高一数学对数的运算法则
数学高一log知识点
数学高一log知识点在高中数学学科中，对于log（对数）的学习是非常重要的，它是数学中的一个重要概念，有广泛的应用。
在高一阶段，我们将深入学习log的相关知识点，本文将为大家介绍数学高一log知识点的相关内容。
一、对数的定义和性质1. 定义：对数是用以指出一个数与另外一个数的乘积相等的指数的运算。
设a、b为正数，a ≠ 1，b > 0，则称满足等式a^x = b 的x为以a为底b的对数，记作logₐb。
2. 常用性质：a) logₐa = 1，即一个数以自身为底的对数等于1；b) logₐ1 = 0，即一个数以底为1的对数等于0；c) logₐx = -logₓa，对数的底变换公式；d) logₐmn = logₐm + logₐn，对数相乘的性质；e) logₐ(m/n) = logₐm - logₐn，对数相除的性质。
二、 log的运算法则1. 指数与对数的互化a) 对数互化为指数：对于等式a^x = b，两边取以a为底的对数，即可得x = logₐb；b) 指数互化为对数：对于等式x = logₐb，两边取底为a的指数，即可得a^x = b。
2. 对数的换底公式a) 如果已知logₐb，要将其换底为logₓb，则可以运用换底公式logₐb = logₓb / logₓa来计算；b) 换底公式的推导过程：假设logₓb = m，即x^m = b，两边同时取以a为底的对数，得到logₐ(x^m) = logₐb，再利用乘法性质得(logₓa) (logₐx) = logₓb，进一步化简即可推导得到换底公式。
3. log的乘方和开方运算a) logₐm^k = k logₐm；b) logₐ√b = 1/2 logₐb。
三、对数方程与不等式1. 对数方程的解法a) 将对数方程转化为指数方程进行求解；b) 运用对数运算法则，将方程化简为形式简单的等式，并解得未知数的值。
2. 对数不等式的解法a) 将对数不等式转化为指数不等式进行求解；b) 利用对数的单调性，将不等式不等式化简为形式简单的等式，并得到未知数的取值范围。
(2021年整理)必修1第三章对数函数的运算法则(全)
必修1第三章对数函数的运算法则(全)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（必修1第三章对数函数的运算法则(全)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为必修1第三章对数函数的运算法则(全)的全部内容。
【本讲教育信息】一。
教学内容：对数运算、对数函数二. 重点、难点： 1。
对数运算0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a （1）x N a =log N a x =⇔（2）01log =a (3）1log =a a（4）N a N a=log(5）N M N M a a a log log )(log +=⋅(6)N M NMa a a log log log -=（7）M x M a x a log log ⋅=（8）a M M b b a log /log log =（9)b xyb a y a x log log =(10）1log log =⋅a b b a2。
对数函数x y a log =,0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域 R单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a 奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）图象 x y a log =与x y a1log =关于x 轴对称【典型例题】［例1］ 求值(1）=7log 3)91( ；(2)=-++4log 20log 23log 2log 15151515 ;（3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626 ; （4）=⋅81log 16log 329 ;（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ；(6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg . 解：（1)原式491733)3(27log 7log 27log 22333=====---- （2)原式115log 15==（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=236log 18log 2log 666==+=（4）原式58)3log 54()2log 24(23=⋅=(5)原式815)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅=(6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=2100lg 2lg 225lg ==+=［例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 5515=0=，试比较z y x 、、的大小关系。
对数运算法则高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册
lo g 7
(2)log3√27+lg 25+lg 4+7
解
3
原式=log332 +lg
2
=3+2lg 10=3+2×1=5.
+(-9.8)0.
1
3
+2+1=2+2lg
2
5 +lg 2
1
2
5+2lg
3
2+2=3+2(lg
5+lg 2)
探究点二
对数换底公式的应用
2.换底公式的意义在于把对数式的底数改变,把不同底问题转化为同底问
题进行化简、计算和证明.换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底,要
由已知的条件来确定,一般换成以10为底的常用对数.
lg
3.任何对数均可用常用对数表示,即 logab=
lg
(a>0且a≠1,b>0).
ln
(a>0且a≠1,b>0).
