您的位置：360文档中心› 专题19平行四边形、矩形、菱形--拔高题

专题19平行四边形、矩形、菱形--拔高题

合集下载

中考数学专题复习19四边形试题

中考数学专题复习19四边形试题

卜人入州八九几市潮王学校19四边形 专题总结及应用一、 知识性专题专题1平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念及性质【专题解读】例1以下说法错误的选项是()例2如图19-125所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 的中点，设△DEA 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，那么1S 与2S 的关系为.例3如图19-126所示，ABCD 是正方形，G 是BC 上一点，DEAG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F .〔1〕求证△ABF ≌△DAE ；〔2〕求证DE EF FB =+.专题2平行四边形〔含特殊的平行四边形〕的断定与性质之间的区别与联络【专题解读】例4如图19-127所示，将一张矩形纸片ABCD 沿着GF 折叠〔F 在BC 边上，不与B ，C 重合〕，使得C 点落在矩形ABCD 的内部点E 处，FH 平分BFE ∠，那么GFH ∠的度数a 满足〔〕°＜a ＜180°B.a =90°°＜a ＜90°D.a 随关折痕位置的变化而变化例5假设菱形的一条对角线长是12㎝，面积是302cm ，那么这个菱形的另一条对角线长为㎝.例6如图19-128所示，ABCD 的周长为16㎝，AC ，BD 相交于点O ，OE AC ⊥，交AD 于点E ，那么的△DCE 周长为〔〕A.4㎝B.6㎝C.8㎝D.10㎝二、规律方法专题 专题3构造中位线解决线段的倍分关系【专题解读】题目中涉及12或者2倍关系时，常常考虑构造中位线. 例7四边形ABCD 为平行四边形，,AD a BE =∥AC ，DE 交AC 的延长线于F 点，交BE 于E 点. 〔1〕求证;DF FE =〔2〕假设2,60,,AC FC ADC AC DC =∠=⊥求BE 的长；〔3〕在〔2〕的条件下，求四边形ABED 的面积.专题4构造平行四边形解决线段相等、角相等的问题【专题解读】利用平行四边形边、角的性质可以解决有关线段相等、角相等的问题.例8如图19-130所示，在ABCD 中，2,AB BC M =是DC 的中点，,BE AD ⊥E 是垂足，求证3EMC DEM ∠=∠.专题5有关四边形的性质与断定的开方探究题【专题解读】这类题分为条件开放、结论开放、条件和结论双开放三种类型.例9如图19-131所示，在ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于点M ，N .给出以下结论：①△ABM ≌△CDN ；②1;3AMAC =③2;DN NF =④S △AMB 12=S △ABC .其中正确的结论是.〔只填序号〕 专题6动手操作题【专题解读】这类题的特点是根据给出的图形，需要通过裁剪、平移、旋转等方法才能得到题中要求的图形和结论.例10某要在一块块形状为平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求其分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案.方案〔一〕：如图19-132〔1〕所示，两个出入口E，F已确定，请在图〔1〕上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法.方案〔二〕：如图19-132〔2〕所示，一个出入口M已确定，请在图〔2〕上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.三、思想方法专题专题7转化思想【专题解读】本章中转化思想主要是将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题来处理.例11如图19-134所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，C AB BC∠===将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，90,25,24,BE为折痕，那么AD的长度为专题8方程思想【专题解读】本章主要表达在通过方程〔组〕、不等式〔组〕恒等变形等式代数方法解决有关图形计算的问题.例12两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数之比为1：3，求它们的边数分别是多少.中考真题精选 1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF=DE ．连接BF 、CD 、AC ．〔1〕求证：四边形ABFC 是平行四边形；〔2〕假设DE 2=BE•CE，求证四边形ABFC 是矩形． 2.如图5所示，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ．求证：DE ＝12BE ． EDC B A3.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DCB =45°，CD =2，BD ⊥CD ．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，点G 为BC 中点，连接EG 、AF ．〔1〕求EG 的长；〔2〕求证：CF =AB +AF ．4.如图，四边形ABCD 是矩形，直线l 垂直平分线段AC ，垂足为O ，直线l 分别与线段AD 、CB 的延长线交于点E 、F ．〔1〕△ABC 与△FOA 相似吗？为什么？AB E GC DF 24题图 图5〔2〕试断定四边形AFCE 的形状，并说明理由．5.如图，矩形ABCD 中，AB =6，BCO 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP =3．一动点E 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达A 点后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从P 点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E 、F 同时出发，当两点相遇时停顿运动，在点E 、F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧．设运动的时间是为t 秒〔t ≥0〕．〔1〕当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间是t 的值；〔2〕在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠局部的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式和相应的自变量t 的取值范围；〔3〕设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？假设存大，求出对应的t 的值；假设不存在，请说明理由．6.〔1〕如图①，在正方形ABCD 中，△AEF 的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．〔2〕如图②，在Rt △ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且∠MAN =45°，将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°至△ADH 位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由．〔3〕在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，假设EG =4，GF =6，BM =3，求AG ，MN 的长．7.如下列图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=AD ，∠BAD 的平分线AE 交BC 于点E ，连接DE ．〔1〕求证：四边形ABED 是菱形；A DOP F 26题图〔2〕假设∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．〔1〕说明四边形ACEF是平行四边形；〔2〕当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．9.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．〔1〕求AC的长．〔2〕求∠AOB的度数．〔3〕以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．11.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．〔1〕求证：DE∥BF；〔2〕假设∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．12.以四边形ABCD的边AB．BC．CD．DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E．F．G．H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．〔1〕如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状〔不要求证明〕；〔2〕如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α〔0°＜α＜90°〕，①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．13.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．14.如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB 和GD相交于点H．〔1〕求证：EB=GD；〔2〕判断EB与GD的位置关系，并说明理由；〔3〕假设AB=2，AG=2，求EB的长．15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．〔1〕说明四边形ACEF是平行四边形；〔2〕当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．16.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点P、Q分别在边AB、BC上，且AP＝BQ．〔1〕求证：△BDQ≌△ADP；〔2〕AD＝3，AP＝2，求cos∠BPQ的值〔结果保存根号〕．17.〔2021,23，6分〕如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．求证：DF=BE．综合验收评估测试题(时间是：120分钟总分值是：120分)一、选择题1．假设四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形()A．一定是矩形B．一定是菱形C．一定是正方形D．形状不确定交AB的延长线2．如图19-135所示，设F为正方形ABCD上一点，CE CF于点E，假设正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，那么△CBE的面积为〔〕A ．20B ．24C ．25D ．263．四边形ABCD 是平行四边形，以下结论不一定正确的选项是〔〕A ．AB CD = B ．AC BD =C ．当AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=时，它是矩形4．如图19-136所示，AB ∥CD ，AE CD ⊥交CD 于点E ，12,15,20AE BD AC ===.那么梯形ABCD 的面积为〔〕A ．130B ．140C ．150D ．160()A ．平行四边形的对角相等B ．等腰梯形的对角线相等C ．两条对角线相等的平行四边形是矩形D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6．在矩形ABCD 中，2,AB AD E =是CD 上一点，且,AE AB =那么CBE ∠的度数是〔〕A ．30°°C ．15°D ．以上都不对7．菱形的周长为20㎝，两邻角的角度之比为1：2，那么较长的对角线的长为〔〕A ．㎝B ．4㎝C ．53㎝D ．43㎝8.顺次连接等腰梯形的四边中点，得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边的中点，得到的图形是〔〕A ．等腰梯形B ．直角梯形C ．菱形D ．矩形,,,E F G H 分别是四边形ABCD 各边的中点，其中阴影局部用甲布料，其余局部用乙布料〔裁剪两种布料时，均不计余料〕.假设消费这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料〔〕A ．15匹B ．20匹C ．30匹D ．60匹10．如图19-138所示，在ABCD 中，8AD =㎝，6AB =㎝，DE 平分ADC ∠，交BC 边于点E ，那么BE 等于〔〕 A ．2㎝B ．4㎝C ．6㎝D ．8㎝二、填空题11．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的四边形是.12．矩形的周长为48㎝，长比宽多2㎝，那么矩形的面积为2cm .13．如图19-139所示，在ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，点E 是BC边的中点，OE =1，那么AB 的长是.14．如图19-140所示，在ABCD 中，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，75ABC ∠=，那么EAF ∠=.15．如图19-141所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，60,4,7BAD BC ∠===，那么梯形ABCD的周长是. 16．如图19-142所示，在ABCD 中，BD 为对角线，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，连接EF ，假设EF =3，那么CD 的长为. 17．假设矩形的一条短边的长为5㎝，两条对角线的夹角为60°，那么它的一条较长的边为㎝.18．如图19-143所示，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕BD 再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，假设AB =2，BC =1，那么AG =.19．假设菱形的两条对角线长分别为16㎝和12㎝，那么它的边长为㎝，面积为2cm20．等边三角形ABE 在正方形ABCD 内，DE 的延长线交CB 于G ，那么BEG∠=.三、解答题 21．如图19-144所示，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F .求证FA AB =.22．如图19-145所示，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DEAG ⊥于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F ，求证AFBF EF =+. 23．如图19-146所示，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF BD ⊥于点O ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，且12AE EO BF ==.求证四边形ABCD 为矩形. 24．在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=BC ，AC 为对角线，且AC 平分,DAB ACBC ∠⊥. 〔1〕求梯形各内角的度数；〔2〕当梯形的周长为30时，求各边的长；〔3〕求梯形的面积.25．某生活小区的居民筹集资金1600元，方案在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木〔如图19-147〔1〕所示〕.〔1〕他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/㎡，当△AMD△BMC地带所需的费用；〔2〕假设其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/㎡和10元/㎡.应选择哪能种花木种植，可以刚好用完所筹集的资金？〔3〕假设梯形ABCD为等腰梯形，面积不变〔如图19-147〔2〕所示〕，请设计一种花坛图案，即在梯形内找一点P，使△APB≌△DPC得，且S△APD=S△PBC，并说出理由.26．如图19-148所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E，F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形.〔1〕AD与BC有何数量关系？请说明理由；〔2〕当AB=DC时，求证四边形AEFD是矩形.。

