与圆有关的比例线段 课件
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解得x＝8 cm或x＝24 cm.
所以第二条弦被交点分成的两条线段长为8 cm和24 cm.
►变式训练
1．(2015·惠州市高三第二次调研考试)如图，在半 径为3的圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E(E 在A、O之间)．若CE＝，则AE＝___1_____．
题型二 切割线及割线定理
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平 分∠ABC且交AC于点E，当D在AB上， DE⊥EB时， (1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线； (2)若AD＝6，AE＝6，求BC的长．
解析：(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE. 由“切线长”定理可知 PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC. ∴PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)， 即 2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm. ∴2PA＝8 cm，PA＝4 cm. (2)连接 OA、OB、OC，则 PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC， 且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°. 由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.
____. __3__．
题型三 切线长定理的应用
例 3 如图所示，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ︵
点 C 为AB上任意一点，过 C 作⊙O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、 E，△PDE 的周长为 8 cm，且∠DOE＝70°，求： (1)PA 的长度； (2)∠P 的度数．
分析：连接 OE，证明 OE⊥AC，且 E 在⊙O 上，可得(1)． 由切割线定理得 AE2＝AD·AB，又利用 OE∥BC，得比例线段求得(2)． (1)证明：取 BD 的中点 O，连接 OE. ∵DE⊥EB， ∴DB 是△BED 的外接圆的直径．∴OE 是⊙O 的半径． ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC. ∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠BEO. ∴∠BEO＝∠EBC.∴EO∥BC. ∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即 AC 是⊙O 的切线．
与圆有关的比例线段
1．掌握相交弦定理． 2．掌握割线定理． 3．掌握切割线定理与切线长定理．
题型一 相交弦定理的应用
例1 已知圆中有两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 cm和16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二 条弦被交点分成的两条线段的长．
分析：本题考查相交弦定理的应用． 解析：设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分 别为x cm和(32－x)cm.根据相交弦定理，可得 12×16＝(32－x)x，
(2)解析：由(1)得 AE2＝AD·AB， ∴(6 2)2＝6×AB，AB＝12. ∴OE＝OD＝3，AO＝9. ∵EO∥BC，∴AAOB＝OBCE， 即192＝B3C.∴BC＝4.
2．(2015·高三第二次模拟考试数学试题)如图， PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT＝ 2，PA＝1，∠P＝60°，则圆O的半径r＝
由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，
∴4×6＝(R－5)(R＋5)，解得R＝7或R＝－ 7(舍)．
∴⊙O的半径为7.
易错点：定理中的关系式容易记错 【疑难点辨析】由于对定理中等积式的结构特征理解不透， 因而应用定理时往往将线段之间的关系弄错，从而不能正 确书写等积式，造成计算或证明错误．
பைடு நூலகம்
例 如图所示，AB为⊙O的弦，P为弦AB上一点， 且PA＝4，PB＝6，PO＝5，求⊙O的半径．
【错解】延长PO交⊙O于C，
则由相交弦定理得PA·PB＝PC·PO，
∴4×6＝5PC，∴PC＝4.8，
∴⊙O的半径为PC＋PO＝4.8＋5＝9.8.
分析：错解中把OC当成了弦，乱用了相交弦定 理． 【正解】设⊙O的半径为R，延长OP交⊙O于C， 延长PO交⊙O于D，
又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°， ∴∠P＝∠180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)． 已知∠6＋∠7＝70°， ∴∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°， ∴∠P＝180°－140°＝40°.
►变式训练
3．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、 F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O半径为，则△ABC 周长为_2_0______．
所以第二条弦被交点分成的两条线段长为8 cm和24 cm.
►变式训练
1．(2015·惠州市高三第二次调研考试)如图，在半 径为3的圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E(E 在A、O之间)．若CE＝，则AE＝___1_____．
题型二 切割线及割线定理
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平 分∠ABC且交AC于点E，当D在AB上， DE⊥EB时， (1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线； (2)若AD＝6，AE＝6，求BC的长．
解析：(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE. 由“切线长”定理可知 PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC. ∴PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)， 即 2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm. ∴2PA＝8 cm，PA＝4 cm. (2)连接 OA、OB、OC，则 PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC， 且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°. 由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.
____. __3__．
题型三 切线长定理的应用
例 3 如图所示，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ︵
点 C 为AB上任意一点，过 C 作⊙O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、 E，△PDE 的周长为 8 cm，且∠DOE＝70°，求： (1)PA 的长度； (2)∠P 的度数．
分析：连接 OE，证明 OE⊥AC，且 E 在⊙O 上，可得(1)． 由切割线定理得 AE2＝AD·AB，又利用 OE∥BC，得比例线段求得(2)． (1)证明：取 BD 的中点 O，连接 OE. ∵DE⊥EB， ∴DB 是△BED 的外接圆的直径．∴OE 是⊙O 的半径． ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC. ∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠BEO. ∴∠BEO＝∠EBC.∴EO∥BC. ∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即 AC 是⊙O 的切线．
与圆有关的比例线段
1．掌握相交弦定理． 2．掌握割线定理． 3．掌握切割线定理与切线长定理．
题型一 相交弦定理的应用
例1 已知圆中有两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 cm和16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二 条弦被交点分成的两条线段的长．
分析：本题考查相交弦定理的应用． 解析：设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分 别为x cm和(32－x)cm.根据相交弦定理，可得 12×16＝(32－x)x，
(2)解析：由(1)得 AE2＝AD·AB， ∴(6 2)2＝6×AB，AB＝12. ∴OE＝OD＝3，AO＝9. ∵EO∥BC，∴AAOB＝OBCE， 即192＝B3C.∴BC＝4.
2．(2015·高三第二次模拟考试数学试题)如图， PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT＝ 2，PA＝1，∠P＝60°，则圆O的半径r＝
由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，
∴4×6＝(R－5)(R＋5)，解得R＝7或R＝－ 7(舍)．
∴⊙O的半径为7.
易错点：定理中的关系式容易记错 【疑难点辨析】由于对定理中等积式的结构特征理解不透， 因而应用定理时往往将线段之间的关系弄错，从而不能正 确书写等积式，造成计算或证明错误．
பைடு நூலகம்
例 如图所示，AB为⊙O的弦，P为弦AB上一点， 且PA＝4，PB＝6，PO＝5，求⊙O的半径．
【错解】延长PO交⊙O于C，
则由相交弦定理得PA·PB＝PC·PO，
∴4×6＝5PC，∴PC＝4.8，
∴⊙O的半径为PC＋PO＝4.8＋5＝9.8.
分析：错解中把OC当成了弦，乱用了相交弦定 理． 【正解】设⊙O的半径为R，延长OP交⊙O于C， 延长PO交⊙O于D，
又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°， ∴∠P＝∠180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)． 已知∠6＋∠7＝70°， ∴∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°， ∴∠P＝180°－140°＝40°.
►变式训练
3．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、 F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O半径为，则△ABC 周长为_2_0______．