2
2
2
2
lg3
lg3 lg2
lg2
5lg3
3lg2
②原式=(
+
)( +
)=
×
2lg2
3lg2 lg3
2lg3 6lg2
2lg3
=
5
.
4
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
解 ∵18b=5,∴log18 5=b.
log18 45
于是 log3645=
log18 36
=
log18 (9×5)
对数运算法则(同步课件)-2024-2025学年高一数学同步精品课堂(人教B版2019必修第二册)
怎样由这两个式子得到 + ？
(2)由指数运算的法则 = + 能得出对数运算具有什么运算法则？
由指数运算的运算法则可知6+ = 6 × 6 = 3 × 2 = 6，因此 + = 1.
一般地，设 = > 0， = > 0，则 = ， = .
(4)：(2)2 +20
× 5 =
(2)2 +(10
× 2) ×
10
2
= (2)2 +(1 + 2) × (1 − 2) = (2)2 +1 − (2)2 = 1.
例2说明，利用对数运算的运算法则，可以在不求出对数值的前提下，算出一
些含对数的对数式的值.
新知探索
3
例题
例2
计算下列各式的值：
5
(1)4 + 25；(2) 100；(3)2 (47 × 25 )；(4)(2)2 +20 × 5.
解(1)：4 + 25 = (4 × 25) = 100 = 2.
5
1
5
1
5
2
5
(2)： 100 = 100 = 100 = .
23
32
27
×
25
33
=
23
32
，其中
=
.
×
52
33
=
10
.
9
> 0且 ≠ 1， > 0， ∈ ， ∈ 且 ≠ 0.
练习
题型一：对数运算性质的应用
例1.(1)若2 = ，3 = ，则
2+
高一必修一数学对数知识点
高一必修一数学对数知识点在高中数学课程中，对数是一个非常重要且常被使用的概念。
对数可以帮助我们解决各种类型的数学问题，不仅在数学领域有广泛应用，在其他科学领域中也扮演着举足轻重的角色。
在高一必修一数学课程中，我们将学习一些关键的对数知识点，本文将对其中一些重要的知识进行介绍。
首先，我们需要了解什么是对数。
对数是指一个数以另一个数为底的指数运算。
具体来说，如果a^x=b，那么 x就是以a为底b 的对数，记作x=log_a(b)。
这里的a被称为底数，b被称为真数，x 被称为对数。
对数的运算法则非常有用且便于使用。
其中最基本的运算法则是对数乘法法则和对数除法法则。
对数乘法法则可以表示为log_a(mn)=log_a(m)+log_a(n)。
这个法则告诉我们，如果要计算两个数的乘积的对数，可以将这两个数的对数相加。
同样地，对数除法法则可以表示为log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。
这个法则告诉我们，如果要计算两个数的商的对数，可以将这两个数的对数相减。
此外，在高一必修一数学课程中，我们还需要学习对数的变换。
对数的变换就是将一个对数的底数或者真数转化为另一个对数。
对数的底数变换可以通过换底公式来实现。
换底公式可以表示为log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。
换底公式告诉我们，如果要将一个以c 为底的对数转化为以a为底的对数，可以用以c为底的对数和以a为底的对数的比值来表示。
同样地，对数的真数变换也可以使用换底公式来实现。
除了上述的对数运算法则和对数的变换，我们还需要掌握对数方程和对数不等式的解法。
对数方程就是一个方程中含有对数的表达式。
对于一般的对数方程，我们可以通过变换为指数形式，然后求解来获得方程的解。
而对于对数不等式，我们需要利用对数的单调性来解决。
具体来说，如果对数函数在某个区间上是单调的，那么我们可以通过求解对数不等式来得到方程的解集。
另外，对数还可以用来解决指数增长和衰减的问题。
对数的运算法则及公式
对数的四则运算法则
总结词
对数的四则运算法则是 log(M)+log(N)=log(MN)，log(M)log(N)=log(M/N)， log(M)*log(N)=log(M)+log(N)， log(M)/log(N)=log(M)-log(N)，其中M和 N都为正数。
详细描述
对数的四则运算法则包括加法、减法、乘法 和除法。在加法中，
例题二：对数的换底公式应用题
要点一
总结词
要点二
详细描述
换底公式是解决对数应用题的重要工具。
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中c可以是 任何正实数，但通常取为10或自然对数e。利用换底公式 可以将不同底数的对数转化为同底的对数，从而简化计算 。
例题三：对数的四则运算法则应用题
对数的运算性质
换底公式
log(a)b=log(c)a/log(c)b，其 中c为任意正实数，但通常取e
或10。
对数的乘法法则
log(a)b+log(a)c=log(a)b×c。