2020年中考数学必考34个考点专题19：平行四边形(含答案解析)

2020年中考数学必考34个考点专题19：平行四边形(含答案解析)

专题19 平行四边形专题知识回顾1．平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边平行且相等；（2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分。

3．平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

4．平行四边形的面积：S平行四边形=底边长×高=ah专题典型题考法及解析【例题1】（2019▪广西池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF【答案】B．【解析】利用三角形中位线定理得到DE AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE A C．A.根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B.根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C.根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D.根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．【例题2】（2018湖北黄石）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．【答案】看解析。

平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题

平行四边形、矩形、菱形、正方形提高题

平行四边形练习 一、选择题1、如图1，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，则图中面 积相等的平行四边形有（ ）A 0对B 1对C 2对D 3对 2、如图2，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．33C ．313-D ．314-CBD A图 （1） 图（2） 图（3）3、如图3，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD ∶CE=1∶2. 其中正确的有（ ） A 5个 B 4个 C 3个 D 2个4、如图4，在四边形ABCD 中，E 是AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，点P 、Q 、 M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形MNPQ 是（ ） A 等腰梯形 B 矩形 C 菱形 D 正方形A DEFB C图（5）二、填空题5、如图5,正方形ABCD 中,∠DAF=25°,AF 交对角线BD 于E,交CD 于F, 则∠BEC= 度6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周 长为________．7、在矩形ABCD 中，M 是BC 的中点，且MA ⊥MD ．•若矩形ABCD•的周长为48cm ，•则矩形ABCD 的 面积为_______c m 2．三、解答题C BB '__D C 'D 'DAAQ E PMN DCBA 图（4）_ E _ F_ B_ C8、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ． ⑴求证：CE ＝CF ；⑵在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？ ⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B ＝90°，AB ＝BC ＝6，E 是AB 上一点， 且∠DCE ＝45°，BE ＝2，求DE 的长．6.如图1，在△ABC 中，AB=BC ，P 为AB 边上一点，连接CP ，以PA 、PC 为邻边作□APCD ，AC 与PD 相交于点E ，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）. （1）求证：∠EAP=∠EPA；（2）□APCD 是否为矩形？请说明理由；（3）如图2，F 为BC 中点，连接FP ，将∠AEP 绕点E 顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M 、N 分别是∠MEN 的两边与BA 、FP 延长线的交点）.猜想线段EM 与EN 之间的数量关系，并证明你的结论.图1ABDCE P 图2ABDCEPM NFB CA G D FEB CA DE图1图2。

初中八年级 平行四边形 拔高题 综合题 压轴题(含答案)

初中八年级 平行四边形 拔高题 综合题 压轴题(含答案)

初中八年级平行四边形拔高题综合题压轴题(含答案)题目一已知平行四边形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm，过点B作平行于AD的直线与AC交于点E，连接DE交BC的延长线于点F。

求EF的长度。

答案一连接DE并延长交BC于点G，根据平行四边形的性质，我们知道AG || DE。

所以AG || BF。

由此可得∆BFG与∆BCD为三角形对应边平行，则根据平行线截断比定理可知：$\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$又已知$BE = BC + CE$，$CE = BD$，$BC = 8$，代入得：$\frac{{8+BD}}{{BD}} = \frac{{FG}}{{GC}}$整理可得：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$ 由于$FG = GD$，所以：$\frac{{BD}}{{FG}} = \frac{{BD}}{{GD}} = 1$ 代入可得：$\frac{{1}}{{1}} = \frac{{GC}}{{8+BD}}$整理得：$BD = GC - 8$题目中已知BC=8，所以GC=16。

