与圆有关的比例线段 课件
选讲：与圆有关的比例线段(切割线定理)
O A G
D F
∵∠DFE=∠EFA（公共角）, ∴ △DFE∽△EFA.
∴EF2 =FG2 ,即FG=EF.
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引 两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD. 证明：由切割线定理可得： PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB. ∴PC2=PD2. 即PC=PD．
选讲部分
与圆有关的比例线段 ----切割线定 理
复习回顾
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９ ０°的圆周角所对的弦是直径． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
使割线PA绕P点 运动到切线的位 置，是否还有 PA∙PB=PC∙PD？
C D P
O A(B)
如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD 交 ⊙O于C、D. 求证：PA2=PC∙PD.
A
P
O
C
证明：连接AC、AD， ∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC. 又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA. ∴ PA ：PD=PC ：PA. ∴PA2= PC∙PD.
与圆有关的比例线段
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆 有关的相交弦的问题. 探究1: 如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
与圆有关的比例线段(切割线定理)
2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？
C D O
C
B
A
C′
A
D
B
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x. 由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, ∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10. ∴CD=10.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
B
C D 图5 P O B A PA∙PB=PC∙PD
P
O
点P从圆内移动到圆外
D
A
图3 PA∙PB=PC∙PD
证明:连接AC、AD,同样可以证明 △PAD∽△PCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PC•PD仍成立.
A
C
P O
B
D
练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D. (1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=10,PT= (2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R= 3
T B
PA· PB=(7-R) · (7+R)
C
A
O D
P
O
D P
E
B
C
A
练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和 C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:
相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段
长的积相等.
D P A O C
B
几何语言： AB 、 CD是圆内 的任意两条相交弦,交点为P, ∴PA•PB=PC•PD.
与圆有关的比例线段 课件
[证明] (1)∵AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线， ∴由切割线定理得 AD·AE＝AB2. 又 AC＝AB，∴AD·AE＝AC2. (2)由(1)得AADC＝AACE， 又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经 常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明 某些结论．
切割线定理 [例 2] 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为 B，ADE， CFD，CGE 都是⊙O 的割线，已知 AC＝AB.
证明：(1)AD·AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路点拨] (1)利用切割线定理； (2)证△ADC∽△ACE.
[思路点拨] 切线长定理 → EA＝EC，FC＝FB → EFCC＝EPBP → CP∥FB → 结论
[证明] ∵EA，EF，FB 是⊙O 的切线， ∴EA＝EC，FC＝FB. ∵EA，FB 切⊙O 于 A，B，AB 是直径， ∴EA⊥AB，FB⊥AB. ∴EA∥FB.∴EBAF＝EBPP.∴EFCC＝EPBP. ∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
(2)切割线定理： ①文字叙述： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的 比例中项 ； ②图形表示： 如图，⊙O的切线PA，切点为A，割 线PBC，则有 PA2＝PB·PC .
3．切线长定理 (1)文字叙述： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的 切线长相等 ， 圆心和这一点的连线平分 两条切线 的夹角． (2)图形表示： 如图，⊙O的切线PA，PB， 则PA＝ PB，∠OPA＝ ∠OPB .
