华南理工大学微积分复习题参考答案

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华南理工大学广州学院微积分第二章 1-3节

由函数的极限定义直接求极限是不行的。对于这一类型的极限怎样求？
为求此极限，我们引入下面定义、定理：
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微积分教案
定义设函数 y f (x) 在点 x0 右侧的某个空心邻域内有定义，如果当 x > x0 且 x x0时，函数 f (x) 趋于一个常数 A，则称当 x x0 时，f (x)的右极限是 A，记作
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lim f ( x ) A 或 f ( x ) A( x x0 )
x x0
称当 x x0 时，f (x) 的极限存在，否则称当x x0时， f (x) 的极限不存在。
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例求(1)
微积分教案
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(2)
(3)
lim x 2
x3
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微积分教案
例设
x2 1 , f ( x) x 1 3,
x1 x 1
求
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lim f ( x )
x 1
1, 例设 f ( x ) 2,
A、0 B、1
x 1 f ( x ) =（ B）则 lim x 1 x 1
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微积分教案
二、数列的定义
按一定规则排列的无穷多个数
x1 , x2 , x3 ,, xn ,
称作数列，简记作 {xn} ，其中 x1 叫做数列的第一项， x2叫做数列的第二项，∙∙∙， xn叫做数列的第n 项，又称通项或一般项。例如数列 2,4,8, ,2 ,;

华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)

1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1）由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。

(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。

2）由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。

2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。

解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。

解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。

解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。

解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。

解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。

华南理工大学微积分统考试卷上2015Aa(1)

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学2015级期末考试《微积分（上）》试卷A（试卷号：2016.1.18 时间120分钟，总分100）1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；．考试形式：闭卷；．设()()3sin 1,111,1ax x x f x x e x ⎧-<⎪=-⎨⎪+≥⎩在(),-∞+∞连续，则a ln 2 要在(),-∞+∞连续，关键是分段点，其它地方由初等函数在有定义的区间连续的性质1x =处连续，由定义必须()()()11+1f f f ==-，而由函数定义，()()()()()10103sin 111,1+lim 11,1lim31a ax a x x x f e f e e f x →+→--=+=+=+-==-，即要有13,2,ln 2a a e a +===。

．设4arctan y x x =，在1x =处对应的微分dy =12dx π⎛⎫+⎪⎝⎭()4432arctan 4arctan 1x dy x x dx x x dx x ⎛⎫'==+ ⎪+⎝⎭，在1x =处对应的微分 =43211141arctan1411422dx dx dx ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+=⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

．设()f x 在[0,)+∞上可导，()00f =，且其反函数为()g x ，若()()3f xg t dt x=⎰，则()f x =232x解由已知，()()()(),y f x x g y x g f x =⇔==，对()()30f xg t dt x =⎰两边对x 求导可得()()()()23g f x f x xf x x ''⋅==，进而()()233,2f x x f x x c x '==+，>0，结合连续及()00f =得()230,2c f x x ==。

华南理工大学线代微积分答案课后题第三章(2)

28、12721125:,:322234x y z x y z l l −−−−+−====−− 1l 过点()17,2,1p 且方向向量为()13,2,2s − ，2l 过点()21,2,5p −且方向向量为()22,3,4s − ()126,4,4p p =−− 直线1l 与2l 共面1212,,s s p p ⇔ 共面⇔3262340244−−−=−设(),,n A B C ,则()1202,16,130n s n n s = ⇒−− = 又因平面过()17,2,1p故()()()2716213121613310x y z x y z −−−−−=−−+=27、（1）点()()()1,2,1,2,2,1,1,1,1−−−在所求平面上，设(),,P x y z 是平面上任一点，则 1111022450210x y z x y z +−+=−++−= （3）设1λ与2λ是两个不同时为零的实参数，过直线3010x y z x y z +−= −++=的平面束方程()()()()()1212121223130x y z x y z x y z λλλλλλλλλ+−+−++=++−+−++= 又因与平面21x z +=垂直则所求平面的法向量()1121212,3,n λλλλλλ+−−+ 与()21,0,2n 垂直故()121221122303λλλλλλλλ++−+=−=⇒=所以所求平面48210x y z +−+=25、（2）()0,1,4AB = 是该直线的方向向量，所以对称式方程为：11014x y z −+== （4）平面30x y z +++=与10y z −+=的法向量分别是()()121,1,1,0,1,1n n ==−则直线的方向向量121112011i j k s n n i j k =×==−++−因又过点()03,1,2P ，故直线的对称式方程为：312211x y z −−−==− 22、（1）两面平行，则11112222AB C D A B C D ==≠ 即1236246D C C −==≠⇒=−,且3D ≠− （2）两面重合，则11112222AB C D A B C D === 即1236246D C C −===⇒=−,且3D =− 20、因平面平行于x 轴，所以可设平面方程为0By Cz D ++= 又因过点()()4,0,2,5,1,7−，代入得：209702C D B C B C D D C−+==− ⇒ ++== 故平面方程方程为920y z −++=18、与平面375120x y z −+−=平行的平面方程设为3750x y z D −++=又因过点()3,0,1−，代入求得：4D =− 所以所求的平面为：37540x y z −+−= 16、()02,9,6OM =− ,由题意可知，0OM 是该平面的法向量所以平面方程为：()()()2299660x y z −+−−+= 即2961210x y z +−−=。

