多元函数的极限

(2)
定义wk.baidu.comP
T
X T xo y—yo
Po的方式是任意的；
(3) 二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
例i.求 iim/xy+I -1 2. XTO XV
yrO
解原式=lim勺+ 1T
二 x
0 XVG/
X1V+1+1) —2 •
=lim —— 潔/ XV+1+1
例2 求
lim(xx
+
y2)sin—--x--+
y=kx 3 =
k
1+k2'
其值随k的不同而变化,
故极限不存在.
确定极限不存在的方法:
(1)令 P ( x, y )沿 y = kx 趋向于 R( x 0, y0)， 若 极限值与k有关，则可断言极限不存在；
(2)找两种不同趋近方式，使lim f (x,y)存在,
x T x0 y—yo
但两者不相等，此时也可断言f (x, y)在点 Po( x 0, y 0)处极限不存在・
1 y
y—
O
解
(x 2 + y 2)sin
1 x2 + y2
rJ
1
=x + y - sin x2 + y2
< x2 + y2
1
--
lim( x2 + y2 y)sin—-- =0 y—O
X3 y
例3证明lim X项x
6
+
y2
不存在.
证取y = kx3,
X 3 - kx 3
lim
x -0
x 6 + k2 x 6
二元函数的极限
定义1 设函数z = f (X, y)的定义域为 D, P0(x0,y0)是其
聚点，如果对于任意给定的正 数£，总存在正数 5 ,使得对于适合不等式 0 V| PP0|=J(x - Xo)_+(y - y。)2 < 5 的一切 点，都有I f (x,y) - A |V £成立，则称A为
是其聚点，如果对于任意给定的正数8, 总存
在正数，，使得对于适合不等式 0 <| PPo\<
S的一切点P e D，都有 | f (P) - A |< 8成立，
则称A为n元函数f (P) 当P T Po时的极限，记
为
醜 P
f（
P）
=
A .
说明:
(1) 二元函数的极限也叫二重极限lim f (x,y);
函数 z = f (X, y)当 x T x0，y T y0时的极限， 记为 lim f (x, y) = A
x T x0 y T y。
(或 f (x,y) T A (p T 0)这里Q =| PP0 I).
〃元函数的极限
利用点函数的形式有〃元函数的极限
定义2设n元函数f(P)的定义域为点集 D, Po