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【附20套高考模拟试题】2020届【全国百强校】浙江省杭州学军中学高考数学模拟试卷含答案

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2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题

2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题

2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题考生注意：1.全卷满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()() 1 0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高柱体的体积公式： VSh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算,【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 双曲线22149x y -=的实轴长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22149x y -=的实轴长【详解】由双曲线标准方程22221x y a b-=中，实轴长为2a 可知：在双曲线22149x y -=中，实轴长为4故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.3. 已知圆()22:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2πθ=．∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．4. 若复数312a ii++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. -6B. 6C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia ii i i+-++-+==++-为纯虚数，∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5. 已知函数1()ln1f xx x=--，则()y f x=的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D，从而选B.【详解】因为1111ln1f eee e⎛⎫==>⎪⎝⎭--，所以选项A错；因为11()0ln12f ee e e==>---，所以选项C错；因为()222211()ln 13f ef e ee e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D 【解析】 【分析】逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A.B.52+ C.174D.94【答案】B 【解析】 【分析】先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ=, ∴3πθ=，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,解得：5544x -+≤≤.∴c b ⋅的最大值为52. 故选：B【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，则()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭.()()2222101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫-++>-- ⎪+⎝⎭，解关于t 的不等式()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫≥-++ ⎪+⎝⎭，所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦.由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数单调性可知，函数21010y x x=+在区间[1010,+∞)上单调递增，所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭单调递减，该数列的最大项为2101010111011--，2101010111011t ≥--. 对于A 选项，2202020202020S t =+，2202120212021S t =+，则()()()()22222021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104041404110113030010111011t +≥--=->，2222240411010404120202021202020214041101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220212020202120202021202040414041202020210S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2202220222022S t =+，则()()()()22222022202120222021202220214043404320212022S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104043404310113032010111011t +≥--=->，2222240431010404320212022202120224043101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220222021202220212022202140434043202120220S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦. 11a t =+满足21n a n t =+-，()21n a n t n N *∴=+-∈.对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，()()()2222101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011t --<<-时，()2210111010420200a a t -=+<，所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，()()()2222210121011101020232021420224202210111011aat t t ⎛⎫-=+-+=+≥-- ⎪⎝⎭()222410111010101041011010111011-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，()1P X ==________.【答案】 (1). 13 (2). 2562187【解析】 【分析】首先根据已知条件得到()312np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到13p =，再计算()1P X =即可.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()819122561332187⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭P X C .故答案为：1 3，2562187【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.12. 已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________；1yx+的取值范围是________.【答案】(1). 2(2).1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示,由目标函数2z x y=+得到122zy x=-+，z的几何意义表示直线122zy x=-+的y轴截距的2倍.所以当直线122zy x=-+过()2,0A时，z取得最小值，min2z=.令()111--+==-yyzx x，1z的几何意义表示：可行域内的点(),x y与()0,1B-构成的斜率.由图知：()1min 12==BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭z . 故答案为：(1)2；(2)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7=f x x 表示为()()()()201277111f x a a x a x a x =+-+-++-，其中0a ，1a ，2a ，，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】首先将()f x 转化为()()711=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.【详解】因为()()()()()7207717211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，所以33735==a C .令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .故答案为：35；64【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (1). 3π(2). 32x <<【解析】 【分析】由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1sin()62A π-=，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3sin B =，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3sin (,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即13sin cos 1sin()62A A A π=+⇒-=，又(0,)A π∈, ∴3A π=,由2b =，a x =sin sin 3x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：23333cos sin sin()3x C C C π===++，即3sin B =, 2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，知：3sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案：(1)3π；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范围.15. 已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2.故答案为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：153C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】取BC 中点E ,90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 112AF DF OE AD ∴==== 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径29294R ==设AB x =，AC y =由222229142x y R OC CE OE +==+=+=得2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当522x y ==时取等号） 又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当522x y ==时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25524【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到()g x 的图象，若()12g x ≥-，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1sin 42≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝.112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令23x k ππ+=，解得62πk πx =-+()k Z ∈.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 因为()12g x ≥-，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219. 【解析】 【分析】（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，所以111AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，11AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，则()()()110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，(()10,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-，因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩， 解得：3324a b ==（P 异于点1,C C ） ,13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33033330x z y z ⎧++=⎪⎪= ，可取 ()53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，则433219sin 15954n OP n OPθ⋅+===⋅ ,直线OP 与平面1A QP. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221nn n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n na a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n nn a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以2112n n n na a a a ++++=+，所以数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n nn na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221nn n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数，则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111nn a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-；综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.21. 椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212221612,1414k x x x x k k +=-=++得217114OC OD k ⋅=-++再由>0∆，可得243k >，13[1,)4OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：先分别表示直线AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，解得121221233kx x x x y x x ++=-，再将1212221612,1414k x x x x k k +=-=++代入化简得12y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x=-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由>0∆，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-．②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=+，直线BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =，故点Q 的纵坐标为定值12.考点：直线与椭圆位置关系.22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；（2）若存在实数214c e e<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）210a e<<.【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得121212ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()1ln 1f x x x'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，故()()120f x f x ''+=，即121212ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设2211x x '=>. 由基本不等式知：()()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝⎭.因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.因为12x x ≠，由基本不等式得：122x x +>>.（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1af x x x'=++. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知011x e≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：()f x 的极小值()()2000ln f x x x =-.令()()2ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当21,1x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '>. 因此()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x af x x-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21a e ≥，则()0f x '≥（当且仅当21a x e==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若210a e<<，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2111ln 0f x x x =-≤，故()f x c =上有且仅有一个实数根.由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()2241,f x ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()21,c f x f x -∈， 使得214c e e<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：210a e <<满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。

浙江省杭州市学军中学2020年高考数学5月模拟试题(含解析)

浙江省杭州市学军中学2020年高考数学5月模拟试题(含解析)

2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥36．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．3307．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为38．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= ．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= ．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有种不同的考试安排方法．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．22．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．设复数z满足=i，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．3．已知q是等比数{a n}的公比，则q＜1”是“数列{a n}是递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】题目给出的数列是等比数列，通过举反例说明公比小于1时数列还可能是递增数列，反之，递减的等比数列公比还可能大于1，从而得到“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．【解答】解：数列﹣8，﹣4，﹣2，…，该数列是公比q=的等比数列，但该数列是递增数列，所以，由等比数{a n}的公比q＜1，不能得出数列{a n}是递减数列；而数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…是递减数列，但其公比q=，所以，由数列{a n}是递减数列，不能得出其公比q＜1．所以，“q＜1”是“等比数列{a n}是递减数列”的既不充分也不必要的条件．故选D．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．若存在实数x，y使不等式组与不等式x﹣2y+m≤0都成立，则实数m的取值范围是（）A．m≥0 B．m≤3 C．m≥l D．m≥3【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x ﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=y=3时，z取得最小值为﹣3；当x=4且y=2时，z取得最大值为0，由此可得z的取值范围为[﹣3，0]，再由存在实数m使不等式x﹣2y+m≤0成立，即可算出实数m的取值范围．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值=F（4，2）=0当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值=F（3，3）=﹣3因此，z=x﹣2y的取值范围为[﹣3，0]，∵存在实数m，使不等式x﹣2y+m≤0成立，即存在实数m，使x﹣2y≤﹣m成立∴﹣m大于或等于z=x﹣2y的最小值，即﹣3≤﹣m，解之得m≤3故选：B6．展开式中所有奇数项系数之和为1024，则展开式中各项系数的最大值是（）A．790 B．680 C．462 D．330【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．可得展开式中各项系数的最大值是或．【解答】解：由题意可得：2n﹣1=1024，解得n=11．则展开式中各项系数的最大值是或，则==462．故选：C．7．已知正实数a，b满足a2﹣b+4≤0，则u=（）A．有最大值为B．有最小值为C．没有最小值D．有最大值为3【考点】7F：基本不等式．【分析】a2﹣b+4≤0，可得b≥a2+4，a，b＞0．可得﹣≥﹣，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a2﹣b+4≤0，∴b≥a2+4，a，b＞0．∴a+b≥a2+a+4，∴≤，∴﹣≥﹣，∴u==3﹣≥3﹣=3﹣≥3﹣=，当且仅当a=2，b=8时取等号．故选：B．8．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1， =，则||2的最大值是（）A．B．C． D．【考点】93：向量的模．【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，可得M，代入||2=+3sin，即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C．A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为： =1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．也可以以点A为坐标原点建立坐标系．故选：B．9．如图，正方形ABCD与正方形BCEF所成角的二面角的平面角的大小是，PQ是正方形BDEF所在平面内的一条动直线，则直线BD与PQ所成角的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD与PQ所成角的取值范围．【解答】解：以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，则B（0，0，0），D（1，1，0），C（1，0，0），E（1，），F（0，，），当D点在正方形BCEF的投影刚好落在CE上，记为G点，其坐标为G（1，，），此时BG与BD所成角刚好30度，即直线BD与PQ所成角的最小值为，取P（，0，0），Q（0，）时，直线BD于PQ所成角取最大值，∵=（1，1，0），=（﹣，，），∴cos＜＞==0，∴直线BD于PQ所成角最大值为．∴直线BD与PQ所成角的取值范围是[，]．故选：B．10．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）满足，且，其中e为自然对数的底数，则不等式的解集是（）A． B．（0，e）C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；63：导数的运算；67：定积分．【分析】根据题意，令g（x）=xf（x），分析可得g′（x）=[xf（x）]′=，对g（x）求积分可得g（x）的解析式，进而可得f（x）的解析式，再令h（x）=f（x）﹣x，对其求导可得h′（x）=f′（x）﹣1＜0，分析可得函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，将不等式变形可得f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，结合函数的单调性分析可得答案．【解答】解：根据题意，令g（x）=xf（x），则有g′（x）=[xf（x）]′=，则g（x）=（lnx）2+C，即xf（x）=（lnx）2+C，则有f（x）=（lnx）2+，又由，即f（e）=+=，解可得C=，故f（x）=（lnx）2+，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=＜0，故函数h（x）=f（x）﹣x在（0，+∞）上递减，不等式，即f（x）﹣x＞﹣e=f（e）﹣e，则有0＜x＜e，即不等式的解集为（0，e）；故选：B．二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）= 3 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．12．商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．则顾客抽奖1次能获奖的概率是；若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，则EX= ．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式计算不获奖的概率得出获奖的概率，根据二项分布的性质得出数学期望．【解答】解：抽奖1次，不中奖的概率为=，∴抽奖1次能获奖的概率为1﹣=；抽奖1次获一等奖的概率为=，∴随机变量X服从二项分布，即X～B（3，），∴EX=3×=．故答案为：，．13．在△ABC中，D是AC边的中点，A=，cos∠BDC=﹣，△ABC的面积为3，则sin ∠ABD= ，BC= 6 ．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，BH= k，在Rt△ABH中，由∠A=，得AH=k，从而AD=3k，AC=6k，由S△ABC==3=3，求出BC=6，再由，能求出sin∠ABD．【解答】解：过B作BH⊥AC于H，则cos∠BDH==，设DH=2k（k＞0），则BD=k，∴BH==k，在Rt△ABH中，∠A=，∴AH==k，∴AD=3k，AC=6k，又S△ABC=×AC×BH==3=3，解得k=1，∴BC=6，在△ABD中，，∴解得sin∠ABD=．故答案为：，6．14．已知抛物线y=x2和直线l：y=kx+m（m＞0）交于两点A、B，当时，直线l过定点（0，2）；当m= 时，以AB为直径的圆与直线相切．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】将直线代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线l的方程求得直线l过点（0，2）；利用中点坐标公式求得圆M的圆心，求得切点坐标，根据向量的数量积的坐标运算，即可求得m的值．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：x2﹣kx﹣m=0，则x1+x2=k，x1x2=﹣m，y1y2=（x1x2）2=m2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=k2+2m，由，则x1x2+y1y2=m2﹣m=2，即m2﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1或m=2，由m＞0，则m=2，直线l：y=kx+2，∴直线l过点（0，2），设以AB为直径的圆的圆心M（x，y），圆M与相切于P，由x==，则P（，﹣），由题意可知：•=0，即（x1﹣，y1+）•（x2﹣，y2+）=0，整理得：x1x2﹣（x1+x2）++y1y2+（y1+y2）+=0，代入整理得：m2﹣+=0，解得：m=，∴当m=，以AB为直径的圆与直线相切．故答案为：（0，2），．15．根据浙江省新高考方案，每位考生除语、数、外3门必考科目外，有3门选考科目，并且每门选考科目都有2次考试机会，每年有两次考试时间，某考生为了取得最好成绩，将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，则该考生共有114 种不同的考试安排方法．【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】依题意，分两大类：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，分别分析、计算即可求得答案．【解答】解：将3门选考科目共6次考试机会安排在高二与高三的4次考试中，且每次至多考2门，有两种情况：①四次考试中选三次（有种方法），每次考两科，第一次有种方法，第二次必须考剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，第三次只能是种方法，根据分布乘法计数原理，共有：••（•）•=24种方法；②四次考试都选，有两次考两科，另外两次各考一科，共=6种方法；分别为方案2211，2121，2112，1221，1212，1122．若为2211，第一次有种方法，第二次有两种情况，1°选考过的两科，有种方法，则第三次只考剩下的第三科有1种方法；第四次只有1种方法，故共有••1•1=3种方法；2°剩下的一科与考过的两科中的一科，有•种方法，则第三次与第四次共有种方法，故共有•••=12种方法；综上所述，2211方案共有15种方法；若方案为2121，共有（••+••）=15种方法；若方案为2112，共有（••+••）=15种方法；同理可得，另外3种情况，每种各有15种方法，所以，四次考试都选，共有15×6=90种方法．综合①②得：共有24+90=114种方法．故答案为：114．16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA1的中点，以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A1B1C1D1、面DD1C1C、面BB1C1C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，这个三棱柱的高h=RM==．底面正三角形PQR的边长为，面积为=．∴这个直三棱柱的体积是．故答案为：．17．函数y=ax2﹣2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于，则实数a的取值集合是{a|a＜﹣或a=0或a} ．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】对a进行分类讨论，得出y=ax2﹣2x与y=x±2的位置关系，根据交点个数判断a 的范围．【解答】解：（1）若a=0，则y=2x与y=x为相交直线，显然y=2x上存在两点到y=x的距离等于，符合题意；（2）若a＞0，则y=ax2﹣2x与直线y=x相交，∴y=ax2﹣2x在直线y=x上方的图象必有2点到直线y=x的距离等于，又直线y=x与y=x﹣2的距离为，∴抛物线y=ax2﹣2x与直线y=x﹣2不相交，联立方程组，消元得ax2﹣3x+2=0，∴△=9﹣8a＜0，解得a．（3）若a＜0，同理可得a＜﹣．故答案为：{a|a＜﹣或a=0或a}．三．解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．设函数f（x）=sin2ωx﹣cos2ωx+2sinωxcosωx+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若y=f（x）的图象经过点（，0），求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；（Ⅱ）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ，∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z．∴ω=+，又ω∈（，1），令k=1时，ω=符合要求，∴函数f（x）的最小正周期为=；（Ⅱ）∵f（）=0，∴2sin（2××﹣）+λ=0，∴λ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）﹣，∴f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]．19．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH，又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．20．已知函数f（x）=+x（a，b∈R）．（Ⅰ）当a=2，b=3时，求函数f（x）极值；（Ⅱ）设b=a+1，当0≤a≤1时，对任意x∈[0，2]，都有m≥|f'（x）|恒成立，求m的最小值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）对a进行分类讨论：当a=0时，f（x）=﹣x+1，m≥1；再对对称轴进行讨论，当＜2时，即a＞；当≥2时，即a≤，分别去求|f（x）|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）a=2，b=3时，f（x）=x3﹣x2+x，f′（x）=2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，故f（x）极大值=f（）=，f（x）极小值=f（1）=，（Ⅱ）当b=a+1，f（x）=ax3﹣（a+1）x2+x，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，f′（x）恒过点（0，1）；当a=0时，f′（x）=﹣x+1，m≥|f′（x）|恒成立，∴m≥1；0＜a≤1，开口向上，对称轴≥1，f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1=a（x﹣）2+1﹣，①当a=1时f′（x）=x2﹣2x+1，|f′（x）|在x∈[0，2]的值域为[0，1]；要m≥|f′（x）|，则m≥1；②当0＜a＜1时，根据对称轴分类：当x=＜2，即＜a＜1，△=（a﹣1）2＞0，f′（）=﹣（a+）∈（﹣，0），又f′（2）=2a﹣1＜1，所以|f′（x）|≤1；当x=≥2，即0＜a≤；f′（x）在x∈[0，2]的最小值为f′（2）=2a﹣1；﹣1＜2a﹣1≤﹣，所以|f′（x）|≤1，综上所述，要对任意x∈[0，2]都有m≥|f′（x）|恒成立，有m≥1，∴m≥1．21．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PO丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PO直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1522．已知函数f n（x）=x n（1﹣x）2在（，1）上的最大值为a n（n=1，2，3，…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a n≤成立；（3）设数列{a n}的前n项和为S n，求证：对任意正整数n，都有S n＜成立．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）由已知得=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），由此利用导数性质能求出数列{a n}的通项公式．（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，由此能证明当n≥2时，都有成立．（3）S n＜＜，由此能证明任意正整数n，都有成立．【解答】解：（1）∵f n（x）=x n（1﹣x）2，∴=x n﹣1（1﹣x）[n（1﹣x）﹣2x]=（n+2）x n﹣1（x﹣1）（x﹣），…当x∈（，1）时，由，知：x=，…∵n≥1，∴，…∵x∈（，）时，；x∈（）时，（x）＜0；∴f（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减∴在x=处取得最大值，即=．…（2）当n≥2时，欲证≤，只需证明（1+）n≥4，…∵（1+）n=≥1+2+≥1+2+1=4，…∴当n≥2时，都有成立．…（3）S n=a1+a2+…+a n＜＜=＜．∴对任意正整数n，都有成立．…。