华南理工大学线代微积分课后题答案第二章(2)

14、（2）25141-31-30525141070524323043230016812106-1-50-7615071731325141313050622225141251415201052770107721900408465770173121315037---→→---- ------→→---25141520107711900114287128500071428→（此题答案不唯一，但是不管怎样非零行的数目为4）15（1）()10020010022001001001151,021010010001002213130350010011333200010221313A E=- →- →--22、设12134A A DA A - =,则 12341341324000A A AA AA A E DD A A BA CA BA CA B C E - ===++所以13344111311242000A A AA EA AA BA CA AB CABA CA E A B ---- == == ⇒ +==- +== ,故111110B CA B D A ------=23、因()()21k k E A E A E A A A E --=-++++=所以()121k E A E A A A ---=++++25、证明：(1) 当()r A n =时，0A ≠,所以()()0A r A n ∗∗≠⇒=(2) 当()1r A n =-时，由矩阵秩的定义，A 中至少有一个1n -阶子式不为零，则()1r A ∗≥。

因A 不是满秩，且()1r A n =-，则存在n 阶可逆矩阵,P Q ，使1000n E PAQ - =。

又1||0PAQ Q A PAA P A E -∗∗•==•=（因为||0A =）所以110000n E Q A --∗•=可知1Q A -∗前1n -行均为全零行，因此()*1()1r A r Q A -∗=≤，所以()1r A ∗=(3) 当()1r A n <-时，由矩阵秩的定义，A 的所有1n -阶子式都为零，则()0r A ∗=。

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数f(x,y) 2x2 ax xy2 2y在点(1, 1)处取得极值，则常数a 5． 2．设f(x)1xedy，则 f(x)dxxy1e 1． 23．设S是立方体0 x,y,z 1的边界外侧，则曲面积分sx5dydz y6dzdx z7dxdy 3 ．4．设幂级数n 0n 13na(x 1)ax的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为 n nn 12,4 ．5．微分方程y 3y 4y x2e 4x用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形2 4x式为y xax bx ce．二、选择题sin2(x2 y2), 221．函数f(x,y) x y2,x2 y2 0,x2 y2 0,在点(0,0)处（ D ）．（A）无定义；（B）无极限；（C）有极限但不连续；（D）连续． 2．设z sec(xy 1)，则z（ B ）． x（A）sec(xy 1)tan(xy 1)；（B）ysec(xy 1)tan(xy 1)；（C）ytan(xy 1)；（D） ytan(xy 1)．2222223．两个圆柱体x y R，x z R公共部分的体积V为（ B ）．22（A）2 （C）Rdx （B）y；8 dx0R RRy；y．RRdxy；4 dx （D）k4．若an 0，Snak 1n，则数列 Sn 有界是级数收敛的（ A ）． 1。

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(1)(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--1、写出下列条件所确定的微分方程：1）曲线在点(),M x y 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段QM 被y 轴平分。

解：设此曲线方程为()y y x =，由已知Q 点坐标为(),0x -，曲线在点(),M x y 处的法线方程为()1Y y X x y -=--'，其与y 轴交点为0,x y y ⎛⎫+ ⎪'⎝⎭，因此 202y x y yy x y '=+⇒+='2）曲线上任意点(),M x y 处的切线与线段OM 垂直。

解：设此曲线方程为()y y x =，线段OM 的斜率为y x，因此 10y y y y x x ''⋅=-⇒+= 3）曲线上任意点(),M x y 处切线，以及M 点与原点的连线，和x 轴所围成的三角形的面积为常数2a 。

