《倾斜角与斜率》教学设计(优质课)
数学《倾斜角和斜率》教案
数学《倾斜角和斜率》教案【教学目标】1.理解倾斜角和斜率的意义及其相互转换关系。
2.掌握通过坐标计算倾斜角和斜率的方法。
3.应用倾斜角和斜率解决实际问题。
【教学重点】1.理解倾斜角和斜率的概念并能相互转换。
2.能应用倾斜角和斜率解决实际问题。
【教学难点】1.能在实际问题中应用斜率和倾斜角进行解题。
2.能根据图像特征确定斜率和倾斜角的符号。
【教学方法】理论讲解、示范演示、问题引导、归纳总结。
【教学工具】黑板、白板、PPT、直尺、量角器、教学实例。
【教学过程】一、导入（5分钟）1.以一幅直线图形为例，问学生直线与坐标轴之间有何关系？其间的概念是什么？2.提问：横坐标变化一定的直线与垂直于x轴的直线之间的关系是什么？请举出一些实际例子。
二、新知呈现（25分钟）1.让学生通过观察图片认知倾斜角和斜率这两个概念。
2.讲解斜率和倾斜角的公式。
3.通过例子演示斜率和倾斜角的计算方法。
4.通过实例分析斜率和倾斜角对于解决实际问题的作用。
三、巩固与练习（20分钟）1.布置练习，要求学生分别通过斜率和倾斜角计算直线的倾斜情况，并应用斜率和倾斜角解决实际问题。
2.教师对学生的练习做出指导及纠正，引导学生加深认识。
四、课堂小结（10分钟）1.通过教师总结，让学生回顾课堂学习内容。
2.发现学生容易出现的问题及疑惑，决定下节课的重点和难点。
【板书设计】倾斜角和斜率斜率k = tanα = （y2 - y1）/（x2 - x1）倾斜角α = arctan k【教学反思】1.本课是数学中的一堂基础性课程，加深了学生对于倾斜角和斜率的概念与应用。
但是在教学过程中，需要考虑学生个体化的差异，对于不同层次的学生需给予不同的细致讲解及巩固练习。
2.教学中落实了以问题为导向的教学理念，让学生在认知之余也能进行实际问题的应用。
从而深入理解倾斜角和斜率的意义及作用，提高数学运用能力。
倾斜角与斜率教案
倾斜角与斜率教案教案：倾斜角与斜率教学目标：1. 理解倾斜角和斜率的概念和定义；2. 掌握计算直线斜率和倾斜角的方法；3. 能够应用斜率和倾斜角解决实际问题。
教学准备：1. 教材：含有直线斜率和倾斜角概念和计算方法的教材或课本；2. 教具：黑板、白板、笔、直尺等。
教学过程：Step 1: 引入概念介绍直线的斜率和倾斜角的概念，以及它们之间的关系。
Step 2: 斜率的计算方法1. 解释斜率的定义：直线的斜率是直线上任意两点之间的高度差与水平距离之比。
2. 讲解斜率的计算方法：使用点斜式、两点式或截距式等方法计算直线的斜率。
Step 3: 倾斜角的计算方法1. 解释倾斜角的定义：直线的倾斜角是直线与水平线之间的夹角。
2. 说明倾斜角和斜率的关系：斜率等于倾斜角的正切值。
Step 4: 实例演练通过多个实例演示如何计算直线的斜率和倾斜角，并解决实际问题。
Step 5: 讲解斜率和倾斜角的应用介绍斜率和倾斜角在实际问题中的应用，如在工程、物理和几何等领域。
Step 6: 练习与巩固提供一些相关的练习题，让学生进行计算直线的斜率和倾斜角，并解决实际问题。
Step 7: 总结和评价总结斜率和倾斜角的计算方法和应用，并进行综合评价。
教学提示：1. 强调斜率和倾斜角的定义和计算方法的记忆和理解，以便学生能够运用到实际问题中；2. 鼓励学生主动思考和提问，加深对斜率和倾斜角概念的理解；3. 配合实例演练和练习题，让学生在思考和解答问题中巩固知识点。
教学延伸：1. 扩展学生的思维，让他们能够利用斜率和倾斜角的概念和计算方法解决更复杂的问题；2. 让学生观察和探索其他图形的倾斜角和斜率，拓宽对斜率和倾斜角的应用范围；3. 引导学生进行实地考察和调查，了解斜率和倾斜角在实际中的应用情况。
倾斜角与斜率 优秀教案
倾斜角与斜率【教学目标】1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题。
【教学重难点】重点：倾斜角与斜率的概念难点：直线的斜率与倾斜角的关系【教学过程】一、课前准备复习 1：在直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不 能确定一条直线呢？复习 2：在日常生活中，我们常说这个山坡很陡峭， 有时也说坡度，这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢？二、新课导学探究点一：①倾斜角的概念当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination ）。
发现：①直线向上方向；②x 轴的正方向；③小于平角的正角。
注意：当直线与轴x 平行或重合时，我们规定它的倾 斜角为 0 度。
思考：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？②斜率与倾斜角的关系一条直线的倾斜角 α （ ） 的正切值叫做这条直线的斜率（slope ）。
记为k= tan 。
试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为（1）α=0°时，则k（2）0°<α< 90°，则k（3）α= 90°，，则k（4）90 °<α< 180°，则k③ 已知直线上两点1p （),11y x ，),(222y x p （21x x ≠）的直线的斜率公式：1212x x y y k --= 。
探究任务二：1．已知直线上两点 ),(),,(2211b a B b a A 运用上述公式计算直线的斜率时，与 A 、B 两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y 轴时，或与轴y 重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？三、典型例题分析例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：30a =。
； 135a =。
； 60a =。
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)
《直线的倾斜角和斜率》教案(公开课)直线的倾斜角和斜率直线的斜率和倾斜角是数学中的重要概念，它们帮助我们理解和描述直线的特性。
本文将介绍直线的倾斜角和斜率的概念，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
1. 斜率的定义和计算方法斜率是直线上的两个点之间纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
用数学符号表示，斜率可以表示为：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)其中，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。
例如，有一条直线上的两个点分别为A(1, 2)和B(4, 5)，我们可以计算这条直线的斜率：m = (5 - 2)/(4 - 1)= 3/3= 1所以，这条直线的斜率为1。
2. 斜率的特性斜率可以帮助我们判断直线的特性，如下所示：- 当斜率为正数时，直线是向上倾斜的。
斜率越大，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为负数时，直线是向下倾斜的。
斜率越小，直线的倾斜程度越大。
- 当斜率为0时，直线是水平的。
- 当斜率不存在（除数为0）时，直线是垂直的。
通过计算直线的斜率，我们可以快速了解直线的倾斜情况，并对其特性进行分析。
3. 倾斜角的定义和计算方法倾斜角是直线与水平线之间的夹角，用数学符号表示为θ。
对于任意一条直线，可以通过其斜率来计算倾斜角。
倾斜角的计算方法如下：- 当直线向上倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m)。
- 当直线向下倾斜时，倾斜角为θ = arctan(m) + π。
- 当直线是水平的时，倾斜角为θ = 0。
- 当直线是垂直的时，倾斜角不存在。
4. 实例分析让我们通过几个实例来进一步理解直线的倾斜角和斜率。
实例一：有一条直线通过点A(-2, 1)和B(4, 9)。
