中国矿业大学徐海学院高等数学——方法上3课件PPT教学

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例6. 设 x , y (0, ),有 f (x y) f (x) f ( y),
f (1) a ( 0), 求 f (x) . 解: 在 f (x y) f (x) f ( y) 中, 令 y 1, 得
f (x) f (x) f (1)
f (1) 0
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例5 设函数 f (x) 连续， 求极限
解 令 xt u
x
(x t) f (t)dt
lim
x0
0
x
x
.
f (x t)dt
0
x
x
0 f (x t)dt 0 f (u)du
(2005 考研）
原式
x
x
x f (t)dt tf (t)dt
lim 0
0
x0
x
x f (u)du
f 3(x) , f (x) 0
解:
(
x)
f (x) 0,
f (x) 0
x9 x5
,
x
0
x 0
4
,
,
x0 x0
0 , x 0 x4 , x 0
wenku.baidu.com10
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(
x)
x4 0,
,
x4 ,
x0 x0 x0
4x3 , x 0
(x)
4x3 , x 0
4 x 3 C(, )
思即考:fa(aaxf)(2bx2,)b221x,,是12否1(为fxx,a连(ffx续()x1函(11)b数)?1ax2)122axx(,2xa,1b,,bb,1),
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1
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例3. 设
x3 , x 0
f (x) x
求复合函数
0, x0
(x) f [ f (x)]的导数 , 并讨论 (x) 的连续性 .
求 f (3).
解: (1)
f
(1)
lim
x1
f
(x) x
f 1
(1)
lim (x2000 x1999 1)(x) 2001
x1 3 第3页/共52页
(2) f (0) lim f (x) f (0) lim arcsin x
x0
x
x0 x
1
(3) f (3) lim f (3 h) f (3)
B、恰有一个不可导点；
C、恰有两个不可导点；
D、至少有三个不可导点。
解
f
(
x)
1 x
3
x 1
在分段点
x 1
x 1 处， f(1) 0,
f(1)
lim
x1
x3 1 x 1
3
，所以
x 1 为不可导点；
在分段点
x
1处，
f(1)
lim
x1
(x3 1) x 1
3,
f(1) 0
所以 x 1 为不可导点；则共有2个不可导点。
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例4 设函数 f (x) lim n 1 x 3n ，则 f (x) 在 n
(, ) 内（ ）；
(2005 考研）
A、处处可导；
B、恰有一个不可导点；
C、恰有两个不可导点；
D、至少有三个不可导点。
解
lnim n 1
x 3n
1
x 1
f (x) lim x 3 n n
1 x 3n
lim x0
0
x
f (t)dt
0 x
f (u)du xf (x)
0
由积分中值定理
x
x
0 f (t)dt 0 f (u)du xf ( )
(0, x) 或 (x, 0)
原式 lim xf ( ) lim f ( ) f (0) 1 x0 xf ( ) xf (x) x0 f ( ) f (x) f (0) f (0) 2
分段函数分段求导 ,
界点处按左、右导数定义讨论 .
若 f (x) 在界点
处左 (右连) 续, 左 近旁(可右导) ,
( f(x0 ) ) 存在 ,
这是因为
f ( x0
)
lim
xx0
f (x) f (x0 ) x x0
( 参考P86 例15 )
(x x0 )
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二. 实例分析
例1. 求下列函数在指定点处的导数 :
(1) f (x) (x2001 1)(x), lim (x) 1, 求 f (1).
x1
(2) f (x) arcsin x 1 sin x , 求 f (0). 1 sin x
(3) 设 f (0) 1 , 且对任意 x 有 3
f (3 x) 3 f (x),
h0
h
1 sin x 1 sin x
lim 3 f (h) 3 f (0) 3 f (0) 1
h0
h
(3)
设 (2)
f (0) f (x)
a13r,cs且in对x 任1意
sxin有x
f ,
(3 求
x) 3 f f (0).
(x)
,
求
f (3).
1 sin x
4
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(4) 设
其中n为正整数， A、 C、
解 因为
（ ）； B、 D、
2012考研
5
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2、设
是由方程
的隐函数，则
；
解将
代入方程得
方程两边对x求导得
则
再求导得
所确定
2012考研
，即
6
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3、设函数
； 解
2012考研
由
的表达式可知
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，则
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例2. 设
试确定常数 a , b 使 f ( x ) 处处可导, 并求
4、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
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5. 高阶导数的求法 ( P49 中4 )
(1) 递推归纳求出 (3) 转化间接求出 6. 初等函数在定义区间内可导 ;
(2) 利用莱布尼兹公式 (4) 参数方程求高阶导数
f (x) lim f (x xy) f (x) lim f (x(1y)) f (x)
y0
xy
y0
xy
lim f (x) f (1 y) f (x) 1 lim f (1 y)
解:
f
(x)
axb ,
1 2
(a
b
1)
x2 ,
,
x 1 时 f (x) a
f (x).
( P53 例3 )
x 1
x 1
x 1
x 1 时 f (x) 2x
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利用 f (x) 在 x 1 处可导 , 必有
f (1 ) f (1 ) f (1) f (1) f (1)
1
x3
x 1
lnim n 1 x 3n 20 1
x 1
f
(
x)
1 x
3
x 1 x 1
f (x) 在 (, 1)(1,1)(1, )
显然可导，
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例4 设函数 f (x) lim n 1 x 3n ，则 f (x) 在 n
(, ) 内（ ）C；
(2005 考研）
A、处处可导；