中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上3课件PPT教学
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容1. 极限与连续数列极限的定义及性质函数极限的定义及性质无穷小、无穷大的概念极限的运算法则函数在一点处的连续性定义函数在区间上的连续性2. 导数与微分导数的定义及几何意义基本导数公式高阶导数微分的定义及运算法则隐函数、参数方程函数求导3. 微分中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性、凹凸性、极值和最值二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分等基本概念及其性质、运算法则。
2. 能够运用微分中值定理解决实际问题，分析函数的性质。
3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：极限、导数、微分等概念的理解；微分中值定理的应用。
2. 教学重点：极限、导数、微分的基本性质和运算法则；函数的单调性、凹凸性、极值和最值的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过实际案例，如物体的运动轨迹、温度变化等，引出极限、导数、微分等概念。
2. 例题讲解选取具有代表性的例题，详细讲解极限、导数、微分的基本性质和运算法则。
结合图形，解释函数的单调性、凹凸性、极值和最值的概念。
3. 随堂练习布置与例题难度相当的练习题，让学生巩固所学知识。
对学生进行个别辅导，解答疑问。
4. 课堂小结六、板书设计1. 极限、导数、微分的基本概念及性质。
2. 极限、导数、微分的运算法则。
3. 微分中值定理及其应用。
4. 函数的单调性、凹凸性、极值和最值。
七、作业设计1. 作业题目求下列函数的极限、导数、微分。
判断下列函数的单调性、凹凸性，并求极值、最值。
2. 答案详细的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生研究更高级的微积分概念，如泰勒级数、场论等。
鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学内容的布局与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度和广度6. 板书设计的清晰度与逻辑性7. 作业设计的针对性与答案的详细性8. 课后反思与拓展延伸的实际效果详细补充和说明：一、教学内容的布局与组织教学内容应遵循由浅入深、循序渐进的原则。
第一讲(高等数学方法简介)
•反证 – 利用正命题与逆否命题等价，
多用于否命题
•反例– 找反例说明原命题不正确
例1. 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且
f (a) f (b) 0 ,试证至少存在一点 ξ (a, b) 使得 f ( ) 2 f ( )
分析: 转化为证 f ( x) 2 xf ( x) 0 由于 f ( x) 2 x2 2 x ln f ( x) x f ( x) e f ( x)
d x d2 x y 2 ( y ) 2 0 dy dy dx y 2 d x dy y 2 2 dy ( y ) ( y ) 3 代入原微分方程得 y y sin x ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 x x Y C1 e C2 e
f ( x 2(b a)) 2a x o x x f (b ( x b 2a)) x 2(b a) f (b ( x b 2a)) f (2a x) f (a (a x)) f (a (a x) ) f ( x) 因此 f ( x) 是周期为 2(b a ) 的函数 .
可见只要对
( x) e
x2
f ( x)
在 [a, b] 上用 罗尔 中值定理.
例2. 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f ( ) eb e a e f ( x) 0,试证存在 ξ ,η (a, b)使得 f ( ) ba ( P450,考研98 )
1 x2
b lim [ f ( x) x ]
x
lim x [ e
x
1 x2
《高等数学课件PPT》-完整详细版
1
微积分基本定理
微积分基本定理的概念和推导，描述定积分和不定积分之间的关系。
2
带变限积分
带变限积分的计算方法和几何解释，通过例题演示如何求解带变限积分。
极限和连续
深入介绍极限和连续的概念、性质和运算法则，帮助学生理解和掌握这两个重要概念。
极限
数列极限和函数极限的定义和性质，常见的极限计 算方法和极限存在准则。
连续
函数连续的定义和判定条件，连续函数的性质和运 算法则。
函数及其图像
介绍函数的概念和性质，以及如何通过绘制函数图像来更好地理解函数。
函数
函数的定义、定义域、值域和性质，常见函数类型 和函数之间的关系。
图像
绘制函数图像的方法和技巧，通过观察图像认识函 数的特点和变化趋势。
导数和微分
介绍导数和微分的概念、性质和计算方法，以及它们在几何和物理中的应用。
1 导数
导数的定义和性质，导数的计算方法和常见 函数的导数公式。
2 微分
微分的概念和计算方法，微分在几何和物理 中的应用。
《高等数学课件PPT》-完整详 细版
一份完整详细的高等数学课件PPT，深入介绍高等数学的各个知识点，帮助 学生更好地理解和掌握这门重要学科。
课程目标和重要性
通过介绍高等数学课程的学习目标和重要性，帮助学生明确学习目标，激发学习兴趣，并认识到 高等数学在现实生活和学科发展中的广泛应用。
学习目标
深入理解高等数学的各个概念和方法，提高解决数学问题的能力。
不定积分与牛顿-莱布尼茨公式
深入研究不定积分的概念、性质和计算方法，以及牛顿-莱布尼茨公式的推导和应用。
1 不定积分
不定积分的定义和计算方法，常见函数的不 定积分公式。
中国矿业大学《高等数学》课件-第三章
由罗尔定理知至少存在一点
即定理结论成立 .