计算直线的斜率和倾斜角。
通过斜率的计算公式，我们可以得到直线的斜率：m = (9 - 1)/(4 - (-2))= 8/6= 4/3接下来，我们可以计算直线的倾斜角：θ = arctan(4/3)实例二：有一条直线通过点C(3, 2)和D(3, 8)。
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案
高中数学《直线的倾斜角和斜率》教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求出直线的倾斜角。
2. 掌握直线的斜率与倾斜角的关系，能够计算直线的斜率。
3. 能够运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
二、教学内容1. 直线的倾斜角的概念2. 直线的斜率与倾斜角的关系3. 直线的倾斜角和斜率的计算4. 直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率与倾斜角的关系，直线的倾斜角和斜率的计算。
2. 教学难点：直线的倾斜角和斜率的计算，直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过探究直线的倾斜角和斜率的概念及关系，提高学生的思维能力。
2. 利用数形结合法，结合图形讲解直线的倾斜角和斜率，增强学生的直观理解。
3. 通过实例分析，让学生学会运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过复习初中阶段学习的直线的倾斜角的概念，引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
2. 新课讲解：（1）讲解直线的倾斜角的概念，介绍直线的倾斜角的定义及求法。
（2）讲解直线的斜率与倾斜角的关系，引导学生理解斜率与倾斜角之间的联系。
（3）讲解直线的倾斜角和斜率的计算方法，让学生掌握计算直线的倾斜角和斜率的技巧。
3. 实例分析：运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题，如计算直线的倾斜角和斜率，分析直线在坐标系中的位置等。
4. 课堂练习：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。
6. 作业布置：布置一些有关直线的倾斜角和斜率的练习题，让学生课后巩固所学知识。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体直线图形，让学生理解直线的倾斜角和斜率在实际问题中的应用。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享各自对直线倾斜角和斜率的理解，互相学习，提高理解。
直线的倾斜角和斜率教学设计
§ 3.1.1 直线的倾斜角和斜率一、教材分析本课是解析几何第一课时。
“万事开头难”, “好的开始是成功的一半”, 解析几何的基本思想和方法都应当得到适当的体现, 因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念, 还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。
直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度, 倾斜角用几何位置关系刻画, 斜率从数量关系刻画, 二者的联系桥梁是正切函数值, 并且可以用直线上两个点的坐标表示。
建立斜率公式的过程, 体现了坐标法的基本思想: 把几何问题代数化, 通过代数运算研究几何图形的性质。
本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。
倾斜角是几何概念, 它主要起过渡作用, 是联系新旧知识的纽带, 研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念, 不仅其建立过程很好地体现了解析法, 而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用, 这是因为在直角坐标系下, 确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率, 其他形式都可以化归到这两个条件上来。
综上, 从解析几何的基本方法——坐标法的基本思想考虑, 斜率概念是本课时的核心概念。
（一）直线的斜率在高中数学课程中的地位作用随着后续内容的学习, 我们逐渐发现, 一点和倾斜程度确定直线的很多应用: 直线的方向向量、直线的参数方程等等。
另外, 从加强知识内容的联系性, 从不同角度看待同一数学内容的角度看, 如果把函数看作描述客观世界变化规律的数学模型, 那么从变化的角度看, 直线是线性的, 它描述的是均匀变化, 是最简单的变化之一。
即直线在某个区间上的平均变化率, 与直线上任意一点的瞬时变化率（导数）是相同的, 都等于这条直线的斜率。
一切不均匀的变化或者非线性的变化, 在某个很小的区间（领域）内都可以由线性的、均匀的变化近似代替。
这也是为什么用线性的研究非线性的, 以直代曲, 用平均变化率研究瞬时变化率（导数）的原因。
倾斜角与斜率的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
倾斜角与斜率的教案一、教学目标1. 了解倾斜角和斜率的概念，能够正确计算和解释它们的意义；2. 掌握计算倾斜角和斜率的方法；3. 能够在实际问题中应用倾斜角和斜率的相关知识。
二、教学内容1. 倾斜角的定义和计算方法；2. 斜率的定义和计算方法；3. 倾斜角和斜率的关系；4. 应用实例。
三、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式引入倾斜角和斜率的概念，比如问学生他们对这两个词有什么了解，或者给出一些简单的示意图让学生观察，并引导他们思考与倾斜角和斜率相关的问题。
2. 理论讲解（1）倾斜角倾斜角可以理解为一个线段与水平方向的夹角，一般用θ表示。
在直角坐标系中，倾斜角可以通过斜线的斜率来计算。
倾斜角的计算方法如下：首先，计算斜线的斜率k，然后使用反正切函数求得倾斜角θ，即θ = arctan(k)。
倾斜角的取值范围是：-90°< θ < 90°。
（2）斜率斜率是指直线的倾斜程度，可以理解为在单位水平距离上的垂直位移量。
斜率用k表示。
直线的斜率可以通过两点的纵坐标差与横坐标差之比来计算。
斜率的计算方法如下：给定直线上两点A （x1，y1）和B（x2，y2），则斜率k = (y2-y1) / (x2-x1)。
斜率可以是正数、负数或零。
（3）倾斜角与斜率的关系倾斜角和斜率有着密切的关系。
通过倾斜角的计算方法可以发现，斜率k = tan(θ)。
也就是说，斜率恰好是倾斜角的正切值。
这一关系可以用来实际计算斜率，也可以通过斜率计算倾斜角。
3. 计算实例教师可以选取一些直线或斜线的示意图，让学生通过给定的坐标点计算斜率和倾斜角。
通过实际计算和解释，帮助学生更好地理解和应用倾斜角和斜率的概念。
4. 应用实例将倾斜角和斜率的应用引入实际问题，例如计算一座山的坡度、城市道路的坡度等。
通过解决这些实际问题，让学生理解倾斜角和斜率在现实生活中的应用价值，并培养学生分析和解决问题的能力。
四、教学总结总结本节课的教学内容，并强调倾斜角与斜率的重要性及应用领域。
《直线的倾斜角与斜率》优质课比赛教案