对数的除法法则
log(a)b/c=log(a)b-log(a)c。
复合对数
对于形如log(a)(b)×log(a)(c)的 式子，可以转化为
对数的书写规范
01
在数学符号中，对数的书写要 规范，如log_b(N)中，底数b 不能省略不写。
02
对数的书写顺序一般为先写底 数，后写真数，如log_a(N)。
03
当底数为10时，常用lg表示， 当底数为e时，常用ln表示。
对数的单位转换
对数的单位转换是指将不同底的对数转换为同一底 的对数。
对数的单位转换可以通过换底公式实现，换底公式 为：log_b(N) = log_c(N) / log_c(b)，其中c为任意 正实数。
对数的运算法则高一上学期数学湘教版(2019)必修一
要点二 对数换底公式
log
logab＝
(a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0).
log
1
特别地：logab·logba＝________(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1).
状元随笔 对数换底公式常见的两种变形
1
(1)logab·logba ＝1，即
＝logba ，此公式表示真数与底数互换，
＝log93 ＝ .
log2 9
2
跟踪训练1 求值：
1
1
(1)
+
log4 6
log9 6
(2)(log23＋log43) (log32＋log274)
解析：(1)原式＝log64＋log69＝log636＝2.
1
2
(2)原式＝(log23＋ log23)×(log 3 2 + log 3 2)
3
2
第2课时 对数的运算法则(2)
新知初探 课前预习
题型探究 课堂解透
新知初探 课前预习
教材要点
要点一 常用对数与自然对数
(1)常用对数：以10为底的对数，叫作常用对数，并且把log10N记为
lg N.
(2)自然对数：以e(e＝2.718 28…)为底的对数，叫作自然对数，并且
把logeN 记为ln N .
例1 计算下列各式的值．
(1)(log43＋log83)log32；
log5 2 × log7 9
(2).
1
3
log5 × log7 4
3
方法归纳
(1)利用对数的换底公式可以将不同底对数的问题化为同底对数的问
题．
(2)换底时要注意与题中条件结合，所取的底数要便于计算．
高一数学常用公式及知识点总结
三角函数值在各象限的符号
sin a
cos a
tan a
（2）、同三角函数的基本关系
平方关系： sin2 a cos2 a =
商数关系： tan a =
（3）、特殊角的三角函数值表
a 的角度 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
a 的弧度
函数。（即 f (x1) f (x2 ) 0 ） x1 x2
3、周期性
对于定义域内任意的 x，都有 f (x T ) f (x) ，则 f (x) 的周期为
；
四、三角函数、三角恒等变换和解三角形
1、三角函数
（1）、三角函数的定义：______________________________________________
=
=
T2 : tan 2 =
（9）、辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 ( a sin x b cos x)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 (sin x cos cos x sin)
a2 b2 sin(x )(tan b ) a
cos(a) = cos( a) = cos( a) =
2
cos( a) =
2
tan( a) = tan(a) =
tan( a) =
（记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇偶指 的奇偶数倍，变与不变指三
2 角函数名称的变化，若变则是正弦变余弦，正切变余切；符号是根据角的范围 以及三角函数在四个象限的正负来判断新三角函数的符号（无论 a 是多大的角， 都将 a 看成锐角））
2、对数运算法则及换底公式（ a 0且a，M1>0, N>0 ）
高中数学第七节 对数与对数函数
数学
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第七节
对数与对数函数
结束
[类题通法]
对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数 幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用 对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
2．解决与对数函数有关的问题时易漏两点：
(1)函数的定义域；
(2)对数底数的取值范围．
