第二章质点运动学(2)

F
F
t1
t2 t
例 质量M=3t的重锤，从高度h=1.5m处自由落 到受锻压的工件上，工件发生形变。如果作用 的时间 (1) =0.1s， (2) =0.01s 。试求锤对工件 的平均冲力。 解法一利用动量定理，取竖 直向上为正。
( N Mg ) Mv Mv0
初状态动量为 M 2 gh ， 末状态动量为 0。
第二章 质点动力学
（2） 动量守恒定律 火箭运动 质心运动定律
2-3 冲量‧动量定理
1、冲量
dp 把牛顿第二定律的微分形式 F dt 改写为 F d t d p
考虑一过程，力对质点的作用时间从t1 — t2， t2 p2 两端积分 Fdt dp p 2 p1 mv2 mv1
mi ri
d vi mi d vc dt ac dt mi
由牛顿第二定律得
mi ai
m
i
m1a1 m2 a2 mn an
d v1 m1 F1 f12 f13 f1n dt d v2 m2 F2 f 21 f 23 f 2 n dt d vn mn Fn f n 2 f n 3 f n ( n 1) dt
x g v x g 2 gx 3x g 所以桌面受的压力 N N 3x g
2
例 2 一柔软链条长为 l ，单位长度的质量为。 链条放在桌上，桌上有一小孔，链条一端由小孔稍 伸下，其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动，链 条因自身重量开始落下。求链条下落速度与落下距 离之间的关系。设链与各处的摩擦均略去不计，且 认为链条软得可以自由伸开。 解 以竖直悬挂的链条 m2 和桌面上的链条为一系统, O 建立如图坐标。 则 F m1 g yg 动量定理 m1
Y y
R
O
dy
X
2 m dm，薄板面密度 ， 2 πR 则 d m 2 R2 y2 d y
yc
ydm M

R
0
4 4R 2 2 y R y dy 2 πR 3π
练习1 均匀棒弯成如图所示直角形，求它的质心位置。 解
1 xc xdm M 30 1 ( x d x 30 20 ) 50 0 21(m) 1 或 xc (m1 x1 m2 x2 ) M 1 (30 15 20 30) 21(m) 50 1 1 20 yc ydm y d y 4(m) M 50 0 1 1 (m1 y1 m2 y2 ) (0 20 10) 4(m) 或 yc M 50
2-4 动量守恒定理
由若干个相互作用的质点 质点系 组成的系统称为质点系。 若该质点系没有受到任何 f12 F 外力的作用，则该系统为封闭 1 m1 系统。
f 21
F2
m2
f12 f 21
ห้องสมุดไป่ตู้
dp2 dp1 F1 f12 ; F2 f 21 dt dt
d p1 p2 dp F1 F2 dt dt dp N N 对一般质点系 F 。式中 F Fi外 ; p pi dt i 1 i 1
f12 f 21
质点系的牛顿第二运动定律 dp F dt
M , zc zdm M

注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身位置确定不变。 质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质心与重心位置重合。
例1 地-月系的质心,地月的中心距离为l 3.84 10 5 km， M 地 5.98 10 24 kg，m月 7.35 10 22 kg。
t1 p1
t2 定义 I 为力从 t — t 内作用在物体上的冲量。 F d t 1 2
t1
2、动量定理

t2
t1
p2 Fdt dp p2 p1
p1
物体在一段时间内所受合外力的冲量，等 于该时间间隔内物体动量的增量。 以平均力代替瞬时力时
F t p
1.9 10 牛顿
6
解法二 考虑从锤自由下落到静止的整个 过程，动量变化为0。 支持力的作用时间为， 重力作用时间为 2h / g 。 根据动量定理，整个过程外力的冲量为0，即
N Mg ( 2h / g ) 0
得到解法一相同的结果 N Mg M 2 gh / 。
z
dvc d z v 2 z dv ac ( v) dt dt l l l dt m dv g 为绳子下落的 式中 dt l 加速度，有 f z z z ac 2 g (1 ) g 2 g 3 g l l l 对整根绳子应用质心运动定理
z
lz
z
f mg mac
解 x方向，质心位置不变。
1 xc ( Mx M mxm ) M m 1 ( MxM 0 mxm 0 ) M m M ( x M x M 0 ) m ( xm xm 0 ) MS m( R S ) m S R M m
x
例 2 手提一柔软绳子的上端，使 其下端刚与地面接触，然后松手 m 使绳子自由下落。求下落到所剩 lz 长度为 z 时，地面对这段绳子的 作用力。绳子的质量均匀分布。 l 解 把绳子当作质点组，它的质 f z 心高度 2 z 1 m z zc zdz m 0 l 2l dzc z dz dz vc v 2 g (l z ) 而 dt l dt dt dvc d z v 2 z dv ( v) 质心的加速度为 ac dt dt l l l dt
根据动量守恒定理有
MV mv cos V 0
m V v cos mM
由此得炮车的反冲速度为
2-5 火箭运动
根据动量守恒定律有 = mv （ v + dv ） （ v +d v – v r ） +dm （ m – dm ） 忽略二阶无穷小量dmdv，得 mdv – vrdm = 0 m d v = vr d m dm为喷出气体的质量，于是 火箭质量的减少量为– dm，把 上式改写为 dm） = – v dm dv = vr （ –m r m
例3 质量为 m 的人站在质 量为 M 的车上，开始时一 起以速率 V0 沿光滑水平面 向左运动。 现在人以相对 车为 u 的速率向右跑，求 车的速率 Vt 。 解 先设定动量的正方向（一般取初始动量的方向）， 则系统的初始动量为（M m)V0 人跑动后系统的总动量为 MVt m(Vt u ) 该系统动量守恒 （M m)V0 MVt m(Vt u ) mu Vt V0 M m