直线的倾斜角与斜率学习目标：1.理解直线的倾斜角和斜率的概念；2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程；3.掌握过两点的直线斜率的计算公式. 教学重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式. 教学难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系. 教学用具：计算机，彩笔，三角板. 教学方法：启发引导法，讨论法. 教学过程：一、引入新课对于平面直角坐标系内的一条直线l （如图）,它的位置由哪些条件确定呢？ 二、直线的倾斜角定义:当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 之间所成的角 叫做直线l 的倾斜角.规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为 . 思考1： 直线倾斜角的范围为 .练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对？如果不对，为什么？思考2：过一点不能确定直线的位置，那么倾斜角确定，直线的位置能确定吗？因此，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 和 ，二者缺一不可.日常生活中，还有没有其他表示倾斜程度的量？ 三、 直线的斜率 （一）定义把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率. 例如（1）倾斜角45α=时，直线的斜率k = ；（2）倾斜角135α=时，直线的斜率k = . （注：当α是锐角时,tan(180)tan αα-=-） 填写下表：练习：下列说法中正确的是 ，错误的请说明原因. A .任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B .平行于x 轴的直线的倾斜角是180C .两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等D .因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在如图，给定直线上的两点()111,p x y ,()222,p x y12p p 的斜率k ？设直线12p p 的倾斜角为(90)αα≠.（1）当直线12p p 的方向向上时，过点P 1作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线相交于点Q ，于是点Q 的坐标为()21,y x .①当α为锐角时，tan α= ；②当α为钝角时，设∠QP 1P 2=θ,则α与θ的关系是 ，1x 2x ，1y 2y ，tan α= tan θ，（填＞或＜）tan θ= = = .（2）当直线12p p 的方向向下时，tan α= .思考3：当直线12p p 与x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 思考4：当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述式子还成立吗？为什么？ （二）直线过两点()111,p x y ，()222,p x y （12x x ≠）的斜率公式思考5： 已知直线上两点()12,A a a ，()12,B b b ，运用上述公式计算直线AB 的斜率时，与A 、B 两点坐标的顺序有关吗？ 四、应用例.如图，已知A (3,2)，B (4,1)-，(0,1)C -,求直线AB 、BC 、CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 分析：1.直线过两点()111,p x y ，()222,p x y （12x x ≠）的斜率公式求直线的斜率；2.利用直线的斜率定义判断直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解：（略）方法总结：（一）直线过两点()111,p x y ，()222,p x y （12x x ≠）的斜率公式容易记得，只需理解21,y y 和21,x x 在公式中的前后次序可以同时交换，但分子分母并不能交换.（二）直线的斜率和倾斜角的关系尤其值得注意的是：三个特殊的倾斜角所对应的斜率值，一是00tan = ， 145tan = ，二是倾斜角为 90时，直线的斜率不存在.变式练习：1.求经过点()2,3A 和()1,2P 的直线的斜率和倾斜角. 2.若()2,3A 、()m P ,2、()1,0-C 三点共线，求实数m 的值. 3.画出经过点()1,2P 且斜率为1的直线. 五、课堂小结六、当堂达标A 组1.下列说法中错误的是（ ）（A ）平面直角坐标系内，每一条直线都有一个确定的倾斜角（B ）每一条直线的斜率都是一个确定的值 （C ）没有斜率的直线是存在的（D ）同一直线的倾斜角与斜率不是一一对应的2.若直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）（A ）[) 90,0 （B ）)90,180⎡⎣ （C ）()90,180 （D ）)0,180⎡⎣3.若直线l 向上的方向与y 轴正方向成30角，则l 的倾斜角为 ，l 的斜率为 .4.直线l 过(),m n （0m ≠）和原点，则l 的斜率为（ ）（A ）m n （B ） n m（C ）n m - （D ）不存在思考：5.若三点()3,1A ，()2,B k -，()8,11C 在同一直线上，则k 的值为（ ） （A ）2 （B ）-9 （C ）9 （D ）3B 组6.直线l 过(),m n 、(),n m 两点，其中m n ≠，0m n ⋅≠，则（ ）（A ）l 与x 轴垂直 （B ）l 与y 轴垂直（C ）l 过原点和第一、三象限 （D ）l 的倾斜角为1357.已知直线l 过点(),6A m -、()1,3B m m +，且2l k =，求m 的值. 七、作业课本第89页A 组第2、4题.。
《直线的倾斜角与斜率》教案及说明
一、教案内容1.1 直线的倾斜角【教学目标】理解直线的倾斜角的概念,掌握求直线倾斜角的方法,能运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学重点】直线的倾斜角的概念,求直线倾斜角的方法。
【教学难点】如何运用直线的倾斜角解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习直线的斜率概念,引导学生思考直线的倾斜角与斜率的关系。
(2)讲解:介绍直线的倾斜角的概念,讲解求直线倾斜角的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线倾斜角的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的倾斜角解决实际问题,如求直线的倾斜角和斜率,判断直线的方向等。
1.2 直线的斜率【教学目标】理解直线的斜率的概念,掌握求直线斜率的方法,能运用直线的斜率解决相关问题。
【教学重点】直线的斜率的概念,求直线斜率的方法。
【教学难点】如何运用直线的斜率解决相关问题。
【教学准备】直角坐标系,多媒体设备。
【教学过程】(1)引入:复习倾斜角的概念,引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
(2)讲解:介绍直线的斜率的概念,讲解求直线斜率的方法,结合实例进行演示。
(3)练习:让学生独立完成一些求直线斜率的问题,并及时给予反馈和讲解。
(4)应用:引导学生运用直线的斜率解决实际问题,如判断两直线是否平行或重合,求直线的倾斜角等。
二、教案说明本教案分为两个课时,第一课时讲解直线的倾斜角,第二课时讲解直线的斜率。
在教学过程中,注重让学生通过实例来理解和掌握概念和方法,并在应用环节中引导学生将所学知识运用到实际问题中。
,教案中还提供了丰富的练习题,以便学生巩固所学知识。
六、直线的斜率计算【教学目标】掌握直线斜率的计算方法，能够运用直线的斜率解决实际问题。
【教学重点】直线斜率的计算方法。
【教学难点】如何运用直线斜率解决实际问题。
【教学准备】直角坐标系，多媒体设备。
【教学过程】（1）引入：复习上节课的内容，引导学生思考直线的斜率与倾斜角的关系。
直线的倾斜角和斜率优秀教案