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即① 切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹 角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．
第32课 与圆有关的比例线段
第32课与圆有关的比例线段〖知识点〗相交弦定理、切割线定理及其推论〖大纲要求〗1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论；2．了解圆幂定理的内在联系；3．熟练地应用定理解决有关问题；4．注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。
这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。
使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。
〖考查重点与常见题型〗证明等积式、等比式及混合等式等。
此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。
常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。
〖预习练习〗1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:4两部分，则这条弦长为（）（A）2cm （B）8cm （C）10cm （D）16cm2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（）（A）16cm （B）4 3 cm （C）4 2 cm （D）以上答案都不对3.如图，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中相似三角形有（）（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对4.圆内两条弦AB与CD相交于E，如果AE＝BE，CE＝9，DE＝4，那么AB＝5.从圆外一点P向圆引两条割线PAB、PCD，分别与圆相交于A、B、C、D，如果PA＝4，PC ＝3，CD＝5，那么AB＝6.Rt△ABC中两条直角边分别为6cm，8cm，则外接圆半径为,内切圆半径为7.PA、PB分别是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠AOB＝144°，则∠P＝考点训练：1.⊙O中直径CD⊥弦AB于E，AB＝6，DE∶CE＝1∶3，则DE的长为（）(A) 3 (B) 3 (C) 2 3 (D) 62.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12，则此圆半径长为（）(A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对3.如图1，⊙O的半径为6，PQ＝6，AR＝8则QR的长为（）(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 124. 如图2，CD 为⊙O 直径，弦AB 垂直CD 于P,AP ＝4，PD ＝2，则PO ＝___.5. 如图3，PAB 为⊙O 的割线，PC 切⊙O于C ，PC ＝10，AB ＝15，则PA长为___________.6．如图4，弦AB ⊥弦CD 于E ，若AE ＝2，BE ＝6，DE ＝3，则⊙O 的直径长＝________. 7．如图，PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，OP ＝13，PA ＝9，AB ＝7，求⊙O 直径的长.8.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 为⊙O 的割线，求证：AB 2AC 2 ＝PBPC9.如图，在两圆公共弦AB 上，任取一点G ，过G 作直线交一圆于C,D ，交另一圆于E,F. 求证：CG ·ED ＝EG ·CF.解题指导1． 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP ∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA ·BC.R Q A O P 1A B O C D P24r A B CO P PC2．如图，锐角△ABC ，以BC 为直径作圆，在AB 上截取AE ＝切线长AD ，过E 作AB 的垂线交AC 延长线于F ，求证：AE AB = ACAF .3. 如图，若△ABC 的∠A 平分线交BC 于D ，交其外接圆于E ，求证：AD 2＝AB ·AC －BD ·CD.4．如图，△ABC 内接于⊙O ，CP 切⊙O 于C ，交AB 延长线于P ，割线PD 交AC 于F ，CB 于E ，且CE ＝CF ， 求证：（1）PD 是∠APC 的平分线，（2）CF 2＝AF ·BE.独立训练：1．AB 是⊙O 直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，AB ＝6，CD ＝4，则CB 的长为（ ）(A) 2 (B) 83 (C) 23(D) 32．如图1，P 在半圆O 的直径AB 延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长为（ ）(A) 2 3 (B) 3 (C) 32(D) 4 33．如图2，△ABC 中∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，半圆圆心在BC 上，与AB,AC 切于D,E，EPB D O ͼ1则⊙O 半径为（ ）(A)127 (B) 712 (C) 72(D) 2 3 4．⊙O 中直径CD 垂直弦AB 于E ，AB ＝8，DE ∶CE ＝3∶1，则DE 的长为（ ）(A)2 (B)4 (C)2 3 (D)4 3 5．如图3，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于P ，若CD ＝a ，AP ＝b ， 则半径R ＝____. 6．如图4，AB 为⊙O 直径，CD 切⊙O 于B ，且BC ＝BD交⊙O 于E ，AB ＝8，CD ＝12，则S △CDE ＝___________.7．如图5，BE 为半圆O 直径，AD 切⊙O 于B，BC 切⊙O 于B ，BE ＝BC ＝6，则AD 长为___________. 8．如图6，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点，AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，则点B 坐标为____________. 9．如图，AB 是⊙O 直径，BC 是弦，CD 切⊙O 于C ，AD ⊥CD 交BC 延长线于E ，AE ＝8cm ，求AB 的长。
直线与圆的位置关系 课件
【例1】 如图所示，AB是⊙O的直径，
过A，B引两条弦AD和BE，相交于C．
求证：AC·AD＋BC·BE＝AB2. 【解题探究】 无法在已知圆中利用相关 定理解决问题，可考虑作辅助线构造新圆．
【证明】如图所示，连接AE，BD， 过C作CF⊥AB，与AB交于F. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ADB＝90°. ∵∠AFC＝90°，∴A，F，C，E四点共圆．
(2)∵F，G，E，D四点共圆， ∴∠CFG＝∠AEC，
又由△ADC∽△ACE，∴∠ACD＝∠AEC．
∴∠CFG＝∠ACF.
∴FG∥AC．
【例 3】 (广东)如图，AB 为⊙O 的直径，E 为 AB 的延长 线上一点，过 E 作⊙O 的切线，切点为 C，过 A 作直线 EC 的 垂线，垂足为 D，若 AB＝4，CE＝2 3，则 AD＝________.
(2)FG∥AC．
【解题探究】 要证三角形相似需证两角对应相等，或一 角相等两夹边成比例．
【证明】(1)∵AB 是圆的切线， ∴AB2＝AD·AE， ∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE， 即AACE＝AADC. ∵∠CAD＝∠EAC， ∴△ADC 与△ACE 两边对应成比例，夹角相等． 故△ADC∽△ACE.
