠AOO1＝∠BOO1＝4， 2 ∠AO1O＝∠BO1O，∴小圆 O1 的半径 r＝ 2 R，∴AB＝R， π π ∴∠AOB＝ ，则经过 A、B 两地的球面距离为 R. 3 3 π 故飞机经过 A、B 两地的大圆，航线最短，其路程为 R. 3
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题型二
球坐标系
球坐标系又称空间极坐标系，用空间任意一点P到O的距离r以 及两个角θ，φ来刻画点P的位置. 【例2】 经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测， 并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻离地面2
384千米的位置，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，
r，φ，θ 叫作点 M 的_________ 球坐标 ， 构成的有序数组(_______) 这里 r， φ， 0≤r＜＋∞ ， 0≤φ≤π ， 0 ≤θ＜2π 特别地， θ 的变化范围为__________ _________ ________.
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r＝常数，表示的是 以原点为球心的球面 θ＝常数，表示的是过z轴的半平面 .
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【知能要点】
1.柱坐标系. 2.球坐标系.
3.空间点的坐标的确定.
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题型一
柱坐标系
柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系
及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表 示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标， z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.