2024届浙江省杭州市学军中学高三模拟考试数学试题

2024届浙江省杭州市学军中学高三模拟考试数学试题

2024届浙江省杭州市学军中学高三模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.82．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．124．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞5．已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n”是“m ⊥l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题 7．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．在ABC 中，D 为BC 边上的中点，且||1,|2,120AB AC BAC ==∠=︒，则||=AD （ ）A ．32B ．12C ．34D ．7410．已知函数2,0()2,0x xx f x e x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩若函数1()()()2g x f x k x =-+在R 上零点最多，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2(0,)3eB ．2(,0)3e-C ．1(,0)2e-D ．1(0,)2e11．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．312．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a <D ．b a >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020年浙江省杭州高中高考数学模拟试卷(3月份)

2020年浙江省杭州高中高考数学模拟试卷(3月份)
已知 ＝ ，则 ＝________； ＝________．
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，且 ＝ ，则 ＝________； 的面积为________．
从 ， ， ， ， ， 这 个数中随机抽取 个数构成一个五位数 ，则满足条件“ ”的五位数的个数有________．
设 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上一点，且满足 的面积为 ，则 的取值范围是________．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. B. C. D.
7. “ ”是“ ”成立的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件
8.如图，圆 是半径为 的圆， ，设 ， 为圆上的任意 个点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
9.如图，在三棱锥 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，设二面角 的平面角为 ，则（）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
离散来随机兴苯的期钱与方差
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
必要条水表综分条近与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
此题暂无解答
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
【答案】

(精选3份合集)2020届浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷

(精选3份合集)2020届浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷
A．氢化物的稳定性顺序为：X＞Z＞Y
B．元素Y在自然界中只以化合态形式存在
C．元素W、Y位于周期表中金属与非金属分界线附近
D．元素Z的含氧酸具有强氧化性
【答案】D
【解析】
【分析】
W、X、Y和Z为原子序数依次增大的四种短周期元素。常温常压下，Y的单质和氧化物均能与X的氢化物的水溶液反应生成一种相同的气体，该气体分子与CH4具有相同的空间结构，X的单质与氢气混合后在冷暗处会发生爆炸，X是F，X的氢化物为HF，Y为Si，Y的氢化物为SiF4；Z原子最外层的电子数是W原子的最外层电子数的2倍，Z的最外层电子数一定为偶数，且大于Si元素，则Z为S元素；W最外层电子数为3，其原子序数小于F，则W为B元素，据此解答。
A．AB．BC．CD．D
【答案】B
【解析】
【详解】
A选项，锌锰电池，锌为负极，二氧化锰为正极，故A错误；
B选项，氢燃料电池，氢气为负极，氧气为正极，故B正确；
C选项，铅蓄电池，铅为负极，二氧化铅为正极，故C错误；
D选项，镍镉电池，镉为负极，氢氧化氧镍为正极，故D错误；
综上所述，答案为B。
4．在25℃时,将1.0Lc mol·L-1CH3COOH溶液与0.1mol NaOH固体混合,使之充分反应。然后向该混合溶液中通入HCl气体或加入NaOH固体(忽略体积和温度变化),溶液pH随通入(或加入)物质的物质的量的变化如图所示。下列叙述错误的是（）
【详解】
根据分析可知：W为B，X为F，Y为Si，Z为S元素。
A.F为非金属性最强的元素，则HF比其它三种元素的氢化物的稳定性都强，A正确；
B.Si在自然界中只以化合态形式存在，B正确；
C.B、Si元素都位于周期表中金属与非金属分界线附近，C正确；

2020年浙江省杭州市学军中学高考数学(5月份)模拟试卷(5月份) (解析版)