【解题探究】 由切割线定理可得 CE 2 ＝BE·AE，求出 BE.连接 OC，则 OC⊥DE，OC ∥AD，可得OADC＝OAEE，于是 AD 可求．
【解析】连接 OC，则 OC⊥DE.
又 AD⊥DE，∴AD∥OC．∴OADC＝OAEE.
由切割线定理可得 CE2＝BE·AE， ∴(2 3)2＝BE·(BE＋4)． 解得 BE＝2，∴OE＝4，AE＝6. ∴AD＝OCO·EAE＝2×4 6＝3.
与圆有关的比例线段
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
[小问题·大思维] 1．切割线定理与割线定理之间有什么关系？ 提示：切割线定理是割线定理的一种特殊情况． 2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆 心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？
提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的
中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．
[研一题]
[例 1] 如图，AB、CD 是半径为 a
2
又∵∠PBC＝∠DBP， ∴△BPC∽△BDP，∠BPC＝∠D. 又∵∠E＝∠D，∴∠BPC＝∠E，EF∥PA.
本课时考点是高考的重点内容，题型既有选择题、 填空题，也有解答题，且是多个定理综合应用.2012年 天津高考将相交弦切割线定理与相似三角形的性质相 结合综合考查解决的问题的能力，是高考模拟命题的
一个 天津高考)如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行 线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F， 3 AF＝3，FB＝1，EF＝ ，则线段 CD 的长为________． 2
[命题立意]
[研一题] [例2] 如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，
直线BMN交AD的延长线于点C，BM
＝MN＝NC，AB＝2，求BC的长度和 ⊙O的半径． 分析：本题考查割线定理，切割 线定理以及勾股定理的综合应用，解答本题需利用切割线
1-2.5.与圆有关的比例线段(切割线定理)
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条 割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
C
B
点P从圆内移动到圆外
D
P
O
D
图5 O
P
A 图3
B A
PA∙PB=PC∙PD
PA∙PB=PC∙PD
使割线PA绕P点
证明:连接AC、AD,同样可以证明
又∵∠ACF=∠AEC. ∴∠CFG=∠ACF. 故FG//AC. ……(6)
你还能推出其他结论吗？
问题3 在图2中,使线段AC继续绕A旋转，使割线CFD 变成切线CD,得到图3. 此时又能推出哪些结论？
B
B
E
D
E
A
D
O 图2
A Q
O 图3
F
G
CG
PC
探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有结论. 此外，
同理可证BD•AE=AC•CE. …………………… (3) ∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE•CD=BD•CE. ………(4)
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中EC 交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
问题2 在图1中,使线段AC绕A旋转，得到图2.其中 EC交圆于G,DC交圆于F.此时又能推出哪些结论？
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引
D B
两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD.
证明：由切割线定理可得：
A
PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB.
C
∴PC2=PD2. 即PC=PD．
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段课件 新人教a版选修4-1
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
AB
O
图2 25
由上述探究和论证, 我们有
例1 如图2 28 ,圆内的 两条弦AB、CD相交于圆 内一点P,已知PA PB
A
C P
O
B
1 D 4, PC PD.求CD的长 . 4 图2 28 4 1 解 设CD x, 则PD x, PC x. 5 5
由相交弦定理 , 得 PA PB PC PD.
1 4 所以 4 4 x x, x 10. 故CD 10 . 5 5
D
C,PA
O
B
图2 23
D C
P
A
O
根据上述探究和论证, 我们有
B
割线定理 从圆外一点引圆 图2 24 的两条 割 线 , 这一点到每条 割 线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下面继续用运动变化思 想探究.
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置 图 2 25, 是否还有PA PB PC PD ?
单击图 标, 用几 何画板作一 系列探究实 验.
D A A C P
O
D B P
O
D B A P B
O
图2 20
图2 21
C
C
图2 22
连接AD、BC, 则由圆周角定理的推论 可得: A C. PA PC 故Rt APD ~ Rt CPB.则 .即PA PB PC PD. PD PB
1_25与圆有关的比例线段(切割线定理)讲解
如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交
⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
C D
O B
A
证法2：连接AC、BD，
P
∵四边形ABDC为⊙O 的内 接四边形, ∴∠PDB= ∠A，
又 ∠P=∠P,
∴ △PBD∽ △ PCA.