解：曲线过点(),M x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-此切线与x 的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭所求微分方程为 212y y x a y ⎛⎫-= ⎪'⎝⎭()2220a xy y y '-+=2、求曲线族12x x xy C e C e -=+（12,C C 为任意常数）所满足的微分方程。

解：方程两边关于x 求导得12x x y xy C e C e -'+=-两边再关于x 求导得122x x y xy C e C e -'''+=+所求微分方程为2y xy xy '''+=3、潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉速度成正比例，如果潜水艇的质量为m ，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件。

解：设潜水艇下沉所遇阻力为F ，下沉速度为v ，由牛顿第二运动定理有mg F ma mv '-==而由已知F kv =，其中k 为常数，所以mv kv mg '+=因此此问题满足的初值问题为()00mv kv mg v '+=⎧⎪⎨=⎪⎩。

(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(28)

1、选择题1）对于级数1n n a ∞=∑，"lim 0"n n a →∞=使它收敛的( B )条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 2）“部分和数列{}n S 有界”，是正项级数1nn a∞=∑收敛的（ C ）条件。

A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 3）若级数1nn a∞=∑绝对收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ A ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛 4）若级数1nn a∞=∑条件收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ B ）。

A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛2、用适当的方法判别下列级数的敛散性 1）()11ln 1n n ∞=+∑解：用比较判别法，和调和级数11n n∞=∑比较因为()11ln 1n n >+，级数()11ln 1n n ∞=+∑发散。

2）n ∞= 解：用比较判别法，因为431n n n →∞==，而级数4131n n ∞=∑收敛，级数1n ∞=3）2n n n ∞=+解：用比较判别法，因为2322lim 12n n n n n→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭级数3121n n∞=∑收敛，由比较判别法极限形式可得12n n n ∞=+收敛。

4）411!n n n ∞=+∑解：用比值判别法，因为()()()4444111!111limlim 01111!n n n n n n n n n →∞→∞+++++=⋅=<+++，级数411!n n n ∞=+∑收敛 5）()112n n n n ∞=++∑解：用比较判别法，因为()121lim lim 112n n n n n n n n →∞→∞+++==+，级数()112n n n n ∞=++∑发散。

6）()11,,0n a b na b∞=>+∑解：用比较判别法，因为11lim lim 1n n na b a b a n n →∞→∞+==+，级数11n na b ∞=+∑发散。

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L
xoy 面上与积分路径无关，并计算 3 , 4 axy2 y3 dx 6x2 y bxy2 dy 。
1 , 2
解： P axy2 y3 , Q 6x2 y bxy2
所以 a 6 , b 3

P 2axy 3y2 , Q 12xy by2

例 2：交换下列二次积分的次序
0
1
dx
0
x2 f x , ydy
Rx y x2 dy

2 1 sin 2 d
0
R4 8
1
3
dx
二、三重积分（引例：求空间立体的质量）
0
1 3 x
2
基本计算思路：把三重积分化为三次积分（定积分）
基本计算的两个步骤：1）定限；2）定积分的计算
段。
解：原式
3x4

sin
x2

1
0 12x3 ex2 2x cos x2 2x2ex2
xe x2
0
0 1

2

3

sin 1
e
其他知识点：格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、
两类曲线积分的联系
例 6：求 a , b ，使得曲线积分 axy2 y3 dx 6x2 y bxy2 dy 在整个
R r3 sin cos 2 dr