v2
v1
dv
m2
m1
dm vr m
m1 即 v 2 v1 v r ln m2
航天飞机
我国长征系列火箭升空
2-6 质心运动
１、质心
mi ri 2 2 d i d F Fi mi ai 2 mi ri M 2 dt i dt M i i 式中 M mi
对于内力
f12 f 21 0,, f in f ni 0,
mi ai mi ai



Fi
ac
m
ac
i
m
Fi
i

Fi M

Fi Mac
质心运 动定理
例1 质量为M，半径为R的四分之一圆弧滑槽，原来静 止于光滑水平地面上，质量为 m 的小物体由静止开始 沿滑槽顶滑到槽底，求这段时间内滑槽移动的距离。
解 以地球为坐标原点
M 0 ml ml 7.35 10 22 3.84 10 5 xc M m M 5.98 10 24 4.72 10 3 ( km )
例2 求质量均匀分布的半圆形薄板的质心。
解 设薄板半径为R，总质量为m。 取如图所示坐标，由对称性 可知 xc=0。 在 y处取 dy 宽窄条为质量元
i
质点系的质量中心，简称质心。
y
故定义质心的矢径
m2
rc
mi ri
i
r2 r c r1
o
c m1 x
M
在直角坐标系中的分量形式
xc
mx M
i i
, yc
my
i
i
M
, zc
mz M
i i
对于质量连续分布的物体
rc
xc xdm ,y M
c
r dm M ydm
y
Fdt dp
y
又
dp d( yv)
m
2
ygdt d( yv)
O
d yv yg dt
m1 y
y
两边同乘以 y d y ，则
2
d yv y gdy ydy yv d yv dt
g y d y yv d yv
y 2 yv 0 0
1 3 1 2 gy yv 3 2 2 12 v gy 3
质点系的动量定理 t2 p2 Fdt dp p2 p1
t1 p1
动量守恒定律 若系统所受合外力为 零，则质点系的总动量不随时间变化，即 质点系动量守恒。
例 1 手提一柔软长链的上端，使 其下端刚与桌面接触，然后松手 使链自由下落。试证明下落过程 中，桌面受的压力等于已落在桌 面上的链的重量的3倍。 解设链长为l，当落在桌面上的链 长为x时，桌面对链的支持力为N。 链的运动方程为
练习2 均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆 形铁丝的质心。 解
xc 0 1 π yc R sin Rd m 0 1 2 2R m 2 R π
2、质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质心 的位矢是：
m1r1 m2 r2 mn rn rc m1 m2 mn mi d ri mi mi vi d rc d t vc dt mi mi
可得地面对这段绳子的作用力 z f 3mg (1 ) l
作
业
第 二 章 P127 2-44 2-48 2-50 2-51
dv dm dp m v F l g N dt dt dt dv m (l x) , g dt
o x l- x x
dv m (l x) , g dt dm dx v, v gt dt dt
代入运动方程，有
l- x
dv dm N l g m v dt dt 2 l g (l x) g v
例4 如图所示,设炮车以仰角 发射一炮弹， 炮车和炮弹的质量分别为M 和m，炮弹的出口 速度为v，求炮车的反冲速度V。炮车与地面间 的摩擦力不计。

v
m
M
解 因系统在水平方向不受外力,故水平方向 动量守恒。 对地面参考系而言，炮弹相对地面的速 度 u，有
u v V u x v cos V
N
h
Mg
得到 ( N Mg ) 0 (M 2 gh ) 解得 N Mg M 2 gh / 代入M、h、 的值，求得：
(1) N 3 103 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.1)
1.92 105 牛顿
(2) N 3 103 (9.8 2 9.8 1.5 / 0.01)