课题：直线的倾斜角和斜率（第一课时）【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念.②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义.③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式.（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力.②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想. （3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位.②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神.【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的应用.【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程.【教法、学法指导】教师启发引导与学生自主探索相结合.1．本节课的教学任务有两大项：倾斜角的概念、斜率的概念．学生思维也对应两个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切.相应的教学过程也有两个阶段：①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.②本节的难点是对斜率概念的理解。
学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样.还有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义.2．本节内容在教学中采用启发式探究教学，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。
学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切，这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。
《直线的倾斜角和斜率》 教学设计
《直线的倾斜角和斜率》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标理解直线的倾斜角和斜率的概念。
掌握过两点的直线斜率的计算公式。
能根据直线的倾斜角求出直线的斜率，能根据直线上两点的坐标求出直线的斜率。
2、过程与方法目标通过对直线倾斜角和斜率的探究，培养学生的观察、分析和归纳能力。
通过斜率公式的推导，培养学生的逻辑推理和数学运算能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
通过合作探究，培养学生的团队合作精神和创新意识。
二、教学重难点1、教学重点直线倾斜角和斜率的概念。
过两点的直线斜率的计算公式。
2、教学难点直线倾斜角的范围。
斜率公式的推导。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课展示生活中一些与直线相关的图片，如桥梁、楼梯等，引导学生思考如何描述直线的倾斜程度。
2、讲授新课直线的倾斜角结合图片，引导学生观察直线与 x 轴的夹角。
给出直线倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角。
强调倾斜角的取值范围：0°≤α＜180°。
通过实例让学生判断直线的倾斜角。
直线的斜率提出问题：如何用数值来刻画直线的倾斜程度？引入直线斜率的概念：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k ＝tanα（α≠90°）。
让学生通过计算不同倾斜角的正切值，感受斜率的变化。
斜率公式设两点 P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)，且 x₁≠x₂，则过这两点的直线的斜率 k ＝（y₂ y₁)／（x₂ x₁)。
推导斜率公式，引导学生理解其几何意义。
3、课堂练习给出一些直线上的点，让学生计算直线的斜率和倾斜角。
给出一些倾斜角，让学生计算斜率。
4、课堂小结回顾直线倾斜角和斜率的概念。
强调重点和难点。
5、布置作业书面作业：课本上的相关习题。
《倾斜角与斜率》教学设计(优质课)
倾斜角与斜率（一）教学目标1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.（二）教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.（三）教学方法教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？直线的倾斜角的概念.学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题概念形成1．直线倾斜角的概念教师提问：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0α=. 倾斜角α的取值范围是什么？0180α≤<当直线l与x轴重合时90α=（由学生结合图形回答）概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角α.教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角α相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角α不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角α（α≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即tankα=.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在. 例如α= 45°时k = tan45°= 1α= 135°时k= tan135°= –1教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k = tan0°= 0（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？α= 90°，k不存在设疑激发学生思考得出结论yabcxO备选例题例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)； （3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2) 【解析】（1）413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；（3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90° （4）2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0° 例2 已知点P(点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为.【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为(0，6) 直线PQ 的斜率k = tan120°=∴k == ∴b = –2，即Q 点坐标为(0,。
3.1.1《倾斜角与斜率》教案(精品)
1、通过简单练习引导学生有目的地自主学习.
2、让学生初步了解倾斜角和斜率的概念以及须注意的问题。
3、初步了解斜率公式.
学生自主完成练习，教师在课堂上轻声走动，对个别学生进行有必要的指导。
新
知
探
究
1.在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，这些直线的区别在哪里？
教学重、难点
重点：直线的倾斜角和斜率的式的建立。
教学方法
本节课主要是教给学生“动眼看、动脑想、动口说、动手算、勤钻研”的研究式学习方法，这样增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生“学”有所“思”，“思”有新“得”，“练”有所“获”，让学生产生一种成就感，激发学生的学习兴趣.