∴ PD ：PA=PB ：PC.
∴ PA∙PB=PC∙PD.
例5 如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE 是⊙O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.
B E
问题1:由上述条件能推出哪些结论？A
探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,
D O
图1
而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(1) C
∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD•AE=AC•CE. ………(2)
代数、几何等知识的联系及应用
C
A
D O
B
A
C′
C DB
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.
C
B
由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, A P
∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.
B3
A2 P
解：（1）由切割线定理，得 PC ∙ PD=PA ∙ PB
m
C
∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.
O
4
设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4.
∴m（m+4）=2×5
圆中的比例线段
第34课 圆中的比例线段[考点透视]从圆中角的相等关系推出三角形相似，得出比例线段或由相交弦、切割线直接找出线段的比例关系；反之，由线段的比例关系推出三角形相似从而得出其他关系；会作出线段的比例中项，圆中相交弦中，已知其中三个量求另一个量，过圆外引直线与圆相交或相切时，已知其中三个量求另一个量，已知圆的直径求与这条直径垂直的弦长. [课前回顾]1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成两条线段长的积相等.2．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线.切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.3．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆交点的两线段长的积相等. [课堂选例]例1 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是BD 的中点，EA 为⊙O 的切线.（1）求证：AB ·DA=CD ·BE ；（2）若点E 在CB 延长上运动，点A 在BD 上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明） （1）证明：连结AC ，∵A是BD 的中点，∴AB = AD∵EA 切⊙O 于点A ，点C 在⊙O 上，∴∠1=∠3=∠2，∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠ABE =∠D ，∴△ABE ∽△CDA ,∴DABE CD AB =.∴AB ·CA=CD ·BE（2）解：如图2，具备条件BF=DA （或BF=DA ，或∠BCF =∠DCA ，或∠BAF =∠DCA ，或FA ∥BD 等），使原结论成立.图1 图2例2 如图，由矩形ABCD 的顶点D 引一条直线分别交BC 及AB 的延长线于F ，G 连结AF 并延长交BGF ∆的外接圆于H ，连结GH ，BH . （1）求证：△DFA ∽△HBG ； （2）过A 点引圆的切线AE ，E 为切点，AE=33，CF :FB = 1:2，求AB 的长； （1）证明：∵∠1=∠2，∠2=∠3， ∴∠1=∠3∵四边形ABCD 为矩形. AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠5=∠6,又∵∠4=∠5， ∴∠4=∠6 ∴△DFA ∽△HBG ； （2）解：∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴21==BG CD FBCF， ∴21=BG AB ，∴31=AG AB 即AG=3AB ，∵AE 为圆的切线∴2AE AG AB ⋅=，∴27=AB ·3AB ，∴AB=3.例3 已知：AB 是⊙O 1的直径，C 是⊙O 1上的一点，以AC 为直径作⊙O 2，交AB 于点D ，过点C 作⊙O 1的切线,交⊙O 2于点E ，直线ED 分别交⊙O 1于点F 和G ，求证：①CE =CD ； ②EF ·EG =FD ·DG C①证明：连结BC ∵AC 为⊙O 2又∵AB 为⊙O 1的直径，∴∠ACB=Rt ∠，∴ADC ∆C ∽ACB ∆， ∠ACD=∠B ，而CE 为⊙O 1切线， ∠EC A=∠B ，∴∠EC A=∠ACD ， ∴AE 与AD 等弧，∴DE ⊥AC ∴EC 与CD 等弧, ∴EC=CD ②证明：由切割线定理知2EC EG EF ⋅= 又由①知EC=CD ，∴CD 2=EF ·EG 而DB AD CD ⋅=2，DG FD DB AD ⋅=⋅ 故DG FD EG EF ⋅=⋅例4 如图，ABC ∆中，∠A 的平分线与BC 边和外接圆⊙O 分别交于D 和E . （1）求证：DE AE BE ⋅=2（2）记⊙O 半径为m ，BE=n ，试用含m ，n 的代数式表示的BCE ∠cos . （3）当AD=4DE ，且2:5:=n m 时，求作以CECD BEBD ,为根的一元二次方程（方程只取二次项系数为1的一个）①证明：∴△BED ∽△AEB ∴DE AE BE ⋅=2. ②连结EO 并延长交⊙O 于F ，连结BF.