代入可得：$BD = 16 - 8 = 8$所以EF的长度等于BD，即EF=8cm。

题目二平行四边形PQRS中，已知PR = 5cm，PQ = 6cm，PS = 7cm。

点A在PS上，且PA的长度是PS的一半。

连接AQ并延长交QR 的延长线于点B，连接RP交QA的延长线于点C。

求BC的长度。

答案二设PS的长度为2x，则PA = x。

由平行四边形的性质可知AQ || RB，所以根据平行线截断比定理：$\frac{{RP}}{{PC}} = \frac{{AQ}}{{CQ}}$代入已知条件，得：$\frac{{2x + 6}}{{PC}} = \frac{{4}}{{2x - 6}}$ 整理可得：$(2x + 6)(2x - 6) = 4PC$解方程得：$x = 3$所以PA = 3cm。

平行四边形、矩形、菱形综合复习题

平行四边形、矩形、菱形综合复习题

ADEG平行四边形、矩形、菱形综合复习题一、典型例题：1. （1）如图①，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O 。

直线EF 过点O ，分别交AD 、BC 于点E 、F.求证：AE=CF 。

（2）如图②，将ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1处，点B 落在点B 1处。

设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD 、DE 于点H 、I 。

求证：EI=FG 。

2. 如图，已知平行四边形ABCD ，过A 作AM⊥BC 于M ，交BD 于E ，过C 作CN⊥AD 于N ，交BD 于F ，连结AF 、CE ．(1)求证：四边形AECF 为平行四边形；(2)当AECF 为菱形，M 点为BC 的中点时，求AB ：AE 的值．3. 如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B ′的位置，AB ′与CD 交于点E.(1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.(2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于G ，PH ⊥EC 于H ，试求PG+PH 的值，并说明理由.4. 如图所示，在Rt ABC △中，90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上，再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ．(1）求证：四边形AFCD 是菱形；(2）连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？5. 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形， 并证明你的结论．6. 如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ． (1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；(3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？7. 在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11AC 分别交AC BC 、于D F 、两点． (1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由； (3）在（2）的情况下，求ED 的长．8.ABC △是等边三角形，点D 是射线BC 上的一个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三角形，过点E 作BC 的平行线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ．(1）如图（a ）所示，当点D 在线段BC 上时．①求证：AEB ADC △≌△；②探究四边形BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明理由； (2）如图（b ）所示，当点D 在BC 的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？ (3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形？并说明理由．二、巩固练习：1. 如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN EF ，分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1234S S S S ，，，，若M N A B D C ∥∥，EF DA CB ∥∥，则有（ ） A ．14S S =B ．1423S S S S +=+C ．1423S S S S =D ．都不对2. 矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．2 3. 如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 （ ） A.70° B. 65° C. 50° D. 25°4. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．325. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE ＝CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长DE 到H 使DE ＝BM ，连接 AM 、AH 。

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析

九年级数学中考复习课题矩形、菱形、正方形AB组习题专题课后训练分层练习B组提高题含答案解析A组1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线相等解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，①矩形的对角相等，且都是直角，①矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，①菱形的对角相等，①菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；①矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．3．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC 和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直D．相等且互相平分解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；①原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；①原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；①原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．4．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm解：如图：①菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，①OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．5．如图，菱形纸片ABCD，①A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则①DEC等于75度．解：连接BD，①四边形ABCD为菱形，①A=60°，①①ABD为等边三角形，①ADC=120°，①C=60°，①P为AB的中点，①DP为①ADB的平分线，即①ADP=①BDP=30°，①①PDC=90°，①由折叠的性质得到①CDE=①PDE=45°，在①DEC中，①DEC=180°﹣（①CDE+①C）=75°．故答案为：75．6．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是3．解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，①OE①AC，且点O是AC的中点，①OE是AC的垂直平分线，①CE=AE=8﹣x，在Rt①CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，①DE的长是3．故答案为：3．7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．8．如图，在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB的中点，AE①CD，CE①AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．证明：（1）①在Rt①ABC中，①ACB=90°，D为AB中点，①CD=AB=AD，又①AE①CD，CE①AB①四边形ADCE是平行四边形，①平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt①ABC中，AC===8．①平行四边形ADCE是菱形，①CO=OA，又①BD=DA，①DO是①ABC的中位线，①BC=2DO．又①DE=2DO，①BC=DE=6，①S菱形ADCE===24．B组9．如图：点P是Rt①ABC斜边AB上的一点，PE①AC于E，PF①BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12B．6C．12.5D．25解：如图，连接CP．①①C=90°，AC=3，BC=4，①AB===25，①PE①AC，PF①BC，①C=90°，①四边形CFPE是矩形，①EF=CP，由垂线段最短可得CP①AB时，线段EF的值最小，此时，S①ABC=BC•AC=AB•CP，即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，①BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则①CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°解：如图，连接BF，在①BCF和①DCF中，①CD=CB，①DCF=①BCF，CF=CF①①BCF①①DCF①①CBF=①CDF①FE垂直平分AB，①BAF=×80°=40°①①ABF=①BAF=40°①①ABC=180°﹣80°=100°，①CBF=100°﹣40°=60°①①CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，①A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP①CD于点P，则①FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在①BGF与①CPF中，，①①BGF①①CPF（ASA），①GF=PF，①F为PG中点．又①由题可知，①BEP=90°，①EF=PG，①PF=PG，①EF=PF，①①FEP=①EPF，①①BEP=①EPC=90°，①①BEP﹣①FEP=①EPC﹣①EPF，即①BEF=①FPC，①四边形ABCD为菱形，①AB=BC，①ABC=180°﹣①A=70°，①E，F分别为AB，BC的中点，①BE=BF，①BEF=①BFE=（180°﹣70°）=55°，①①FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，①1=15°，则①2=30°．解：①四边形ABCD是矩形，①①ABC=①BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，①OB=OC，OB=OA，①①OCB=①OBC，①AB=BE，①ABE=90°，①①BAE=①AEB=45°，①①1=15°，①①OCB=①AEB﹣①EAC=45°﹣15°=30°，①①OBC=①OCB=30°，①①AOB=30°+30°=60°，①OA=OB，①①AOB是等边三角形，①AB=OB，①①BAE=①AEB=45°，①AB=BE，①OB=BE，①①OEB=①EOB，①①OBE=30°，①OBE+①OEB+①BEO=180°，①①OEB=75°，①①AEB=45°，①①2=①OEB﹣①AEB=30°，故答案为：30°．13．（2019•绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，①P AD＝30°，以点B为圆心，AB长为半径作弧，与AP交于点A，M，分别以点A，M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则①ADE的度数为15°或45°．【分析】分点E与正方形ABCD的直线AP的同侧、点E与正方形ABCD的直线AP的两侧两种情况，根据正方形的性质、等腰三角形的性质解答．解：①四边形ABCD是正方形，①AD＝AE，①DAE＝90°，①①BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，当点E与正方形ABCD的直线AP的同侧时，由题意得，点E与点B重合，①①ADE＝45°，当点E与正方形ABCD的直线AP的两侧时，由题意得，E′A＝E′M，①①AE′M为等边三角形，①①E′AM＝60°，①①DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，①AD＝AE′，①①ADE′＝15°，故答案为：15°或45°．14．如图：在①ABC中，CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，AE①CE于E，AF①CF 于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断①ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．（1）证明：①AE①CE于E，AF①CF于F，①①AEC=①AFC=90°，又①CE、CF分别平分①ACB与它的邻补角①ACD，①①BCE=①ACE，①ACF=①DCF，①①ACE+①ACF=（①BCE+①ACE+①ACF+①DCF）=×180°=90°，①三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN①BC且MN=BC．证明：①四边形AECF为矩形，①对角线相等且互相平分，①NE=NC，①①NEC=①ACE=①BCE，①MN①BC，又①AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），①N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则M1N是①ABC的中位线，MN①BC，而MN①BC，M1即为点M，所以MN是①ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）①MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC①MA，KC=AM因为MN①BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：①ABC是直角三角形（①ACB=90°）．理由：①四边形AECF是菱形，①AC①EF，①EF①AC，①AC①CB，①①ACB=90°．即①ABC是直角三角形．15．如图，在①ABC中，①ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE①BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．（1）证明：①①ABC=90°，BD为AC的中线，①BD=AC，①AG①BD，BD=FG，①四边形BGFD是平行四边形，①CF①BD，①CF①AG，又①点D是AC中点，①DF=AC，①BD=DF；（2）证明：①BD=DF，①四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，①在Rt①ACF中，①CFA=90°，①AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，①四边形BDFG的周长=4GF=20．。