证毕
A
B
C
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
推论: 若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点
格朗日中值公式 , 得
在 I 上为常数 .
令
则
推论2:
若函数
在区间(a , b)内每一点 x 处都有
则
和
最多相差一个常数,
即
(其中C为常数).
线 ” 问题 ,
在他去世后的1720 年出版了他的关于圆
锥曲线的书 .
则 ”.
他在15岁时就解决了帕斯卡提出
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
三、泰勒公式的应用
应用
目的－用多项式近似表示函数.
理论分析
近似计算
泰勒公式
第三章
特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
然后使用洛必达法则.
8. 洛必达法则最好能与求极限的其他方法结合使用.
思考与练习
1. 设
是未定式极限 , 如果
是否
的极限也不存在 ? 举例说明 .
极限不存在 ,
原式
分析:
说明3)
分析:
3.
原式
洛
则
4. 求
解: 令
原式
洛
洛
求下列极限 :
解:
5.
洛
则
原式 =
解: 令
(用洛必达法则)
(继续用洛必达法则)
类似的例子如,
3) 若
例如,
极限不存在
不能用洛必达法则 !
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
高等数学(完整版)详细(课堂PPT)
因此
Sn
a, 0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
lim
n
Sn
不存在
,
因此级数发散.
综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛 ;
q 1 时, 等比级数发散 .
例2. 判别下列级数的敛散性:
(1)
ln
n1
n
n
1
;
解: (1)
(2) n1n(n11) .
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
的敛散性.
证: 将级数 un 的前 k 项去掉, 所得新级数 uk n
n1
n1
的部分和为
n
n uk l Sk n Sk
l 1
由于n 时, n 与Sk n 极限状况相同, 故新旧两级
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S Sk .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数
将各项依
n1
un u1 u2 u3
n1
un
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项,
级数的前 n 项和
n
Sn uk u1 u2 u3 un
k 1
称为级数的部分和. 若 lim Sn S 存在, 则称无穷级数
n
收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作
S un
1 n (n 1)n
34
二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数 u1 u2 u3 (1)n1un
称为交错级数 .
定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
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定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
高等数学完整全套教学课件
高等数学完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
本章主要内容包括多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
具体教学内容如下：1. 多元函数的求导法则：主要包括偏导数的定义及其求导法则，如四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
2. 隐函数求导：主要讲解如何利用偏导数求解隐函数的导数，包括直接求解和间接求解两种方法。
3. 泰勒公式：介绍泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，重点讲解如何利用泰勒公式展开多元函数。
4. 多元函数的极值问题：包括极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法。
二、教学目标1. 理解并掌握多元函数的求导法则，能够熟练运用各种法则求解多元函数的导数。
2. 学会隐函数求导的方法，能够独立求解复杂的隐函数导数问题。