则∠BCE=∠F ，∴mn m F BCE 24cos cos 22-=∠=∠③∵BE=CE ∴BECDBE BD CECD BEBD +=+BECD BD +=BE BC =可知EF EM BE ⋅=2，∴m m m EF BE EM 252225422=== m EMBE BM 56422=-=， m BM BC 5682==. ∴645658===+m mBEBC CE CD BE BD而由①知DE AE BE ⋅=2， DE AD 4=，∴DE AE 5=， BD ·AD DE CD ⋅=得5454222==⋅=⋅⋅DE DE BE AD DE CEBE CD BD∴以CECD BEBD ⋅为根的方程为054642=+-x x . [课堂小结]1．圆幂定理是解决圆中比例线段的基本工具，也是作辅助线证题解答的基本出发点.2．“圆内相交相交弦，圆外相交切割线”是圆中比例线段求解与证明的关键.3．本节知识运用了转化的数学思想，同时渗透了函数，方程的思想.[课后测评] 一、选择题1．如图1，两圆相交于A ，B 两点，过点B 的直线与两圆分别交于C ，D 两点，若 ⊙O 的半径为5，⊙O 2的半径为2，则AC ：AD 为（ ）A ．52:3B ．3:52C ．5:2D ．2:52．圆内两弦AB ，CD 相交于点P ，PA=3，PB=4，3:1:=PD PC ，则CD 等于（ ） A ．12 B ．8 C ．4 D ．23．如图2，已知四边形AB ＣＤ外接⊙O 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E 且AC AE AB ⋅=2，BD=8，则ABD ∆的面积为（ ）A ．16B ．8C ．4D ．24 A A D C C B B C P C B D D DA如图1 如图2 如图3 如图4 L 二、填空题4．如图3，BC 是⊙O 直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若3:2:=DB AD ，AC=10，则=B sin .5．如图4⊙A 、⊙B 外切于点C ，它们的半径分别为4和1，直线l 与⊙A 、⊙B 都相切，则直线AB 与A C 所成锐角的正弦值是 . 三、解答题6．如图，⊙O 与⊙O 1相交于点A ，B ，⊙O 过O 点，P 为⊙O 1上一点，连结OA ，PA ，PO 交AB 于C 点，交⊙O 于D 点.（1）求证：OP OC OA ⋅=2；（2）若4=PD ，2=CD ，求OC 长.O7．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，AB 是两圆的外公切线，A ，B 为切点，AB 与O 1O 2的延长线相交于点C ，AC CE ⊥，AP 的延长线交⊙O 2（1）求证：AC AB AE AP ⋅=⋅；（2）求证：CP （3）若2,34==PD AB ，求CECB 的值.8．如图，过∠BAC 顶点A 作⊙O,交角的两边于点B ，C ，交该角的平分线于点D ，DE 切⊙O 于点D ，交AC 边于点E . （1）求证：CE AB BD ⋅=2（2）若23=BD ，12=+CE DE ，23=AC AB ，求DE 的长。
圆幂定理
O2 B
图7
E
F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
F A
C
E
B
图6
C
D
例1 如图5，AB是⊙O的直径，C是⊙O 外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D． 已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E， 求四边形ABDE的周长．
C
D
C,PA
O
探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图2 23
D C
再到圆外图 2 24 , 结论 1 是否 还能成立?
B
P 从圆内运动到圆上 图 2 23 ,
P
A
O
图2 24
一 与圆有关的比例线段
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA· PB＝PC· PD
PD PA PB PC
A
B
O· D
C
P
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置
P
D C A
O
图2 25, 是否还有PA PB
B
A
O
D
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 D 圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180°
B
【名师一号】14-15高中数学(人教)选修4-1课件：2-5与圆有关的比例线段
【解】 (1)证明：如右图． 取BD的中点O，连接OE. ∵DE⊥BE，∴BD是△BDE外接圆的直径． ∴OE是⊙O的半径． ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC. ∵OE＝OB，∠ABE＝∠BEO，∴∠BEO＝∠EBC. ∴EO∥BC.∵∠C＝90° ， ∴∠AEO＝90° ，∴AC是⊙O的切线．
(3)利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝ bc时，如果其中有三条线段共线，不妨把平方项线段利用中间 积进行代换试试． (4)利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线 与否)，如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比” 进行代换试试．
与圆有关的比例线段证明要诀：相似三角形中找诀窍，联 想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法 不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.
