古典概型1

32
例5 （2009天津卷文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况， 拟采用分层抽样的方法从A，B,C三个区中抽取7个工厂进行调查， 已知A,B，C区中分别有18，27，18个工厂 （Ⅰ）求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；
（1）解： 工厂总数为18+27+18=63，
样本容量与总体中的个体数比为 7 1 63 9
从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12)
07:37
31
全部基本事件的总数为30，
因为A1中的基本1事件的个数为8，1
2
2
a
3
b
3
4
4
A2中的基本事件的个数为8，
a
a
a
a
1
2 b
3 b
4 b
b
A12中的基本事件的个数为2，a
bb
a
07:37
所以P(A)＝
8 30
＋
8 30
＋
2 30
＝0.6
07:37
22
为什么要把两个骰子标上记号？如果不标记号 会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？
如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3）的结果 将没有区别。
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） （3，1） （(33,，2)2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （(44,，1)1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
07:37
25
例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、 B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌 握了考察的内容，它可以选择唯一正确的答案。假设 考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概 率是多少？
问题1:向一个圆面内随 机地投射一个点,如果该 点落在圆内任意一点都是等可 能的,你认为这是古典概型吗?为什么？
不是古典概型。因为试验的所有可 能结果数是无限的，虽然每一个试验结 果出现的“可能性相同”，但这个试验 不满足古典概型的第一个条件。
古典概型：有限性、等可能性。
问题2:如图,某同学 随机地向一靶心进行射击， 这一试验的结果只有有限个: 命中10环、命中9环……命中 5环和不中环.你认为这是古 典概型吗？为什么？
例：
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验中，
有哪些基本事件？ A=｛正，正 ｝, B=｛正，反｝ C=｛反，正｝ , D=｛反，反｝
同时抛掷三枚质地均匀的硬币呢？ 解：所有的基本事件共有８个：
A=｛正，正，正｝, B=｛正，正，反｝,
C=｛正，反，正｝, D=｛正，反，反｝,
E=｛反，正，正｝, F=｛反，正，反｝，
07:37 G=｛反，反，正｝, H=｛反，反，反｝,
17
练习:
掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的
概率。
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空
间是Ω={1, 2， 3, 4，5，6}
∴n=6
而掷得偶数点事件A={2, 4，6}
∴m=3
∴P(A) = 3 1
62
07:37
18
题后小结：
求古典概型概率的步骤：
不是古典概型.虽然试验的所有可能 结果只有7个,但命中10环、命中9环…… 命中5环和不中环的出现不是等可能的， 即不满足古典概型的第二个条件。
判断下列试验是不是古典概型
1、种下一粒种子观察它是否发芽。N 2、上体育课时某人练习投篮是否投中。N
3、则掷两颗骰子2,，3,设4,5其,6点,7数,8之,9和,1为0,11。, ,12 N
古典概型
教学目标
• 1：了解基本事件的特点； • 2：明确古典概型 的定义； • 3：会用古典概型的概率公式解决实际问题。 • 重点：古典概型的定义以及概率公式的应用。 • 难点：古典概型的定义的理解。
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件； 如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不 发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.
在这个实验中，所有可能出现的基本
事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相
等。（等可能性）
我们将具有这两个特点的概率模型 称为古典概率概型，简称古典概型。
在这个实验中，所有可能出现的基本 事件只有有限个；（有限性）
（2）每个基本事件出现的可能性相 等。（等可能性）
古典概型：有限性、等可能性。
（1）判断试验是否为古典概型；
（2）写出基本事件空间 ，求n
（3）写出事件 A ，求m
（4）代入公式
PA m
n
求概率
07:37
19
例2、同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？
2号骰子 1号骰子
5
（5，1） （5，2）（5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2）（6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。
07:37
20
（2）在上面的结果中，向上的点数之和为5 的结果有4种，分别为： （1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1）。
07:37
12
（1）x的取值为2的倍数（记为事件A） （2）x的取值大于3（记为事件B） （3）x的取值为不超过2（记为事件C）
解： （1） 点数 1 2 3 4 5 6
（2） 点数 1 2 3 4 5 6
（3） 点数 1 2 3 4 5 6
07:37
13
1、若一个古典概型有 n 个基本事件，
5
基本事件
基本事件的特点： (1)任何两个基本事件是互斥的 (2) 任何事件都可以表示成基本事件的和。
07:37
6
例1.从字母a，b，c，d中任意取出两个 不同字母的试验中，有哪些基本事件？
解:所求的基本事件共有6个，分别是： A={a,b} B={a,c} C={a,d} D={b,c} E={b,d} F={c,d}
解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果 只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即 基本事件只有4个，考生随机的选择一个答案是 选择A、B、C、D的可能性是相等的，由古典 概型的概率计算公式得：
P （ “答对” ）= “答对”所包含的基本事件的个数
4
07:37
=1/4=0.25
26
假设有20道单选题，如果有一个考生答对了17道题， 他是随机选择的可能性大，还是他掌握了一定的知 识的可能性大？ 答：他应该掌握了一定的知识
4
（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即 “正面朝上”或“反面朝上
（2）掷一枚质地均匀的骰子，结果只有6个， 即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、 “5点”和“6点”.