为由
0
1
dy
z
D
32 y
f x ,
y

1 z 2
1
f
2 x

y dx
f
2 y
dxdy
x2 y2 所确定的圆台体。

华南理工大学高等数学统考试卷上自测wjf4

华南理工大学《微积分（上）》自测试卷4（时间120分钟，总分100）学院（系）专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 若()f x 在0x =处可导，则()()sin 21limxx f x f e x→--=2．[3分]函数()()()()23111f x x x x =---的导函数具有个零点 3．[3分]若,x y满足方程lnarctany x=，则dy =4．[3分](2sin aa xx dx -+=⎰5．[3分]()001pxdxp x +∞>+⎰当时收敛，当时发散二、求解下列极限问题 1、[6分]2lim xcxx x c xe dx x c →+∞-∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰，求c2、[6分] 22210cos lim sinxx x t dtx→-⎰3、[6分]limn →三、[8分] 设21x y x x=+-，求()()0n f四、[8分] 设函数()y y x =由方程32231x y x y +=确定，试求函数()y y x =的极值，五、[8分]设()12sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ ，且()s i n f xx≤，12,,,n a a a 为实常数，试证12|2|1n a a na +++≤ 六、计算下列积分[3*6=18分] 1、()ln 1x x e e dx -+⎰2、()20fx dx ππ-⎰，其中()sin ,01,0x x x fx x >⎧=⎨-≤⎩ 3、11+∞⎰七、[7分]证明：当02x π≤≤时，22sin cos 0arcsin arccos 4xxπ+=⎰⎰八、[8分]设抛物线2y x x =-与x 轴所围成的区域被直线()01y kx k =<<分为两部分，如果两部分的面积之比为12:1:7s s =，其中1s 为抛物线与直线所围成的面积，试求参数k 的值九、[10分]定性作出函数y =参考答案与提示一、()20;;;;2,22x y a f tw o dx p p x yπ+'>≤-二、514;;210e三、()()()()()11!1123112n n n n n yx x x ++⎡⎤=--⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，()()()!0123n n n y ⎡⎤=--⎣⎦四、方程两边求导得可疑极值点，再两边求导验明，注意：代入计算而无需解出文字方程。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(3)(可编辑修改word版)

yxyy11、解微分方程： xy'=y lnyx解：y'=ylny，令u =y⇒y =xu ，原方程可化为x x xu +xdu=u ln u ⇒xdu=u (ln u -1)dx dx1 1变量分离两边积分得⎰u (ln u -1)du =⎰x dx ⇒ ln (ln u -1)= ln x +Cln u -1 =Cx ⇒ lny=Cx + 1 ⇒y =xe Cx+1x2、求解初值问题(y+dx -xdy = 0 (x > 0), y (1)= 0 。

dy解：dx=yxu +xdu=u，令u =⇒y=xu ，原方程可化为x⇒xdudx dx变量分离两边积分得⎰ 1 du =⎰1 dx ⇒ ln (u = ln x +C⎛ln +x = ln x +C⎝由 y (1)= 0 可得C = 0 ，所求函数为x3、做适当的变量代换，求下列方程的通解。

1）dy=(x +y )2dx解：令u =x +y ，则有u'=1 +y'，原方程可化为u'-1 =u2=x 。

关于u 这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得⎰1 +u2du = ⎰dx ⇒ arctan u =x +C ⇒ arctan (x+y )=x +Cy = tan (x+C )-x2）求微分方程dy= y -x + 1dx x +y + 5⎧y -x +1= 0 ⎧x =-2解：解方程组：⎨x +y + 5 = 0得⎨y =-3⎩⎩2⎨2⎝ ⎭u 2作变换：⎧ X = x + 2⎩Y = y + 3，则有dx = dX, dy = dY ,y - x + 1 =Y - Xx + y + 5 X + Y原方程化为：YdY =Y - X dX X + Y du u -1令u =，则有XX + u = dX1 + u 变量分离： 1 + u -1 - u2 1 + u du = 1dXX 1 两边积分：解得：⎰ -1 - u 2 du = ⎰ X dX-arctan u - 1ln (1 + u 2 ) = ln X + C原方程的通解为：3） ( x + 2 y )2y ' = 1-arctan y + 3 - 1 ln x + 2 2 ( x + 2)2 + ( y + 3)2( x + 2)2= ln ( x + 2) + C解：令u = x + 2 y ，则有u ' = 1 + 2 y ' ，原方程可化为：1 u ' - 1 = 12 2 u 2⇒ ' = 2 + u 2u 这是一个变量可分离微分方程，变量分离两边积分得u 2 ⎛2 ⎫ ⎰ 2 + u 2 du = ⎰ dx ⇒ ⎰ 1 - 2 + u 2 ⎪ du = x + Cu - 2 arctanu= x + C 2x + 2 y - 2 arctan x + 2 y= x + C4、求曲线 y = y ( x ) ，使它正交于圆心在 x 轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指交点处两曲线切线相互垂直）。

高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学 (43)

1、用比较判别法判（或极限形式的比较判别发）定下列级数的敛散性 1）11ln 1n n ∞=+∑解：因为()1111ln 112n nn≥>++，而级数1112n n∞=∑发散，所以()11ln 1n n ∞=+∑发散。

2）3121ln n n n∞=∑解：332211ln n nn<，而级数3121n n∞=∑收敛，所以3121ln n n n∞=∑收敛。

3）()1101nn a a∞=>+∑解：当1a >时，1111nn n a a a ⎛⎫<= ⎪+⎝⎭，因为级数11nn a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，所以()1101n n a a ∞=>+∑收敛。

