2014年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题(精品含答案)(最新整理)

2014 年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题1、如图，⊙O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C 作⊙O 的切线 DC ，P 点为优弧 CBA 上一动点（不与 A ．C 重合）．（1） 求∠APC 与∠ACD 的度数；（2） 当点 P 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形 OBPC 是菱形．（3）P 点移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等，请说明理由．2、如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ，AC= 12AB ，点 P 在半圆弧 AB上运动（不与 A 、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．（1） 如图 1，求证：△PCD ∽△ABC ；（2） 当点 P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图 2 中画出△PCD 并说明理由；（3） 如图 3，当点 P 运动到 CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数．3、如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E．（1）当BC=1 时，求线段 OD 的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为 y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．4、如图，菱形ABCD 的边长为2cm，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC向C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运动．当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 ts．（1）当P 异于A．C 时，请说明PQ∥BC；（2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P与边BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？5、如图，在菱形 ABCD 中，AB＝23，∠A＝60º，以点 D 为圆心的⊙D 与边 AB 相切于点 E．(1)求证：⊙D与边BC 也相切；(2)设⊙D与BD 相交于点 H，与边 CD 相交于点 F，连接 HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)⊙D上一动点 M 从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当 S△HDF＝果保留)．3S△MDF时，求动点 M 经过的弧长(结6、半径为2cm 的与⊙O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点F，DC 在l 上．（1）过点B 作的一条切线BE，E 为切点．①填空：如图1，当点A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是；②如图2，当E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（2）以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC 与OF 重合时结束移动，M，N 分别是边BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形MON 的面积的范围．7、如图，Rt△ABC 的内切圆⊙O 与AB、BC、CA 分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P 在射线AC 上运动，过点P 作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD 及⊙O 半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y 关于x 的函数关系式；（3）当PH 与⊙O 相切时，求相应的y 值．8、如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M、C 重合），以AB 为直径作⊙O，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）延长DC、FP 交于点G，连接OE 并延长交直线DC 与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O 与E、H、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．9、如图，⊙O 的半径为1，直线CD 经过圆心O，交⊙O 于C、D 两点，直径AB⊥CD，点M 是直线CD 上异于点C、O、D 的一个动点，AM所在的直线交于⊙O 于点N，点P 是直线CD 上另一点，且PM=PN．（1）当点M 在⊙O 内部，如图一，试判断PN 与⊙O 的关系，并写出证明过程；（2）当点M 在⊙O 外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M 在⊙O 外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．10、如图，在⊙O 中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M 为OC 上动点，AM 的延长线交⊙O 于点G，交过C 的直线于F，∠1=∠2，连结CB 与DG 交于点N．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）点M 在OC 上移动时（点M 不与O、C 点重合），探究△ACM 与△DCN 之间关系，并证明1（3）若点M 移动到CO 的中点时，⊙O 的半径为4，cos∠BOC= ，求BN 的长．411、如图，已知AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，弦ED⊥AB 于点F,交BC5 于点 G ，过点 C 作圆 O 的切线与 ED 的延长线交于点 P ． (1）求证：PC ＝PG ；（2）点 C 在劣弧 AD 上运动时，其他条件不变，若点 G 是 BC 的中点，试探究 CG 、BF 、BO 三者之间的数量关系，并写出证明过程；（3）在满足（2）的条件下，已知圆为 O 的半径为 5,若点 O 到 BC 的距离为 时，求弦 ED的长．12、如图 1，已知⊙O 的半径长为 3，点 A 是⊙O 上一定点，点 P 为⊙O 上不同于点 A 的动点．（1） 当tan A =1 时，求 AP 的长；2（2） 如果⊙Q 过点 P 、O ，且点 Q 在直线 AP 上（如图 2），设 AP ＝x ，QP ＝y ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3） 在（2）的条件下，当tan A = 4时（如图 3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q3 相外切，且 OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图 1 图 2 图 3答案：1、解：（1）连接 AC，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=1AB=2。

2又∵AC=2，∴AC=OA=OC。

∴△ACO 为等边三角形。

∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，∴∠APC=1∠AOC=30°。

2又 DC 与圆 O 相切于点 C，∴OC⊥DC。

∴∠DCO=90°。

∴∠ACD=∠DCO﹣∠ACO=90°﹣60°=30°。

（2）连接 PB，OP，∵AB 为直径，∠AOC=60°，∴∠COB=120°。

当点 P 移动到弧 CB 的中点时，∠COP=∠POB=60°。

∴△COP 和△BOP 都为等边三角形。

∴AC=CP=OA=OP。

∴四边形 AOPC 为菱形。

（3）当点 P 与B 重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC。

当点 P 继续运动到 CP 经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：∵CP与AB 都为圆 O 的直径，∴∠CAP=∠ACB=90°。

在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB=CP，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）。

综上所述，当点 P 与 B 重合时和点 P 运动到 CP 经过圆心时，△ABC≌△CPA。

2、解：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°。

∵PD⊥CD，∴∠D=90°。

∴∠D=∠ACB。

∵∠A与∠P是B C所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。

（2）当 PC 是⊙O 的直径时，△PCD≌△ABC。

理由如下：∵AB，PC 是⊙O 的半径，∴AB=PC。

∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。

画图如下：4 - x 2 2x+ 4 - x 2 2 2 2- 2 ⎪ ⎛ 1 ⎫2⎝ ⎭ 2 4 - x 2 4 - x 22 2x+ 4 - x 2 2（3）∵∠ACB=90°，AC= 1AB ，∴∠ABC=30°。

2∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。

∵CP⊥AB，AB 是⊙O 的直径，∴ AC = A P 。

∴∠ACP=∠ABC=30°。

∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。

3、解：（1）∵点 O 是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD= 1 BC= 1。

又∵OB=2，∴ OD= （2） 存在，DE 是不变的。

如图，连接 AB ，则 AB=∵D 和 E 是中点，∴DE= 1AB= 22 2= == 2 。

15 。

2（3） ∵BD=x，∴ OD = 。

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。

∴∠2+∠3=45°。

过 D 作 DF⊥OE，垂足为点 F 。

∴DF=OF= 。

由△BOD∽△EDF，得 BD = OD，即EF DFx 4 - x 2 1 = ，解得 EF= x 。

EF 4 - x 2 2∴OE= 。

∴。

y = 1 DF ⋅ O E = 1 ⋅ ⋅ 4 - x 2 +x 4 - x 2 = 形0 < x < 2 2 4 2形 OB 2- BD 2OB 2 +OA 2 23 3 3 3 3 3 3 4、解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，且菱形 ABCD 的边长为 2，1∴AB=BC=2，∠BAC= 2∠DAB。

又∵∠DAB=60°，∴∠BAC=∠BCA=30°。

如图 1，连接 BD 交 AC 于 O 。

∵四边形 ABCD 是菱形， 1 ∴AC⊥BD，OA= 21AC 。

∴OB= 2AB=1。

∴OA= ，AC=2OA=2 。

运动 ts 后，AP=t ，AO=t ，∴AP = AC = 。

AQ AB又∵∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB.∴∠APQ=∠ACB.∴PQ∥BC.（2）如图 2，⊙P 与 BC 切于点 M ，连接 PM ，则 PM⊥BC。

1在 Rt△CPM 中，∵∠PCM=30°，∴PM= PC= - t 。

22由 PM=PQ=AQ=t ，即 -t =t ，解得 t=4 2- 6 ，此时⊙P 与边 BC 有一个公共点。

如图 3，⊙P 过点 B ，此时 PQ=PB ， ∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°∴△PQB 为等边三角形。