结构弹性稳定计算

简支压杆的完善体系或理想体系(图3-1(a))：杆件轴线是理想的直线（没有初 曲率），荷载P是理想的中心受压荷载（没有偏心）。
图3－1 分支点失稳
（a）理想的中心受压杆； （b）P－Δ曲线
在分支点B处，原始平衡路径Ⅰ与新平衡路径Ⅱ同时并存，出现平衡形式的二 重性，原始平衡路径Ⅰ由稳定平衡转变为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有 这种特征的失稳形式称为分支点失稳形式。分支点对应的荷载称为临界荷载，对 应的平衡状态称为临界状态。分支点失稳又称为第一类失稳。
在极值点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极 值点失稳。其特征是平衡形式不出现分支现象，而P-Δ曲线具有极值点。极值点 相应的荷载极大值称为临界荷载。极值点失稳又称为第二类失稳。
3 结构弹性的稳定计算
稳定问题与强度问题的区别说明 强度问题是指结构在稳定平衡状态下它的最大应力不超过材料的允许应力，
稳定问题的着眼点不是放在计算最大应力，而是研究荷载与结构内部抵抗力 之间的平衡上，看这种平衡是否处于稳定状态，即要找出变形开始急剧增长的临 界点，并找出与临界状态相应的最小荷载（临界荷载）。由于它的计算要在结构 变形后的几何形状和位置上进行，其方法也属于几何非线性范畴，叠加原理不再 适用，故其计算也属二阶分析。
这是关于y1和y2的齐次方程。
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例3-1(续2)
如果系数行列式不等于零，即 kl 2P P 0 P kl 2P
则零解(即y1和y2全为零)是齐次方程(a)的唯一解。也就是说，原始平衡形式 是体系唯一的平衡形式。
如果系数行列式等于零，即
kl 2P P 0
(b)
P kl 2P
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3.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载 图3-4（a）中，AB为刚性压杆，底端A为弹性支承，其转动刚度系数为k。
图3－4 单自由度失稳
（a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式
杆AB处于竖直位置时的平衡形式（图3-4（a））是其原始平衡形式。
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3.2.1静力法确定有限自由度体系的临界荷载（续）
形式。为了得到非零解，齐次方程(3-2)的系数应为零，即
Pl k 0 (3-3)
式(3-3)称为特征方程。由特征方程得知，第二平衡路径Ⅱ为水平直线。由两
条路径的交点得到分支点，分支点相应的荷载即为临界荷载，因此
Pcr
k l
(3-4)
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例3-1 图3-5(a)所示是一个具有两个变形自由度的体系，其中AB、BC、CD各杆为刚
则除零解外，齐次方程(a)还有非零解。也就是说，除原始平衡形式外，体系
还有新的平衡形式。这样，平衡形式即具有二重性，这就是体系处于临界状态的
其重点是在内力的计算上。对大多数结构，通常其应力都处于弹性范围内而且变 形很小。因此，认为荷载与变形之间呈线性关系，并按结构未变形前的几何形状 和位置来进行计算，叠加原理适用，通常称此种计算为线性分析或一阶分析。对 于应力虽处于弹性范围但变形较大的结构（如悬索），因变形对计算的影响不能 忽略，应按结构变形后的几何形状和位置来进行计算，此时，荷载与变形之间已 为非线性关系，叠加原理不再适用，这种计算称为几何非线性分析或二阶分析。
性杆，在铰结点B和C处为弹性支承，其刚度系数都为k。试求其临界荷载Pcr。
图3－5 两个自由度的体系 （a）原始平衡形式；（b）平衡的新形式
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例3-1(续1)
解：设体系由原始平衡状态(图3-5(a)的水平位置)转到任意变形的新状态
(图3-5(b))，设B点和C点的竖向位移分别为y1和y2，相应的支座反力分别为
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3 结构弹性的稳定计算
3.1两类稳定问题概述
3.2稳定问题的分析方法——静力法
目
3.3稳定问题的分析方法——能量法
录
3.4 剪力对临界荷载的影响
3.5 组合压杆的稳定
3.6 窄条梁的稳定
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3.1两类稳定问题概述
从稳定性角度来考察，平衡状态有三种不同的情况： ⑴稳定平衡状态 ⑵不稳定平衡状态 ⑶中性平衡状态 结构稳定计算理论：小挠度理论（通常采用），优点：方法简
3 结构弹性的稳定计算
其他结构可能出现的分支点失稳现象
图3－2 分支点失稳
（a）受结点荷载的刚架；（b）受水压力的圆拱；（c）窄条梁
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3.1.2极值点失稳 压杆的非完善体系(图3-3(a)、(b))：具有初曲率和承受偏心荷载的压杆。
图3－3 极值点失稳
（a）有初弯曲的压杆；（b）偏心荷载压杆；（c）P－Δ曲线
现在寻找杆件处于倾斜位置时新的平衡形式(图3-4(b))。
根据小挠度理论，其平衡方程为 (3-P1l) M A 0
由于弹性支座的反力矩MA＝kθ，所以
Pl k (03-2)
式(3-2)是以位移θ为未知量的齐次方程。齐次方程有两类解：即零解和非零
解。零解(θ＝0)对应于原始平衡形式，即平衡路径Ⅰ；非零解(θ≠0)是新的平衡
本章只讨论完善体系分支点失稳，并根据小挠度理论求临界问题荷载。确定 临界荷载的方法很多，其中最基本和最重要的是静力法和能量法。
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3.2稳定问题的分析方法——静力法
根据临界状态的静力特征而提出的确定临界荷载的方法，称为静 力法。
静力法的要点： 是在原始平衡路径Ⅰ之外寻找新的平衡路径Ⅱ，确定二者交叉的 分支点，由此求出临界荷载。
R1 ky1 同时，A点和D点的支座反力为
R2 ky2
X A P
YA
Py1 l
YD
Py2 l
变形状态的平衡条件为
MC/ 0
(C/左)
k y1l
Py1 l
2l
Py 2
0
MB/ 0
( B/右)
k y2 l
Py 2 l
Baidu Nhomakorabea2l
Py1
0
即
kl 2Py1 Py(2a) 0
Py1 kl 2Py2 0
单，结论基本正确。 大挠度理论，特点：结论精确，方法复杂。 随着荷载的逐渐增大，结构的原始平衡状态可能由稳定平衡状态 转变为不稳定平衡状态。这时原始平衡状态丧失其稳定性，简称为 失稳。 结构失稳的两种基本形式：分支点失稳和极值点失稳。下面以压 杆为例加以说明。
3 结构弹性的稳定计算
3.1.1分支点失稳