教师引导
学生学习
巩
固
练
习
1．直线 经过原点和点 ，则它的倾斜角是，它的斜率是。
2．已知点 ，坐标轴上有一点 ，若 ，则 点的坐标为。
3.已知 三点在一条直线上，则 的值为（）
A. B. C. D.
4.如右下图中直线 、 、 的斜率分别为k1、k2、k3。则( )
A、k1＜k2＜k3B、k3＜k1＜k2
C、k3＜k2＜k1D、k 1＜k3＜k2
直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系。
学生独立完成，教师点评。
拓
展
提
高
过点 作直线 ，若直线 与连结 的线段总有公共点，求直线 的倾斜角 与斜率 的取值范围。
体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。
学生自主完成，教师分析讲解。
教案
倾斜角与斜率 优秀教案
倾斜角与斜率教学目标：（1）了解直线方程的概念，正确理解直线倾斜角和斜率概念， （2）理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．（3）培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．（4）帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神． 教学重点、难点：直线斜率的概念和公式 教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法 教学过程：（一）直线方程的概念如图1，对于一次函数12+=x y ，和它的图像——直线l 有下面关系：（1）有序数对（0，1）满足函数12+=x y ，则直线上就有一点A ，它的坐标是（0，1）．（2）反过来，直线上点B （1，3），则有序实数对（1，3）就满足12+=x y ．一般地，满足函数式b kx y +=的每一对x ，y 的值，都是直线上的点的坐标（x ，y ）； 反之，直线上每一点的坐标（x ，y ）都满足函数式b kx y +=，因此，一次函数b kx y +=的图象是一条直线，它是以满足b kx y +=的每一对x ，y 的值为坐标的点构成的．从方程的角度看，函数b kx y +=也可以看作是二元一次方程0=--b kx y ，这样满足一次函数b kx y +=的每一对x ，y 的值“变成了”二元一次方程0=--b kx y 的解，使方程和直线建立了联系．定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线．以上定义改用集合表述：x ，y 的二元一次方程的解为坐标的集合，记作F ．若（1）F C ⊆（2）C F ⊇，则F C =．问：你能用充要条件叙述吗？ 答：一条直线是一个方程的直线，或者说这个方程是这条直线的方程的充要条件是……． （二）直线的倾斜角 【问题1】图1请画出以下三个方程所表示的直线，并观察它们的异同．1+=x y ；12+=x y ；1+-=x y过定点，方向不同． 如何确定一条直线？ 两点确定一条直线．还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件？学生：思考、回忆、回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度． 【导入】今天我们就共同来研究如何刻画直线的方向． 【问题2】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的．学生：展开讨论．学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导．通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向．根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角），当然用最小的正角．从而得到直线倾斜角的概念． 【板书】定义：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做直线l 的倾斜角． （教师强调三点：（1）直线向上的方向，（2）x 轴的正方向，（3）最小正角．） 特别地，当l 与x 轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．由此定义，角的范围如何？0°≤α＜180°或0≤α＜π 如图3至此问题2已经解决了，回顾一下是怎么解决的． （三）直线的斜率 【问题3】下面我们在同一坐标系中画出过原点倾斜角分别是30°、45°、135°的直线，并试着写出它们的直线方程．然后观察思考：直线的倾斜角在直线方程中是如何体现的？ 学生：在练习本上画出直线，写出方程．图3图2图430° ←--→ y ＝33x 45° ←--→ y ＝x 135°←--→ y ＝x -（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．） 【演示动画】观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中x 系数变化的关系(1) 直线变化→α变化→kx y =中的x 系数k 变化 （同时注意tg α的变化）． (2) kx y =中的x 系数k 变化→直线变化→α变化 （同时注意tg α的变化）． 教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与x 的系数的关系：倾斜角不同，方程中x 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！ 【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作k ，即tga k =．这样我们定义了一个从“形”的方面刻画直线相对于x 轴（正方向）倾斜程度的量——倾斜角，现在我们又定义一个从“数”的方面刻画直线相对于x 轴（正方向）倾斜程度的量——斜率．指出下列直线的倾斜角和斜率：(1) y ＝-3x (2) y ＝x tg60° (3) y ＝x tg(-30°)学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率． 结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．α＝0° ←--→ k ＝0 0°＜α＜90° ←--→ k ＞0 α＝90° ←--→ k 不存在 90°＜α＜180°←--→ k ＜0（四）直线过两点斜率公式的推导 【问题4】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义k ＝tg α求出直线的斜率；图3如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)（其中x 1≠x 2），求直线P 1P 2的斜率． 思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导： 运用正切定义，解决问题．(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．） (2)角α是“标准位置”吗？（不是．）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量21P P ，使P 1与原点重合，得到新向量OP ．） (4)P 的坐标是多少？（x 2-x 1，y 2-y 1） (5)直线的斜率是多少？k ＝tg α=1212x x y y --（x 1≠x 2）(6)如果P 1 和P 2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．评价：注意公式中x 1≠x 2，即直线P 1 P 2不垂直x 轴．因此当直线P 1P 2不垂直x 轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角． 【练习】(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tg α？ (2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？(3)直线x y =tg (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？ (4)求经过两点C (0，0)、D (-1，3)直线的倾斜角和斜率．(5)课本练习第2、4题．教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）． 【总结】教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题： (1)直线倾斜角的概念要注意什么？ (2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时，tg α不存在．x图5(3)k ＝1212x x y y --（21x x ≠），没有．【作业】1．课本习题第3、4、5题． 2．思考题（1）方程122=+y x 是单位圆的方程吗？（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？ （3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？。