当1a ≤时，1111122n n n a a a ⎛⎫≥= ⎪+⎝⎭，因为级数1112nn a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，所以()1101n n a a ∞=>+∑发散。

2、用比值判别法判定下列级数的敛散性 1）()11!2nn n ∞=+∑解：因为()()12!2lim 11!2n n nn n +→∞+=∞>+，所以级数()11!2n n n ∞=+∑发散。

2）12!n nn n n ∞=∑解：因为()()1121!122limlim12!11n n nnn n nn n n en n ++→∞→∞++==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以级数12!n nn n n∞=∑收敛。

3）()10!n n n n a a n ∞=>∑解：因为()1111!1limlim 1!n n nn n n nn a n a ea n n a n ++→∞→∞++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 1）当1a e <时，1ea <，级数()10!n n n n a a n ∞=>∑收敛；2）当1a e >时，1ea >，级数()10!n n n n a a n ∞=>∑发散； 3）当1a e=时，1ea =，级数为1!nnn n e n ∞=∑，比值判别法无法判别（注：判别正项级数0!n nn n e n ∞=∑的敛散性。

华南理工大学微积分统考试卷上2021Aa

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《微积分（上）》试卷A（试卷号：2013.1.10 时间120分钟，总分100）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)； 3．考试形式：闭卷；一、填空题（每小题4分，20分）1．写出数列{}n x 以常数a 为极限的N ε-定义：对所有0ε>，存在0N >，当n N >时n a ε-<2．设()()112f f '==，则()()22011lim x f x f x→+-= 83．方程1yy xe =+确定了隐函数()y y x =，则dy =1yye dx xe- 4．设()f x ，且()31x f t dt x -=⎰，则()7f =1125.2=2π二、计算下列各题（每小题5分，共15分）6、设数列{}n x 满足：10x π<<，且()1sin 1,2,n n x x n +==。

证明：lim n n x →∞存在，并求出此极限解因为10x π<<，所以210sin 12x x π<=<<，设01,1k x k <<>，则10sin 1k k x x +<=<由数学归纳法得01,1n x n <<>，从而数列{}n x 有界；又1sin 0n n n n x x x x +-=-<，从而数列{}n x 是一个单调减少的有界数列。

根据单调有界准则lim n n x →∞存在，设lim n n x l →∞=。

则1lim lim sin lim n n n n n n x x x l +→∞→∞→∞===，即sin l l =，得0l =，即lim 0n n x →∞=7、求极限22011lim sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭解原式222222400sin sin lim lim sin x x x x x x x x x →→--==（等价无穷小替换）3330000sin sin sin sin sin lim lim lim 2lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→+-+--⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭32000sin cos 1sin 12lim2lim 2lim 363x x x x x x x x x x →→→---====- 8、求极限()()()222lim 12n n nnn n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎪+++⎝⎭解()()()2222221111lim lim 1212111n n n nn n n n n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪+++=+++ ⎪⎪ ⎪+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11221001111111lim 121211n n k dx n x x k n →∞=---====-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑⎰ 三、解答下列各题（每小题5分，共20分） 9、已知sin y x=，求dy dx解 ()()211ln ln 2ln 3ln ln sin 36y x x x x =--+++ 从而211111cos 23263sin y x x y x x x x'=-⋅++-+ ()()211cot sin 3233x y x x x x x ⎛' =-++ -+⎝ 10、设()2sin cos f x x x x =，求()()20130y解 ()21sin 22f x x x =，由莱布尼茨公式 ()()()()()()()()20132012201120132120132012sin 220132sin 22sin 222f x x x x x x ⋅⎡⎤=+⋅⋅+⋅⋅⎢⎥⎣⎦()()()()20112013201100201320122013201220110sin 22sin 2222x x f x x π==⋅⎡⋅⎤⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅⋅+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 20112010201020132012112sin 5032201320122sin 201320122222πππ⋅⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、设()y y x =由参数方程()2ln 1arctan x x y t t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定，求dy dx解 222221,1111dx t dy t dt t dt t t==-=+++，从而2221122dydy t t t dt dx dx t t dt+==⋅=+ 12、写出()xf x xe =带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式解 ()()()()()1,12x x x x x xf x e xe x e f x e x e x e '''=+=+=++=+从而发现()()()n x fx n x e =+，()()()()11n x x x f x e n x e n x e +=++=++()()()()()00,01,02,,0n f f f f n '''====，由公式()()()()()()()()()2100001!2!!1!n n n n f f f f f x f x x x x n n ξ+'''=++++++得()()()32111,2!1!1!xn n n x xe x x x e x n n ξξξ+++=+++++-+在0与x 之间。