(2)切割线定理：
①文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，________是 这点到割线与圆交点的________的比例中项． ②图形表示：如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线 PBC，则PA2＝________.
3．切线长定理
(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的 ________．圆心和这一点的连线________两条切线的 ________． (2)图形表示：如图：⊙O的切线PA，PB，则PA＝ ____________，∠OPA＝____________.
思考探究2 如图，PAB，PCD是⊙O的两条割线，若PA＝ PC，那么PB与PD有什么大小关系？
提示 PB＝PD.∵PA· PB＝PC· PD.且PA＝PC，∴PB＝PD.
名师点拨 1.相交弦定理的推论及应用
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项．
直线与圆的位置关系-.圆中比例线段
D A A P O B C D D
P
B O
P
B
A
O
C
C
探究2:把两条相交弦的交点P从圆内 运动到圆上.再到圆外， PB=PC· 是否还能成立? PD 结论 PA·
D
D
C C O O P P A B A(B)
探究3:使割线PB绕P点运动到切线的 位置,是否DA 故PA· PB=PC· PD仍成立 因为A,B重合， 上式可变形为
P A(B) C O
D
PA² =PC· PD 切割线定理 从圆外一点引圆的切线 和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项.
D C P A(C.P) A B P A B C D
PB=PC· PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA· P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PD . PC PB
故PA· PB=PC· PD
割线定理 从圆外一点引圆的两条 割线，这一点到每条割线与圆的交 点的两条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD
F O
B
F,B,D,C四点共圆 AC•AD=AF•AB. AC•AD+BC•BE=AF•AB+BF•BA
=AB(AF+BF)=AB²
作业:习题2.5
1.3.4
EF²=FA•FD 又GF²=FA•FD GF² EF² = EF=FG
1
2
A G
D
F
例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是 两圆公共弦AB上的任一点,从P引两 圆的切线PC,PD. 求证:PC=PD C
和圆有关的比例线段(一)
和圆有关的比例线段(一)1. 引言在几何学中，比例线段指的是将一条线段等分成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。
本文将探讨和圆有关的比例线段问题，从最基础的概念开始，逐步引入相关定理和应用。
2. 圆的基本概念回顾在开始讨论和圆有关的比例线段问题之前，我们先回顾一些与圆相关的基本概念。
2.1 圆的定义圆是由平面上和一个确定点距离相等的所有点组成的集合。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
2.2 圆的要素在讨论和圆有关的比例线段问题时，会涉及到圆的几个重要要素，包括：•圆心：圆的中心点。
•半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
•直径：通过圆心的线段，且等于半径的两倍。
•弧：圆上的一段弧线。
•弦：圆上的一段线段，连接圆上的两个点，且不经过圆心。
3. 比例线段的定义比例线段是指将一条线段分割成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。
具体来说，如果将线段AB分为两部分，其中一部分的长度为m，另一部分的长度为n，且满足$\\frac{m}{n}=\\frac{a}{b}$，则称线段AB上的点C将线段分割成了比值为$\\frac{a}{b}$的比例线段。
4. 圆的比例线段定理接下来，我们将讨论和圆有关的比例线段定理。
4.1 弧分割定理假设圆的半径为R，圆心角对应的弧长为l，当圆心角为θ时，弧所在的比例线段为m:n。
根据弧分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{R \\cdot θ}{l}$其中，l为弧长，R为半径。
4.2 弦分割定理假设圆的半径为R，连接弦的线段分割弦为m:n。
根据弦分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} - l}{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} + l}$其中，d为弦与圆心的距离，l为弦长，R为半径。
5. 圆的比例线段应用举例为了更好地理解和圆有关的比例线段定理，我们来看一个具体的应用举例。
第四讲 弦切角、与圆有关的比例线段
3.6 弦切角、与圆有关的比例线段［学习目标］ 一、切线长1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。
2. 切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
二、弦切角：1.定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
满足三个条件：（1）顶点在圆上；（2）一边和圆相交；（3）一边和圆相切。
2.分类（以圆心的位置分）： （1）圆心在角的外部；（2）圆心在角的一边上；（3）圆心在角的内部。
直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）3. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：在同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
4. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。
5. 遇到圆的切线，可联想“角”：弦切角，“线”：切线的性质定理及切线长定理。
三、与圆有关的比例线段交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。
【典型例题】例1. 如图1，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。
在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。
例2. ⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。
点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。
例3. 已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________。
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例 如图所示，AB为⊙O的弦，P为弦AB上一点， 且PA＝4，PB＝6，PO＝5，求⊙O的半径．
【错解】延长PO交⊙O于C，
则由相交弦定理得PA·PB＝PC·PO，
∴4×6＝5PC，∴PC＝4.8，
∴⊙O的半径为PC＋PO＝4.8＋5＝9.8.