3. 掌握泰勒公式的应用，能够利用泰勒公式展开多元函数并进行简化。
4. 理解多元函数极值的概念，学会使用极值判定方法和求解方法解决实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数求导、泰勒公式的应用以及多元函数极值的求解。
2. 教学重点：多元函数的求导法则、隐函数求导、泰勒公式以及多元函数的极值问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：笔记本、签字笔、直尺、橡皮。
五、教学过程1. 实践情景引入：以实际问题为例，引入多元函数的求导问题。
2. 讲解多元函数的求导法则：通过示例，讲解四则法则、链式法则、反函数求导法则等。
3. 隐函数求导方法讲解：以具体例子为例，讲解直接求解和间接求解两种方法。
4. 泰勒公式的介绍与应用：讲解泰勒公式的定义及其在多元函数中的应用，通过示例让学生掌握泰勒公式的运用。
5. 多元函数极值问题的讲解：介绍极值的存在性定理、极值的判定方法以及极值的求解方法，并通过实例进行分析。
6. 随堂练习：布置具有代表性的题目，让学生现场解答，检验学习效果。
六、板书设计1. 多元函数的求导法则：四则法则、链式法则、反函数求导法则。
高等数学(高职高专)完整全套教学课件
高等数学(高职高专)完整全套教学课件一、教学内容本节课的教学内容来自于高等数学教材的第五章——多元函数微分学。
具体内容包括：多元函数的极限与连续性，偏导数，全微分，复合函数的偏导数，隐函数的偏导数，以及高阶偏导数。
二、教学目标1. 使学生掌握多元函数的极限与连续性的概念及其判断方法。
2. 使学生理解偏导数的概念，掌握偏导数的计算方法。
3. 使学生掌握全微分的概念及其计算方法，能够求解复合函数的偏导数。
4. 使学生掌握隐函数的偏导数求解方法，能够求解高阶偏导数。
三、教学难点与重点1. 教学难点：隐函数的偏导数求解方法，高阶偏导数的求解。
2. 教学重点：多元函数的极限与连续性，偏导数的计算，全微分的计算，复合函数的偏导数。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
2. 学具：笔记本，笔，高等数学教材。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实际问题，引导学生思考多元函数的极限与连续性的重要性。
2. 知识讲解：讲解多元函数的极限与连续性的概念，并通过例题进行讲解。
3. 偏导数讲解：讲解偏导数的概念，并通过例题进行讲解。
4. 全微分讲解：讲解全微分的概念，并通过例题进行讲解。
5. 复合函数偏导数讲解：讲解复合函数的偏导数求解方法，并通过例题进行讲解。
6. 隐函数偏导数讲解：讲解隐函数的偏导数求解方法，并通过例题进行讲解。
7. 高阶偏导数讲解：讲解高阶偏导数的求解方法，并通过例题进行讲解。
8. 随堂练习：针对所学内容，进行随堂练习，巩固知识点。
六、板书设计板书设计如下：1. 多元函数的极限与连续性定义判断方法2. 偏导数定义计算方法3. 全微分定义计算方法4. 复合函数的偏导数求解方法例题5. 隐函数的偏导数求解方法例题6. 高阶偏导数求解方法例题七、作业设计1. 题目：判断下列函数在某一点的极限与连续性。
函数1：f(x, y) = (x^2 + y^2) / (x^2 + y^2)函数2：g(x, y) = x^2 + y^22. 题目：求下列函数的偏导数。
中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上5精品
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1
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1
19
0
例8
求
lim
n
n2 x2 n ex2 dx
解: 方法1. 由积分中值定理知, 存在 [n , n 2],
使 方法2.
原式
对 n
lim 2
n e 2
x n2,
2 0
x2
0 ex2
n
xd
x
,
0
试证:
(1) n n 0;
(2) 当 n 时, n 0 , n 0.
证: (1) (sin xn sin n x) n xn1 cos xn n sin n1 x cos x
当0≤ x ≤1 时, 0 sin x x
cos x 0, cos x
12
例3 求
( P480(8) ; 考研98 )
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：
n
n sin k 1
n
sin
k
n
n sin k 1
n 1 k1
nn
k 1
n
1 k
k 1
nn
已知
lim
n
sin
k
1
1
sin x d x
2,
lim
n 1
0
sin
100
u
du
sin 100
x
x
7
应用:
(1) 求含有积分号的极限时,用洛必塔法则去掉积分号.
(2) 通过求导将含积分号的积分方程转化为微分方程 .