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第七节
对数与对数函数
结束
[试一试] 1． (2013· 苏中三市、 连云港、 淮安二调)“M>N”是“log2M>log2N”
成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充 分”“充要”或“既不充分又不必要”)． 解析：当 M，N 为负数时，不能得到 log2M>log2N，而根据函
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第七节
对数与对数函数
结束
1．对数值的大小比较的基本方法
(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法； (3)利用中间量(0 或 1)；(4)化同真数后利用图像比较．
2．明确对数函数图像的基本点
(1)当 a>1 时，对数函数的图像“上升”；
当 0<a<1 时，对数函数的图像“下降”．
(2)是否存在实数 a，使 f(x)的最小值为 0？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)∵f(1)＝1， ∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1， 这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，函数f(x)的定义域为(－1，3)．
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式
高中数学公式大全指数与对数的幂运算与对数运算公式数学是一门具有广泛应用的学科，不论是在学术研究还是实际生活中，数学公式都扮演着重要的角色。
在高中数学中，指数与对数是两个重要的概念，它们的公式在解题过程中经常被用到。
本文将为您提供高中数学公式大全，重点介绍指数与对数的幂运算与对数运算公式。
1. 指数与幂运算公式指数与幂运算是指数函数的基本运算法则，它包括以下几个公式：1.1 指数幂运算法则（1）指数相同，底数相乘：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）幂相同，底数相乘：a^m × b^m = (a × b)^m。
例子：2^3 × 3^3 = (2 × 3)^3 = 6^3。
（3）指数的乘方：(a^m)^n = a^(m×n)。
例子：(2^3)^4 = 2^(3×4) = 2^12。
（4）幂的乘方：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
1.2 指数的乘法法则（1）指数相加：a^m × a^n = a^(m+n)。
例子：2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
（2）底数相乘：(a × b)^m = a^m × b^m。
例子：(2 × 3)^4 = 2^4 × 3^4 = 16 × 81。
2. 对数运算公式对数是指数的逆运算，它有以下几个重要的运算公式：2.1 对数幂运算法则（1）底数相同，幂相加：loga(x × y) = loga(x) + loga(y)。
例子：log2(4 × 8) = log2(4) + log2(8)。
（2）幂的乘方：loga(x^m) = m × loga(x)。
log加减乘除运算法则
log加减乘除运算法则log加减乘除运算法则是指在对数运算中，对数的加减乘除的规则。
在数学中，对数是指一个数值以另一个常数为底数的幂。
对数的加减乘除法则是在处理对数运算时，遵循的一些基本规则和计算方法。
首先，对数的加法法则是：log_a(M) + log_a(N) = log_a(M*N)这意味着两个数的对数之和等于这两个数的乘积的对数。
对数的减法法则是：log_a(M) - log_a(N) = log_a(M/N)这表示两个数的对数之差等于这两个数的商的对数。
对数的乘法法则是：log_a(M) = p*log_a(M)表示一个数的对数等于它的幂次数乘以这个数的对数。
对数的除法法则是：log_a(M/p) = log_a(M) - log_a(p)这表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
除了以上基本的对数运算法则外，对数运算还有一些其他的规则和性质。
下面将详细介绍这些运算法则：1.对数的乘方法则：log_a(M) = p*log_a(M)这意味着一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以这个幂次数。
2.对数的换底公式：log_a(M) = log_b(M)/log_b(a)这表示一个数的对数可以用另一个底数为底的对数来表示。