2020年浙江省杭州市学军中学高考数学(5月份)模拟试卷(5月份) (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x∈R|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则（）A．A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}B．A∩B＝{0，1，2}C．A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}D．A∪B＝{﹣1，0，1，2，3，4}2．已知i为虚数单位，复数z满足（2﹣i）z＝3+2i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知直线l1：ax+2y+4＝0，l2：x+（a﹣1）y+2＝0，则“a＝﹣1”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．y=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．已知随机变量X有三个不同的取值，其分布列如表，则E（X）的最大值为：（）X4X8√4−x24P1414mA．4√55+2B．6C．2√6+2D．2√5+26．将函数f（x）＝sin（2x+π4）﹣cos（2x+π4）的图象沿x轴向左平移π6个单位后得函数y＝g（x）的图象，则下列直线方程可为y＝g（x）的对称轴的是（）A．x=π12B．x=−π12C．x=π6D．x=−π67．已知矩形ABCD，AD=√2AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内（不含边界）．设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ，直线A′D，A′C与平面BCD所成的角分别为α，β，则（）A ．α＜θ＜βB ．β＜θ＜αC ．β＜α＜θD ．α＜β＜θ8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，以F 为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若OQ →=3OP →（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√72B ．√52C ．√5D ．√79．已知函数f （x ）={|log 2x|，0＜x ≤2f(4−x)，2＜x ＜4，设方程f （x ）−1e x =t （t ∈R ）的四个不等实根从小到大依次为x 1、x 2、x 3、x 4，则下列判断中一定成立的是（ ） A ．x 1+x 22=1 B ．1＜x 1x 2＜4C ．4＜x 3x 4＜9D ．0＜（x 3﹣4）（x 4﹣4）＜410．已知数列{a n }满足：a 1＝0，a n+1=ln(e a n +1)−a n （n ∈N*），前n 项和为S n （参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099），则下列选项中错误的是（ ） A ．{a 2n ﹣1}是单调递增数列，{a 2n }是单调递减数列 B ．a n +a n +1≤ln 3C ．S 2020＜666D ．a 2n ﹣1＜a 2n 二、填空题11．已知实数x ，y 满足{x −2y +1≤0x +2y −7≤0x ≥−1，则z ＝2x +3y 的最大值是 ，最小值是 ．12．若二项式(ax √x)5的展开式中各项系数之和为32，则a ＝ ，展开式中x 2的系数为 ．13．如图为某几何体的三视图，若该几何体的体积为√3，则该几何体的最长的棱长为 ．该几何体的表面积为 ．14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A =π6，b =(4+2√3)acosB ，且b ＝1，则B ＝ ；△ABC 的面积为 ． 15．已知实数x ，y 满足2x ＞y ＞0，且12x−y+1x+2y=1，则x +y 的最小值为 ．16．已知a ，b ∈R ，函数f(x)=x 2+ax+b+|x 2−ax−b|2的最小值为b 2，则b 的取值范围是 ．17．若平面向量a →，b →是两个单位向量，且a →⋅b →=12，空间向量c →满足|c|=√13，c →⋅a →=1，c →⋅b →=2，则对任意的实数t 1，t 2，|c →−t 1a →−t 2b →|的最小值是 ．三、解答题18．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足c =acosB −√33bsinA ．（I ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，△ABC 的面积为√32，D 为边BC 的中点，求AD 的长度． 19．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠ADC ＝120°，O 为线段CD 的中点，将△BCD 沿BO 折到△BC ′D 的位置，使得DC ′＝2√2，E 为BC ′的中点． （Ⅰ）求证：AB ⊥OE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ADC ′所成角的正弦值．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝2，a n +1＝﹣3S n +2（n ∈N *）．（1）求{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b 1＝﹣2，（b n +1﹣b n ）（n 2+n ）＝（3n +1）a n ，求{b n }的通项公式． 21．椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点F 到直线x ﹣3y ＝0的距离为√105，抛物线G ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与椭圆E 的焦点F 重合，过F 作与x 轴垂直的直线交椭圆于S ，T 两点，交抛物线于C ，D 两点，且|CD||ST|=4√5．（1）求椭圆E 及抛物线G 的方程；（2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交抛物线于M ，N 两点，请问是否存在实常数λ，使1|AB|+λ|MN|为常数．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．22．已知函数f （x ）＝x 2+x ﹣alnx （a ≠0）． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）若函数g(x)=f(x)−xax在区间（1，+∞）上有两个极值点x 1，x 2，证明：a ＜﹣ln （x 1x 2）．参考答案一、选择题1．已知集合A ＝{x ∈R|x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则（ ） A ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜3} B ．A ∩B ＝{0，1，2}C ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜4}D ．A ∪B ＝{﹣1，0，1，2，3，4}【分析】可以求出集合A ，然后进行交集和并集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{﹣1，0，1，2，3，4}， ∴A ∩B ＝{0，1，2}，A ∪B ＝{x |﹣1≤x ≤3，或x ＝4}． 故选：B ．2．已知i 为虚数单位，复数z 满足（2﹣i ）z ＝3+2i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 解：由（2﹣i ）z ＝3+2i ，得z =3+2i2−i =(3+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=45+75i ．则复数z 在复平面内对应的点的坐标为：（45，75），位于第一象限．故选：A ．3．已知直线l 1：ax +2y +4＝0，l 2：x +（a ﹣1）y +2＝0，则“a ＝﹣1”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】由两直线平行的充要条件得：“l 1∥l 2”的充要条件为：{a(a −1)−2×1=02a ≠4×1，即：a ＝﹣1，即“a ＝﹣1”是“l 1∥l 2”的充分必要条件，得解． 解：已知直线l 1：ax +2y +4＝0，l 2：x +（a ﹣1）y +2＝0， 又“l 1∥l 2”的充要条件为：{a(a −1)−2×1=02a ≠4×1，解得：a ＝﹣1，即“a ＝﹣1”是“l 1∥l 2”的充分必要条件， 故选：C ．4．y=|x|cosxe x+e−x的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可．解：f（﹣x）=|−x|cos(−x)e−x+e x=|x|cosxe x+e−x=f（x），则f（x）是偶函数，排除C，f（π）=|π|cosπeπ+e−π=−πeπ+e−π＜0，排除B，D，故选：A．5．已知随机变量X有三个不同的取值，其分布列如表，则E（X）的最大值为：（）X4X8√4−x24P1414mA．4√55+2B．6C．2√6+2D．2√5+2【分析】计算m，得出E（X）关于x的函数解析式，利用导数求出函数最大值即可．解：由14+14+m＝1可得m=12，故E（X）＝4x•14+8√4−x2•14+4•12=x+2√4−x2+2，令y＝x+2√4−x2+2（﹣2≤x≤2），则y′＝1√4−x =√2√4−x，令√4−x2−2x＝0，可得x=5，当﹣2≤x5时，y′＞0，当√5x≤2时，y′＜0，∴当x=2√5时，y取得最大值√5+2√4−45+2＝2√5+2．当x=2√5时，X的三个取值4x，8√4−x2，4各不相等，符合题意，故选：D．6．将函数f （x ）＝sin （2x +π4）﹣cos （2x +π4）的图象沿x 轴向左平移π6个单位后得函数y＝g （x ）的图象，则下列直线方程可为y ＝g （x ）的对称轴的是（ ） A ．x =π12B ．x =−π12C ．x =π6D ．x =−π6【分析】利用辅助角公式化简，根据平移变换的规律即可求解g （x ）解析式吗，结合三角函数的性质求解对称轴．解：函数f （x ）＝sin （2x +π4）﹣cos （2x +π4）=√2sin2x ；沿x 轴向左平移π6个单位后，可得y =√2sin2（x +π6）=√2sin （2x +π3），即g （x ）=√2sin （2x +π3）， 令2x +π3=π2+kπ，k ∈Z 得x =12kπ+π12．令k ＝0，可得对称轴为x =π12． 故选：A ．7．已知矩形ABCD ，AD =√2AB ，沿直线BD 将△ABD 折成△A ′BD ，使点A ′在平面BCD 上的射影在△BCD 内（不含边界）．设二面角A ′﹣BD ﹣C 的大小为θ，直线A ′D ，A ′C 与平面BCD 所成的角分别为α，β，则（ ） A ．α＜θ＜βB ．β＜θ＜αC ．β＜α＜θD ．α＜β＜θ【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A ′在平面BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求． 解：如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴BA ′⊥A ′D ， 当A ′点在底面上的射影O 落在BC 上时，有平面A ′BC ⊥底面BCD ，又DC ⊥BC ，可得DC ⊥平面A ′BC ，则DC ⊥BA ′， ∴BA ′⊥平面A ′DC ，在Rt △BA ′C 中，设BA ′＝1，则BC =√2，∴A ′C ＝1，说明O 为BC 的中点；当A ′点在底面上的射影E 落在BD 上时，可知A ′E ⊥BD ，设BA ′＝1，则A′D =√2，∴A ′E =√63，BE =√33．要使点A ′在平面BCD 上的射影F 在△BCD 内（不含边界），则点A ′的射影F 落在线段OE 上（不含端点）．可知∠A′EF为二面角A′﹣BD﹣C的平面角θ，直线A′D与平面BCD所成的角为∠A′DF＝α，直线A′C与平面BCD所成的角为∠A′CF＝β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E=√63＜1，而A′C的最小值为1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，则α＜β＜θ．故选：D．8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，以F为圆心，实半轴长为半径的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若OQ→=3OP→（其中O为原点），则双曲线C的离心率为（）A．√72B．√52C．√5D．√7【分析】由题意画出图形，求出F到渐近线的距离，再由向量等式及勾股定理列式求解．解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y=ba x，H为PQ的中点，可得FH⊥PQ．化y=bax为bx﹣ay＝0．由F到渐近线bx﹣ay＝0的距离d=bc√a2+b=b，得PH=√a2−b2．又OQ→=3OP→，∴OH=2√a2−b2=√c2−b2，即7a2＝4c2，解得e=ca=√72．故选：A．9．已知函数f（x）={|log2x|，0＜x≤2f(4−x)，2＜x＜4，设方程f（x）−1e x=t（t∈R）的四个不等实根从小到大依次为x1、x2、x3、x4，则下列判断中一定成立的是（）A．x1+x22=1B．1＜x1x2＜4C．4＜x3x4＜9D．0＜（x3﹣4）（x4﹣4）＜4【分析】作出f（x）的函数图象，根据y=1e x+t的单调性得出不等式，再利用对数的运算性质得出各根的关系．解：∵f（x）＝f（4﹣x），（2＜x＜4），∴f（x）在（0，4）上的图象关于直线x＝2对称．作出f（x）与y=1e x+t的函数图象如图所示：由图象可知x1，x2不关于直线x＝1对称，∴x1+x2≠2．故A错误；由图象可得0＜x1＜1＜x2＜2＜x3＜3＜x4＜4，由y=1e x+t是减函数可知f（x1）＞f（x2），即﹣log2x1＞log2x2，∴﹣log2x1﹣log2x2＞0，即x1x2＜1．故B错误；同理可得f（x3）＞f（x4），即log2（4﹣x3）＞﹣log2（4﹣x4），故而（4﹣x3）（4﹣x4）＞1，又0＜4﹣x3＜2，0＜4﹣x4＜1，∴（4﹣x3）（4﹣x4）＜2．∴1＜（4﹣x3）（4﹣x4）＜2，故D正确．故选：D．10．已知数列{a n}满足：a1＝0，a n+1=ln(e a n+1)−a n（n∈N*），前n项和为S n（参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099），则下列选项中错误的是（）A．{a2n﹣1}是单调递增数列，{a2n}是单调递减数列B．a n+a n+1≤ln3C．S2020＜666D．a2n﹣1＜a2n【分析】由a n+1=ln(e a n+1)−a n，得a n+1=ln(e a n+1)−ln(e a n)，e a n+1=1+1e a n，令b n=e a n，即a n＝lnb n，则b n+1=1+1b n，a1＝0，∴b1＝1，作出图象，数形结合能求出结果．解：由a n+1=ln(e a n+1)−a n，得a n+1=ln(e a n+1)−ln(e a n)，e a n+1=1+1e a n，令b n=e a n，即a n＝lnb n，则b n+1=1+1b n，a1＝0，∴b1＝1，作图如下：由图得：①{b 2n ﹣1}单调递增，{b 2n }单调递减， a n ＝lnb n ，故A 正确；②∵b n ∈[1，2]，∴b n b n +1＝b n （1+1b n）＝b n +1∈[2，3]，∴b n b n +1=e a n +a n+1∈[2，3]， ∴a n +a n +1∈[ln 2，ln 3]，故B 正确；③∵a n +a n +1≥ln 2，∴S 2020＝（a 1+a 2）+…+（a 2019+a 2010）≥1010•ln 2＞693，故C 错误． ④由不动点（√5+12√5+12），得1≤b 2n−1＜1+√52，1+√52＜b2n≤2，∴b 2n ＞b 2n ﹣1，∴a 2n ＞a 2n ﹣1，故D 正确． 故选：C ． 二、填空题11．已知实数x ，y 满足{x −2y +1≤0x +2y −7≤0x ≥−1，则z ＝2x +3y 的最大值是 12 ，最小值是 ﹣2 ．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x ，y 满足{x −2y +1≤0x +2y −7≤0x ≥−1作出可行域如图，联立{x =−1x −2y +1=0，解得B （﹣1，0），{x −2y +1=0x +2y −7=0可得A （3，2）化目标函数z ＝2x +3y ，由图可知，当直线z ＝2x +3y 过B 时，直线在y 轴上的截距最小， z 有最小值为﹣2．当直线z ＝2x +3y 过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为：12．则z ＝2x +3y 的最大值与最小值分别为：12，﹣2． 故答案为：12；﹣2．12．若二项式(ax 1√x)5的展开式中各项系数之和为32，则a ＝ 3 ，展开式中x 2的系数为 270 ．【分析】先求出a 的值，再由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x 2的系数． 解：二项式(ax 1√x )5的展开式中各项系数之和为（a ﹣1）5＝32，∴a ＝3．展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •35﹣r•（﹣1）r •x 5−3r2，令5−3r2=2，求得r ＝2， 可得展开式中x 2的系数为 C 52•33＝270，故答案为：3； 270．13．如图为某几何体的三视图，若该几何体的体积为√3，则该几何体的最长的棱长为√14 ．该几何体的表面积为 3+3√102√62．【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的棱长和表面积．解：根据几何体的三视图转换为直观图，该几何体为四棱锥体．如图所示：由于该几何体的体积V=13×12×(1+2)×2×AH=3，解得AH＝3．所以最长的棱长AC=√AH2+BH2+BC2=√32+12+22=√14．其中AD=√32+12+12=√11，CD=√22+12=√5，所以S△ADC=12×√11×√53√6√55=3√62，所以S表=12×2×3+12×1×√10+12×2×√10+3√62=3+3√102+3√62．故答案为：√14；3+3√102+3√62．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=π6，b=(4+2√3)acosB，且b＝1，则B＝5π12；△ABC的面积为14．【分析】A=π6，b=(4+2√3)acosB，利用正弦定理可得：sin B＝（4+2√3）sinπ6cos B，tan B＝2+√3，可得B，C．再利用三角形的面积计算公式即可得出．解：A=π6，b=(4+2√3)acosB，∴sin B ＝（4+2√3）sin π6cos B ，∴tan B ＝2+√3，∵tan （π6+π4）=tan π6+tan π41−tan π6tan π4=13+11−1√3=2+√3，B ∈（0，π）． ∴B =5π12． ∴C =π−π6−5π12=5π12=B ． ∴c ＝b ＝1． ∴S =12bc sin A =12×1×1×12=14． 故答案为：5π12，14．15．已知实数x ，y 满足2x ＞y ＞0，且12x−y+1x+2y=1，则x +y 的最小值为5+√35． 【分析】利用2x ﹣y 和x +2y 来表示x +y ，由1的妙用，转化为基本不等式求得最小值即可．解：设x +y ＝m （2x ﹣y ）+n （x +2y ），可得{2m +n =1−m +2n =1，解得{m =15n =35； 所以x +y =15(2x −y)+35(x +2y)=[15(2x −y)+35(x +2y)]（12x−y+1x+2y）=15+35+15(2x−y x+2y )+35(x+2y 2x−y )≥45+2√35，当且仅当x =9+5√315，y =3+√315时等号成立； 故答案为：45+2√35．16．已知a ，b ∈R ，函数f(x)=x 2+ax+b+|x 2−ax−b|2的最小值为b 2，则b 的取值范围是 [0，1] ．【分析】分析可知，f （x ）＝max {x 2，ax +b }，然后以y ＝x 2与y ＝ax +b 的交点情况讨论函数f （x ）的最小值，结合题意，即可求得实数b 的取值范围． 解：f(x)={x 2，x 2≥ax +bax +b ，x 2＜ax +b，即f （x ）＝max {x 2，ax +b }， ①当y ＝x 2与y ＝ax +b 没有交点或交点在y 轴同侧时，此时f(x)min =b 2=0，解得b ＝0；②当y ＝x 2与y ＝ax +b 的交点在y 轴异侧时，则b ＞0，当a ≥0时，最低点交点坐标为（﹣b ，b 2），此时b 2＝﹣ab +b ，b ＝﹣a +1≤1，即0＜b ≤1；当a ＜0时，最低点交点坐标为（b ，b 2），此时b 2＝ab +b ，b ＝a +1＜1，即0＜b ＜1； 综上，实数b 的取值范围为[0，1]． 故答案为：[0，1]．17．若平面向量a →，b →是两个单位向量，且a →⋅b →=12，空间向量c →满足|c|=√13，c →⋅a →=1，c →⋅b →=2，则对任意的实数t 1，t 2，|c →−t 1a →−t 2b →|的最小值是 3 ．【分析】根据题意，a →2=b →2＝1，将其代入|c →−(t 1a →−t 2b →)|2，并且结合|c|=√13，c →⋅a →=1，c →⋅b →=2，＝4，化简整理|c →−(t 1a →−t 2b →)|2＝（t 1+t 2−22）2+34（t 2﹣2）2+9≥9，进而可求得最小值解：|c →−(t 1a →−t 2b →)|2=c →2+t 12a →2+t 22b →2﹣2t 1c →⋅a →−2t 2c →•b →+2t 1t 2a →⋅b →，由题得a →2=b →2＝1，|c|=√13，c →⋅a →=1，c →⋅b →=2， 将条件代入可得上式＝13+t 12+t 22﹣2t 1×1﹣2t 2×2+2t 1t 2×12=13+t 12+t 22﹣2t 1﹣4t 2+t 1t 2＝（t 1+t 2−22）2+34（t 2﹣2）2+9≥9，当且仅当t 1＝0，t 2＝2取等号，故|c →−t 1a →−t 2b →|的最小值是3，故答案为：3 三、解答题18．