5. 推广的积分中值定理 (积分第二中值定理)
中国矿业大学徐海学院高等数学――方法上PPT课件
limy 0
x0
xyxf(xx)0f
(x0)
f(x0)f(x0)f(x0)
0, 0, 当 xx0 时
f(x)f(x0)
6
(2) 闭区间上连续函数的性质 (P4 , 5) 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 ; 零点定理
(3) 函数的间断点
第一类间断点 可去间断点: f(x0)f(x0) 跳跃间断点: f(x0)f(x0)
lim (1x)sinx 1 sin 1, x1 x(x1)(x1) 2
x = –1 为第一类 可去间断点
limf(x), x = 1 为第二类无穷间断点
x1
limf
x0
(x)1,xl im0
f
(x)
1, x = 0 为第一类 跳跃间断点
13
ln x
例7.设函数 f (x) x 1 sin x 则 f ( x ) 有（ A ）；
一. 方法指导
1. 求极限的基本方法 (P16-P19)
(1) 已知极限值利用极限定义验证
(用“ - N ” 或 “ - ”语言)
(2) 未知极限值
先判别极限存在后再求极限
根据法则演算, 判定与计算同 时进行.
则
x1
1
u
代入上式得
, f(u 1 )f( 1 )2(u 1) 即
u
1 u
u
f(1 1 x
)f(x x 1
)2 (
x 1) x
②
将① , ② 两式与原方程联立,解得 f(x)x1x 1 1 8x 1
例2. 设 f(x)(x)(ax1112)其中 a0,a1,(x) 满足 (x y )(x )(y ),判断 f ( x) 的奇偶性.
高等数学数学PPT课件精选全文完整版
归转化思想。
做
学生进行练习训练，个人独立思考与分组讨论相结合。
训
学生上黑板演示解题过程，其他学生点评，教师分析总结。
01
课程尚处于建设阶段，教学资源有待于进 一步完善，现有教学资源还没有得到充分 利用。
进一步开拓更多的学习资源，团队教师增 进针对教学方法和教学资源建设与利用方 面的交流。
பைடு நூலகம்
02
教学内容和教学设计在不断变化的社会需 求、学生思想，以及不断产生的新技术面 前有些滞后。
教学问题
转变传统的教学理念和改变旧的教学模式 探索、建立了新的教学模式和教学方法。
教学对象
教学对象为一年级学生，对大学学习环境、学习 方式需要有一定的适应期 。 教师向学生介绍大学学习的特点与方法，帮助学 生尽快度过适应期。
教学特色
通过不同形式的自主学习 、探究活动，让 学生体验
数学发现和创造的历程，发展他们的创 新意识 。
课程内容及授课学时数（1学期，共64课时）
序号 1 2 3 4 5 6
课程内容 第一章 函数的极限与连续 第二章 导数与微分 第三章 导数应用 第四章 不定积分 第五章 定积分 第六章 空间解析几何
授课学时 12 12 6 16 16 2
导向
依据
度
专业
满足 专业培养目
标
必需 够用
理论知识以“必需、够用”为原则,教学内 容体现“专业性”
教学内容的针对性
专业理论知识需求
后续课程学习要求
教学内容的适用性
高等数学基本要求 教学内容的针对性
淡化严格论证 强化数学应用 注重数学软件
符合课程目标
教学内容选择 辅助多媒体教学 自主学习能力
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1
x3
x 1
lnim n 1 x 3n 20 1
x 1
f
(
x)
1 x
3
x 1 x 1
f (x) 在 (, 1)(1,1)(1, )
显然可导，
12
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例4 设函数 f (x) lim n 1 x 3n ，则 f (x) 在 n
(, ) 内（ ）C；
(2005 考研）
A、处处可导；
分段函数分段求导 ,
界点处按左、右导数定义讨论 .
若 f (x) 在界点
处左 (右连) 续, 左 近旁(可右导) ,
( f(x0 ) ) 存在 ,
这是因为
f ( x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
( 参考P86 例15 )
(x x0 )
2
第2页/共52页
二. 实例分析
13
第13页/共52页
例5 设函数 f (x) 连续， 求极限
解 令 xt u
x
(x t) f (t)dt
lim
x0
0
x
x
.
f (x t)dt
0
x
x
0 f (x t)dt 0 f (u)du
(2005 考研）
原式
x
x
x f (t)dt tf (t)dt
lim 0
0
x0
x
x f (u)du
f 3(x) , f (x) 0
解:
(
x)
f (x) 0,
f (x) 0
x9 x5
,
x
0
x 0
4
,
,
x0 x0
0 , x 0 x4 , x 0
10
第10页/共52页
(
x)
x4 0,
,
x4 ,
x0 x0 x0
4x3 , x 0
(x)
4x3 , x 0
4 x 3 C(, )
求 f (3).