3.对数的乘法公式：log_a(M*N) = log_a(M) + log_a(N)这表示两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。
4.对数的除法公式：log_a(M/N) = log_a(M) - log_a(N)这表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。
5.对数的相等性质：如果log_a(M) = log_a(N)，那么M = N这表示如果两个数的对数相等，那么这两个数也相等。
6.对数的倒数性质：log_a(1/M) = -log_a(M)这表示一个数的倒数的对数等于这个数的对数的相反数。
7.对数的幂的性质：log_a(M) = p*log_a(M)这意味着一个数的幂的对数等于这个数的对数乘以这个幂次数。
对数运算法则推导
对数运算法则推导对数运算是一种重要的数学操作，它被广泛应用在科学和工程计算中。
它的概念和运用范围十分广泛，对数的推导也非常复杂，现在，我们将介绍对数运算法则的推导，帮助大家进一步了解对数运算。
首先，要认识对数的基本定义：若x>0，则自然数a的对数是满足a=b^x的b的底数，记作loga=x。
其中，a称作真数，x称作对数，b称作底数。
由此可知，一个对数是一个数学表达式，形式为loga=x，它表示以b为底，a的对数等于x。
其次，我们来认识下基本运算法则：（1）乘法法则：若a，b＞0，则logab=loga+logb，即logab=x+y，其中x=loga，y=logb。
由此可知，如果要求解logab，则可先求得loga和logb再相加，即可求得logab。
（2）除法法则：若a，b＞0，则loga/b=loga-logb，即loga/b=x-y，其中x=loga，y=logb。
由此可知，如果要求解loga/b的值，则可先求得loga和logb 再相减，即可求得loga/b的值。
（3）变换法则：如果ab＞0，则logab=bloga，即logab=yx，其中x=b，y=loga。
由此可知，如果要求解logab，则可先求得b的值和loga的值，再将b与loga相乘，即可求得logab的值。
（4）积性法则：如果x，y＞0，则logax=xloga，即logax=xy，其中x=x，y=loga。
由此可知，如果要求解logax的值，则可先求得x的值和loga 的值，再将x与loga相乘，即可求得logax的值。
最后，还有一些其他的运算法则，如反自然数法则、指数法则等，这些法则也同样重要，但是不在此讨论范围内。
综上所述，对数运算法则的推导有乘法法则、除法法则、变换法则以及积性法则。
通过注意这些法则，大家应该可以更快、更好的掌握对数运算的基本原理，掌握基本的运算法则，从而能够对对数运算有更深一步的认识和理解。
对数运算法则公式14个
对数运算法则公式14个好的，以下是为您生成的关于“对数运算法则公式 14 个”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，对数运算法则公式就像是一把把神奇的钥匙，能帮咱们打开各种复杂问题的大门。
今天，咱们就来好好唠唠这 14 个法则公式。
先来说说加法法则吧，logₐ(MN) = logₐM + logₐN。
这就好比你有一堆苹果 M 个，又有一堆梨 N 个，那把它们加起来的总数，就等于你分别知道苹果和梨的数量，然后加在一起。
我记得有一次，我去水果店买水果，老板说苹果有 10 个，梨有 20 个，我就在心里默默用对数加法法则算了算，logₐ(10×20) = logₐ10 + logₐ20，一下子就清楚了这两种水果加起来的总数在对数上的表示。
减法法则logₐ(M/N) = logₐM - logₐN 也很有趣。
就像是你有一篮子水果，里面有 M 个，你拿走了其中的一部分 N 个，剩下的数量就可以用这个法则来计算。
有一回我收拾书包，书包里原本有 30 本书，我拿出了 10 本借给同学，这不就相当于logₐ(30/10) = logₐ30 - logₐ10 嘛。
然后是幂运算法则logₐ(Mⁿ) = nlogₐM。
想象一下，你有一个盒子，每次打开它里面的东西都会变成原来的 M 倍，打开 n 次，那最后的数量就可以用这个公式来表示。
就像我有一个存钱罐，每次我放进去的钱都会变成原来的 2 倍，放了 3 次，那最后的钱数就是 2³倍，用对数表示就是logₐ(2³) = 3logₐ2 。
还有换底公式logₐb = logₑb / logₑa ，这就像是你要从一条路走到另一个地方，有很多条路可以选择，但是不管你走哪条路，最终到达的目的地是一样的。
比如说，要计算 log₂3，我们可以用换底公式换成以10 为底，那就是 log₁₀3 / log₁₀2 。
乘法法则logₐ(MᵖNᵖ) = plogₐ(MN) ，这就好比是多个同样的苹果和梨的组合，数量的计算就可以用这个法则。
4.2.2 对数运算法则(课件)高一数学(人教B版2019必修第二册)
的值吗?如果设
,则
,
怎样由这两个式子得到
?