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且满足c =acosB −√33bsinA ．（I ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，△ABC 的面积为√32，D 为边BC 的中点，求AD 的长度．【分析】（I ）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A ，进而可求A ； （2）由已知结合三角形的面积公式可求b ，然后结合向量的线性运算及向量的数量积的性质可求．解：（I ）因为c =acosB −√33bsinA ．由正弦定理可得，sin C ＝sin A cos B −√33sin B sin A ，即sin （A +B ）＝sin A cos B +sin B cos A ＝sin A cos B −√33sin B sin A ，因为sin B ≠0， 所以tan A =−√3， 因为A ∈（0，π）， 所以A =2π3， （II ）因为S △ABC =12bcsinA =12×2b ×√32=√32，故b ＝1，由题意可得，AD →=12(AB →+AC →)，∴|AD →|2=14(AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →)=14[4+1+2×2×1×(−12)]=34，故AD =√32．19．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠ADC ＝120°，O 为线段CD 的中点，将△BCD 沿BO 折到△BC ′D 的位置，使得DC ′＝2√2，E 为BC ′的中点． （Ⅰ）求证：AB ⊥OE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面ADC ′所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推导出△BCD 为等边三角形从而BO ⊥CD ，折叠后有BO ⊥OD ，BO ⊥OC '，推导出OC '⊥OD ，从而OC '⊥面BOD ，OC '⊥AB ，由AB ∥CD ，得AB ⊥BO ，由此能证明AB ⊥面BOC '，从而AB ⊥OE ．（Ⅱ）由OB ，OD ，OC '两两互相垂直，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，利用向量法能求出直线AE 与平面ADC '所成角的正弦值． 【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，∴△BCD 为等边三角形， 又∵O 是线段CD 的中点，∴BO ⊥CD ，即折叠后有BO ⊥OD ，BO ⊥OC '﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵AB ＝4，∴OD ＝OC ＝OC '＝2，而DC′=2√2，∴DO 2+OC '2＝DC '2，∴OC '⊥OD ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵OB ∩OD ＝O ，∴OC '⊥面BOD ， ∴OC '⊥AB ，又∵AB ∥CD ，∴AB ⊥BO ，∵BO ∩OC '＝O ，∴AB ⊥面BOC '，∴AB ⊥OE ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OB ，OD ，OC '两两互相垂直， 建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，∴O(0，0，0)，B(2√3，0，0)，C(0，2，0)，A(2√3，−4，0)，D(0，−2，0)，C′(0，0，2)，E(√3，0，1)−−−−−−−−−−− 设平面ADC '的法行量为n →=(x ，y ，z)， ∴{n →⋅AD →=0n →⋅DC′→=0而{AD →=(−2√3，2，0)DC′→=(0，2，2)， ∴{−2√3x +2y =02y +2z =0令x ＝1可得n →=(1，√3，−√3)−−−−−−−−−−−−−−−−− 又∵AE →=(−√3，4，1)∴cos〈n →，AE →＞=n →⋅AE→|n →||AE →|=√10535直线AE 与平面ADC '所成角的正弦值√10535．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝2，a n+1＝﹣3S n+2（n∈一、选择题*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b1＝﹣2，（b n+1﹣b n）（n2+n）＝（3n+1）a n，求{b n}的通项公式．【分析】（1）a n+1＝﹣3S n+2（n∈N*）．n≥2时可得：a n＝﹣3S n﹣1+2，相减可得：a n+1＝﹣2a n，n＝1时，a2＝﹣3a1+2＝﹣4＝﹣2a1，满足上式，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）（b n+1﹣b n）（n2+n）＝（3n+1）a n＝（3n+1）•2×（﹣2）n﹣1．可得b n+1﹣b n═(3n+1)⋅2×(−2)n−1n+n =（﹣1）n﹣1（2nn+2n+1n+1）．于是b n＝b1+（b2﹣b1）﹣（b3﹣b2）+……+（﹣1）n﹣3（b n﹣1﹣b n﹣2）+（﹣1）n﹣2（b n﹣b n﹣1）．对n分类讨论即可得出．解：（1）a n+1＝﹣3S n+2（n∈N*）．n≥2时可得：a n＝﹣3S n﹣1+2，相减可得：a n+1﹣a n ＝﹣3a n，即a n+1＝﹣2a n，n＝1时，a2＝﹣3a1+2＝﹣4＝﹣2a1，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为﹣2．∴a n＝2×（﹣2）n﹣1．（2）（b n+1﹣b n）（n2+n）＝（3n+1）a n＝（3n+1）•2×（﹣2）n﹣1．∴b n+1﹣b n═(3n+1)⋅2×(−2)n−1n2+n=（﹣1）n﹣1（2nn+2n+1n+1）．∴b n＝b1+（b2﹣b1）﹣（b3﹣b2）+……+（﹣1）n﹣3（b n﹣1﹣b n﹣2）+（﹣1）n﹣2（b n﹣b n ﹣1）．n＝2k﹣1（k∈N*），b n＝b1+（b2﹣b1）﹣（b3﹣b2）+……+（b n﹣1﹣b n﹣2）﹣（b n﹣b n﹣1）＝﹣2+（2+222）﹣（222+233）+……+（2n−2n−2+2n−1n−1）﹣（2n−1n−1+2nn）=−2nn．n ＝2k （k ∈N *），b n ＝b 1+（b 2﹣b 1）﹣（b 3﹣b 2）+……﹣（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+（b n ﹣b n ﹣1）＝﹣2+（2+222）﹣（222+233）+……﹣（2n−2n−2+2n−1n−1）+（2n−1n−1+2n n）=2n n ．综上可得：a n ＝（﹣1）n 2nn．21．椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右焦点F 到直线x ﹣3y ＝0的距离为√105，抛物线G ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与椭圆E 的焦点F 重合，过F 作与x 轴垂直的直线交椭圆于S ，T 两点，交抛物线于C ，D 两点，且|CD||ST|=4√5．（1）求椭圆E 及抛物线G 的方程；（2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交抛物线于M ，N 两点，请问是否存在实常数λ，使1|AB|+λ|MN|为常数．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据点到直线的距离公式，以及|CD||ST|=4√5．建立方程关系进行求解即可．（2）分别联立直线和椭圆，直线和抛物线方程，结合根与系数之间的关系，利用设而不求思想进行转化求解即可．解：（1）设椭圆E 、抛物线G 的公共焦点F （c ，0）， 由点到直线的距离公式得√1+32=√105解得c ＝2，故p 2=2，即p ＝4， 由|CD||ST|=4√5， 得|CD||ST|=2p2b 2a=82b 2a=4√5，∴b 2a=√5，即a =√5b 2，又a 2＝b 2+22，解得a =√5，b =1 故椭圆E 的方程为x 25+y 2=1，抛物线G 的方程为y 2＝8x ．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4）．把直线l 的方程y ＝k （x ﹣2），与椭圆E 的方程联立，得{x 25+y 2=1y =k(x −2)，整理得（1+5k 2）x 2﹣20k 2x +20k 2﹣5＝0 ∴x 1+x 2=20k21+5k2，x 1x 2=20k 2−51+5k2∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√5(k 2+1)1+5k2，把直线l 的方程y ＝k （x ﹣2），与抛物线G 的方程联立，得{y 2=8xy =k(x −2)，得k 2x 2﹣（4k 2+8）x +4k 2＝0∴x 3+x 4=4k 2+8k2，x 3x 4=4∴|MN|=x 3+x 4+4=8(k 2+1)k2，∴1|AB|+λ|MN|=22√5(k 2+1)+λk 28(k +1)=√5λ)k 28√5(k 2+1)要使1|AB|+λ|MN|为常数，则20+√5λ=4，解得λ=−16√55故存在λ=−16√55，使得1|AB|+λ|MN|为常数．22．已知函数f （x ）＝x 2+x ﹣alnx （a ≠0）． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）若函数g(x)=f(x)−xax在区间（1，+∞）上有两个极值点x 1，x 2，证明：a ＜﹣ln （x 1x 2）．【分析】（1）求导可得f′(x)=2x +1−ax (x ＞0)，然后分a ＜0及a ＞0讨论f ′（x ）与0的关系，即可求得单调性；（2）分析可知a =−x 12−x 22lnx 1−lnx 2，则问题转化为证明−x 12−x 22lnx 1−lnx 2＜−ln(x 1x 2)，设x 1＞x 2，进一步转化为证明x 12−(lnx 1)2＞x 22−(lnx 2)2，构造函数h （x ）＝x 2﹣（lnx ）2，只需证明h （x ）在（1，+∞）上为增函数即可． 解：（1）f′(x)=2x +1−ax (x ＞0)，当f ′（x ）＝0时，2x +1=ax ，即2x 2+x ﹣a ＝0，①当a ＜0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②当a ＞0时，解2x 2+x ＝a 得，x =−1±√1+8a 4，易知f （x ）在(0，−1+√1+8a 4)上单调递减，在(−1+√1+8a 4，+∞)上单调递增；（2）证明：g(x)=x 2−alnx ax =x a −lnx x ，令g′(x)=1a −1−lnx x 2=0，则x 2+alnx−a ax2=0，即x2+alnx﹣a＝0，依题意，x2+alnx﹣a＝0的两根为x1，x2，则{x12+alnx1−a=0 x22+alnx2−a=0，∴a=−x12−x22 lnx1−lnx2，要证a＜﹣ln（x1x2），只需证−x12−x22lnx1−lnx2＜−ln(x1x2)，不妨设x1＞x2，即证x12−x22＞(lnx1)2−(lnx2)2，即证x12−(lnx1)2＞x22−(lnx2)2，即要证h（x）＝x2﹣（lnx）2为增函数，而h′(x)=2x−2lnxx =2(x2−lnx)x，设t（x）＝x2﹣lnx，则t′(x)=2x−1x=2x2−1x＞0(x＞1)，∴t（x）在（1，+∞）上单调递增，∴t（x）＞t（1）＝0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，即得证．。

2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷

2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷

2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第1题4分已知集合A={1,2,4}，B={0,2,4}，则A∪B=（）．A. {2,4}B. {0,1,2,4}C. {0,1,2,2,4}D. {x|0⩽x⩽4}2、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第2题4分双曲线x 24−y29=1的实轴长为（）．A. 2B. 3C. 4D. 63、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第3题4分已知圆C:(x−1)2+y2=1，直线l过点(0,1)且倾斜角为θ，则“θ=0”是“直线l与圆C相切”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第4题4分若复数a+3i1+2i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数．则实数a的值为（）．A. 4B. 3C. 6D. −65、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第5题4分2020~2021学年10月陕西咸阳武功县高三上学期月考理科第10题5分2019~2020学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科第8题5分2019~2020学年9月安徽合肥包河区合肥市第一中学高三上学期月考文科第9题5分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科第9题5分，则y=f(x)的图象大致为（）．已知函数f(x)=1x−ln⁡x−1A.B.C.D.6、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第6题4分设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）．A. 若l//α，m//α，则l//mB. 若l//α，m ⊥l ，则m ⊥αC. 若l ⊥α，m ⊥l ，则m//αD. 若l ⊥α，m ⊥α，则l//m7、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第7题4分2019年湖南长沙开福区长沙市第一中学高三一模理科第8题5分2019~2020学年广东深圳南山区深圳市第二高级中学高二上学期段考（三）第9题5分 2020~2021学年辽宁沈阳高二下学期期末（五校协作体）第4题5分2018~2019学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中理科第5题5分 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺8、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第8题4分设a →， b →，c →为平面向量．|a →|=|b →|=a →⋅b →=2，若(2c →−a →)⋅(c →−b →)=0，则c →⋅b →的最大值是（ ）．A. √7+√3B. 52+√3C. 174D. 949、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第9题4分定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−cos⁡x，则下列结论正确的是（）．A. f(20192)<f(20203)<f(2018)B. f(2018)<f(20203)<f(20192)C. f(2018)<f(20192)<f(20203)D. f(20203)<f(20192)<f(2018)10、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第10题4分设等差数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N∗，都有|S n+2020|⩾|S n|．则下列命题不一定成立的是（）．A. |S2020|⩽|S2021|B. |S2021|⩽|S2022|C. |a1010|⩽|a1011|D. |a1011|⩽|a1012|二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第11题6分已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2，则p=，P(X=1)=．12、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第12题6分2020~2021学年浙江杭州西湖区杭州师范大学附属中学高二上学期期中第14题6分已知实数x，y满足约束条件{x+y−2⩾0 x−y−2⩽02x−y−2⩾0，则z=x+2y的最小值为；y+1x的取值范围是．13、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第13题6分若将函数f(x)=x7表示为f(x)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a7(x−1)7，其中a0，a1，a2，⋯，a7为实数，则a3=．a0+a2+a4+a6=．14、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第14题6分已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos⁡C+√3asin⁡C=b+c，则A=，又若b=2，a=x，△ABC有两解，则实数x的取值范围是．15、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第15题4分已知抛物线y2=4x，过点A(1,2)作直线l交抛物线于另一点B，Q是线段AB的中点，过Q作与y轴垂直的直线l1．交抛物线于点C，若点P满足QC→=CP→，则|OP|的最小值是．16、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第16题4分2020~2021学年广东深圳南山区深圳实验学校高二下学期段考（一）第16题5分将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有种不同的放法．17、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第17题4分已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，AD=2，∠BAC=90°，若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第18题14分设函数f(x)=cos⁡(2x+π6)−cos⁡(2x−3π2)+a的最小值是−1．(1) 求a的值及f(x)的对称中心．(2) 将函数f(x)图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到g(x)的图象．若g(x)⩾−12，求x的取值范围．19、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第19题15分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，CC1=2√3，∠BAC=120°．O为线段B1C1的中点，P为线段CC1上一动点（异于点C、C1)．Q为线段BC上一动点，且QP⊥OP：(1) 求证：平面A1PQ⊥平面A1OP．(2) 若BO//PQ，求直线OP与平面A1PQ所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第20题15分已知数列{a n}满足a1=2，a2=10，a n+2=a n+1+2a n，n∈N∗．(1) 证明：数列{a n+a n+1}是等比数列．(2) 求数列{a n}的通项公式．(3) 证明：1a1+1a2+⋯+1a n<34．21、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第21题15分已知M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，点P(0,2)关于直线y=−x的对称点在椭圆M上．(1) 求椭圆M的方程．(2) 如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．①求△COD面积的取值范围．②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第22题15分已知实数a⩾−1，设f(x)=(x+a)ln⁡x，x>0．(1) 若a=−1，有两个不同实数x1，x2满足|f′(x1)|=|f′(x2)|，求证：x1+x2>2．(2) 若存在实数1e <c<4e2，使得|f(x)|=c有四个不同的实数根，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】13;256 2187;12 、【答案】2;[12,2);13 、【答案】35;64;14 、【答案】π3;(√3,2);15 、【答案】√22;16 、【答案】535;17 、【答案】5√2+254;18 、【答案】 (1) 0，(−π6+kπ2,0)，k∈Z．;(2) x∈[kπ2−π24,7π24+kπ2]，k∈Z．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√1919．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) a n=2n+1+2⋅(−1)n．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2)①4√1t −4t2∈(0,1]．②是，12．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 0<a<1e2．;。