(完整版)高等数学-微积分下-习题册答案-华南理工大学(6)

《高等数学》（下册）测试题一一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）1．设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩ 及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ A ）A ．平行于平面π；B ．在平面π上；C ．垂直于平面π；D ．与平面π斜交.2．二元函数22,(,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）A ．连续、偏导数存在；B ．连续、偏导数不存在；C ．不连续、偏导数存在；D ．不连续、偏导数不存在.3．设()f x 为连续函数，1()d ()d ttyF t y f x x =⎰⎰，则(2)F '＝（ B ）A ．2(2)f ；B ．(2)f ；C ．(2)f -D ．0.4．设∑是平面132=++z yx 由0≥x ，0≥y ，0≥z 所确定的三角形区域，则曲面积分(326)d x y z S ∑++⎰⎰＝（ D ）A ．7；B ．221； C ．14； D ．21. 5．微分方程e 1x y y ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A ．e x a b +；B ．e x ax b +；C ．e x a bx +；D ．e x ax bx +.二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=； 2．设arctan1x yz xy-=+，则d |z ＝24dx dy-； 3．设L 为122=+y x 正向一周，则2e d x Ly =⎰ 0 ；4．设圆柱面322=+y x ，与曲面xy z =在),,(000z y x 点相交，且它们的交角为π6，则正数=0Z 32； 5．设一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P y =+'有两个线性无关的解21,y y ，若12y y αβ+也是该方程的解，则应有=+βα 1 .三、（本题7分）设由方程组e cos e sin uux vy v⎧=⎪⎨=⎪⎩确定了u ，v 是x ，y 的函数，求x u ∂∂及xv∂∂与y v ∂∂.解：方程两边取全微分，则e cos e sin e sin e cos u uu udx vdu vdvdy vdu vdv⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ 解出2222cos e sin ,,e sin e cos u uu u xdx ydy du e vdx vdy x y du dv xdy ydx dv vdx vdy x y ----+⎧=+=⎪+⎪⎨-⎪=-+=⎪+⎩从而222222,,u x v y v x x x y x x y y x y∂∂-∂===∂+∂+∂+ 四、（本题7分）已知点)1,1,1(A 及点)1,2,3(-B ，求函数()3ln 32u xy z =-在点A 处沿AB 方向的方向导数.解：{}2122,1,2,,,333AB AB ⎧⎫=-=-⎨⎬⎩⎭2333336,,323232y x z gradu xy z xy z xy z ⎧⎫-=⎨⎬---⎩⎭，{}3,3,6A gradu =- 从而{}212,,3,3,62147333u AB∂⎧⎫=-⋅-=++=⎨⎬∂⎩⎭五、（本题8分）计算累次积分 24112211d e d d e dx xyy x x y x y y y+⎰⎰⎰）.解：依据上下限知，即分区域为1212,:12,1:24,2xD D D D x y D x y =⋃≤≤≤≤≤≤≤≤作图可知，该区域也可以表示为2:12,2D y y x y ≤≤≤≤ 从而()2242222112112111d e d d e d d e d e e d xxxy y y y yx y x y x y y x y y y y +==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()2222211e e2e e e e yy e =-=---=六、（本题8分）计算d d d I z x y z Ω=⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面1,0==z z 围成的区域.解：先二后一比较方便，111220122zD z I zdz dxdy z dz πππ⋅==⋅⋅==⎰⎰⎰⎰七．（本题8分）计算32()d x y z S ++∑⎰⎰，其中∑是抛物面222y x z +=被平面2=z 所截下的有限部分.解：由对称性322d 0,d d x S y S x S ==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰从而223222()d()d ()d 2xy x y z Sz S x y S +++=+=+∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 222220(2D x y drr πθπ=+==⎰⎰⎰⎰⎰(4041115t ππ⎫=+-=+⎪⎪⎝⎭⎰八、（本题8分）计算22222(4cos )d cos d L x x x x x x y y y y y +-⎰，L 是点ππ(,)22A 到点(π,2π)B 在上半平面)0(>y 上的任意逐段光滑曲线.解：在上半平面)0(>y 上2223222322cos cos sin Q x x x x x x x x y y y y y y⎛⎫∂∂=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭223223222(4cos )0cos sin P x x x x x x Qx y y y y y y y y x∂∂∂=+=-+=∂∂∂且连续，从而在上半平面)0(>y 上该曲线积分与路径无关，取π(π,)2C22222222424415(4cos )d cos d 12L AC CB x x x x y y y πππππππππ=+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 九、（本题8分）计算222()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y +++++∑⎰⎰，其中∑为半球面221y x z --=上侧.解：补1:0z ∑=取下侧，则构成封闭曲面的外侧11222()d d ()d d ()d d x y y z y zz x z x x y ∑+∑∑+++++=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰()122223211133132D Dx y dv x dxdy dv x dxdy dxdy πΩ∑Ω+=++-=+=⋅⋅+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2113400011922244d r dr r πππθππ=+=+⋅=⎰⎰ 十、（本题8分）设二阶连续可导函数)(x f y =，t sx =适合042222=∂∂+∂∂sy t y ，求)(x f y =．解：21,y s y f f t t s t∂-∂''=⋅=⋅∂∂222223222211,y s s s y f f f f f t t t t t s s t t ∂∂--∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''''==+⋅== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由已知222223222440,0,y y s s f f f t s t t t∂∂-⎛⎫'''''+=⇒+⋅+= ⎪∂∂⎝⎭即()()()()()()()2221420,40,4x f x xf x x f x x f x c '⎡⎤'''''++=+=+=⎣⎦()()1122,arctan 422c c xf x f x c x '==++ 十一、（本题4分）求方程的x y y 2cos 4=+''通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为21,240,2r r i +==±非齐次项()cos2,f x x =，与标准式()()()cos sin x m l f x e P x x P x x αββ=+⎡⎤⎣⎦ 比较得{}max ,0,2n m l i λ===,对比特征根，推得1k =，从而特解形式可设为()()*12cos sin cos2sin 2,k xn n y x Q x x Q x x e ax x bx x αββ=+=+⎡⎤⎣⎦**(2)cos2(2)sin 2,(44)sin 2(44)cos2y a bx x b ax x y a bx x b ax x '''=++-=--+-代入方程得14sin 24cos 2cos 2,0,4a xb x x a b -+=⇒==121cos 2sin 2sin 24y c x c x x x =+++十二、（本题4分）在球面2222a z y x =++的第一卦限上求一点M ，使以M 为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点M 的坐标为(),,x y z ，则问题即8V xyz =在22220x y z a ++-=求最小值。