提示：由指数运算的运算法则可知
因此
.
新知探索 知识点一：积、商、幂的对数
由指数运算的运算法则 有什么运算法则?
能得出对数运算具
一般地,设 由
的值,
可知
,则
. , 代入 与
新知探索 知识点一：积、商、幂的对数
由此可知 不难看出,上述结论可以推广到真数为有限多个正因数相 乘的情形,即
;(3)
.
.
.
=
=
教材例题 【典例 2】计算下列各式的值:
(1)
;
(2)
;
(3)
; (4)
.
【 解 析 】 (1) (2)
. .
教材例题
【典例 2】计算下列各式的值:
(3)
; (4)
(3) (4)
.
.
=
=
=1
教材例题 【典例 3】求
【解析】
的值.
.
教材例题 【典例 4】求证:
【证明】
且.
其中 且
5
5
5
5
对于 B，log427·log258·log95＝llgg 3232·llgg 2532·llgg352＝2×3×2×3 2＝98，B 错误；
对于 C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C 正确；
对于 D，log(2＋
3)(2－
3)－(log2
2)2＝－1－
1 2
2＝－5，D
正确.故选
2
课堂练习
【训练 3】已知 2a＝3b＝k(k≠1)，且 2a＋b＝ab，则实数 k 的值为( )
必修一对数计算公式
必修一对数计算公式在数学中，对数是一种非常重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在高中数学中，学生们通常会学习到对数的概念和相关的计算公式。
其中，必修一对数计算公式是学生们需要掌握的重要知识之一。
本文将重点介绍必修一对数计算公式，并对其应用进行详细的解析。
首先，让我们来回顾一下对数的基本定义。
对数的定义是，如果a的x次方等于b，那么数x叫做以a为底b的对数，记作loga(b) = x。
其中，a被称为对数的底，b被称为真数，x被称为对数。
对数的定义可以帮助我们更好地理解对数的概念和运算规则。
在必修一对数计算公式中，最常用的是换底公式。
换底公式是用来将对数的底从a转换为b的公式，其表达式为，logb(x) = loga(x) / loga(b)。
换底公式的应用可以帮助我们简化对数的计算，并且在解决实际问题时具有重要的作用。
另外，必修一对数计算公式中还包括了对数的运算法则。
对数的运算法则包括了对数的加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
这些运算法则在对数的计算过程中起着至关重要的作用，可以帮助我们简化对数的计算，并且在解决实际问题时具有重要的应用价值。
接下来，让我们通过一些具体的例子来详细解析必修一对数计算公式的应用。
首先，我们来看一个简单的例子，计算log2(8)。
根据换底公式，我们可以将对数的底从2转换为10，得到，log2(8) = log10(8) / log10(2)。
然后，我们可以利用对数的运算法则，将log10(8)和log10(2)进行计算，最终得到log2(8)的值。
通过这个例子，我们可以看到必修一对数计算公式的应用是非常灵活和方便的。
除了换底公式和对数的运算法则，必修一对数计算公式还包括了对数方程的解法。
对数方程是指方程中含有对数的方程，解决对数方程可以利用对数的性质和运算规则。
例如，我们可以通过对数的定义和运算法则，解决类似于log2(x) = 3的方程，从而得到方程的解。
对数的运算法则推导
对数的运算法则推导在数学中，对数（logarithm）是解决指数运算的问题，即求出什么数的一些幂等于另一个给定的数。
对数有许多重要的性质和运算法则，这些法则能够简化对数的计算。
本文将对对数的运算法则进行推导和解释。
1.对数定义首先，对数的定义是：若a^x = b，那么x就是以a为底b的对数，记作x = log_a b。
其中，a被称为“底数”，b被称为“真数”。
利用对数定义，我们可以推导出对数的基本性质。
2.对数的基本性质性质1：log_a 1 = 0证明：假设log_a 1 = x，则a^x = 1、由于任何数的0次幂等于1，所以x = 0。
性质2：log_a a = 1证明：假设log_a a = x，则a^x = a。
由指数与对数互为逆运算，所以x = 1性质3：log_a a^x = x证明：假设log_a a^x = y，则a^y = a^x。
由指数函数的性质可知，若两个指数相等，则底数也相等，所以y = x。
性质4：a^log_a b = b证明：假设x = log_a b，则a^x = b。
3.对数的运算法则有了对数的基本性质，我们可以推导出对数的运算法则。
法则1：对数的乘法法则log_a (b * c) = log_a b + log_a c证明：假设x = log_a b，y = log_a c，则a^x = b，a^y = c。
根据指数的乘法法则，a^(x+y) = a^x * a^y = b * c。
应用对数的定义，可以推出log_a (b * c) = x + y = log_a b + log_a c。
法则2：对数的除法法则log_a (b / c) = log_a b - log_a c证明：假设x = log_a b，y = log_a c，则a^x = b，a^y = c。
根据指数的除法法则，a^(x-y) = a^x / a^y = b / c。
应用对数的定义，可以推出log_a (b / c) = x - y = log_a b - log_a c。
高一数学对数与对数函数
§2.6对数与对数函数1．对数的概念一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．(2)对数的性质①负数和零没有对数；②log a 1＝0，log a a ＝1(a >0，且a ≠1)；③log a Na＝N (a >0，a ≠1，且N >0)；④log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a xa >10<a <1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；(5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？②化简log m na b .提示①log a b ·log b a ＝1；②logm na b ＝n mlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示0<c <d <1<a <b .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .(×)(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(×)(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．(√)(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)一、四象限．(√)题组二教材改编2．log 29·log 34·log 45·log 52＝________.答案23．已知a ＝1-32，b ＝log 213，c ＝121log 3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案c >a >b解析∵0<a <1，b <0，c ＝121log 3＝log 23>1.∴c >a >b .4．函数y的定义域是______．答案1解析由23log (21)x -≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1.∴函数y1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c答案B6．(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1答案BC解析由图象可知函数为减函数，所以0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________________．