2024届浙江杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题(含答案解析)

2024届浙江杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题(含答案解析)

2024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1B.-12C.12D.13.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-34.已知点A 为曲线y =x +4xx >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.425.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为411.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．14.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．16.如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形.SA⊥底面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD成45°角.(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；BC，求二面角B-SC-D的余弦值.(2)若EF=1217.A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16；B组：12，13，15，16，17，14，a．假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等?18.已知抛物线y=ax2(a>0)与双曲线y=1x交于点T，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P，Q．(1)证明：△PQT存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT的面积．19.已知函数f x =x+7中心对称．x+a关于点-1,1(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x2在区间0,+∞上的单调性；(3)设a1=1,a n+1=f a n<1．，证明：2n-22ln a n-ln72024届浙江省杭州学军中学高三下学期模拟测试数学试题一、单选题1.设集合A =x ,y |x +y =2 ，B =x ,y |y =x 2 ，则A ∩B =()A.1,1B.-2,4C.1,1 ,-2,4D.∅【答案】C【分析】由题意可知A ∩B 实质是求交点，进而联立组成方程组求解即可.【详解】解：集合A 与集合B 均为点集，A ∩B 实质是求x +y =2与y =x 2的交点，所以联立组成方程组得x +y =2y =x 2 ，解得x =1y =1 ，或x =-2y =4 ，从而集合A ∩B =1,1 ,-2,4 ，故选：C .【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.已知a +bi (a ,b ∈R )是1-i1+i的共轭复数，则a +b =A.-1 B.-12 C.12 D.1【答案】D【解析】首先计算1-i1+i ，然后利用共轭复数的特征计算a ,b 的值.【详解】1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ，∴a +bi =-(-i )=i ，∴a =0,b =1,∴a +b =1.故选:D .【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.3.设向量a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1)，且(a -λb )⊥c ，则λ等于()A.3B.2C.-2D.-3【答案】A【分析】由向量线性关系及垂直的坐标表示列方程求参即可.【详解】由题意得a -λb =(1+λ,1-3λ)，又(a -λb )⊥c，所以(a-λb )⋅c =2(1+λ)+1-3λ=0，可得λ=3.故选：A4.已知点A 为曲线y =x +4x x >0 上的动点，B 为圆x -2 2+y 2=1上的动点，则AB 的最小值是()A.3B.4C.32D.42【答案】A【分析】数形结合分析可得，当A 2,4 时能够取得|AB |的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可.【详解】圆x -2 2+y 2=1的圆心为2,0 ，半径为1，由对勾函数的性质,可知y =x +4x≥4，当且仅当x =2时取等号，结合图象可知当A 点运动到2,4 时能使点A 到圆心的距离最小，最小值为4，从而AB 的最小值为4-1=3.故选：A5.2+x 10的展开式各项的系数中最大的是()A.x 2的系数B.x 3的系数C.x 4的系数D.x 5的系数【答案】B【分析】利用二项式通项的性质和组合数的性质计算出符合条件的k 值即可.【详解】通项公式为T k +1=C k 10⋅2k ⋅x 10-k ，因为C k 10⋅2k ≥C k -110⋅2k -1⇒2C k 10≥C k -110，所以2×10×9×⋯×11-k k !≥10×9×⋯×12-k k -1 !⇒211-k k ≥1⇒k 3k -22 ≤0⇒k ≤223同理C k 10⋅2k ≥C k +110⋅2k +1⇒C k 10≥2C k +110，所以10×9×⋯×11-k k !≥2×10×9×⋯×10-k k +1 !⇒210-k k +1≤1⇒3k -19 k +1 ≥0⇒k ≥193，所以k =7，所以展开式各项的系数中最大的是第八项，为T 8=C 710⋅27⋅x 3，即x 3的系数最大.故选：B6.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是()A.理科男生多于文科女生B.文科女生多于文科男生C.理科女生多于文科男生D.理科女生多于理科男生【答案】C【分析】将问题转化为不等式问题，利用不等式性质求解.【详解】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有x 2人，文科女生有y 1人，文科男生有y 2人；根据题意可知x 1+x 2>y 1+y 2，x 2+y 2<x 1+y 1，根据异向不等式可减的性质有x 1+x 2 -x 2+y 2 >y 1+y 2 -x 1+y 1 ，即有x 1>y 2，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证.故选：C .7.已知三棱锥S -ABC 中，∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，SA 和BC 所成的角为π3，则该三棱锥外接球的表面积是()A.12πB.16πC.24πD.32π【答案】B【分析】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，并建立适当的空间直角坐标系，由已知表示出各个点的坐标，进一步结合OA =OS=R ，列出方程组求出R 即可进一步求解.【详解】将三棱锥S -ABC 放入长方体ABCD -EFGH 中，S 在棱EH 上面，并以A 为原点，AB ,AD ,AE 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：由题意∠SAB =∠ABC =π2,SB =4,AB =2,BC =3，所以SA =16-4=23，因为SA 和BC 所成的角为π3，AD ⎳BC ，所以AE =23sin π3=3,ES =23cos π3=3，而底面三角形外接圆圆心为AC 中点O 1，设球心O 到平面ABC 的距离为h ，则A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,3,0 ,S 0,3,3 ,O 11,32,0 ,O 1,32,h ，所以OA =-1,-32,-h ,OS =-1,32,3-h ，则由OA =OS =R ⇒R 2=34+1+h 2=34+1+3-h 2，解得h =32,R 2=4，从而S =4πR 2=16π，即该三棱锥外接球的表面积是16π.故选：B .8.已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)=f (1)=0；②对所有x ,y ∈[0,1]，且x ≠y ，有f (x )-f (y ) <12x -y .若对所有x ,y ∈[0,1]，f (x )-f (y ) <k ，则k 的最小值为A.12B.14C.12πD.18【答案】B【详解】试题分析：不妨令0≤x <y ≤1，则f x -f y <12x -y 法一：2f x -f y =f x -f 0 +f x -f y -f y -f 1 ≤f x -f 0 +f x -f y +f y -f 1<12x -0 +12x -y +12y -1 =12x +12y -x +12y -1 =12，即得f x -f y<1 4，另一方面，当u∈0,1 2时，f x ={ux,0≤x≤12-u1-x,12<x≤1，符合题意，当u→12时，f12-f0=u2→14，故k≤1 4法二：当x-y≤12时，f x -f y<12x-y≤14，当x-y>12时，f x -f y=f x -f0-f y -f1≤f x -f1+f y -f0<12x-1+12y-0=121-x+12y=12+12y-x<14，故k≤1 4【解析】1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.二、多选题9.我国于2015年10月宣布实施普遍二孩政策，为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄群体中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制的不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述正确的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.调查样本中倾向选择生育二胎的群体中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的群体中，农村户籍人数多于城镇户籍人数【答案】AB【分析】根据题中数据结合比例图逐项分析判断.【详解】由不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，知：在A中，城镇户籍倾向选择生育二胎的比例为40%，农村户籍倾向选择生育二胎的比例为80%，所以是否倾向选择生育二胎与户籍有关，故A正确；在B中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，所以是否倾向选择生育二胎与性别无关，故B正确；在C中，男性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为120×60%=72人，女性倾向选择生育二胎的比例为60%，人数为80×60%=48人，所以倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不相同，故C错误；在D 中，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数为100×1-80% =20人，城镇户籍人数为100×1-40% =60人，所以倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，故D 错误.故选：AB .10.双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 23-y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A x 0,y 0 x 0>3 作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则()A.平面上点B 4,1 ,AF 2 +AB 的最小值为37-23B.直线MN 的方程为xx 0-3yy 0=3C.过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则OH =2(O 为坐标原点)D.四边形AF 1NF 2面积的最小值为4【答案】ABD【分析】对A ，利用双曲线定义将AF 2 转化为AF 1 -2a 可得解；对B ，设出直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 与双曲线联立，根据Δ=0化简运算得解；对C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，进而得OH =12F 2E 得解；对D ，求出N 点坐标，根据S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2，结合基本不等式可求解.【详解】对于A ，由双曲线定义得AF 1 -AF 2 =2a =23，且F 1-2,0 ，则AF 2 +AB =AF 1 +AB -23≥BF 1 -23=4--22+1-23=37-23，所以AF 2 +AB 的最小值为37-2 3.故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y -y 0=k x -x 0 ，k ≠±33，联立方程组y -y 0=k x -x 0 x 2-3y 2=3，消去y 整理得，1-3k 2 x 2+6k 2x 0-6ky 0 x -3k 2x 20+6kx 0y 0-3y 20-3=0，∴Δ=0，化简整理得9y 20k 2-6x 0y 0k +x 20=0，解得k =x 03y 0，可得直线MN 的方程为y -y 0=x03y 0x -x 0 ，即x 0x -3y 0y =3，故B 正确；对于C ，由双曲线的光学性质可知，AM 平分∠F 1AF 2，延长F 1H 与AF 2的延长线交于点E ，则AH 垂直平分F 1E ，即AF 1 =AE ，H 为F 1E 的中点，又O 是F 1F 2中点，所以OH =12F 2E =12AE -AF 2 =12AF 1 -AF 2 =a =3，故C 错误；对于D ，由直线MN 的方程为x 0x -3y 0y =3，令x =0，得y =-1y 0，则N 0,-1y 0，S AF 1NF 2=S △AF 1F 2+S △NF 1F 2=12×F 1F 2 ×y 0 +1y 0≥12×4×2y 0 ⋅1y 0=4，当且仅当y 0 =1y 0，即y 0=±1时等号成立，所以四边形AF 1NF 2面积的最小值为4，故D 项正确.故选：ABD ..【点睛】关键点睛：C 项中，结合已知给出的双曲线的光学性质，即可推出AH 垂直平分F 1E ，OH =12F 2E .11.数列a n 满足a n +1=14a n -6 3+6(n =1,2,3⋯)，则()A.当a 1=3时，a n 为递减数列，且存在M ∈R ，使a n >M 恒成立B.当a 1=5时，a n 为递增数列，且存在M ≤6，使a n <M 恒成立C.当a 1=7时，a n 为递减数列，且存在M ≥6，使a n >M 恒成立D.当a 1=9时，a n 递增数列，且存在M ∈R ，使a n <M 恒成立【答案】BC【分析】首先由数学归纳法求出数列的通项，再令a 1=3,5,7,9时代入通项中，求出具体通项公式，最后结合指数函数的性质逐一判断即可.【详解】由题意可知a n +1-6=14a n -6 3，∴a 2-6=14a 1-6 3,a 3-6=14a 2-6 3=1414a 1-6 3 3=14×143×a 1-6 32，归纳猜想：a n -6=141+3+32+⋯+3n -2a 1-6 3n -1=141-3n -11-3a 1-6 3n -1=223n -1a 1-6 3n -1，A ：当a 1=3时，a n -6=-2×32 3n -1，则a n 为递减数列，无边界，故A 错误；B ：当a 1=5时，a n -6=-2×123n -1，则a n 为递增数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≤6，使a n <M 恒成立，故B 正确；C ：当a 1=7时，a n -6=2×123n -1，则a n 为递减数列，有边界，由指数函数的单调性可知，当n →∞时，a n →6，故存在M ≥6，使a n >M 恒成立，故C 正确；D ：当a 1=9时，a n -6=2×323n -1，则a n 为递增数列，无边界，故D 错误；故选：BC .【点睛】关键点点睛：(1)当所给递推数列较为复杂时，(不为用常见的累加累乘等)可考虑先写出几项，然后用数学归纳法求出通项公式.(2)判断数列是否存在边界或数列不等式恒成立问题可结合指数函数的单调性判断.三、填空题12.已知cos a +π6 -sin α=435，则sin α+11π6=．【答案】-45【分析】由题意可得cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，结合诱导公式可得结果.【详解】由cos α+π6 -sin α=32cos α-32sin α=-3sin α-π6 =435，∴sin α-π6 =-45而sin α+11π6 =sin α-π6+2π =sin α-π6 =-45．故答案为-45【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查两角和与差正弦公式、诱导公式，考查计算能力，属于常考题型.13.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验．在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =．【答案】23【分析】利用条件概率直接求解.【详解】在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p 31-1-p3=413，解得p =23或-2(舍去).故答案为：2314.若函数f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值，则a 的取值范围是．【答案】-∞,1【分析】从a =1，a >1，及a <1进行分析求解.【详解】注意到，当a =1时，f x =e x +cos x ，由于e x >0，-1≤cos x ≤1，显然f x min →-1，没有最小值；当a >1时，e x +cos x >-1且无限接近-1，y =a -1 x 为增函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →-∞，x →+∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，此时没有最小值；当a <1时，y =a -1 x 为减函数，则x →-∞，e x +cos x +a -1 x →+∞，x →+∞，由于y =e x 增长变化速度远大于y =a -1 x 减少速度，此时e x +cos x +a -1 x →+∞，由于函数定义域为R ,函数连续不断，所以f x =e x +cos x +a -1 x 存在最小值．故答案为：-∞,1四、解答题15.在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ．(1)若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ；(2)若∠ABC =45°，且BD =3CD ，求cos ∠CFB ．【答案】(1)∠ABC =60°(2)51751【分析】(1)由两三角形的面积相等可得12AB ⋅AC =12CD ⋅DF ，再由DF =AC 可得CD =AB ，从而结合已知可得BC =2AB ，进而可求得∠ABC ；(2)设AB =k ，则AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，然后在△BDF ,△CDF 中分别利用勾股定理求出CF ,BF ，再在△CBF 中利用余弦定理可求得结果.【详解】(1)如图所示在△ABC 中，∠A =90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF =AC ，所以S △ABC =12AB ⋅AC ，S △CDF =12CD ⋅DF ，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，由于DF =AC ，所以CD =AB ，因为D 为BC 的中点，故BC =2AB ，所以cos ∠ABC =AB BC =AB 2AB=12，因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC =60°．(2)如图所示：设AB =k ，由于∠A =90°，∠ABC =45°，BD =3DC ,DF =AC ，所以AC =k ,CB =2k ,BD =324k ,DF =k ，由于DF ⊥BC ，所以CF 2=CD 2+DF 2，则CF =324k ．且BF 2=BD 2+DF 2，解得BF =344k ，在△CBF 中，利用余弦定理得cos ∠CFB =CF 2+BF 2-BC 22CF ⋅BF =98k 2+178k 2-2k 22×324k ⋅344k=5175116.如图，四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为矩形.SA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为AD ，SC 的中点，EF 与平面ABCD 成45°角.(1)证明：EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，求二面角B -SC -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)-33.【分析】(1)要证EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线，即证AD ⊥EF ，EF ⊥SC ，通过线面垂直即可证明；(2)以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BSC 和平面SCD 的法向量，计算求解即可.【详解】(1)连接AC ，BD 交于点G ，连接EG ，FG ，因为四边形ABCD 为矩形，且E ，F 分别为AD ，SC 的中点，所以GE ⎳CD ，且GF ⎳SA ，又SA ⊥底面ABCD ，所以GF ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又AD ⊥GE ，GE ∩GF =G ，GF ,GE ⊂面GEF ，所以AD ⊥平面GEF ，EF ⊂面GEF ，所以AD ⊥EF ，因为EF 与平面ABCD 成45°角，所以∠FEG =45°，所以GF =GE ，由SA =2FG ,AB =2GE ，所以SA =AB ，取SB 的中点H ，连接AH ，FH ，由F ，H 分别为SC ，SB 的中点，知FH ⎳BC ，FH =12BC ，又AE ⎳BC ，AE =12BC ，所以FH ⎳AE ，FH =AE ，所以四边形AEFH 为平行四边形，又SA =AB ，所以AH ⊥SB ，又BC ⊥平面SAB ，AH ⊂平面SAB ，所以BC ⊥AH ，又BC ∩SB =B ，BC ,SB ⊂面SBC ，所以AH ⊥平面SBC ，而AH ⎳EF ，所以EF ⊥平面SBC ，又SC ⊂平面SBC ，所以EF ⊥SC ，所以EF 为异面直线AD 与SC 的公垂线；(2)若EF =12BC ，设BC =2，则EF =1，则GE =GF =22，所以SA =AB =2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则B 2,0,0 ，D 0,2,0 ，S 0,0,2 ，C 2,2,0 ，从而SC =2,2,-2 ，BC =0,2,0 ，CD =-2,0,0 ，设平面BSC 的法向量为n 1 =x 1,y 1,z 1 ，则n 1 ⋅SC =0n 1 ⋅BC =0，即2x 1+2y 1-2z 1=02y 1=0 ，令z 1=1，可得n 1 =1,0,1 ，设平面SCD 的法向量为n 2 =x 2,y 2,z 2 ，则n 2 ⋅SC =0n 2 ⋅CD =0，即2x 2+2y 2-2z 2=0-2x 2=0 ，令z 2=2，可得n 2 =0,1,2 ，所以cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2=22⋅3=33，由图可知二面角B -SC -D 的平面角为钝角，所以二面角B -SC -D 的余弦值为-33.17.A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16；B 组：12，13，15，16，17，14，a ．假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)如果a =25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(2)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等?【答案】(1)1049(2)a =11或18【分析】(1)列举出符合条件的方法，利用古典概率计算即可；(2)利用方差的意义求出即可.【详解】(1)从两组中随机选取一人，共有49种方法；其中甲的康复时间比乙的康复时间长的方法如下：13,12 ,14,12 ,14,13 ,15,12 ,15,13 ,15,14 ,16,12 ,16,13 ,16,15 ,16,14 ，共有10种方法，所以概率为1049.(2)把B 组数据调整为：12，13，14，15，16，17，a ，或a ，12，13，14，15，16，17，根据方差的意义为反应样本波动性的大小可知，a =11或18.18.已知抛物线y =ax 2(a >0)与双曲线y =1x交于点T ，两条曲线的公切线分别与抛物线、双曲线切于点P ，Q ．(1)证明：△PQT 存在两条中线互相垂直；(2)求△PQT 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)274.【分析】(1)设出切点P ,Q 的坐标，利用导数的几何意义求出公切线方程，进而求出三边的中点坐标即可推理得证.(2)利用(1)的结论，结合三角形重心定理求出面积.【详解】(1)设P (x P ,ax 2P ),Q x Q ,1x Q，由y =ax 2、y =1x ，求导得y =2ax、y =-1x 2，则抛物线y =ax 2(a >0)在点P 处切线方程为y -ax 2P =2ax P (x -x P )，双曲线y =1x 在点Q 处切线方程为y -1x Q =-1x 2Q(x -x Q )，由直线PQ 是两条曲线的公切线，得2ax P =-1x 2Q -ax 2P =2x Q ，解得x P =4x Q ，且-ax 2P =2x Q ，令x Q =-12t ，则x P =-2t ，P -2t ,4t ,Q -12t,-2t ，且a =t 3,t >0，由y =ax 2y =1x，解得x =1t ,y =t ，即点T 1t ,t ，则边PQ 中点M -54t ,t ，边PT 的中点K -12t ,5t 2 ，边QT 的中点L 14t ,-t 2 ，显然直线MT :y =t ，直线KQ :x =-12t，则直线MT ⊥KQ ，所以△PQT 存在两条中线互相垂直.(2)由(1)知，KQ =9t 2,MT =94t ，令△PQT 的重心为H ，所以△PQT 的面积S △PQT =2S KQT =2⋅12KQ ⋅TH =23KQ ⋅MT =23⋅9t 2⋅94t =274.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))(x 0∈D )处的切线方程为：y -f (x 0)=f (x 0)(x -x 0).19.已知函数f x =x +7x +a关于点-1,1 中心对称．(1)求函数f x 的解析式；(2)讨论g x =x f x 2在区间0,+∞ 上的单调性；(3)设a 1=1,a n +1=f a n ，证明：2n -22ln a n -ln7 <1．【答案】(1)f x =x +7x +1(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】(1)由中心对称函数的性质得出即可；(2)利用导数分析其单调性即可；(3)将要证明的不等式利用对数运算变形为ln a 2n 7<12n -2，再用数学归纳法结合(2)证明即可.【详解】(1)因为函数f x =x +7x +a 关于点-1,1 中心对称，所以f -1-x +f -1+x =2，即-1-x +7a -1-x +-1+x +7-1+x +a =2，取x =2，可得4a -3+8a +1=2，解得a =1或a =7(舍去)，所以a =1，f x =x +7x +1.(2)因为g x =x f x 2，x >0，所以g x =x +7 2x +1 2+2x ×x +7x +1×-6x +12 =x +7 x -2 2+3 x +1 3，因为x +7>0,x +1 3>0,x -2 2+3≥3，所以g x >0恒成立，所以g x =x f x 2在区间0,+∞ 上单调递增.(3)证明：要证2n -22ln a n -ln7 <1，即证ln a 2n 7<12n -2，当n =1时，ln a 217 <121-2⇒ln 17 =ln7<ln e 2=2，成立，即证ln a 2n +17 <12n -1，即证ln a 2n +17 <12ln a 2n 7，由题意得a n >0，则即证ln a 2n +17 <ln a n 7，因为a 1=1,a n +1=f a n =a n +7a n +1，a n +1-7=a n +7a n +1-7=a n -7 1-7 a n +1，由a n >0，即a n -7与a n +1-7异号，当a n >7，0<a n +1<7，即证ln 7a 2n +1<ln a n 7，即证7a 2n +1<a n 7，即证a n a 2n +1>77，即证a n 7+a n 1+a n2>77，由(2)可知，当a n >7,g a n >g 7 =77成立.当a n +1>7,0<a n <7，即证ln a 2n +17<ln 7a n ，即证a 2n +17<7a n，即证a n a 2n +1<77，即证a n 7+a n 1+a n2<77，由(2)可知，当0<a n <7,g a n <g 7 =77成立.综上，得证.【点睛】关键点点睛：(1)若函数f x 满足f m -x +f m +x =2n ，则对称中心为m ,n ；(2)判断符合函数的单调性时，常用导数判断；(3)证明数列不等式，可用数学归纳法证明，分别取当n =1时的特例和n >1的一般情况证明.。

