相交线和平行线典型例题及拔高训练(附答案)

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相交线和平行线 典型例题及强化训练

课标要求

①了解对顶角，知道对项角相等。

②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。

③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。 ④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质

⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。

⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。

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典型例题

1.判定与性质 例1 判断题：

1)不相交的两条直线叫做平行线。 ( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 ( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。 ( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。 ( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。

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(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。 (3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。

(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。 例2 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。

分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和。如图5，过E 点引

一条直线EF ∥AB ，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证

EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到。

证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。

∵AB ∥CD （已知），

%

又∵EF ∥AB （已作），

∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。 又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠BED=∠B+∠D （等量代换）。

变式1已知：如图6，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。

分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。我们通常所说的∠BED 都是指小于平角的角，如果把∠BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。

证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

…

∵AB ∥CD （已知），

又∵EF ∥AB （已作），

∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。 ∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

A

B

E

D

F

∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。

又∵∠BED=∠1+∠2，

∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。

∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。

【

变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。

分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1

与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。

证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。

∵∠BED=∠FED-∠FEB，

"

∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。

变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。

分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。

证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

∵AB∥CD（已知），

又∵EF∥AB（已作），

∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。

。

∴∠1+∠2+∠D=180°。

∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。

∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。

即∠BED=∠B-∠D。

例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求证：∠BFE=∠FEC。

证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。

过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。

∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），

—

∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

又∵EH∥CD （已知），

∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。

∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）

即∠BFE=∠FEC。

证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。

∵AB∥CD（已知），

&

∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。

又∵∠ABF=∠DCE（已知），

∴∠1=∠DCE（等量代换）。

∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）。

如果延长CE 、AB 相交于H 点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。 证法三：（如图12）连结BC 。 ∵AB ∥CD （已知），

/

∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）。 又∵∠ABF=∠DCE （已知），

∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE （等式的性质）。 即∠FBC=∠BCE 。

∴BF ∥EC （内错角相等，两直线平行）。

∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）。

强化训练

、

一.填空

1.完成下列推理过程 ①∵∠3= ∠4（已知）， __∥___（ ）

②∵∠5= ∠DAB （已知），

∴____∥______（ ）

③∵∠CDA + =180°（ 已知 ）， ∴AD ∥BC （ ）

（

2. 如图,已知DE ∥BC,BD 是∠ABC 的平分线，∠EDC ＝109°， ∠ABC ＝50°则∠A 度，∠BDC ＝ 度。

3. 如图，AB ∥CD,BE,CE 分别平分∠ABC ，∠BCD, 则∠AEB ＋∠CED= 。

4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。

5、已知：如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ， 且∠AOC=68°，则∠BOE= 二.选择题

>

1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）

A 南偏西50度方向；

B 南偏西40度方向 ；

C 北偏东50度方向 ；

D 北偏东40度方向

2.如图,AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个 A 6个 B .5个 C .4个 个

3、同一平面内的四条直线若满足a ⊥b,b ⊥c,c ⊥d,则下列式子成立的是（ ）

A 、 a ∥d

B 、b ⊥d

C 、a ⊥d

D 、b ∥c

4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )

~

A

B

C

D

E

F

G

H

1

A

B

E

D

C

5

43

C

D A