八年级下平行四边形拔高训练含答案

八年级下平行四边形拔高训练含答案

八年级下平行四边形拔高训练(含答案)初中数学组卷（平行四边形）一．选择题（共12小题）1．（2015•温州模拟）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9 2．（2015•闸北区二模）一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．（2014•枣庄）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．B．1C．D．7 4．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E、F分别是AB、BC 的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF=BD，③∠ADC=∠BEF+∠BFE，④AD=DC，其中正确的是（）A．①②③④B．①②③ C．①②④ D．②③④5．（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5C．4.5 D．4 6．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4 7．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4D．8 8．（2013•湘西州）如图，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：59．（2013•无锡）已知点A（0，0），B（0，4），C（3，t+4），D（3，t）．记N（t）为▱ABCD内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N（t）所有可能的值为（）A．6、7 B．7、8 C．6、7、8 D．6、8、9 10．（2013•达州）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2B．3C．4D．5 11．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）A．140°B．130°C．110°D．70°12．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（）①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④二．填空题（共10小题）13．（2014•安徽）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S △BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．14．（2014•福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是．15．（2014•江汉区二模）如图，在四边形ABCD 中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．16．（2013•滨州）在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，且AB=6，BC=10，则OE=．17．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．18．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为．19．（2013•荆州）如图，△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是．20．（2013•宁波自主招生）如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为．21．（2013•南岗区校级一模）如图，AD、BE为△ABC的中线交于点O，∠AOE=60°，OD=，OE=，则AB=．22．（2013•灌云县模拟）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=．三．解答题（共8小题）23．（2013•常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME 的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．24．（2013•南充）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．求证：OE=OF．25．（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC 的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．26．（2013•重庆）已知，如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：∠CEG=∠AGE．27．（2013•郴州）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF 是平行四边形．28．（2013•沙坪坝区模拟）如图，▱ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABD=2∠DBC，AE⊥BD于点E．（1）若∠ADB=25°，求∠BAE的度数；（2）求证：AB=2OE．29．（2013•江北区校级模拟）如图，已知▱ABCD 中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．30．（2013•重庆模拟）如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．初中数学组卷（平行四边形）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•温州模拟）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9考点： 多边形内角与外角． 专题： 应用题；压轴题． 分析： 先根据多边形的内角和公式（n ﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．解答： 解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°=540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O ，则∠1=360°﹣108°×3=360°﹣324°=36°，360°÷36°=10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3=7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选B ．点评： 本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．2．（2015•闸北区二模）一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（ ）A ． 是轴对称图形，但不是中心对称图形B ． 是中心对称图形，但不是轴对称图形C ． 既是轴对称图形，又是中心对称图形D ． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形考点： 中心对称图形；轴对称图形． 专题： 几何图形问题；综合题；压轴题． 分析： 先根据旋转对称图形的定义得出这个正多边形是正八边形、再根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．解答： 解：∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合，360°÷45°=8，∴这个正多边形是正八边形．正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选C ．点评：本题综合考查了旋转对称图形的概念，中心对称图形和轴对称图形的定义．根据定义，得一个正n 边形只要旋转 的倍数角即可．奇数边的正多边形只是轴对称图形，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．3．（2014•枣庄）如图，△ABC 中，AB=4，AC=3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A ．B ． 1C ．D ． 7考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 专题： 几何图形问题；压轴题． 分析： 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形，所以F 为GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF 的长．解答： 解：∵AD 是其角平分线，CG ⊥AD 于F ，∴△AGC 是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF ，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE 是中线，∴BE=CE ，∴EF 为△CBG 的中位线，∴EF=BG=，故选：A ．点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．4．（2014•武汉模拟）如图∠A=∠ABC=∠C=45°，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，则下列结论，①EF ⊥BD ，②EF=BD ，③∠ADC=∠BEF+∠BFE ，④AD=DC ，其中正确的是（ ）A ． ①②③④B ． ①②③C ． ①②④D ． ②③④考点： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解．解答： 解：如下图所示：连接AC ，延长BD 交AC于点M ，延长AD 交BC 于Q ，延长CD 交AB 于P ．∵∠ABC=∠C=45°∴CP ⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ ⊥BC点D 为两条高的交点，所以BM 为AC 边上的高，即：BM ⊥AC ．由中位线定理可得EF ∥AC ，EF=AC ∴BD ⊥EF ，故①正确．∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ ，∵∠A=∠ABC ，∴AQ=BQ ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC ≌△BQD ，∴BD=AC ∴EF=AC ，故②正确．∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C ）=45°∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA ）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC故③∠ADC=∠BEF+∠BFE 成立；无法证明AD=CD ，故④错误．故选B ．点评： 本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用．5．（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ． 5.5B ． 5C ． 4.5D ． 4考点： 三角形中位线定理；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 专题： 压轴题． 分析： 首先解方程求得三角形的两边长，则第三边的范围可以求得，进而得到三角形的周长l 的范围，而连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长一定是l 的一半，从而求得中点三角形的周长的范围，从而确定．解答： 解：解方程x 2﹣8x+15=0得：x 1=3，x 2=5，则第三边c 的范围是：2＜c ＜8． 则三角形的周长l 的范围是：10＜l ＜16，∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m 的范围是：5＜m ＜8．故满足条件的只有A ．故选A ．点本题考查了三角形的三边关系以及三角形评： 的中位线的性质，理解原来的三角形与中点三角形周长之间的关系式关键．6．（2013•淄博）如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC=10，则PQ 的长为（ ）A ．B ．C ． 3D ． 4考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 专题： 几何图形问题；压轴题． 分析： 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA=BE ，CA=CD ，由△ABC 的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ ．解答： 解：∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD ﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选：C ．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．7．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为（ ）A ． 2B ． 4C ． 4D ． 8考点： 平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由AE 为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD 为平行四边形，得到AD 与BE 平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF ，由F 为DC 中点，AB=CD ，求出AD 与DF 的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G 为AF 中点，在直角三角形ADG 中，由AD 与DG 的长，利用勾股定理求出AG 的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF 全等，得出AF=EF ，即可求出AE 的长．解答： 解：∵AE 为∠DAB 的平分线，∴∠DAE=∠BAE ，∵DC ∥AB ，∴∠BAE=∠DFA ，∴∠DAE=∠DFA ，∴AD=FD ，又F 为DC 的中点，∴DF=CF ，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：AG=， 则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAF=∠E ，∠ADF=∠ECF ，在△ADF 和△ECF 中，，∴△ADF ≌△ECF （AAS ），∴AF=EF ，则AE=2AF=4．故选：B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．8．（2013•湘西州）如图，在▱ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 延长线于点F ，则△EDF 与△BCF 的周长之比是（ ）A ． 1：2B ． 1：3C ． 1：4D ． 1：5考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题：压轴题． 分析： 根据平行四边形性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，推出△EDF ∽△BCF ，得出△EDF 与△BCF 的周长之比为，根据BC=AD=2DE 代入求出即可．解答： 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△EDF ∽△BCF ，∴△EDF 与△BCF 的周长之比为，∵E 是AD 边上的中点，∴AD=2DE ，∵AD=BC ，∴BC=2DE ，∴△EDF 与△BCF 的周长之比1：2，故选A ．点评： 本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，相似三角形的周长之比等于相似比．