2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷(文科)(2月份)

2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷(文科)(2月份)

2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ＝{x|2x −3<0}，B ={x|log 2x <12}，则A ∩B ＝（ ）A.{x|x <32} B.{x|x <√2}C.{x|0<x <32}D.{x|0<x <√2}2. 已知复数z =5+i1−i −i ，则z ⋅z ¯=( ) A.2√2 B.8 C.√13 D.133. 直线y ＝x 绕原点逆时针方向旋转π12后与双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线重合，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2√33B.43C.2D.44. 已知数列{a n }是等比数列，若a 32a9a 52=4，则a 5＝（ ） A.2 B.4C.2√2D.145. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥−1y ≥−1x −2y +2≥02x −y −2≤0 ，则3x −y 的最大值是（ ）A.4B.3C.−2D.−726. 某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，则既有男生发言又有女生发言的概率为（ ） A.25 B.12C.35D.457. 已知变量x ，y 的关系可以用模型y ＝ce kx 拟合，设z ＝ln y ，其变换后得到一组数据下：由上表可得线性回归方程z =−4x +a ，则c ＝（ ） A.−4 B.e −4C.109D.e 1098. 已知f(k)＝k cos kπ(k ∈N ∗)，执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是（ ）A.s ≥−2？B.s ≥2？C.s ≥3？D.s ≥4？9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，过点A 及C 1D 1中点作与直线BD 平行的平面α，则平面α与该正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为（ ） A.5√5 B.2√13+√2 C.2√5+3√2 D.5√210. 已知定义在(−∞, +∞)上的增函数f(x)满足对任意x 1，x 2∈(−∞, +∞)，都有f(x 1+x 2)=12f(x 1)f(x 2)，且f(0)≠0，f(1)＝6，若2<f(a +1)<18，则a 的取值范围是（） A.(−12,1) B.(−1, 1) C.(0, 2) D.(1, 3)11. 蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C:x 2a+2+y 2a=1(a >0)(a >0)的蒙日圆为x 2+y 2＝4，a ＝（ ） A.1 B.2 C.3 D.412. 已知数列{a n }满足a n =(−1)n(n+1)2n ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2019＝（ ） A.2020 B.2019C.1010D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.斜率为−1的直线l 与f(x)=13x 3+x 2的图象相切，则直线l 的方程为________．已知a →=(−1, 2)，b →=(1, 1)，若a →⋅(a →−kb →)＝0，则k ＝________．函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)，若存在x 0∈[−2π, 2π]，使得f(x 0)＝−2，则ω的取值范围是________14，+∞) ．在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，AD =√2，把该四边形沿AC 折起，使得点B 到达点E ，且平面AEC ⊥平面ACD ，若点A 、C 、D 、E 都在同一个球的表面上，则该球的表面积为________．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7:00−23:00这一时间段内顾客：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7:00〜11:00，11:00〜15:00，15:00∼19:00，19:00∼23:00，依次记作[7, 11),[11, 15),[15, 19),[19, 23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t 与平均值x ¯（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客40人，其中10人购物时刻在[19, 23]（夜晚），女顾客60人，其中50人购物时刻在[7, 19)（白天），根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n =a +b +c +d已知△ABC 中，3AC tan C +AB(tan ∠BAC +tan C)＝0． （1）求cos ∠BAC ；（2）若AC ＝3，AB ＝1，点D 在BC 边上，且∠BAD ＝∠CAD ，求AD 的长如图，在四棱锥P −ABCD 中AD // BC ，DA ⊥AB ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，点E 为PD 中点．（1）求证：CE // 平面PAB ；（2）若PA ⊥AD ，PA ＝2，∠PAB =2π3，求三棱锥A −PCD 的体积．已知过点P(4, 0)的动直线与抛物线C:y 2＝2px(p >0)交于点A ，B ，且OA →⋅OB →=0（点O 为坐标原点）． （1）求抛物线C 的方程；（2）当直线AB 变动时，x 轴上是否存在点Q 使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等，若存在，求出点Q 坐标，若不存在，说明理由．已知f(x)=12x 2−a ln x +1(a ∈R)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若2<a <e +1e，且g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x 有2个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：1e<x 1<1;g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2．（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =√3a +√32ty =a −12t，(t 为参数，a ∈R)．在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ＝3． （1）若点A(0, 4)在直线l 上，求直线l 的极坐标方程；（2）已知a >0，若点P 在直线l 上，点Q 在曲线C 上，若|PQ|最小值为√62，求a 的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)＝x 2+2|x −1|． （1）求不等式f(x)>|2x|x的解集；（2）若f(x)的最小值为M ，且a +b +c ＝M(a, b, c ∈R)，求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．参考答案与试题解析2020年全国百强名校领军考试高考数学模拟试卷（文科）（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A ，B ，再求交集即可． 【解答】A ＝{x|2x −3<0}＝(−∞, 1.5)，B ={x|log 2x <12}=(0, √2)，故A ∩B ＝(0, 1.5)， 2.【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z ⋅z ¯=|z|2求解． 【解答】 ∵ z =5+i 1−i−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)−i =2+3i −i ＝2+2i ，∴ z ⋅z ¯=|z|2=(2√2)2=8． 3. 【答案】 C【考点】双曲线的离心率 【解析】由题意可得渐近线的倾斜角为π3，所以斜率为√3，可得a ，b 的关系，再由离心率与a ，b ，c 之间的关系求出离心率． 【解答】因为直线y ＝x 的斜率为1，倾斜角为π4，由题意可得渐近线的倾斜角为π4+π12=π3，所以斜率为√3，即ba =√3， 所以离心率e =√c 2a 2=√1+b 2a 2=√1+3=2，4.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】根据题意，设数列{a n }的公比为q ，结合等比数列的通项公式可得a 32a9a 5=a 32×a 3q 6(a 3q )=a 3q 2＝a 5，即可得答案．【解答】根据题意，数列{a n }是等比数列，设其公比为q ， 若a 32a9a 52=4，则a 32×a 3q 6(a 3q 2)2=a 3q 2＝a 5＝4；5.【答案】 A【考点】 简单线性规划 【解析】首先画出平面区域，令z ＝3x −y ，利用目标函数的几何意义求最大值． 【解答】不等式组表示的平面区域如图：令z ＝3x −y 变形为y ＝3x −z ， 此直线在y 轴截距最小时，z 最大，由区域可知，直线经过图中D 时，z 取最大值； 由：{x −2y +2=02x −y −2=0 ⇒{x =2y =2 ；∴ D(2, 2)；∴ z 取最大值为：3×2−2＝4 6. 【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】基本事件总数n =C 52=10，既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数m =C 31C21=6，由此能求出既有男生发言又有女生发言的概率． 【解答】某中学举行“感恩、责任、信仰、奋斗”的十八岁成人礼仪式，其中有一项学生发言，准备从3名男生、2名女生中随机选2人发言，基本事件总数n =C 52=10，既有男生发言又有女生发言包含的基本事件个数m =C 31C21=6， ∴ 既有男生发言又有女生发言的概率p =m n=610=35．7.【答案】 D【考点】求解线性回归方程 【解析】由已知求得x ¯与z ¯的值，代入线性回归方程求得a ，再由y ＝ce kx ，得ln y ＝ln (ce kx )＝ln c +ln e kx ＝ln c +kx ，结合z ＝ln y ，得z ＝ln c +kx ，则ln c ＝109，由此求得c 值． 【解答】 x ¯=16+17+18+194=17.5，z ¯=50+34+41+314=39．代入z =−4x +a ，得39＝−4×17.5+a ，则a =109． ∴ z =−4x +109，由y ＝ce kx ，得ln y ＝ln (ce kx )＝ln c +ln e kx ＝ln c +kx ， 令z ＝ln y ，则z ＝ln c +kx ，∴ ln c ＝109，则c ＝e 109． 8.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】第二次执行循环体，k ＝2，S ＝2，不满足退出循环的条件（1）第三次执行循环体，k ＝3，S ＝−1，不满足退出循环的条件（2）第四次执行循环体，k ＝4，S ＝3，满足退出循环的条件（3）若输出k 的值为4，则判断框内可填入的条件是s ≥3？ 故选：C ． 9.【答案】 B【考点】平面的基本性质及推论 【解析】由题意画出图形，找出截面，求解三角形得答案． 【解答】 如图，G 为B 1C 1 的中点，则FG // B 1D 1 // BD ，得平面AEFGK // BD ，由△GC 1F ≅△HD 1F 及△HD 1E ∽△ADE ，可得D 1E =13DD 1，则D 1E =23，DE =43， 求得FG =√2，FE ＝GK =√(23)2+12=√133，AE ＝AK =√(43)2+22=2√133． ∴ 平面α与该正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1各面交线长度之和为2√133+4√133+√2=2√13+√2．10.【答案】 B【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据题意，用特殊值法分析可得f(2)＝18，f(0)＝2，据此可得2<f(a +1)<18，即f(0)<f(a +1)<f(2)，结合函数的单调性分析可得答案． 【解答】 故选：B ． 11.【答案】 A【考点】 椭圆的离心率 【解析】由题意可得椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，设特殊值法，求出两条切线的交点坐标，代入蒙日圆的方程可得a 的值．【解答】因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上找两个特殊点分别为(0, √a)，(√2+a, 0)，则两条切线分别是x=√2+a，y=√a，则两条直线的交点为P(√2+a, √a)，而P在蒙日圆上，所以(√2+a)2+(√a)2＝4，解得a＝1，12.【答案】D【考点】数列的求和【解析】本题可先构造数列{b n}：令b n=(−1)n(n+1)2，先得出数列{b n}的特点及周期性，然后可得数列{a n}的规律，再用分组求和法可得S2020的值，再通过S2019＝S2020−a2020可得到正确选项．【解答】由题意，可构造数列{b n}：令b n=(−1)n(n+1)2，则可得数列{b n}:−1，−1，1，1，−1，−1，1，1，…即数列{b n}是最小正周期为4的周期数列．∴数列{a n}:−1，−2，3，4，−5，−6，7，8，…∴S2020＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+...+a2017+a2018+a2019+a2020＝(−1−2+3+4)+(−5−6+7+8)+...+(−2017−2018+2019+2020)＝4×504＝2020，∴S2019＝S2020−a2020＝2020−2020＝0．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【答案】3x+3y+1＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，由导函数等于−1求得切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】设切点坐标为(x0, y0)，由f(x)=13x3+x2，得f′(x)＝x2+2x，则f′(x0)=x02+2x0=−1，即x0＝−1，则y0=−13+1=23．∴直线l的方程为y−23=−1(x+1)，即3x+3y+1＝0．【答案】5【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】求出a→−kb→的坐标，利用向量的数量积运算即可求解．【解答】a→−kb→=(−1,2)−k(1,1)=(−1−k,2−k)．∵a→⋅(a→−kb→)＝0，∴(−1)×(−1−k)+2(2−k)＝0．∴k＝5．【答案】[【考点】三角方程【解析】求出x∈[−2π, 2π]时，ωx∈[−2ωπ, 2ωπ]；令−2ωπ≤−π2求出ω的取值范围即可．【解答】函数f(x)＝2sinωx(ω>0)，当x∈[−2π, 2π]时，ωx∈[−2ωπ, 2ωπ]；令−2ωπ≤−π2，解得ω≥14，此时存在x0∈[−2π, 2π]，使得f(x0)＝−2，所以ω的取值范围是[14, +∞)．【答案】3π【考点】球的表面积和体积【解析】由题意画出图形，证明DE的中点O为三棱锥E−ACD外接球的球心，求解三角形可得OD，代入球的表面积公式得答案．【解答】如图，由AB＝AC＝1，BC＝AD=√2，得AB⊥AC，即EA⊥AC，又平面AEC⊥平面ACD，平面AEC∩平面ACD＝AC，∴EA⊥平面ACD，底面ACD为等腰直角三角形，过AD的中点作底面ACD的垂线，交DE于O，则O为三棱锥E−ACD外接球的球心，则外接球的半径R=12DE=√32．∴球O的表面积为S=4π×(√32)2=3π．三、解答题：共70分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】设中位数为m ，则0.025×4+0.075×4+0.100×(m −15)＝0.5，解得m ＝16． 平均值x ¯=0.025×4×9+0.075×4×13+0.100×4×17+0.050×4×21＝15.8； 2×2列联表如图：（1）K 2的观测值k =100×(300−800)240×60×80×20≈1.302<2.706．∴ 没有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”．【考点】 独立性检验 【解析】（1）设中位数为m ，再由中位数左边的频率和为0.5列式求解； （2）求出K 2的观测值k ，与临界值表比较得到结论． 【解答】设中位数为m ，则0.025×4+0.075×4+0.100×(m −15)＝0.5，解得m ＝16． 平均值x ¯=0.025×4×9+0.075×4×13+0.100×4×17+0.050×4×21＝15.8； 2×2列联表如图：（1）K 2的观测值k =100×(300−800)240×60×80×20≈1.302<2.706．∴ 没有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”． 【答案】△ABC 中，∵ 3AC tan C +AB(tan ∠BAC +tan C)＝0， ∴ 由正弦定理得(3sin B +sin C)⋅sin C cos C+sin C sin ∠BAC cos ∠BAC=0，由0<C <π，sin C ≠0，得：(3sin B +sin C)cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，整理，得：3sin B cos ∠BAC +sin C cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin (∠BAC +C)＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin B ＝0，∵ 0<B <π，sin B ≠0，∴ cos ∠BAC =−13．由cos ∠BAC =−13，得sin ∠BAC =2√23，由∠BAD＝∠CAD ，得sin ∠BAD ＝sin ∠CAD =√1−cos ∠BAC2=√1+132=√63， 由S △ABC ＝S △BAD +S △CAD ，得：12×AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AD ×sin ∠BAD +12×AC ×AD ×sin ∠CAD ，整理，得2√2=√6AD +√63AD ，解得AD =√32．【考点】解三角形 【解析】（1）由正弦定理得(3sin B +sin C)⋅sin Ccos C +sin C sin ∠BAC cos ∠BAC=0，由(3sin B +sin C)cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，得：3sin B cos ∠BAC +sin C cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，从而3sin B cos ∠BAC +sin B ＝0，由此能求出cos ∠BAC ． （2）由cos ∠BAC =−13，得sin ∠BAC =2√23，由∠BAD ＝∠CAD ，得sin ∠BAD ＝sin ∠CAD =√1−cos ∠BAC2=√63，由S △ABC ＝S △BAD +S △CAD ，得2√2=√6AD +√63AD ，由此能求出AD ． 【解答】△ABC 中，∵ 3AC tan C +AB(tan ∠BAC +tan C)＝0， ∴ 由正弦定理得(3sin B +sin C)⋅sin C cos C+sin C sin ∠BAC cos ∠BAC=0，由0<C <π，sin C ≠0，得：(3sin B +sin C)cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0，整理，得：3sin B cos ∠BAC +sin C cos ∠BAC +sin ∠BAC cos C ＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin (∠BAC +C)＝0， ∴ 3sin B cos ∠BAC +sin B ＝0，∵ 0<B <π，sin B ≠0，∴ cos ∠BAC =−13．由cos ∠BAC =−13，得sin ∠BAC =2√23，由∠BAD ＝∠CAD ，得sin ∠BAD ＝sin ∠CAD =√1−cos ∠BAC2=√1+132=√63， 由S △ABC ＝S △BAD +S △CAD ，得：12×AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AD ×sin ∠BAD +12×AC ×AD ×sin ∠CAD ， 整理，得2√2=√6AD +√63AD ，解得AD =√32．【答案】证明：作EF ⊥AP 于F ，点E 为PD 中点．所以F 为AP 的中点，所以EF =∥12AD ，所以EF =∥BC ，所以四边形EFBC 是平行四边形， 所以CE // BF ，BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE // 平面PAB ． PA ⊥AD ，DA ⊥AB ，所以AD ⊥平面PAB ，PA ＝2，∠PAB=2π3，所以P 到平面ACD 的距离为：2×√32=√3，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，所以三角形ACD 的面积为：12×2×1=1， 三棱锥A −PCD 的体积为：13×S △ACD ×√3=√33．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 直线与平面平行【解析】（1）作EF ⊥AP 于F ，点E 为PD 中点．证明四边形EFBC 是平行四边形，推出CE // BF ，然后证明CE // 平面PAB ．（2）求出P 到平面ACD 的距离，三角形ACD 的面积，然后转化求解三棱锥A −PCD 的体积． 【解答】证明：作EF ⊥AP 于F ，点E 为PD 中点．所以F 为AP 的中点，所以EF =∥12AD ，所以EF =∥BC ，所以四边形EFBC 是平行四边形， 所以CE // BF ，BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以CE // 平面PAB ． PA ⊥AD ，DA ⊥AB ，所以AD ⊥平面PAB ，PA ＝2，∠PAB =2π3，所以P 到平面ACD 的距离为：2×√32=√3，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，CD =√2，所以三角形ACD 的面积为：12×2×1=1，三棱锥A −PCD 的体积为：13×S △ACD ×√3=√33．【答案】设过点P(4, 0)的动直线为x ＝my +4，代入抛物线y 2＝2px ，可得y 2−2pmy −8p ＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 可得y 1y 2＝−8p ，由OA →⋅OB →=0可得x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2＝16−8p ＝0，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ；当直线AB 变动时，x 轴上假设存在点Q(t, 0)使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP 为∠AQB 的角平分线，即有k AQ +k BQ ＝0， 由（1）可得y 1y 2＝−8p ，y 1+y 2＝2pm ， 则k AQ +k BQ =y 1x1−t+y 2x 2−t=y 1my 1+4−t+y 2my 2+4−t=0，化为2my 1y 2+(4−t)(y 1+y 2)＝0， 即为−16mp +2pm(4−t)＝0， 化简可得t ＝−4，则x 轴上存在点Q(−4, 0)，使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等． 【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线的位置关系【解析】（1）设过点P(4, 0)的动直线为x ＝my +4，联立抛物线的方程，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，化简可得p ，进而得到抛物线方程；（2）x 轴上假设存在点Q(t, 0)符合题意，由题意可得k AQ +k BQ ＝0，运用直线的斜率公式和韦达定理，化简可得t 的值，即可判断存在性． 【解答】设过点P(4, 0)的动直线为x ＝my +4，代入抛物线y 2＝2px ，可得y 2−2pmy −8p ＝0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 可得y 1y 2＝−8p ，由OA →⋅OB →=0可得x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2＝16−8p ＝0，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ；当直线AB 变动时，x 轴上假设存在点Q(t, 0)使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等， 由角平分线的判定定理可得QP 为∠AQB 的角平分线，即有k AQ +k BQ ＝0， 由（1）可得y 1y 2＝−8p ，y 1+y 2＝2pm ， 则k AQ +k BQ =y 1x1−t+y 2x2−t=y 1my 1+4−t+y 2my 2+4−t=0， 化为2my 1y 2+(4−t)(y 1+y 2)＝0，即为−16mp +2pm(4−t)＝0， 化简可得t ＝−4，则x 轴上存在点Q(−4, 0)，使得点P 到直线AQ ，BQ 的距离相等． 【答案】f(x)=12x 2−a ln x +1，求导，f ′(x)=x −ax=x 2−a x(x >0)，①当a ≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当a >0时，x ∈(0,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上可知，a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增；证明：①方法一：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1， 所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e ，得△＝a 2−4>0， 且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2，由x 1+x 2=x 1+1x 1=a <e +1e，得(x 1−e)(x 1−1e)x 1<0，所以1e <x 1<1，解法二：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1， 所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e，得△＝a 2−4>0， 且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2， 设m(x)＝x 2−ax +1＝0，因为m(1e )=1e2−ae+1=1e+e−a e>0，m(1)＝2−a <0，由零点存在定理得1e <x 1<1；②g(x 1)−g(x 2)=12x 12−ax 1+ln x 1+1−12x 22+ax 2−ln x 2−1=12(x 1+x 2)(x 1−x 2)−a(x 1−x 2)+21nx 1=−12(x 1+x 2)(x 1−x 2)+21nx 1=12x 12−12x 12+21nx 1(1e <x 1<1)，设ℎ(t)=12t 2−12t 2+21nt ，(1e<t <1)，求导，ℎ(t)=−1t3−t +2t=−(t 2−1)24<0，(1e<t <1)，故y ＝ℎ(t)在(1e ,1)单调递减，ℎ(t)<ℎ(1e )=12e 2−12e −2， 所以g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2..【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，即可判断f(x)的单调性；（2）①方法一：根据导数与函数极值的关系，求得x 1和x 2的关系，因此可以求得x 1的取值范围； 方法二：根据方法一求得x 1和x 2的关系，根据函数的零点存在定理求得x 1的取值范围；②根据①可知，表示出g(x 1)−g(x 2)，消元，根据x 1的取值范围和函数的单调性即可求得g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2.. 【解答】f(x)=12x 2−a ln x +1，求导，f ′(x)=x −ax=x 2−a x(x >0)，①当a ≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0, +∞)上单调递增；②当a >0时，x ∈(0,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(√a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上可知，a ≤0时，f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a >0时，f(x)在(0,√a)上单调递减，在(√a,+∞)上单调递增；证明：①方法一：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1，所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e ，得△＝a 2−4>0，且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2，由x 1+x 2=x 1+1x 1=a <e +1e ，得(x 1−e)(x 1−1e)x 1<0，所以1e<x 1<1，解法二：因为g(x)＝f(x)+a(ln x −x)+ln x =12x 2−ax +ln x +1， 所以g ′(x)=x −a +1x =x 2−ax+1x，g(x)有2个不同的极值点x 1，x 2(0<x 1<x 2)，则x 1，x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个根，由2<a <e +1e ，得△＝a 2−4>0， 且x 1+x 2＝a ，x 1x 2＝1，结合0<x 1<x 2，可得0<x 1<1<x 2， 设m(x)＝x 2−ax +1＝0，因为m(1e )=1e 2−ae +1=1e+e−a e>0，m(1)＝2−a <0，由零点存在定理得1e<x 1<1；②g(x 1)−g(x 2)=12x 12−ax 1+ln x 1+1−12x 22+ax 2−ln x 2−1=12(x 1+x 2)(x 1−x 2)−a(x 1−x 2)+21nx 1=−12(x 1+x 2)(x 1−x 2)+21nx 1=12x 12−12x 12+21nx 1(1e <x 1<1)，设ℎ(t)=12t 2−12t 2+21nt ，(1e<t <1)，求导，ℎ(t)=−1t 3−t +2t=−(t 2−1)24<0，(1e<t <1)，故y ＝ℎ(t)在(1e,1)单调递减，ℎ(t)<ℎ(1e)=12e 2−12e 2−2，所以g(x 1)−g(x 2)<12e 2−12e 2−2..（-）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】直线l 的参数方程为{x =√3a +√32ty =a −12t ，(t 为参数，a ∈R)．转换为直角坐标方程为x +√3y −2√3a =0， 由于点A(0, 4)在直线l 上，所以4√3−2√3a =0，解得a ＝2．即：x +√3y −4√3=0，转换为极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ−4√3=0． 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ＝3．转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1． 设点Q(√3cos θ,sin θ)，点Q 到直线x +√3y −2√3a =0的距离d =√3cos √3sin √3a|1+3，由于a >0，所以|PQ|≥|√6−2√3a|2=√62，解得a =√2或0（0舍去）．故a =√2．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】直线l 的参数方程为{x =√3a +√32ty =a −12t ，(t 为参数，a ∈R)．转换为直角坐标方程为x +√3y −2√3a =0， 由于点A(0, 4)在直线l 上，所以4√3−2√3a =0，解得a ＝2．即：x +√3y −4√3=0，转换为极坐标方程为ρcos θ+√3ρsin θ−4√3=0． 曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ＝3．转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1．设点Q(√3cos θ,sin θ)，点Q 到直线x +√3y −2√3a =0的距离d =√3cos √3sin √3a|1+3，由于a >0，所以|PQ|≥|√6−2√3a|2=√62，解得a =√2或0（0舍去）．故a =√2．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 【答案】当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0 ，∴ x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．当x ≥1时，f(x)＝x 2+2x −2＝(x +1)2−3； 当x ＝1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)＝x 2−2x +2＝(x −1)2+1>1， ∴ f(x)最小值为1，∴ a +b +c ＝M ＝1， ∵ a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，∴ √a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理√b 2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴ √a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 【解析】 （1）根据f(x)>|2x|x，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；（2）先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c ＝M ＝1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2成立．【解答】当x <0时，f(x)>|2x|x等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立；当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀，当x >1时，f(x)>|2x|x等价于{x >1x 2+2x −4>0 ，∴ x >√5−1，综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)．当x≥1时，f(x)＝x2+2x−2＝(x+1)2−3；当x＝1时，f(x)取得最小值为1；当x<1时，f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1>1，∴f(x)最小值为1，∴a+b+c＝M＝1，∵a2+b2≥a22+b22+ab=(a+b)22，∴√a2+b2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2，同理2+c2≥√2(b+c)2,√c2+a2≥√2(c+a)2，∴√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)=√2．第21页共22页◎第22页共22页。

2020年浙江省杭州二中、学军中学五校高考数学模拟试卷(6月份)

2020年浙江省杭州二中、学军中学五校高考数学模拟试卷(6月份)