《倾斜角与斜率》教学设计【高中数学】
《倾斜角与斜率》教学设计1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线的斜率公式． 2．了解斜率公式的推导，会用代数和几何两种方法推导斜率公式．3．通过本节课的学习，培养严密的逻辑思维能力和严谨的科学态度，养成从不同角度思考同一个问题的科学思维习惯．教学重点：会求直线的斜率与倾斜角． 教学难点：理解直线的斜率与倾斜角的概念．环节一：引入新课思考：我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？环节二：课堂探究为了研究这个问题，我们需要弄清楚:问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l ，如何利用坐标系确定它的位置?答案：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.问题2：在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？答案：在平面直角坐标系中，我们规定一条水平直线的方向向右.PxyO◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程其他它还有如图所示的三种情形，我们规定直线向上的方向为这条直线的方向.进一步，我们观察下图中这些直线，它们的区别在于它们的方向不同.我们看到，这些直线相对于x 轴的倾斜程度不同，也就是它们与x 轴所成的角不同. 因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角（angle of inclination ）．问题3：当直线l 与x 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?答案：当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.xyOxyOO yxOyxxyOO yxOyx这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．问题4：直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)有什么内在联系?追问1：对于一个一般性命题，可以从特殊的情形来考虑，先尝试解决如下问题.在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．(1)已知直线l经过点O(0，0)，P1)，α与点O，P的坐标有什么关系?(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P20)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系?答案：对于问题（1），如图，向量(3,1)OP=，且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有tanα=．对于问题（2），如图，21(10)(1P P=--=-．平移向量21P P到OP，则点P的坐标为(1-，且直线OP的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有tan1α==．xyO1)0)追问2：将特殊情形推广到一般情形，能得到什么结论？ 答案：一般地，如图，当向量的方向向上时，．平移向量到，则点P 的坐标为，且直线OP 的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tan α=．同样，当向量的方向向上时，如图，，也有tan α==．追问3：当直线P 1P 2与x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？ 答案：当直线P 1P 2与x 轴平行或重合时，y 1=y 2， α=0o ，符合 tan α=.结论 直线l 的倾斜角α与直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的坐标有如下关系：tan α=.我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope ），斜率常用小写字母k 表示，即k =tan α.12PP 122121（，）=--PP x x y y 12PP OP 2121（，）--x x y y 2121y y x x --21PP211212（，）=--P P x x y y 1212y y x x --2121y y x x --1212y y x x --xyO1212y y x x --日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=铅直高度水平宽度．当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的． α=0o ⇔ k =0； 0o <α<90o ⇔ k >0； α=90o ⇔ 斜率不存在； 90o <α<180o ⇔ k<0.问题5：当直线的倾斜角由0o 逐渐增大到180o 时，其斜率如何变化？为什么? 答案：当倾斜角α满足0o ≤α<90o 且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大； 当倾斜角α=90o ，斜率不存在；当倾斜角α满足90o <α<180o 且逐渐增大时，斜率k 逐渐增大.结论：由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o 的直线相对于x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．由tan α=及k =tan α知，k =.问题6：直线的方向向量与斜率k 有什么关系？答案：我们知道，直线P 1P 2上的向量12PP 及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线P 1P 2的方向向量12PP 的坐标为2121（，）--x x y y ， 当直线P 1P 2与x 轴不垂直时，12≠x x ，此时向量12211-PP x x 也是直线P 1P 2的方向向量，且它的坐标为2121211（，）,---x x y y x x 即21211y y x x --（，）=（1，）,k 其中k 是直线P 1P 2的斜率．因此，若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为（x ，y ），则=yk x. 环节三：知识应用1212y y x x --1212y y x x --παkO例1 如图，已知A (3，2)，B (－4，1)，C (0，－1)，求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB 的斜率k AB =1243---=17； 直线BC 的斜率k BC =1104----（）=24-= -12；直线CA 的斜率k CA =2(1)30---=33=1．由k AB >0及k CA >0可知，直线AB 与CA 的倾斜角均为锐角； 由k BC <0可知，直线BC 的倾斜角为钝角． 课时检测1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角.2.已知四边形ABCD 的四个顶点是A (2，3)，B (1，–1)，C (–1，–2)， D (–2，2)，求四边形ABCD 的四条边所在直线的斜率．3.m 为何值时，(1)经过A (–m ，6)，B (1，3m )两点的直线的斜率是12 ? (2)经过A (m ，2)，B (–m ， –2m –1)两点的直线的倾斜角是60o ? 答案：1. 45°或135°； 2. k AB =4，k BC =12，k CD = -4，k AD =14； 3.(1) m = -2；(2) m=34. CBAxyO。
优秀教案20-倾斜角与斜率