答案(1，＋∞)解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a (1，＋∞).对数式的运算1．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．答案3解析由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.2．设函数f (x )＝3x ＋9x ，则f (log 32)＝________.答案6解析∵函数f (x )＝3x ＋9x ，∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．(2019·北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1答案A解析两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，令m 2＝－1.45，m 1＝－26.7，lgE 1E 2＝25·(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1，E 1E 2＝1010.1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是()A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1答案A解析由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)方程4x＝log a x ，12上有解，则实数a 的取值范围为__________．答案，22解析若方程4x ＝log a x ，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x ，12上有交点，a<1，a12≤2，解得0<a≤22.4x<log a x，12上恒成立，则实数a的取值范围是________．答案解析当0<x≤12时，函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方．又当x＝12时，124＝2，即函数y＝4x y＝log a x，得a＝22.若函数y＝4x的图象在函数y＝log a x图象的下方，则需22<a<1(如图所示)．当a>1时，不符合题意，舍去．所以实数a思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)(2019·河北冀州中学月考)函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()答案B解析由函数值域为R，可以排除C，D，当x>1时，f(x)＝lg(x－1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A，选B.(2)若不等式x 2－log a x <0对xa 的取值范围是________．答案116，解析只需f 1(x )＝x 2f 2(x )＝log a x图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<loga x 在x只需ff所以有≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是116，对数函数的性质及应用命题点1解对数方程、不等式例2(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．答案x ＝5解析原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝5.(2)设f (x )2x ，x >0，12(－x )，x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．答案{－1,1}解析当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝121log a ⎛⎫⎪⎝⎭＝f (－a )＝12log a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝12log ()a-＝logf (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.∴方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}．本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．答案(－1,0)∪(1，＋∞)解析>0，log 2a >12a<0，12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.命题点2对数函数性质的综合应用例3(2020·湛江质检)已知函数f (x )＝12log (x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解(1)由f (－1)＝－3，得12log (4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2.则f (x )＝12log (x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．又y ＝12log μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)．(2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.≥2，(2)≥0，即≥2，－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2(1)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为()A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1](1)>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴a >4，且a<4，故不存在．综上可知，实数a比较指数式、对数式的大小例4(1)(2019·天津市河西区模拟)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则()A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案D 解析c ＝131log 4＝log 34>log 3e ＝a .又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2，∴a <c <b .(2)(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则()A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案B解析∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0，∴0<a ＋b ab<1，∴ab <a ＋b <0.(3)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝fc ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案c <a <b解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f |log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f f (4)，所以c <a <b .思维升华(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.