华南理工高等数学B(上)参考答案-随堂练习答案

第一章-函数随堂练习答案1.函数的定义域是( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：2.函数的定义域是 ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：3.函数的定义域是( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：4.函数的定义域为( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.函数的定义域是（）A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：6.函数的定义域是( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：7.函数的定义域是（）A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.若，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：9.若，，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：10.设，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：11.( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：12.( )A． B．不存在 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：13.( )A．不存在 B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：14.( )A． B．不存在 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：15.( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：16.( )A． B． C．不存在 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：17.当时，下列变量是无穷小的是( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：18.当时，与等价的无穷小是( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：19.( )A．0 B． C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：20.( )A．8 B．2 C． D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：21.( )A．0 B．1 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：22.下列等式成立的是( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：23.( )A． B．1 C．不存在 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：24.( )A．1 B． C．不存在 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：25.( )A．0 B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：26.设函数在点处极限存在，则( ) A．2 B．4 C．1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：27.设，则 ( ) A．0 B．-1 C．1 D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：28.设，则( )A．1 B．2 C．0 D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：29.设在处连续，则=( ) A．1 B．2 C．0 D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：第二章极限与连续.曲线在点处的切线的斜率为( )A．－2 B．2 C．－1 D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：2.曲线在点处的切线方程为( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：3.曲线在点处的切线方程为( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：4.曲线在点(1,1)处的切线方程为( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.设直线是曲线的一条切线，则常数( ) A． -5 B． 1 C．-1 D．5答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：6.设函数，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：7.设函数，则 ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.设函数，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：9.设函数，则 ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：10.设函数，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：11.设函数，在( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：12.设函数，则( ) A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：13.设函数，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：14.设函数，则( )A． B． C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：15.设函数，则 ( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：16.设函数，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：17.设函数，则( )A． B． C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：18.设确定隐函数，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：19.设函数，则( )A．4 B．-4 C．1 D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：20.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：1.设函数由方程所确定，则( )A．0 B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：22.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：23.设方程所确定的隐函数为，则( ) A． B．0 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：24.设，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：25.设函数，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：26.设函数，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：27.设，则( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：第三章导数与微分1.( )A． B．0 C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.( )A．B．0 C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：3.( )A． B． C． D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：4.( )A． B． C．1 D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：5.( )A． B． C．1 D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：6.( )A． B． C．1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：7.函数的单调减少区间是 ( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：8.函数的单调区间是 ( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：9.函数的单调增加区间是( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：10.函数的单调增加区间为 ( ) ．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：11.函数的单调减区间为( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：12.函数的单调增加区间为( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：13.函数的极值等于( )A．1 B．0 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：14.函数的极值为( )A． B． C．0 D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：15.函数的极值为( )A．1 B．0 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：16.函数的极大值为( )A．-16 B．0 C．16 D．-7答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：17.函数的极大值为( )A．3 B．1 C．-1 D．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：18.有一张长方形不锈钢薄板，长为，宽为长的．现在它的四个角上各裁去一个大小相同的小正方形块，再把四边折起来焊成一个无盖的长方盒．问裁去小正方形的边长为( )时，才能使盒子的容积最大．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：19.设有一根长为的铁丝，分别构成圆形和正方形．为使圆形和正方形面积之和最小，则其中一段铁丝的长为( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：20.欲围一个面积为150m2的矩形场地，围墙高3米．四面围墙所用材料的选价不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．试问矩形场地的长为( )时，才能使材料费最省．A．15 B．10 C．5D．8答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：21.