9．（2013•无锡）已知点A （0，0），B （0，4），C （3，t+4），D （3，t ）．记N （t ）为▱ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则N （t ）所有可能的值为（ ）A ． 6、7B ． 7、8C ． 6、7、8D ． 6、8、9考点： 平行四边形的性质；坐标与图形性质． 专题：压轴题． 分分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，析： 根据答案即可求出答案．解答： 解：当t=0时，A （0，0），B （0，4），C （3，4），D （3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；当t=1时，A （0，0），B （0，4），C （3，5），D （3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；当t=1.5时，A （0，0），B （0，4），C （3，5.5），D （3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A （0，0），B （0，4），C （3，6），D （3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；故选项A 错误，选项B 错误；选项D 错误，选项C 正确；故选：C ．点评： 本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．10．（2013•达州）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有▱ADCE 中，DE 最小的值是（ ）A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5考点： 平行四边形的性质；垂线段最短；平行线之间的距离． 专题： 压轴题． 分析： 由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD ⊥BC 时，DE 线段取最小值． 解答： 解：∵在Rt △ABC 中，∠B=90°，∴BC ⊥AB ． ∵四边形ADCE 是平行四边形，∴OD=OE ，OA=OC ．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短，此时OD ⊥BC ．∴OD ∥AB ．又点O 是AC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD=AB=1.5，∴ED=2OD=3．故选B ．点评：本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．11．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D ，E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 重叠压平，A与A ′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）A ． 140°B ． 130°C ． 110°D ． 70°考点：多边形内角与外角．专题：压轴题．分析： 首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA ′E 的内角和，由折叠可知∠AED=∠A ′ED ，∠ADE=∠A ′DE ，∠A=∠A ′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A ′ED+∠ADE+∠A ′DE ，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．解答： 解：∵四边形ADA ′E 的内角和为（4﹣2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A ′ED ，∠ADE=∠A ′DE ，∠A=∠A ′，∴∠AED+∠A ′ED+∠ADE+∠A ′DE=360°﹣∠A ﹣∠A ′=360°﹣2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2﹣（∠AED+∠A ′ED+∠ADE+∠A ′DE ）=140°．故选：A ．点评：本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．12．（2010•綦江县）如图，在▱ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连接CE 、CF ，EF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ；②∠CDF=∠EAF ；③△ECF 是等边三角形；④CG ⊥AE ．A ． 只有①②B ． 只有①②③C ． 只有③④D ． ①②③④考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．专题：压轴题．分析： 根据题意，结合图形，对选项一一求证，判定正确选项．解答： 解：∵△ABE 、△ADF 是等边三角形∴FD=AD ，BE=AB ∵AD=BC ，AB=DC∴FD=BC ，BE=DC∵∠B=∠D ，∠FDA=∠ABE∴∠CDF=∠EBC∴△CDF ≌△EBC ，故①正确；∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°﹣∠CDA ）=300°﹣∠CDA ，∠FDC=360°﹣∠FDA ﹣∠ADC=300°﹣∠CDA ，∴∠CDF=∠EAF ，故②正确；同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF ，∵BC=AD=AF ，BE=AE ，∴△EAF ≌△EBC ，∴∠AEF=∠BEC ，∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，∴∠FEC=60°，∵CF=CE ，∴△ECF 是等边三角形，故③正确；在等边三角形ABE 中，∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段∴如果CG ⊥AE ，则G 是AE 的中点，∠ABG=30°，∠ABC=150°，题目缺少这个条件，CG ⊥AE 不能求证，故④错误．故选B ．点评： 本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，综合性强．考查学生综合运用数学知识的能力．二．填空题（共10小题）13．（2014•安徽）如图，在▱ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是 ①②④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF=∠BCD ；②EF=CF ；③S △BEC =2S △CEF ；④∠DFE=3∠AEF ．考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 专题： 几何图形问题；压轴题． 分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系进而得出答案．解答： 解：①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC =S △CFM ， ∵MC ＞BE ， ∴S△BEC ＜2S △EFC 故S △BEC =2S △CEF 错误；④设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x ，∴∠EFC=180°﹣2x ，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x ， ∵∠AEF=90°﹣x ，∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．故答案为：①②④．点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DMF 是解题关键．14．（2014•福州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 到点F ，使CF=BC ．若AB=10，则EF的长是 5 ．考点： 平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理． 专题： 压轴题． 分析：根据三角形中位线的性质，可得DE 与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC 与EF 的关系，根据直角三角形的性质，可得DC 与AB 的关系，可得答案．解答： 解：如图，连接DC ．DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，DE=，∵CF=BC ，∴DE ∥CF ，DE=CF ，∴CDEF 是平行四边形，∴EF=DC ．∵DC 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．15．（2014•江汉区二模）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC=．考点： 三角形中位线定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义． 专压轴题．题：分析： 根据中位线的性质得出EF ∥BD ，且等于BD ，进而得出△BDC 是直角三角形，求出即可．解答： 解：连接BD ，∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，且等于BD ，∴BD=4，∵BD=4，BC=5，CD=3，∴△BDC 是直角三角形，∴tan C==， 故答案为：点评： 此题主要考查了锐角三角形的定义以及三角形中位线的性质以及勾股定理逆定理，根据已知得出△BDC 是直角三角形是解题关键．16．（2013•滨州）在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，且AB=6，BC=10，则OE= 5 ．考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 先画出图形，根据平行线的性质，结合点E是边CD 的中点，可判断OE 是△DBC 的中位线，继而可得出OE 的长度．解答： 解： ∵四边形ABCD 是平行四变形，∴点O 是BD 中点，∵点E 是边CD 的中点，∴OE 是△DBC 的中位线，∴OE=BC=5．故答案为：5．点评： 本题考查了平行四边形的性质及中位线定理的知识，解答本题的关键是根据平行四边形的性质判断出点O 是BD 中点，得出OE是△DBC 的中位线．17．（2013•鞍山）如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH的周长是 11 ．考点： 三角形中位线定理；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析：利用勾股定理列式求出BC 的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD ，EF=GH=BC ，然后代入数据进行计算即可得解．解答： 解：∵BD ⊥CD ，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD的中点，∴EH=FG=AD ，EF=GH=BC ，∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ，又∵AD=6，∴四边形EFGH 的周长=6+5=11．故答案为：11．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．18．（2013•乌鲁木齐）如图，△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于F ，AB=5，AC=2，则DF 的长为．考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 延长CF 交AB 于点G ，证明△AFG ≌△AFC ，从而可得△ACG 是等腰三角形，GF=FC ，点F 是CG 中点，判断出DF 是△CBG 的中位线，继而可得出答案．解答： 解：延长CF 交AB 于点G ，∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ，∵AF 垂直CG ，∴∠AFG=∠AFC ，在△AFG 和△AFC 中， ∵， ∴△AFG ≌△AFC （ASA ），∴AC=AG ，GF=CF ，又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线，∴DF=BG=（AB ﹣AG ）=（AB ﹣AC ）=． 故答案为：．点评： 本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，同学们要注意培养自己的敏感性，一般出现即是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．19．（2013•荆州）如图，△ACE 是以▱ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是（7，﹣3），则D点的坐标是 （5，0） ．考平行四边形的性质；坐标与图形性质；等边点： 三角形的性质．专题： 压轴题． 分析： 设CE 和x 轴交于H ，由对称性可知CE=6，再根据等边三角形的性质可知AC=CE=6，根据勾股定理即可求出AH的长，进而求出AO 和DH 的长，所以OD可求，又因为D 在x 轴上，纵坐标为0，问题得解． 解答： 解：∵点C 与点E 关于x 轴对称，E 点的坐标是（7，﹣3），∴C 的坐标为（7，3），∴CH=3，CE=6，∵△ACE 是以▱ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，∴AC=6，∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D 点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．点评： 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用．20．（2013•宁波自主招生）如图，E 、F 分别是▱ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S△APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，则阴影部分的面积为30cm 2 ．考点： 平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 压轴题． 分析： 连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC =S △BCQ ，S △EFD =S △ADF ，所以S△EFG =S △BCQ ，S △EFP =S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．解答： 解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S△EFC =S △BCF ， ∴S△EFQ =S △BCQ ， 同理：S △EFD =S △ADF ， ∴S△EFP =S △ADP ， ∵S△APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，∴S 四边形EPFQ =30cm 2，故阴影部分的面积为30cm 2．点评： 本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．21．（2013•南岗区校级一模）如图，AD 、BE 为△ABC 的中线交于点O ，∠AOE=60°，OD=，OE=，则AB= 7 ．考点： 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： 过点E 作EF ⊥AD 于F ，连接DE ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OF ，再利用勾股定理列式求出EF ，然后求出DF ，再利用勾股定理列式求出DE ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．解答： 解：如图，过点E 作EF ⊥AD 于F ，连接DE ， ∵∠AOE=60°，∴∠OEF=90°﹣60°=30°，∵OE=，。