2020年浙江省杭州二中、学军中学五校高考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U =R ，集合A ={x||x|≤1,x ∈R}，集合B ={x|2x ≤1,x ∈R}，则集合A ∩B 是( )A. (∞,1]B. [0,1]C. [−1,0]D. [−1,+∞) 2. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则其渐近线的方程为( )A. y =±√33xB. y =±√22xC. y =±√3xD. y =±2x3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是( )A. √22B. √23C. √24D. 134. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥1x +y ≤2x −3y ≤0若2x +y ≥m 恒成立，则m 的取值范围是( )A. m ≥3B. m ≤3C. m ≤72D. m ≤73 5. 在△ABC 中，“sinA >cosB ”是“△ABC 为锐角三角形”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 函数f(x)=(12)|x|−x 2+2的图象可能是( )A. B.C. D.7.新冠来袭，湖北告急!有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院．每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有()种A. 252B. 540C. 792D. 6848.如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，E是AD的中点，将△ABE沿BE翻折，记为△AB′E，在翻折过程中，①点A′在平面BCDE的射影必在直线AC上；②记A′E和A′B与平面BCDE所成的角分别为α，β，则tanβ−tanα的最大值为0；③设二面角A′−BE−C的平面角为θ，则θ+∠A′BA≥π.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 39.已知f(x)是定义域为(0,+∞)的单调函数，若对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)+log13x]=4，且方程|f(x)−3|=x3−6x2+9x−4+a在区间(0,3]上有两解，则实数a的取值范围是()A. 0<a≤5B. a<5C. 0<a<5D. a≥510.已知数列{a n}满足a n+1=a n+na n (n∈N∗)，a1>0，则当n≥2时，下列判断不一定正确的是()A. a n≥nB. a n+2−a n+1≥a n+1−a nC. a n+2a n+1≤a n+1a nD. 存在正整数k ，当n ≥k 时，a n ≤n +1恒成立．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 二项式(2√x √x4)n (n ∈N ∗)的展开式中，所有二项式系数之和为256，则n =______；且此展开式中含x 项的系数是______．12. 已知复数z =x +yi(x,y ∈R)，若|z +2i|=1，则|z|max =______；x +2y 的取值范围是______．13. 两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为23和12，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ，则Eξ=______；若η=3ξ−1，则Dη=______．14. 已知在△ABC 中，cosB =13，AB =3√6，AC =8，延长BC 至D ，使CD =2，则AD =______，sin∠CAD =______．15. 已知|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=|c ⃗ |=4，若c ⃗ =a ⃗ −(a ⃗ ⋅a ⃗⃗⃗ a ⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ，则|a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ |的最大值为______． 16. 已知实数x ，y ，z 满足{xy +2z =24x 2+y 2+z 2=8，则xyz 的最小值为______． 17. 设直线与抛物线y 2=3x 相交于A ，B 两点，与圆(x −4)2+y 2=r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线恰有4条，则r 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinωxcos(ωx +π3)−2cos 2ωx +52(ω>0)，且f(x)图象上相邻两个最低点的距离为π．(Ⅰ)求ω的值以及f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若f(α)=513，且α∈[0,π2]，求cos2α的值．19.在三棱锥P−ABC中，PC=BC=2，AC=3，AP=√7，∠ACB=90°，点D在线段AB上，且满足DB=DP．(Ⅰ)求证：PB⊥CD；(Ⅱ)当面PDC⊥面ABC时，求直线CD与平面PAC所成角的正弦值．20.数列{a n}，a1=1，a n+1=2a n−n2+3n(n∈N∗).(Ⅰ)是否存在常数λ，μ，使得数列{a n+λn2+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，说明理由．(Ⅱ)设b n=1a n+n−2n−1,S n=b1+b2+b3+⋯+b n，证明：当n≥2时，nn+1<S n<53．21.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过点A(2,1)，且该椭圆的短轴端点与两焦点F1，F2的张角为直角．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)过点B(0,3)且斜率大于0的直线与椭圆E相交于点P，Q，直线AP，AQ与y轴相交于M，N两点，求|BM|+|BN|的取值范围．22.已知函数f(x)=xlnx−ax2+x(a∈R)．(Ⅰ)若a=1方程f(x)=t的实根个数不少于2个，证明：−14<t<0；(Ⅱ)若f(x)在x=x1，x2(x1<x2)处导数相等，求a的取值范围，使得对任意的x1，x2，恒有f(x1+x2)<−ln|a||a|成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U=R，集合A={x||x|≤1,x∈R}={x|−1≤x≤1}，集合B={x|2x≤1,x∈R}={x|x≤0}，∴集合A∩B={x|−1≤x≤0}=[−1,0]．故选：C．分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：【分析】=2，再由双曲线的a，b，c的关系，可得b=√c2−a2=√3a，再由焦点运用双曲线的离心率的公式e=ca在x轴上的渐近线方程，即可得到所求方程．本题主要考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率公式的应用和渐近线方程的求法，属于基础题．【解答】=2，即有c=2a，由e=cab=√c2−a2=√3a，x，由双曲线的渐近线方程y=±ba可得渐近线方程为y=±√3x.故选C．3.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：如图所示：所以最短的棱长为AB =√12+12=√2，最长的棱长为AC =√22+22+12=3，所以最短的棱长与最长的棱长的比值为：√23． 故选：B ．首先把三视图转化内直观图，进一步求出几何体的最长棱长和最短棱长．本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的棱长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.【答案】D【解析】解：由约束条件{x ≥1x +y ≤2x −3y ≤0作出可行域如图，联立{x =1x −3y =0，解得A(1,13)， 令z =2x +y ，化为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为73．∴满足2x +y ≥m 恒成立的m 的取值范围是m ≤73．故选：D ．由约束条件作出可行域，令z =2x +y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数求得最小值，则答案可求．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：若B为钝角，A为锐角，则sinA>0，cosB<0，则满足sinA>cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π−A−B都是锐角，即π−A−B<π2，即A+B>π2，B>π2−A，则cosB<cos(π2−A)，即cosB<sinA，故“sinA>cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B6.【答案】D【解析】解：由解析式可知f(x)=(12)|x|−x2+2为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，排除A；又f(0)=3>0，排除C；当x>0时，y=(12)x单调递减，y=−x2单调递减，∴f(x)=(12)x−x2+2在(0,+∞)上是单调递减的，排除B；故选：D．利用奇偶性判断对称性，再计算f(0)的值，判断f(x)在(0,+∞)上的单调性即可得出答案．本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性，单调性和特殊值等方面考虑，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①将6名护士分成3组，每组1−3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，C42+C43=7种分组方法，若甲乙单独一组，将其他4人分成2组即可，有12若甲乙与其他人一组，有2C42=12种分组方法，则护士有12+7=19种分组方法；②将3名医生分成3组，每组一人，有1种分组方法；③将分好三组护士、三组医生全排列，安排到三家医院，有A33A33=36种情况，则有19×1×36=684种不同的安排方法，故选：D．根据题意，分3步进行分析：①将6名护士分成3组，每组1−3人，其中护士甲和护士乙分到同一组，②将3名医生分成3组，每组一人，③将分好三组护士、三组医生全排列，安排到三家医院，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在矩形ABCD中，AB=1，BC=√2，E是AD的中点，连接AC，交BE于点G，可知△ABC∽△EAB，，则∠ABE=∠ACB，且∠GBC+∠ABE=π2所以∠GBC+∠ACB=π，所以AC⊥BE，MC⊥BE，2所以BE⊥面A′MC，BE⊂面BCDE，所以面A′MC⊥面BCDE，过点A′作A′N⊥平面BCDE于点N，则点N必在直线MC上，故命题①正确，A′E和A′B与平面BCDE所成的角分别为α，β，即∠A′EN=α，∠A′BN=β，因为A′B>A′E，所以BN>EN，tanβ=A′NBN ，tanα=A′NEN，所以tanβ≤tanα，当A′，A重合时取等号，即tanβ−tanα≤0，所以命题②正确，因为二面角A′−BE−C的平面角为θ，即∠A′MC=θ，因为∠θ+∠A′MA=π，∠A′MA>∠A′BA，所以θ+∠A′BA<π，故③错误，故选：C．由题意画出图形，推理可得面A′MC⊥面BCDE，由射影定的定义，线面成角的定义，二面角的定义，找到对应的角，根据已知条件即可判断角之间的关系．本题考查空间直线与平面的位置关系，命题真假的判断，考查线面角，面面角，线线成角问题，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：∵定义域为(0,+∞)的单调函数f(x)满足f[f(x)+log 13x]=4，∴必存在唯一的正实数a，满足f(x)+log 13x=a，f(a)=4，①∴f(a)+log 13a=a，②由①②得：4+log 13a=a，log 13a=a−4，a=(13)a−4，左增，右减，有唯一解a=3，故f(x)+log 13x=a=3，f(x)=3−log 13x，由方程|f(x)−3|=x3−6x2+9x−4+a在区间(0,3]上有两解，即有|log 13x|=x3−6x2+9x−4+a，由g(x)=x3−6x2+9x−4+a，g′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)，当1<x<3时，g′(x)<0，g(x)递减；当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)递增．g(x)在x =1处取得最大值a ，g(0)=a −4，g(3)=a −4， 分别作出y =|log 13x|，和y =x 3−6x 2+9x −4的图象，可得 两图象只有一个交点，将y =x 3−6x 2+9x −4的图象向上平移， 至经过点(3,1)，有两个交点， 由g(3)=1即a −4=1，解得a =5， 当0<a ≤5时，两图象有两个交点，即方程|f(x)−3|=x 3−6x 2+9x −4+a 在区间(0,3]上有两解． 故选：A ．由题设知必存在唯一的正实数a ，满足f(x)+log 13x =a ，f(a)=4，f(a)+log 13a =a ，故4+log 13a =a ，log 13a =a −4，a =(13)a−4，左增，右减，有唯一解a =3，故f(x)+log 13x =a =3，由题意可得|log 13x|=x 3−6x 2+9x −4+a 在区间(0,3]上有两解，讨论g(x)=x 3−6x 2+9x −4+a 的单调性和最值，分别画出作出y =|log 13x|，和y =x 3−6x 2+9x −4的图象，通过平移即可得到a 的范围． 本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．10.【答案】C【解析】解：对于A ，由同号原理，构造a n+1−(n +1)=(a n −n)+(n a n−1)=(a n −n)(1−1a n)，当n ≥2时，a n =a n−1+n a n−1≥2√n >1，∴1−1a n>0，(n ≥2)，a n+1−(n +1)与a n −n(n ≥2)同号，∵a 2−2≥0，∴a n −n ≥0，∴当n ≥2时，a n ≥n ，故A 正确；对于B ，由递推公式a n+1=a n +na n (n ∈N ∗)，得a n+1−a n =na n ，(n ∈N ∗)，∴a n+2−a n+1≥a n+1−a n ，∴n+1a n+1≥n a n，∴a n+1a n≤n+1n，(n ≥2)，∵a n ≥n ，∴a n+1a n=1+na n2≤1+n n2=n+1n对n ≥2恒成立，故B 正确；对于C ，由递推公式a n+1=a n +na n (n ∈N ∗)，得a n+1a n=1+na n2，a n+12=a n2+n 2a n2+2n ，a n−12a n2=1+n 2a n4+2na n2，命题可化为an+2a n+1≤a n+1a n，n+1a n+12≤na n2，∴a n+12a n2≥nn+1，∴n 4a n4+2na n2≥1n，(∗)，n ≤a n ≤n +1，∴n →+∞时，(∗)成立， 考虑n 较小时，若此时a n 较大，则(∗)不成立， 比如构造反例：a 2=10,22104+4102<12，故C 错误；对于D ，递推公式a n+1=a n +na n (n ∈N ∗)，得a n+12=a n 2+n 2an2+2n ≤a n 2+2n +1， ∴a n 2≤a n−12+2n −1，∴a n 2≤a n−12+2n −1≤a n−22+(2n −1)+(2n −3) ≤⋯≤a 22+(2n −1)+(2n −3)+⋯+5=n 2−4+a 22， 要使a k ≤k +1，只需保证a k 2≤k 2−4+a 22≤(k +1)2，∴只需k ≥[a 22−52]+1即可，故D 正确．故选：C ．利用递推公式，结合放缩法和同号法能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查数列的递推公式、放缩法、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】8 1120【解析】解：∵在(2√x √x 4)n (n ∈N ∗)的展开式中，二项式系数之和是2n ，又二项式系数之和为256， ∴2n =256，∴n =8∴展开式的通项为T r+1=∁8r ⋅(2√x)8−r ⋅(√x 4)r =C 8=28−r C 8r ⋅x 16−3r4，令16−3r 4=1，可得r =4，∴x 的系数为16C 84=1120．故答案为：8，1120．根据题意，由二项式定理可得2n =256，解可得n 的值，求出展开式的通项，要求x 的系数，令x 的指数为1，可得r 的值，代入可得答案．本题主要考查二项式定理的应用，要牢记二项式(x +y)n 中，其二项式系数之和为2n ；12.【答案】3 [−4−√5.−4+√5].【解析】解：因为|z +2i|=1，所以|x +(2+y)i|=1，即√x 2+(y +2)2=1， 所以点(x,y)满足x 2+(y +2)2=1，即点(x,y)在以(0,−2)为圆心，1为半径的圆周上， ①|z|=√x 2+y 2表示点(x,y)到原点(0,0)的距离， 由图可知|z|max =3．②令z =x +2y ，即y =−12x +z2，z 2表示直线z =x +2y 在y 轴上的截距，截距越大(越小)，z 越大(越小)，由图可知当直线z =x +2y 与圆相切时，z 最大(最小)， 所以d =|0+2(−2)−z|√12+22=r =1，解得z =−4+√5或−4−√5，所以x +2y 的取值范围：[−4−√5.−4+√5]. 故答案为：3，[−4−√5.−4+√5].根据题意可得，①|z|=√x 2+y 2表示点(x,y)到原点(0,0)的距离，由图可得出结论．②z2表示直线z =x +2y 在y 轴上的截距，截距越大(越小)，z 越大(越小)，由图可知当直线z =x +2y 与圆相切时，z 最大(最小)，结合图可得出结论．本题主要考查了利用目标函数的几何意义求解目标函数的最值，属于基础试题13.【答案】76 174【解析】解：两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为23和12，两个零件是否加工为一等品相互独立，设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ， 则ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ=0)=(1−23)(1−12)=16，P(ξ=1)=23(1−12)+(1−23)×12=12， P(ξ=2)=23×12=13，∴Eξ=0×16+1×12+2×13=76，Dξ=(0−76)2×16+(1−76)2×12+(2−76)2×13=1736，∵η=3ξ−1，∴Dη=9Dξ=9×1736=174．故答案为：76，174．设两人加工的零件中为一等品的个数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Eξ和Dξ，再由η=3ξ−1，能求出Dη．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】√21 ；√714【解析】解：因为cosB =13，所以sinB =2√23，因为AB =3√6，AC =8， △ABC 中由正弦定理可得，3√6sin∠ACB =82√23，所以sin∠ACB =√32，且AB <AC ，所以∠ACB =13π，△ACD 中，CD =2，AC =8，∠ACD =2π3，则AD 2=64+4−2×2×8×(−12)=84， 故AD =2√21，由余弦定理可得，cos∠CAD =84+64−42×8×2√21=√2114×3所以sin∠CAD =√714．故答案为：2√21，√714．由已知结合同角平方关系可求sin B ，然后结合正弦定理可求∠ACB ，再由余弦定理可求AD ；由已知结合余弦定理及同角平方关系即可直接求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的综合应用，属于中档试题．15.【答案】9【解析】解：∵c ⃗ ⋅a ⃗ =a ⃗ ⋅a ⃗ −(a ⃗ ⋅a ⃗a⃗ ⋅b ⃗ )b ⃗ ⋅a⃗ =0， ∴c ⃗ ⊥a ⃗ ，依题意，不妨设a ⃗ =(3,0),c ⃗ =(0,4),b ⃗ =(4cosθ,4sinθ)， 则a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ =(3−4cosθ,−4−4sinθ)，∴|a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ |=√(3−4cosθ)2+(−4−4sinθ)2=√41+40sin(θ+φ)≤√81=9，其中tanφ=34．故答案为：9．计算可知c ⃗ ⊥a ⃗ ，则根据题设可设a ⃗ =(3,0),c ⃗ =(0,4),b ⃗ =(4cosθ,4sinθ)，进而求得|a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ |，利用三角函数的有界性即得解．本题考查平面向量的数量积运算以及向量垂直的判断，考查向量模的最值求法，涉及了三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及转化思想，属于基础题．16.【答案】16√2−22【解析】解：实数x ，y ，z 满足{xy +2z =24x 2+y 2+z 2=8，整理得z =2−xy2， 所以4x 2+y 2+z 2=8， 整理得：8≥4|xy|+(2−xy)24，整理得：32≥16|xy|+4−4xy +x 2y 2，化简为：x 2y 2+12xy −28≤0或x 2y 2−20xy −28≤0， 解得：0≤xy ≤2或10−8√2≤xy ≤0． 所以xyz =xy ⋅2−xy 2=2xy−(xy)22=−12(xy)2+xy =−12(xy −2)2+2，根据函数的单调性的应用，当xy =10−8√2时，xyz 的最小值为−12(10−8√2−2)2+2=16√2−22． 故答案为：16√2−22直接利用不等式的性质的应用和二次函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，二次函数的性质的应用，不等式的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】(32,√392)【解析】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(x 0,y 0)，直线斜率存在时，设斜率为k ，则y 12=3x 1，y 22=3x 2，相减得(y 1+y 2)(y 1−y 2)=3(x 1−x 2)， 即(y 1+y 2)⋅y 1−y 2x 1−x 2=3，则ky 0=32，① ∵直线与圆相切，∴y 0x−4=−1k，② 联立①②得x 0=52，即M 的轨迹是直线x =52． 将x =52代入y 2=3x ，得y 2=152，∴−√302<y 0<√302， ∵M 在圆上，∴(x 0−4)2+y 02=r 2， ∴r 2=y 02+94<152+94=394，∵直线的斜率存在，∴y 0≠0， 则94<r 2<394，得32<r <√392， 故32<r <√392时，直线有2条；直线斜率不存在时，直线有2条． ∴直线恰有4条时，32<r <√392．故答案为：(32,√392). 设出A ，B ，M 的坐标，利用点差法得到M 的轨迹是直线x =52，代入抛物线方程可得M 纵坐标的范围，把M 的坐标代入圆的方程，把r 用含有M 纵坐标的代数式表示，则答案可求．本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键，是中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)因为函数f(x)=2√3sinωxcos(ωx +π3)−2cos 2ωx +52(ω>0)=2√3sinωx(cosωxcosπ3−sinωxsin π3)−2cos 2ωx +52=2√3×12sinωxcosωx −2√3×√32sin 2ωx −2cos 2ωx +52=√32sin2ωx +12cos2ωx =sin(2ωx +π6)；∵f(x)图象上相邻两个最低点的距离为π．故T=2π2ω⇒ω=1；∴f(x)=sin(2x+π6)；令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2即kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z；故f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．(Ⅱ)若f(α)=513，且α∈[0,π2]，∵α∈[0,π2]⇒2α+π6∈[π6,7π6]；∴f(α)=sin(2α+π6)=513<12；∴2α+π6∈[π2,π]．故cos(2α+π6)=−√1−sin2(2α+π6)=−1213；故cos2α=cos(2α+π6−π6)=cos(2α+π6)cosπ6+sin(2α+π6)sinπ6 =(−1213)×√32+513×12=5−12√326．【解析】(Ⅰ)直接结合两角和与差的三角公式以及诱导公式进行化简即可求解ω，再利用正弦函数的性质即可求解单调递减区间；(Ⅱ)先根据f(α)=513，且α∈[0,π2]，求得2α+π6∈[π2,π].且cos(2α+π6)=−√1−sin2(2α+π6)=−1213；再结合两角差的余弦公式即可求得结论．本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的单调性和两角和与差的余弦公式，属中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取PA的中点M，连接DM，CM，∵PC=BC，∴PB⊥CM，又PD=DB，∴PD⊥DM，而CM∩DM=M．从而PB⊥平面CDM，得PB⊥CD；(Ⅱ)解：过点P作PO⊥CD于O，连接OB．∵△PCD≌△BCD ，∴BO ⊥CD ． ∴∠POB 为二面角P −CD −B 的平面角． 又∵平面PDC ⊥平面ABC ，∴∠POB =90°． 令∠BCD =α，则PO =BO =2sinα，CO =2cosα．∴AO 2=AC 2+CO 2−2AC ⋅CO ⋅cos(90°−α)=9+4cos 2α−6sin2α． 而平面PDC ⊥平面ABC ，PO ⊥CD 于O ，∴PO ⊥平面ABC ，则PO ⊥AO ． 在Rt △POA 中，由PA 2=PO 2+OA 2，得sin2α=1，α∈(0,π2)， ∴α=π4，得∠ACO =π4．又∵V P−AOC =V O−PAC ，记O 到平面PAC 的距离为d ， 则d =S △AOC ⋅PO S △PAC =32×√23√32=√63． 记直线CD 与平面PAC 所成角为θ，则sinθ=d CO=√33．【解析】(Ⅰ)取PA 的中点M ，连接DM ，CM ，由已知可得PB ⊥CM ，PD ⊥DM ，得到PB ⊥平面CDM ，从而有PB ⊥CD ；(Ⅱ)过点P 作PO ⊥CD 于O ，连接OB.证明BO ⊥CD.令∠BCD =α，则PO =BO =2sinα，CO =2cosα.利用余弦定理求得AO ，在Rt △POA 中，利用勾股定理求解α=π4，得∠ACO =π4.然后利用等体积法求出O 到平面PAC 的距离d ，记直线CD 与平面PAC 所成角为θ，则sinθ=d CO =√33．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查空间角的求法，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)解：假设存在常数λ，μ，使得数列{a n +λn 2+μn}是等比数列，又a n+1=2a n −n 2+3n(n ∈N ∗)，∴a n+1+λ(n +1)2+μ(n +1)=2(a n +λn 2+μn)，即a n+1=2a n +λn 2+(μ−2λ)n −λ−μ，故{λ=−1μ−2λ=3−λ−μ=0，解得：{λ=−1μ=1.∴a n+1=2a n −n 2+3n 可化为a n+1−(n +1)2+(n +1)=2(a n −n 2+n)，又a 1−12+1=1≠0，故存在λ=−1，μ=1，使得数列{a n +λn 2+μn}是等比数列；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得：a n −n 2+n =(a 1−12+1)⋅2n−1=2n−1，∴a n =2n−1+n 2−n ，故b n =1an +n−2=1n 2，∵b n =1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n−1−12n+1)，∴当n ≥2时，S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n <1+2(13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=1+23−22n+1<53． 现证S n >nn+1(n ≥2)：当n =2时，S 2=b 1+b 2=1+14=54>23，故当n =2时不等式成立；当n ≥3时，由b n =1n 2>1n(n+1)=1n −1n+1得：S n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n >(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n −1n+1) =1−1n+1=nn+1，∴S n >nn+1(n ≥2)． 故当n ≥2时，nn+1<S n <53．【解析】(Ⅰ)先假设存在常数λ，μ，使得数列{a n +λn 2+μn}是等比数列，然后整理得到：a n+1=2a n +λn 2+(μ−2λ)n −λ−μ，然后利用待定系数法求得λ、μ即可；(Ⅱ)先利用(Ⅰ)求得a n 与b n ，再利用放缩法与裂项相消法证明结论．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及放缩法、裂项相消法在证明不等式中的应用，属于较难的题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得b =c ，且4a 2+1b 2=1，又a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6，b 2=3， 所以椭圆E 的方程为：x 26+y 23=1；(Ⅱ)设直线l 的方程为：y =kx +3，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 则直线AP 的方程为：y −1=y 1−1x1−2(x −2)，令x =0可得M(0,1−2(y 1−1)x 1−2)，直线AQ 的方程为：y −1=y 2−1x 2−2(x −2)，令x =0可得N(0,1−2(y 2−1)x 2−2)，联立{y =kx +3x 2+3y 2=6，整理可得：(1+2k 2)x 2+12kx +12=0， 所以可得{ Δ=144k 2−4×12(1+2k 2)x 1+x 2=−12k 1+2k 2x 1x 2=121+2k 2, 可得k 2>1；因为k >0，所以k >1，|BM|+|BN|=2+y M +2+y N =4+2(y 1−1)x 1−2+2(y 2−1)x 2−2=4+2(kx 1+2)x 1−2+2(kx 2+2)x 2−2=4+4kx 1x 2−2(2k −2)(x 1+x 2)−16x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=4+4k ⋅121+2k 2+(2k −2)⋅24k 1+2k 2−16121+2k 2+24k1+2k 2+4=4+16k 2−168k 2+24k +16 =4+2(k −1)k +2=6−6k+2，因为k >1，所以6−6k+2∈(4,6)， 所以|BM|+|BN|的取值范围：(4,6)．【解析】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题(Ⅰ)由题意可得b =c ，又过A 点，及由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线AP ，AQ 的直线方程，令x =0可得M ，N 的坐标，设直线PQ 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出|BM|+|BN|的表达式，将两根之和及两根之积代入可得关于直线PQ 的斜率的代数式，再由斜率大于0可得|BM|+|BN|的取值范围．22.【答案】证明：(I)f′(x)=2+lnx −2x ，f″(x)=1x −2，x >0，易得当x ∈(0,12)时，f ″(x)>0，f′(x)单调递增，当x ∈(12,+∞)时，f ″(x)<0，f′(x)单调递减， ∵x →0时，f′(x)→−∞，x →+∞时，f′(x)→−∞，f′(12)=1−ln2>0， ∴f′(x)=0有两个不同是实数根x =x 0，x =1，其中x 0∈(0,12)， 当x ∈(0,x 0)，(1,+∞)时，f′(x)<0，函数单调递减， 当x ∈(x 0,1)时，f′(x)>0，函数单调递增， 因为x →0时，f′(x)→0，x →+∞，f′(x)→−∞， 所以f(x)≤f(1)=0，故f(x 0)≤t <0，由题意可得，f(x 0)=x 0lnx 0−x 02+x 0=x 0(2x 0−2)−x 02+x 0=x 02−x 0，∵x 0∈(0,12)， ∴f(x 0)>f(12)=−14，第21页，共21页 ∴−14<t <0， 解：(II)f′(x)=2+lnx −2ax ，f″(x)=1x −2a ，x >0，由题意可得，f′(x)在(0,+∞)上不单调，故a >0，又x ∈(0,12a )时，f ″(x)>0，f′(x)单调递增，x ∈(12a ,+∞)时，f ″(x)<0，f′(x)单调递减， 所以a >0，因为x →0时，f′(x)→−∞，x →+∞时，f′(x)→−∞，∴x 1∈(0,12a )，x 2∈(12a ,+∞)，由f′(x 1)=f′(x 2)可得，lnx 1−lnx 2x 1−x 2=2a ， 而x 1+x 2=x 1+x 22a ⋅lnx 1−lnx 2x 1−x 2=(1+t)lnt 2a(t−1)，其中t =x 2x 1>1， 令g(t)=lnt −2(t−1)t+1，t >1，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0， 即g(t)在(1,+∞)单调递增，∴g(t)>g(1)=0，故(t+1)lnt t−1>2，因此x 1+x 2>1a ，故f ″(x 1+x 2)<−a <0，即f′(x 1+x 2)在(1a ,+∞)上单调递减，若a ≥1时，f′(x 1+x 2)<f′(1a )=−lna ≤0，即f(x 1+x 2)在(1a ,+∞)上单调递减，∴f(x 1+x 2)<f(1a)=−ln|a||a|， 若a ∈(0,1)，因为f′(1a )>0，所以必有k >1a ，使得x 1+x 2∈(1a ,k)时，f′(x 1+x 2)>0，即f(x 1+x 2)在(1a ,k)上单调递增，这与f(x 1+x 2)<−ln|a||a|恒成立矛盾，综上a ∈[1,+∞)．【解析】(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，结合函数的性质及零点性质可证； (II)先对函数求导，然后结合导数分析函数的性质，结合导数与函数性质进行求解．本题综合考查了导数与函数性质的综合应用，考查了分析解决问题的能力，试题具有一定的综合性．。