设两个正数之和为8，则其中一个数为( )时，这两个正数的立方和最小．A．4 B．2 C．3D．5答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：22.要造一个体积为的圆柱形油罐，问底半径为( )时才能使表面积最小．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：23.某车间靠墙壁要盖一间方长形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问围成的长方形的长为( )时，才能使这间小屋的面积最大．A．8 B．4 C．5D．10答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：24.曲线的下凹区间为( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：25.曲线的拐点坐标为( )A． B． C． D．不存在答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B第四章导数的应用1. ( )是的一个原函数．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：2.下列函数中，（）是的原函数A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：3.下列函数中，( )是的原函数A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：4. ( )是函数的原函数．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：5.下列等式中，( )是正确的A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：6.若，则( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：7.若满足，则（）．A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：8.( )A. B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：9.( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：10.( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：11.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：12.( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：13.( )A． B．C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：14.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：15.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：16.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：17.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：18.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：19.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：20.( )A． B．C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：1.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：22.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A第五章不定积分1.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：2.曲线，直线，及轴所围成的图形的面积是( )A． B． C．D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：3.定积分等于( )A．2 B．1 C．0 D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：4.( )A．2 B．1 C．0 D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.( )A．2 B．0 C．1 D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：6.设函数在上连续，，则( ) A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：7.设，则等于( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：8.( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：9.B． C．1 D．A．0答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：10.A．1B．0 C． D．-1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D11.A． B． C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：12.( )A．4 B．9 C．6 D．5答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：13.( )A．1 B．2 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：14.( )A．2 B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：15.( )A． B． C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：16.( )A． B． C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：17.( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：18.( )A． B．0 C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：19.( )A．0 B． C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：20.( )A．1 B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：1.( )A． B． C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：22.( )A． B．1 C． D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：23.( )A． B． C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：24.( )答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：25.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：26.( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：27.( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：28.( )A．1 B． C．0 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：29.( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：30.( )A． B．C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：1.( )A． B．C． D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：32.广义积分( )A． B．不存在 C．0 D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：33.广义积分( )A．1 B．不存在 C．0 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：34.广义积分( )A．1 B．不存在 C．0 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：35.由抛物线，直线，及所围成的平面图形的面积等于( )A．2 B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：36.由直线，，及曲线所围成的平面图形的面积等于( ) A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：37.由抛物线与直线及所围成的封闭图形的面积等于( ) A． B． C．2 D．1答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：38.由曲线与直线及所围成的平面图形的面积等于( ) A． B．2 C．1 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：39.由曲线与所围图形的面积等于( )A．1 B． C．3 D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：40.由，，所围成的封闭图形的面积等于( )A． B．1 C．3 D．2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：.由及在点（1，0）处的切线和y轴所围成的图形的面积等于( ) A．1 B． C．2 D．3答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：42.由曲线与所围图形的面积等于( )A． B．1 C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：43.设由抛物线；，及所围成的平面图形为D，则D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：44.设由直线，，及曲线所围成的平面图形为D，则D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：45.设由曲线与直线及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：46.设由抛物线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：47.设由曲线与直线，及所围成的封闭图形为D，则D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B． C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：48.设由曲线与直线及所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于( )A． B．C． D．答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A。