平行四边形矩形菱形经典例题(8套)

平行四边形矩形菱形经典例题(8套)

经典例题（附带详细答案）1．如图，E F 、是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，ACB CAD ∴∠=∠．又BE DF ∥，BEC DFA ∴∠=∠，BEC DFA ∴△≌△，∴CE AF =2．如图6，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=∠D ，，求四边形ABCD 的周长．【【答案】20、解法一: ∵∴又∵∴∴∥即得是平行四边形∴∴四边形的周长解法二:连接∵∴又∵3 ,6==AB BC AB CD ∥︒=∠+∠180C B B D ∠=∠︒=∠+∠180D C AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=AC AB CD ∥DCA BAC ∠=∠B D AC CA ∠=∠=，A DCBA DC BC AB EF∴≌∴∴四边形的周长解法三:连接∵∴又∵∴∴∥即是平行四边形∴∴四边形的周长3.（在四边形ABCD 中，∠D =60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小．【关键词】多边形的内角和【答案】设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠．根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ．解得，70=x ．∴︒=∠70A ，︒=∠90B ，︒=∠140C ．4．（如图，E F ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点，AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△．（2）四边形ABCD 是平行四边形．【关键词】平行四边形的性质,判定【答案】证明：（1）DF BE ∥，DFE BEF ∴∠=∠．180AFD DFE ∠+∠=°，180CEB BEF ∠+∠=°，AFD CEB ∴∠=∠．又AF CE DF BE ==，，AFD CEB ∴△≌△(SAS)． （2）由（1）知AFD CEB △≌△，DAC BCA AD BC ∴∠=∠=，，AD BC ∴∥．∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）5．）25．如图13-1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13-2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；ABC △CDA △36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=BD AB CD ∥CDB ABD ∠=∠ABC CDA ∠=∠ADB CBD ∠=∠AD BC ABCD 36AB CD BC AD ====，ABCD 183262=⨯+⨯=A BDE FC A DCB（3）在图13-2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【关键词】平行四边形的判定【答案】解：（1）AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=°1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°，DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴=AE EP =DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，°Rt Rt DAM ABE ∴△≌△14DM AE ∴=∠=∠，1590∠+∠=°4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥AE EP ⊥DM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009年广州市）如图9，在ΔABC 中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点。