第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率教材分析直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习做好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚定的基础.只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.教学目标重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率公式.难点：直线的斜率与倾斜角的关系.知识点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.能力点：培养学生的观察、比较、分析、综合、抽象、概括以及分析问题、解决问题的能力.教育点：培养学生相互合作意识、自主探索能力，注意思维的严谨性，认识事物之间的相互联系．自主探究点：用直线倾斜角和斜率刻画直线方向的科学性及斜率公式的推导.考试点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率公式.易错易混点：倾斜角和斜率之间的相互关系，能初步进行倾斜角与斜率之间的转换．拓展点：直线倾斜角和斜率的概念，分别从几何直观和代数数值两个方面刻画了直线的方向．教具准备：一、引入新课复习 1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习 2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭, 有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?【设计意图】明确研究的主要内容是直线，那么确定直线位置的几何要素是什么？引导学生发现直线的位置可以由一点和直线的方向或倾斜程度确定.【设计说明】通过这一环节的设计，体会到数学与生活是密不可分的，并能激起学习的兴趣和热情调动学生的积极性．二、探究新知问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线，它的位置由哪些条件确定呢？问题2：已知直线经过一点，直线的位置能确定吗？答案：不能，经过一点有无数多条直线．问题3：这些直线有什么不同？答案：容易看出，它们的倾斜程度不同．问题4：怎样描述直线的倾斜程度呢？通过讨论引入倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．．．． 问题5：上面图中的倾斜角是什么角？答案：锐角，直角，钝角问题6：除了以上角以外，还有没有其它情形？答案：当直线l 与x 轴平行或重合时，此时规定0α=︒问题7：倾斜角的范围是什么？答案：0180α︒≤<︒，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．以日常生活中的斜面为例，引入斜率的概念．问题8：日常生活中还有没有表示倾斜程度的量（可提示在斜面中）答案：有，坡度，引入坡度概念：升高量与前进量之比．问题9：坡度与倾斜角有何联系？答案：坡度实际上就是倾斜角的正切．引入斜率的定义和表示方法：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．问题10：所有的直线都有倾斜角，所有的直线都有斜率吗？答案：一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.引入斜率的完整概念：一条直线的倾斜角 (90α≠︒)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是tan k α=．问题11：倾斜角变化时，斜率是怎样变化的？答案：o 0=α，0k =；,900o o <<α0k >，并且随α的增大而增大；o 90=α，k 不存在；,18090o o <<α0k <，并且随α的增大而增大．练习：1、一条直线的倾斜角045α=，则它的斜率是_________．2、当k =α=_________．3、当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=︒, k = ．4、当直线l 与x 轴垂直时, 90α=︒, k = ．学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.问题12：已知倾斜角可以求直线的斜率，两点确定一条直线，由直线上两点坐标能求直线的斜率吗？如何求？给定两点()111,P x y 、()222,P x y ，12x x ≠,求直线12PP 的斜率． （可用计算机作动画演示: 直线12PP 的四种情况导．）解：设直线12PP 的倾斜角为α()090α≠． 分别过点1P 、点2P 作x 轴、y 轴的平行线， 两线相交于点Q ，于是点Q 的坐标是()21,x y在12Rt PPQ ∆中，tan α=221121||tan ||QP y y QP x x θ-==- 问题13：当直线12PP 与x 轴平行或重合时，上述公式还成立吗？为什么？答案：成立，此时21y y =,tan α=0问题14：当直线12PP 与x 轴平行或重合时，上述公式还成立吗？为什么？答案：不适用，因为分母为0问题15：已知直线上两点，运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？答案：无关斜率公式：2121y y k x x -=- 【设计意图】以问题的形式，由浅入深，逐步理解倾斜角、斜率的概念及斜率公式，在培养合情推理能力的同时，适当进行思辨论证．【设计说明】在分析问题的同时，帮助学生归纳铺垫，步步为营让学生积极参与，老师适时点拨，总结．三、理解新知1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线倾斜角的范围是0180α︒≤<︒，直线不一定有斜率.2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵ 利用直线上两点1p (),11y x ,),(222y x p 的坐标来求；（3）当直线的倾斜角 90α︒= 时，直线的斜率是不存在的.【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫．四、运用新知例1．已知(3,2)A 、(4,1)B -、(0,1)C -求直线AB 、BC 、CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角，并求直线BC 的倾斜角．分析: 已知两点坐标, 而且12x x ≠, 由斜率公式代入即可求得k 的值;而当tan 0k α=<时, 倾斜角α是钝角;而当tan 0k α=>时, 倾斜角α是锐角;而当tan 0k α==时, 倾斜角α是0︒.解: 直线AB 的斜率1107k =>, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率2102k =-<, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA 的斜率310k =>, 所以它的倾斜角α是锐角.变式：1．求直线AC 的斜率？2．若(5,2)D 、(3,7)D ，求直线AD 的斜率？3.已知直线CA 的倾斜角为045，(0,1)C -，(3,)A n ，求n 的值．总结：对于上面的斜率公式要注意下面三点：(1) k 的值与1P 、2P 的顺序无关；(2) 当12x x =时即直线与x 轴垂直时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角90α=︒；(3) 当 12y y =时即直线与x 轴平行或重合, 斜率0k =, 直线的倾斜角00α=． 例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, 2,的直线1l 、2l ．分析:要画出经过原点的直线l , 只要再找出l 上的另外一点A . 而A 的坐标可以根据直线l 的斜率确定； 或者根据直线的倾斜角作出直线．解：设直线1l 上的另外一点1A 的坐标为(,x y ),根据斜率公式有11010y x -=-， 即11x y =． 不妨取111,1x y == 于是点1A 的坐标为(1,1)，过原点和点1A (1,1)作出直线即为直线1l ．【设计意图】考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式，利用斜率公式时，注意公式的应用范围．【设计说明】学生先做，通过投影展示做题情况，学生点评就，教师做好总结．例3．若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值． 解：∵A 、B 、C 三点共线，∴ｋAB ＝ｋAC ，.22132332+-=+--m 解得m =21. 【设计意图】考查利用斜率相等求点的坐标的方法，．【设计说明】若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解．五、课堂小结知识技能：1、直线的倾斜角的概念2、直线的斜率定义3、直线的斜率公式思想方法:数形结合【设计意图】通过对本节课的小结，构建知识结构．六、布置作业一．阅读课本8186P -二． 89P 1，3,4[设计意图]设计作业一，是引导学生先复习，培养学生良好的学习习惯；设计作业二的布置，是培养学生利用所学知识，解决数学问题的能力．七、教后反思1．设计的优点：（1）以问题串的形式，由浅入深，逐步揭示倾斜角、斜率概念的内涵，及斜率公式．（2）多媒体的合理使用，借助实物投影展示问题，让学生直接回答问题，避免抄题读题浪费时间见．（3）给学生充分探索和交流的机会，强化学生在数学学习过程中的主体地位，突出自主、合作式学习方式，比如，在例3探究三点共线时，让学生探索和交流．2．一点建议由于学生还没有系统学习三角函数，学生对倾斜角和斜率的关系进行研究并猜想出一般的结论是比较困难的，建议在问题11后，补充正切函数的图象，并指出单调区间，类比反比例函数的图象．八、板书设计3.1.1 直线的倾斜角与斜率1. 倾斜角2. 与斜率3．斜率公式 例1已知(3,2)A 、(4,1)B -、(0,1)C -求直线AB 、BC 、CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角，并求直线BC 的倾斜角．例2在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, 2,的直线1l 、2l ．例3若三点A (－2，3），B （3，－2），C （21，m ）共线，求m 的值．小结：。