分析：错解中把OC当成了弦，乱用了相交弦定 理． 【正解】设⊙O的半径为R，延长OP交⊙O于C， 延长PO交⊙O于D，
____. __3__．
题型三 切线长定理的应用
例 3 如图所示，P 为⊙O 外一点，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B， ︵
点 C 为AB上任意一点，过 C 作⊙O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、 E，△PDE 的周长为 8 cm，且∠DOE＝70°，求： (1)PA 的长度； (2)∠P 的度数．
与圆有关的比例线段
1．掌握相交弦定理． 2．掌握割线定理． 3．掌握切割线定理与切线长定理．
பைடு நூலகம்型一 相交弦定理的应用
例1 已知圆中有两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 cm和16 cm两段，第二条弦的长为32 cm，求第二 条弦被交点分成的两条线段的长．
分析：本题考查相交弦定理的应用． 解析：设第二条弦长被交点分成的两段线段的长分 别为x cm和(32－x)cm.根据相交弦定理，可得 12×16＝(32－x)x，
分析：连接 OE，证明 OE⊥AC，且 E 在⊙O 上，可得(1)． 由切割线定理得 AE2＝AD·AB，又利用 OE∥BC，得比例线段求得(2)． (1)证明：取 BD 的中点 O，连接 OE. ∵DE⊥EB， ∴DB 是△BED 的外接圆的直径．∴OE 是⊙O 的半径． ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC. ∵OE＝OB，∴∠ABE＝∠BEO. ∴∠BEO＝∠EBC.∴EO∥BC. ∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即 AC 是⊙O 的切线．
(2)解析：由(1)得 AE2＝AD·AB， ∴(6 2)2＝6×AB，AB＝12. ∴OE＝OD＝3，AO＝9. ∵EO∥BC，∴AAOB＝OBCE， 即192＝B3C.∴BC＝4.
2．(2015·高三第二次模拟考试数学试题)如图， PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT＝ 2，PA＝1，∠P＝60°，则圆O的半径r＝
解析：(1)PA＝PD＋DA，PB＝PE＋EB，DE＝DC＋CE. 由“切线长”定理可知 PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC. ∴PA＋PB＝2PA＝PD＋PE＋DA＋EB＝PD＋PE＋(DC＋EC)， 即 2PA＝PD＋PE＋DE.而△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE＝8 cm. ∴2PA＝8 cm，PA＝4 cm. (2)连接 OA、OB、OC，则 PA⊥OA，PB⊥OB，DE⊥OC， 且∠1＝∠2，∠3＝∠4＝∠9＝90°. 由三角形内角和得∠5＝∠6，∠7＝∠8.
解得x＝8 cm或x＝24 cm.
所以第二条弦被交点分成的两条线段长为8 cm和24 cm.
►变式训练
1．(2015·惠州市高三第二次调研考试)如图，在半 径为3的圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E(E 在A、O之间)．若CE＝，则AE＝___1_____．
题型二 切割线及割线定理
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平 分∠ABC且交AC于点E，当D在AB上， DE⊥EB时， (1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线； (2)若AD＝6，AE＝6，求BC的长．
又∠P＋∠PAO＋∠AOB＋∠PBO＝360°， ∴∠P＝∠180°－(∠5＋∠6＋∠7＋∠8)． 已知∠6＋∠7＝70°， ∴∠5＋∠6＋∠7＋∠8＝140°， ∴∠P＝180°－140°＝40°.
►变式训练
3．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、 F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O半径为，则△ABC 周长为_2_0______．
由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD，
∴4×6＝(R－5)(R＋5)，解得R＝7或R＝－ 7(舍)．
∴⊙O的半径为7.
易错点：定理中的关系式容易记错 【疑难点辨析】由于对定理中等积式的结构特征理解不透， 因而应用定理时往往将线段之间的关系弄错，从而不能正 确书写等积式，造成计算或证明错误．