平行四边形综合训练拔高题

平行四边形综合训练拔高题

平行四边形综合训练拔高题一．选择题（共15小题）1．如图，▱ABCD中，AC．BD为对角线，BC=3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．242．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（）A．4＜α＜16 B．14＜α＜26C．12＜α＜20 D．以上答案都不正确3．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④4．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m5．如图，在矩形ABCD中，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是AP和RP 的中点，当点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，下列结论正确的是（）A．线段EF的长逐渐增长B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长始终不变D．线段EF的长与点P的位置有关6．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为（）A．30 B．40 C．50 D．无法计算7．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S38．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，平行四边形ABCD的周长为40．则平行四边形ABCD的面积为（）A．24 B．36 C．40 D．4810．如图所示，▱ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD于F，CE ⊥BD于E，则图中全等三角形的对数共有（）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对11．若▱ABCD的对称中心在坐标原点，AD∥x轴，若A的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为（）A．（1，﹣2）B．（2，﹣1）C．（1，﹣3）D．（2，﹣3）12．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114° D．124°13．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．614．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（）A．11+B．11﹣C．11+或11﹣D．11+或1+15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为（）A．13 B．17 C．20 D．26二．解答题（共6小题）16．如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．17．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．（1）如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．①求证：BE=BF．②请判断△AGC的形状，并说明理由；（2）如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）18．在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥BC，G为BD延长线上一点且△ABG为等边三角形，∠BAD、∠CBD的平分线相交于点E，连接AE交BD于F，连接GE．若平行四边形ABCD的面积为，求AG的长．19．如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且AD=DF．过点D作DC的垂线，分别交AE、AB于点M、N．（1）若M为AG中点，且DM=2，求DE的长；（2）求证：AB=CF+DM．20．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．21．已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF．求证：AE=CF．平行四边形综合训练拔高题参考答案一．选择题（共15小题）1．A；2．B；3．B；4．B；5．C；6．B；7．A；8．C；9．D；10．C；11．A；12．C；13．C；14．D；15．B；二．解答题（共6小题）16．；17．；18．；19．；20．；21．；。