它们都是随机事件，我们把这类随机事件称 为基本事件.
基本事件：在一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件。
07:37
所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2.
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比， 用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。
在A区中抽得的2个工厂，为 A1, A2 .在B区中抽得的3个工厂，为 B1, B2 , B3
在C区中抽得的2个工厂，为 C1,C2 . 这7个工厂中随机的抽取2个，全部
4、在圆面内任意取一点。N
5、从规格直径为300 1mm的一批合格产品中
任意抽一根，测量其直径，观察测量结果。N
题后小结：判断一个试验是否为古典概型，
在于检验这个试验是否同时具有有限性和
07:37 等可能性，缺一不可。
11
把一枚骰子抛6次，设正面出现的点数为x 1、求出x的可能取值情况 2、下列事件由哪些基本事件组成 （1）x的取值为2的倍数（记为事件A） （2） x的取值大于3（记为事件B） （3） x的取值为不超过2（记为事件C）
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2） （1，3）（（1，1，44）） （1，5） （1，6）
2
（2，1） （2，2）（（22，，33）） （2，4）（2，5） （2，6）
3
（3，1）（（33，，22）） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（（44，，11）） （4，2） （4，3） （Baidu Nhomakorabea，4）（4，5） （4，6）
解法：可以看作不放回抽样2次，顺序不同，基本事件 不同.依次不放回从箱中取出2听饮料，得到的两个标记 分别记为x和y，则（x，y）表示一次抽取的结果，即基 本事件．由于是随机抽取，所以抽到的任何基本事件的 概率相等． 用A表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”， A1表示 “仅第一次抽出的是不合格产品”，A2表示“仅第二次 抽出的是不合格产品”，A12表示“两次抽出的都是不 合格产品”，则，和是互不相容的事件，且 A＝A1∪A2∪A12
则每个基本事件发生的概率为多少？
2、若某个随机事件A 包含m 个基本 事件，则事件A发生的概率为多少？
07:37
15
古典概型概率计算公式:
如果一次试验的等可能基本事件共
有n个，那么每一个等可能基本事件发 生的概率都是 :1/n。
如果某个事件A包含了其中m个等可
能基本事件，那么事件A发生的概率为：
P(A)=m/n
07:37
28
解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试验， 试验的基本事件（所有可能的结果）共有10 000种， 它们分别是0000，0001，0002，…，9998，9999.由 于是随机地试密码，相当于试验的每一个结果试等可 能的．所以
P(“试一次密码就能取到钱”)
＝
“试一次密码就能取到钱”所包含的基本事件的个数 10000
绿骰子 蓝骰子
1
2
3
4
5
6
1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
＝1/10000 ＝0.0001
答：随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001．
07:37
29
练习：某种饮料每箱装6听，如果其中有 2听不合格，问质检人员从中随机抽取2 听，检测出不合格产品的概率有多大 ？
07:37
30
解：我们把每听饮料标上号码，合格的4听分别记作： 1，2，3，4，不合格的2听分别记为a，b，只要检测 的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式 是什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A)+P(Ā)=1
07:37
3
考察两个试验：
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币的试验； （2）掷一颗质地均匀的骰子的试验.
在这两个试验中，可能的结果分别有哪些？
07:37
（3）由于所有36种结果是等可能的，其中向 上点数之和为5的结果（记为事件A）有4种， 则
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数 ＝ 4 ＝ 1
基本事件的总数
36 9
07:37
21
为什么要把两个骰子标上记号？如 果不标记号会出现什么情况？你能 解释其中的原因吗？
如果不标上记号，类似于（3，6）和（6，3） 的结果将没有区别。
可以运用极大似然法的思想解决。假设他每道题都是 随机选择答案的，可以估计出他答对17道题的概率为
1
17
5.82 1011
4
可以发现这个概率是很小的；如果掌握了一定的知 识，绝大多数的题他是会做的，那么他答对17道题 的概率会比较大，所以他应该掌握了一定的知识。
07:37
27
例4：假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个 数字可以是0，1，2…，9十个数字中的任意一 个。假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码， 问他到自动提款机上随机试一次密码就能取到 钱的概 率是多少？
P（A）＝ A所包含的基本事件的个数 ＝ 2
07:37
基本事件的总数
21
23
问题解决
意大利数学家卡当(1501-1576),他提出 这样一个问题:掷一蓝一绿两颗骰子,以两 颗骰子的点数和打赌, 卡当认为7最好，你 能根据今天所学的知识来说明这个问题吗？
07:37
24
解：（1）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标 上记号1，2以便区分，它总共出现的情况如下表所示：