解: (1)
f
(1)
lim
x1
f
(x) x
f 1
(1)
lim (x2000 x1999 1)(x) 2001
x1 3 第3页/共52页
(2) f (0) lim f (x) f (0) lim arcsin x
x0
x
x0 x
1
(3) f (3) lim f (3 h) f (3)
思即考:fa(aaxf)(2bx2,)b221x,,是12否1(为fxx,a连(ffx续()x1函(11)b数)?1ax2)122axx(,2xa,1b,,bb,1),
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1
9
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例3. 设
x3 , x 0
f (x) x
求复合函数
0, x0
(x) f [ f (x)]的导数 , 并讨论 (x) 的连续性 .
解:
f
(x)
axb ,
1 2
(a
b
1)
x2 ,
,
x 1 时 f (x) a
f (x).
( P53 例3 )
x 1
x 1
x 1
x 1 时 f (x) 2x
8
第8页/共52页
利用 f (x) 在 x 1 处可导 , 必有
f (1 ) f (1 ) f (1) f (1) f (1)
例1. 求下列函数在指定点处的导数 :
(1) f (x) (x2001 1)(x), lim (x) 1, 求 f (1).
x1
(2) f (x) arcsin x 1 sin x , 求 f (0). 1 sin x
(3) 设 f (0) 1 , 且对任意 x 有 3
f (3 x) 3 f (x),
B、恰有一个不可导点；
C、恰有两个不可导点；
D、至少有三个不可导点。
解
f
(
x)
1 x
3
x 1
在分段点
x 1
x 1 处， f(1) 0,
f(1)
lim
x1
x3 1 x 1
3
，所以
x 1 为不可导点；
Байду номын сангаас
在分段点
x
1处，
f(1)
lim
x1
(x3 1) x 1
3,
f(1) 0
所以 x 1 为不可导点；则共有2个不可导点。
其中n为正整数， A、 C、
解 因为
（ ）； B、 D、
2012考研
5
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2、设
是由方程
的隐函数，则
；
解将
代入方程得
方程两边对x求导得
则
再求导得
所确定
2012考研
，即
6
第6页/共52页
3、设函数
； 解
2012考研
由
的表达式可知
第7页/共52页
，则
7
例2. 设
试确定常数 a , b 使 f ( x ) 处处可导, 并求
lim x0
0
x
f (t)dt
0 x
f (u)du xf (x)
0
由积分中值定理
x
x
0 f (t)dt 0 f (u)du xf ( )
(0, x) 或 (x, 0)
原式 lim xf ( ) lim f ( ) f (0) 1 x0 xf ( ) xf (x) x0 f ( ) f (x) f (0) f (0) 2
14
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例6. 设 x , y (0, ),有 f (x y) f (x) f ( y),
f (1) a ( 0), 求 f (x) . 解: 在 f (x y) f (x) f ( y) 中, 令 y 1, 得
f (x) f (x) f (1)
f (1) 0
11
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例4 设函数 f (x) lim n 1 x 3n ，则 f (x) 在 n
(, ) 内（ ）；
(2005 考研）
A、处处可导；
B、恰有一个不可导点；
C、恰有两个不可导点；
D、至少有三个不可导点。
解
lnim n 1
x 3n
1
x 1
f (x) lim x 3 n n
1 x 3n
h0
h
1 sin x 1 sin x
lim 3 f (h) 3 f (0) 3 f (0) 1
h0
h
(3)
设 (2)
f (0) f (x)
a13r,cs且in对x 任1意
sxin有x
f ,
(3 求
x) 3 f f (0).
(x)
,
求
f (3).
1 sin x
4
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(4) 设
f (x) lim f (x xy) f (x) lim f (x(1y)) f (x)
y0
xy
y0
xy
lim f (x) f (1 y) f (x) 1 lim f (1 y)
4、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
1
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5. 高阶导数的求法 ( P49 中4 )
(1) 递推归纳求出 (3) 转化间接求出 6. 初等函数在定义区间内可导 ;
(2) 利用莱布尼兹公式 (4) 参数方程求高阶导数