高中数学《倾斜角与斜率》精品公开课教案
倾斜角与斜率一、【学习目标】1、掌握直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式；2、了解斜率公式的推导过程，会运用斜率公式解决简单的题目，通过斜率公式的推导过程培养学生数形结合的解题能力，让学生有运用图形的意识.【教学效果】：教学目标的给出，有利于学生整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】 1、阅读教材第82页内容，然后回答问题（倾斜角）<1>如图所示，在直角坐标系中，过点P 的一条直线绕P 点旋转,不管旋转多少周，它对x 轴的相对位置有几种情形？<2>过一点P 可以做无数条直线，它们能组成一个直线束，这些直线区别在哪里呢？也就是说怎样描述直线的倾斜程度呢？<3>直线的倾斜角是怎么规定的呢？它的范围是多少？结论：<1>引入倾斜角和斜率；<2>用倾斜角；<3>当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所形成的角α，叫做直线l 的倾斜角.倾斜角的范围是：001800<≤x ，规定当直线与x 轴重合或平行时，倾斜角为00. 练习一：①我们引入倾斜角的意义是什么？②引入倾斜角以后，确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？（除了两点确定一条直线）.【教学效果】：倾斜角的范围以及意义，要理解清楚.2、阅读教材第83页内容，然后回答问题（斜率的概念）<4>日常生活中还有没有表示倾斜程度的量？<5>联系问题<4>,你能给出斜率的概念吗？<6>请同学们回忆一下初中学习过的知识，090tan 存在吗？也就是说若一条直线的倾斜角是直角，那么它的斜率存在吗？结论：<4>日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即“坡度比=升高量/前进量”，如图所示；<5>如果我们使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度比”实际就是“倾斜角α的正切”.我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用小写字母k 来表示，即：αtan =k ；<6>因为直角的正切不存在，所以倾斜角是直角的直线斜率不存在，或者说没有斜率. 练习二：①联想一下坡度比的概念，说一说为什么倾斜角是直角的直线的斜率不存在，你能明白其中蕴含的道理吗？②倾斜角为下列角度时，直线的斜率是多少？000000150135120604530、、、、、=α.③若倾斜角非特殊角，譬如041=α时，直线的斜率怎么表示？【教学效果】：每一条直线都有一个固定的倾斜角，但并不是每一条直线都有斜率.3、阅读教材第84—85页内容，回答问题；(斜率公式及推导）<7>如果给定两点21222111),,(),,(x x y x P y x P ≠，你能求出直线21P P 的斜率k 吗？请你分类讨论一下，并请你写出求解过程过程；结论<7>我们可以很容易得到斜率公式为k =12y y -/12x x -,求解过程见教材84页. 练习三：①当直线与x 轴平行或重合时，斜率公式还成立吗？为什么？当直线与y 轴平行或重合时，上述公式还成立吗？为什么？②已知直线上两点),(),,2121b b B a a A （，运用上述公式计算直线AB 的斜率时，与B A 、两点的坐标的顺序有关吗？为什么？④请同学们自学教材第85页例1、例2，体会例1、例2中间所蕴含的知识点；⑤请同学们完成教材第86页练习2、3、4.【教学效果】：要理解斜率公式以及其推导公式，要会运用斜率公式.三、【作业】1、必做题：习题3.1A 组1、2、3、4、5；2、选做题：习题3.1B 组1、5.四、【小结】本节课主要学习了三个内容，倾斜角、斜率、斜率公式及推导过程.要求学生能熟练的背诵特殊角的三角函数值，了解正切函数的简单性质，能理解正切公式的推导过程，解决简单的关于斜率的问题，以及三点共线的证明题.五、【教学反思】本节课知识点比较碎，要求学生能做好总结.总体上说，这节课内容比较简单，是学生初中已经接触过的内容，所以要提醒学生不要以为知识简单就掉以轻心，要养成严谨、严肃的学习习惯.【数学教陈景润】陈景润（1933年5月22日～1996年3月19日），汉族，福建福州人，中国著名数学家，厦门大学数学系毕业.1953年～1954年在北京四中任教，因口齿不清，被拒绝上讲台授课，只可批改作业，后被“停职回乡养病”，调回厦门大学任资料员，同时研究数论，对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活的密切关系等问题也作了研究.1956年调入中国科学院数学研究所.1980年当选中科院物理学数学部委员.他研究哥德巴赫猜想和其他数论问题的成就，至今仍然在世界上遥遥领先，被称为哥德巴赫猜想第一人.世界级的数学大师、美国学者安德烈·韦伊（André Weil）曾这样称赞他：“陈景润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山巅上行走.”历任中国科学院数学研究所研究员、学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职.。
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倾斜角与斜率
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.
（2）理解直线倾斜角的唯一性.
（3）理解直线斜率的存在性.
（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
（二）教学重点与难点
直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
（三）教学方法
教学环节教学内容师生互动设计意图
提出问题引入我们知道，经过两点有且只有
（确定）一条直线，那么，经过
一点P的直线l的位置能确定
吗？如图，过一点P可作无数多
条直线a，b，c，…易见，答案
是否定的，这些直线有什么联系
呢？
直线的倾斜角的概念.
学生回答（不能确定）
（1）它们都经过点P.
（2）它们的倾斜程度不同.
接着教师提出：怎样描述这
种倾斜程度的不同？由此引
入课题.
设疑激趣导入课
题
概念形成1．直线倾斜角的概念教师提问：
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0
α=. 倾斜角α的取值范围是什么？0180
α
≤<
当直线l与x轴重合时90
α=
（由学生结合图形回答）
概念深化因为平面直角坐标系内的每一
条直线都有确定的倾斜程度，引
入直线的倾斜角之后，我们就可
以用倾斜角α来表示平面直角坐
标系内的每一条直线的倾斜程
度.
确定平面直角坐标系内的一条
直线位置的几何要素：一个点P
和一个倾斜角α.
教师提问：
如左图，直线a∥b∥c，那
么它们的倾斜角α相等吗？
学生回答后作出结论.
一个倾斜角α不能确定一条
直线，进而得出. 确定一条
直线位置的几何要素.
通过这种师生互
动引导学生明确
确定一条直线位
置的两个几何要
素
概念形成2．直线的斜率
一条直线的倾斜角α（α≠90°）
的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率常用小写字母k表示，即
tan
kα
=.
由此可知，一条直线l的倾斜角
α一定存在，但是斜率k不一定
存在. 例如α= 45°时
k = tan45°= 1
α= 135°时k= tan135°= –1
教师提问：（由学生讨论后回
答）
（1）当直线l与x轴平行或
重合时，k为多少？
k = tan0°= 0
（2）当直线l与x轴垂直时，
k还存在吗？
α= 90°，k不存在
设疑激发学生思
考得出结论y
a
b
c
x
O
备选例题
例1 求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. （1）(1，1)，(2，4)； （2）(–3，5)，(0，2)； （3）(2，3)，(2，5)； （4）(3，–2)，(6，–2) 【解析】（1）41
3021
k -==>-，所以倾斜角是锐角； （2）25
100(3)
k -=
=-<--，所以倾斜角是钝角；
（3）由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90° （4）2(2)
063
k ---=
=-，所以倾斜角为0° 例2 已知点P
(点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，则Q 点的坐标为
.
【解析】因为点Q 在y 轴上，则可设其坐标为(0，6) 直线PQ 的斜率k = tan120°=
∴
k == ∴b = –2，即Q 点坐标为(0,。