跟踪训练3(1)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c答案B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(2)(2019·天津市滨海新区模拟)已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f b ＝f c ＝f (2－1)，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c答案A解析ln 32<ln e ＝12，log 23>12，∴log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴ff f (log 23)＝f ∴a <c <b .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．a <c <b答案C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.1．(2019·泸州诊断)2lg 2－lg 125的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析2lg 2－lg 125＝2lg 100＝2，故选B.2．设0<a <1，则()A ．log 2a >B ．>C ．log 2a <D ．log 2a <答案B解析∵0<a <1，∴0<a 2<a <a <1，∴在A 中，log 2a ＝，故A 错误；在B 中，>，故B 正确；在C 中，log 2a >，故C 错误；在D 中，log 2a >，故D 错误．3．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为()答案A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.4．(2019·衡水中学调研卷)若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是()A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a答案B解析易得0<log a x <1，∴a <x <1.5．函数f (x )＝12log (x 2－4)的单调递增区间为()A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案D解析函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝12log t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝12log t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．6．(2020·长沙期末)已知函数f (x )2x ，x >0，x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围为()A ．(0,1]B ．(0,1)C ．[0,1]D ．(0，＋∞)答案A解析作出函数y ＝f (x )的图象(如图)，欲使y ＝f (x )和直线y ＝a 有两个交点，则0<a ≤1.7．(多选)关于函数f (x )＝ln1－x1＋x，下列说法中正确的有()A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f 答案BD解析函数f (x )＝ln 1－x1＋x＝其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1，∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x1－x＝1＝－ln1－x1＋x＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝f ∴D 对．8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为()A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增答案BC解析函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．9．函数f (x )＝log 2x ·(2x )的最小值为________．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x 2x －14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10．(2020·深圳月考)设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．答案(0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点(如图)，∴ab＝1,0<c <lg 10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间0，32上的最大值．解(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.＋x >0，－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．是否存在实数a ，使得f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解设t＝ax2－x＝－1 4a.若f(x)在[2,4]上是增函数，<1，4，－4>0，2，2>0，解得a>1.∴存在实数a满足题意，即当a∈(1，＋∞)时，f(x)在[2,4]上是增函数．13．已知函数f(x)＝ln e xe－x，若fff1010(a＋b)，则a2＋b2的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵f(x)＋f(e－x)＝2，∴ff…＋f2020，∴1010(a＋b)＝2020，∴a＋b＝2.∴a2＋b2≥(a＋b)22＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号．14．若函数f(x)＝log a(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.答案2解析令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝74.当a>1时，y＝log a u是增函数，f(x)max＝log a4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝log a u是减函数，f(x)max＝log a74＝2，得a＝72(舍去)．故a＝2. 15．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝log a(2x－a)在区间12，23上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是()B.13，D.23，答案A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间12，23上是减函数，所以log ，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2020)＋f (－2020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.∴函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝0，∴f (x )为奇函数．∴f (2020)＋f (－2020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lgm (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。
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