(精选3份合集)2020届浙江省杭州学军中学高考数学模拟试卷

(精选3份合集)2020届浙江省杭州学军中学高考数学模拟试卷
A.常温下铁在浓硝酸中钝化，钝化膜能阻止铁与浓硝酸的进一步反应，所以可用铁罐贮存浓硝酸，A正确；
B.食盐能破坏铝制品表面的氧化膜，从而使铝不断地与氧气反应，不断被腐蚀，B错误；
C.(NH4)2S2O8与Cu发生氧化还原反应，从而生成Cu2+，则氧化性(NH4)2S2O8>Cu，C正确；
D.漂白粉在空气中久置变质，因为发生反应Ca(ClO)2+CO2+H2O＝CaCO3↓+2HClO，D正确；
Ki2= 5.6×l0-11
A．等物质的量浓度的NaHCO3和NaCN溶液，前者溶液中水的电离程度大
B．0.1 mol/L CH3COONa溶液显碱性，0.1 mol/L CH3COONH4溶液显中性
C．CN-+H2O+CO2=HCN+ HCO3-
D．中和等体积、等pH的CH3COOH和HCN消耗NaOH的量前者小于后者
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
第六周期0族元素为86号元素，因此86−81 =5，18 −5 =13，在13纵列，即第ⅢA族，因此81号元素在第六周期ⅢA族，故D符合题意。
综上所述，答案为D。
6．用NaOH溶液吸收烟气中的SO2，将所得的吸收液用三室膜电解技术处理，原理如图所示．下列说法错误的是
B.电极b为阳极，发生氧化反应，根据图像“HSO3-和SO42-”向b移动，则b电极反应式HSO3-–2e-＋H2O＝SO42-＋3H+，与题意不符，B错误；
C.电极a发生还原反应，a为阴极，故a电极反应式为2H++2e–＝H2↑，通过1mol电子时，会有0.5molH2生成，与题意不符，C错误；
D.根据图像可知，b极可得到较浓的硫酸，a极得到亚硫酸钠，符合题意，D正确；

浙江省杭州市2020学年第二学期学军中学2019-2020学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析【加15套高考模拟

浙江省杭州市2020学年第二学期学军中学2019-2020学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析【加15套高考模拟

sn n
0 最小的 n 为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x2, x 0 13．已知函数 f (x) ex , x 0 若方程 f (x) m 有两个不相等的实根 x1 ， x2 ，则 x1 x2 的最大值为
__________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列{an}是公比为 q 的正项等比数列，{bn}是公差 d 为负数的等差数列，满足
1 1 d
a2 a3 a1 ，b1 b2 b3 21，b1b2b3 315.求数列{an} 的公比 q 与数列{bn}的通项公式；求数列{ bn }
16．已知
A,
B
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
和双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的公共顶点，其中 a b 0 ，
P 是双曲线上的动
点， M 是椭圆上的动点（ P, M 都异于 A, B ），且满足 PA PB MA MB （ R ），设直线
AP, BP, AM , BM 的斜率分别为 k1, k2 , k3, k4 ，若 k1 k2 3 ，则 k3 k4 _______.
1
7
A． 2 B． 2 C．1 D． 2
6．将函数
f
(x)
2 sin( x
)
0,|
|
2
的图像向右平移
1 6
个单位长度后得到函数
y
g(x)
的图
像.如图是 y g(x) 的部分图像，其中 A, B 是其与 x 轴的两个交点，C 是其上的点， OA 1，且△ABC

浙江省杭州市2020届高三模拟数学试卷及解析答案

浙江省杭州市2020届高三模拟数学试卷及解析答案

【解析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将 AC BC 转化为
A．1
B．-2
C．2
D．-2i
【答案（答案仅供参考）】B
【解析】利用复数的除法运算化简 z 的表达式，由此求得 z 的虚部.
【详解】
依题意
z
=
2
+ i
i
=
(2
+ i)(−i) i (−i)
=
1−
2i
，故虚部为
−2
.
故选：B 【画龙点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.
3．已知双曲线 C
浙江省杭州市 2020 届高三模拟数学试卷
一、单选题
1．若集合 A = {x | x2 −1 0}, B = {x | 0 <x<4}，则 A∩B=（ ）
A．(-∞，-1)
B．[0，4)
C．[1，4)
D．(4，+∞)
【答案（答案仅供参考）】C
【解析】解一元二次不等式求得集合 A ，由此求得两个集合的交集.
由
y2 a2
−
x2 b2
= 0 可得
y
=
a b
x ，即为双曲线的渐近线的方程，
又渐近线方程为 y = 1 x ， 2
∴a =1， b2
∴b = 2. a
∴离心率 e = c = a
a2 + b2 = a
1+
b2 a2
=
5．
故选 B．
【画龙点睛】
（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a, b, c
V = 14 2 2 = 8，
3
3

【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷(一)数学试题含答案

【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷(一)数学试题含答案

【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷（一）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12 B．2 C． D．42．已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f = )A ．3223-B ．2332 C ．34 D ．38-3．已知3412a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +< 4．在数列{}n a18a ==，则数列{}n a 的通项公式为 A ．()221n a n =+ B ．()41n a n =+C ．28n a n = D ．()41n a n n =+5．已知()f x 定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞6．若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的( ) A ．sin2sin2αβ>B ．sin2sin2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．cos2cos2αβ< 7．已知'()f x 为函数()f x 的导数，且211()(0)'(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，方程()0g ax x -=有且只有一个根，则a 的取值范围是（ ） A ．1e⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1(,0]{}e -∞U8．已知O 为坐标原点，(1,2)M -，若点P 的坐标(,)x y 满足30x y x ⎧+⎨⎩„…，则|?1|z OM OP =+u u u u r u u u r的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2π的值域为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,1]-C ．[3,2]D ．[3,3]-10．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的渐近线与圆22(3)1x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(321,4) B ．(231,3) C ．(32,4)+∞ D ．(23,3)+∞11．已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．32163π-B ．16163π-C ．3283π-D ．1683π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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点，直线 l2 与抛物线 C 交于 D 、 E 两点，若 l1 与 l2 的斜率的平方和为 2 ，则 AB DE 的最小值为___．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
x
1 2
t
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
0 ， a8
a9
0 ，则使得 an
sn n
0 最小的 n 为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x ，当 0 x 1时， f x x2 ，则
f 1 f 2 f 3 f 2019 （ ）
A．2019 B．1 C．0 D．-1
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 C
的左、右
两 支分别交于点 A、B ．若 ABF2 为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ）
23 A．4 B． 7 C． 3
D． 3
7．下列判断正确的是（ ）
A．“ x 2 ”是“ ln(x 3) 0 ” 的充分不必要条件
B．函数 f x
x2 9
1 x2 9 的最小值为 2
C．当 , R 时，命题“若 ，则 sin sin ”的逆否命题为真命题
D．命题“ x 0, 2019x 2019 0 ”的否定是“ x0 0, 2019x0 2019 0 ”
8．若对 m, n R ，有 g(m n)
10．已知函数 f (x) ln 1 x ，若存在互不相等的实数 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，满足
f (x1)
f (x2 )
f (x3 )
f (x4 ) ，则
4
f(
i 1
xi ) （ 2
）
A．0 B．1 C．2 D．4
11．已知
a，b为单位量，设a与b
的夹角为
3
，则
a
与
a
b
4．已知函数
f
x
A
sin
x
A
0,
0,
2
的最大值为
2 ，其图像相邻两条对称轴之间
的距离为
2
，且
f
x
的图像关于点
12
,
0
对称，则下列判断正确的是（）
A．函数
f
x在
6
,
3
上单调递增
B．函数 f x 的图像关于直线 x 5 对称 12
C．当
x
6
, 6
时，函数
f
x 的最小值为
随机抽取 200 个数，构成 100 个数对 (x, y) ，其中满足不等式 y 1 x2 的数对 (x, y) 共有 11 个，则用随 机模拟的方法得到的 的近似值为( )
78
72
25
22
A． 25 B． 25 C． 7 D． 7
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
yx 0
2
D．要得到函数 f x 的图像，只需要 y 2 cos 2x 将的图像向右平移 6 个单位
5．某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为1的等腰直角三角形，则此空间几何
体的表面积是( )
2 3
A．
2
1 3
2 3 1
B． 2 C．
2 D． 2 3
6．如图， F1、F2 分别是双曲线 C :
抛物线 C 的准线 l 的垂线，垂足分别为 M 、N ，若 MF 3 ，NF 1，则抛物线 C 的方程为__________．
15．已知函数 f (x) log33(xx 1)
x0 x 0，若 f(m)>1，则 m 的取值范围是________．
16．已知抛物线 C : y2 2x 的焦点为 F ，过点 F 分别作两条直线 l1 ，l2 ，l1 直线与抛物线 C 交于 A 、B 两
为（ ）
①每年市场规模量逐年增加；
②增长最快的一年为 2013～2014；
③这 8 年的增长率约为 40％；
④2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较
平稳
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设等差数列
an
的前 n 项和为 Sn ，且 S15
y
1
3t 2 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，以 x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2a cos (a 0) .求直线 l 的普通方程和曲线
C 的直角坐标方程；若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，设点 M (0, 1) ，已知| MA | • | MB || AB |2 ，求
g(m) g(n) 3 ，求
f (x)
x 1 x2 x2 1
g(x) 的最大值与最小值之和
是（ A．4
） B．6
C．8
D．10
9．函数 f (x) 2x ln x 的图像在 x 1 处的切线方程为（ ）
A． 2x y 1 0 B． 2x y 1 0 C． x y 1 0 D． x y 1 0
的夹角为(
)
2
5
A． 6 B． 3 C． 3 D． 6
12．圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母 表示．早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学
家祖冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的
人，这比欧洲早了约 1000 年．在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：从区间[1,1]内
实数 a 的值. 18．（12 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C ： (x 1)2 y2 1，直线 l1 ： y 3x ，直线 l2 过点 P(2, 1) ，倾斜角
2020 届【全国百强校】浙江省杭州学军中学高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．2010-2018 年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格
升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数
y
1
13．已知实数 x ， y 满足不等式组 x y 1 0 ，那么 z 2x y 的最大值和最小值分别是 m 和 n ,则
m n=___________.
14．过抛物线 C ： y2 2 px( p 0) 的焦点 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作
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