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--菱形的证明1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE为菱形；（2）若BC=6，tanB=43，求四边形ADCE的周长．2．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE△CF，且分别交对角线BD于点E，F．（1）求证：△AEB△△CFD；（2）连接AF，CE，若△AFE=△CFE，求证：四边形AFCE是菱形．3．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE＝AE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当△B＝30°时，试猜想四边形ACEF是什么图形，并说明理由．4．如图，在ΔABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE//BC交AB于点E，作DF//AB交BC于点F.（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BED=150°，∠C=45°，CD=3√2，求菱形BEDF的周长.5．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，∠B=60°，G是CD的中点，E 是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①AE=cm时，四边形CEDF是矩形.②AE=cm时，四边形CEDF是菱形.6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF△AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？7．在Rt△ABC中，△BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF△BC交BE的延长线于点F．（1）证明：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．8．如图，将矩形ABCD沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，B′C交AD于E点．AF//CB′交BC于F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求EC的长．9．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是(−6，8)．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．（1）求点D的坐标；（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，在矩形ABCD 中，AB＝8，AD＝10，E 是CD 边上一点，连接AE，将矩形ABCD 沿AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上点 F 处，延长AE 交BC 的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N 分别是线段AG，DG 上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设DN＝x．①求证四边形AFGD 为菱形；②是否存在这样的点N，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．11．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．12．综合与探究如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴的另一交点为( −√33，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=√33x+43与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.13．在平面直角坐标系中，直线y=−3x−52交x轴于点A，交y轴于点B，直线y=−34x+3交x轴于点C，交y轴于点D.（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；（2）如图2，在直线y=−34x+3上存在点E，使得∠ABE=45°，求点E的坐标；（3）如图3，在(2)的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标.14．定义：如图（1），E，F，G，H四点分别在四边形ABCD的四条边上，若四边形EFGH为菱形，我们称菱形EFGH为四边形ABCD的内接菱形.（1）动手操作：如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由36个小正方形组成一个大正方形ABCD，点E、F在格点上，请在图（2）中画出四边形ABCD的内接菱形EFGH；（2）特例探索：如图3，矩形ABCD，AB=5，点E在线段AB上且EB=2，四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形，求GC的长度；（3）拓展应用：如图4，平行四边形ABCD，AB=5，∠B=60°，点E在线段AB上且EB=2，①请你在图4中画出平行四边形ABCD的内接菱形EFGH，点F在边BC上；②在①的条件下，当BF的长最短时，BC的长为.15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的△O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D 作DF△AC于F.（1）求证：DF与△O相切；（2）填空：①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为.②当△CDF的度数为时，OE∥BC，此时四边形ODCE的形状是：.16．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx与y=nx（x＞0，0＜m＜n）的图象上，对角线BD△y轴，且BD△AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=12AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）解：在RtΔABC中，BC=6，tanB=ACBC=43，∴AC=43BC=43×6=8，∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴CD=12AB=5，∵四边形ADCE为菱形，∴CD=DA=AE=EC=5，∴菱形ADCE的周长为：5×4=20．2．【答案】（1）证明：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB△DC，AB=DC，∴△1=△2，∵AE△CF，∴△3=△4，在△AEB和△CFD中，{∠3=∠4∠1=∠2 AB=CD，∴△AEB△△CFD（AAS）（2）证明：∵△AEB△△CFD，∴AE=CF，∵AE△CF，∴四边形AFCE是平行四边形．∵△5=△4，△3=△4，∴△5=△3．∴AF=AE．∴四边形AFCE是菱形3．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED△BC，又∵AC△BC，∴ED△AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE＝AE，FD△AC．∴CE是是△ABC斜边上的中线∴CE＝12AB，∵CE＝AE＝AF．∴△F＝△5＝△1＝△2．∴△FAE＝△AEC．∴AF△EC．又∵AF＝EC，∴四边形ACEF是平行四边形（2）解：当△B＝30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵△ACB＝90°，△B＝30°，∴AC＝12AB，由（1）知CE＝12AB，∴AC＝CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形．4．【答案】（1）证明：∵DE//BC，DF//AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠EDB，∴BE=DE，∴平行四边形BEDF是菱形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形BEDF是菱形，∴BF=DF=DE=BE，∴∠DFB=∠BED=150°，∴∠DFH=180°−∠DFB=30°，∵DH⊥BC，∴∠DHF=∠DHC=90°，∴DH=12DF，∵∠C=45°，∴ΔCDH是等腰直角三角形，∴DH=CH=√22CD=√22×3√2=3，∴DF=2DH=6，∴菱形BEDF的周长=4DF=24.5．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BF，∴∠DEF=∠CFE，∠EDC=∠FCD，∵G是CD的中点，∴GD=GC，∴△GED△ △GFC，∴DE=CF，而DE//CF，∴四边形CEDF是平行四边形（2）4；26．【答案】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.∴DE△BC.又∵EF△AB，∴四边形DBFE是平行四边形（2）解：当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD= 12AB.∵DE是△ABC的中位线，∴DE= 12BC.∵AB=BC，∴BD=DE.又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形7．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF△BC，∴△AFE＝△DBE，在△AEF和△DEB中，{∠AFE=∠DBE ∠AEF=∠DEBAE=DE，∴△AEF△△DEB（AAS），∴AF＝DB，又∵AF△BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵△BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝12BC＝CD，∴平行四边形ADCF是菱形.（2）解：∵D是BC的中点，∴S△ACD＝S△ABD＝12S△ABC，∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF＝2S△ACD=S△ABC=12AC·AB＝12×3×4＝6．8．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC ∴∠DAC=∠BCA．由题意得：∠BCA=∠B′CA∴∠DAC=∠B′CA，∴EA=EC∵AD//BC，AF//CE，∴四边形AFCE为平行四边形∵EA=EC∴四边形AFCE是菱形．（2）解：如图所示，在矩形ABCD中，∠ADC=∠AB′C′=90°，AD=BC=B′C=8，AB=AB′=4设AE=CE=x，则EB′=(8−x)．在Rt△AB′E中，∠AB′E=90°，AB′=4，由勾股定理得：AB′2+B′E2=AE2，即42+(8−x)2=x2，∴x=5．∴EC=5．9．【答案】（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是(−6，8)．∴∠BAD=∠OCB=90°，AB=OC=6，OA=BC=8，∴BO=√OC2+BC2=10；由折叠的性质得：BE=AB=6，∠BED=∠BAD=90°，DE=AD，∴OE=BO−BE=10−6=4，∠OED=90°，设D(0，a)，则OD=a，DE=AD=OA−OD=8−a，在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，即(8−a)2+42=a2，解得：a=5，∴D(0，5)；（2）解：存在，①OM，OE都为边时，OM=OE=4，∴M的坐标为(4，0)，（-4，0）②OM为边OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1则OG= 12OE=2，∵B(−6，8)，∴OB的解析式为：y=−43x，设E(x，−43x)，M(a，0)，∴x2+(43x)2=16， ∴x =−125，x =125 （舍去）， ∴E(−125，165)，由 OM =EM 可得： (a +125)2+(165)2=a 2，解得： a =−103∴M （ −103，0） ③OM 为对角线，OE 为边，如图2由②得：M （ −245，0） 综上所述：点M 的坐标为 (4，0) 或 (−4，0) 或 (−103，0) 或 (−245，0) ； 10．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝8， ∴△B ＝△BCD ＝90°，由翻折可知：AD ＝AF ＝10．DE ＝EF ，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8−x ． 在Rt△ABF 中，BF ＝ √AF 2−AB 2=6 ， ∴CF ＝BC−BF ＝10−6＝4，在Rt△EFC 中，则有：(8−x)2＝x 2＋42， ∴x ＝3， ∴CE ＝3．（2）解：①证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD△BC ∴△ADE△△GCE ，∴ADGC=DECE，∵AD=10，CE=3，DE=5，∴10GC=53，∴GC=6，由（1）可得：CF=4，∴GF=6+4=10，∴四边形AFGD是平行四边形，又∵AD=AF，∴平行四边形AFGD是菱形．②∵△DMN=△DAM，∴若△DMN 是直角三角形，则有两种情况，当△MDN=90°时，∵AD=GD，∴△DAG=△DGA又∵△ADE=△GDM=90°，∴△ADE△△GDM（ASA）∴DM=DE=5，又∵△DMN=△DAM，△ADE=△MDN=90°，∴△ADE△△MDN∴ADMD=DEDN，即105=5x，∴x=5 2；当△DNM=90°时，则△MDN+△DMN=90°，又∵△DMN=△DAM，△DAG=△DGA，∴△DMN=△DGA，∴△MDN+△DGA=90°，∴△DMG=90°，∵sin△DAE= DEAE=DMAD，∵AE=√AD2+DE2=5√5，∴5√5=DM10，∴DM= 2√5，∵△DMN=△DAM∴sin△DMN=sin△DAM∴DEAE=DNDM，即5√5=2√5解得：x=2，综上所述：x=52或2．11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD△BC，∴△AEF=△EFC，由折叠的性质，可得：△AEF=△CEF，AE=CE，AF=CF，∴△EFC=△CEF，∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴△D=90°，∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c212．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( −√33，0)，∴{c=01 3−√33b+c=0，解得：{b=√3 3c=0；∴y=x2+√33x.（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵{y=x2+√33xy=√33x+43，解得：{x1=2√33y1=2,{x2=−2√33y2=23，∴A( −2√33,23)，B( 2√33,2)，过点A分别作AC△ x轴，AD△A′B，垂足分别为C，D，∴AC= 23，OC=2√33，在RtΔAOC中OA= √AC2+OC2=43，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( 2√33,−23)，AA′= 83，∵B( 2√33,2)，∴A′B=2-(- 23)=83，又∵A( −2√33,23)，B( 2√33,2)，∴AD= 4√33，BD= 43，在RtΔABD中AB= √AD2+BD2=83，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P ，且以点A 、B 、A′、P 为顶点的菱形分三种情况； 设点P 的坐标为：（x ，y ）．①当A′B 为对角线时，有 {x −2√33=2√33×2y =23， 解得： {x =2√3y =23， ∴点P 为： (2√3,23) ；②当AB 为对角线时，有 {x =−2√33y −23=23+2， 解得： {x =−2√33y =103， ∴点P 为： (−2√33,103) ；③当AA′为对角线时，有 {x =−2√33y +2=23−23 ， 解得： {x =−2√33y =−2， ∴点P 为： (−2√33,−2) ；综合上述， P 1(−2√33,103) , P 2(−2√33,−2) , P 3(2√3,23)13．【答案】解：对于直线 y =−3x −52 ，令 x =0 ，则 y =−52 ，故点 B(0,−52) ；对于 y =−34x +3 ，令 x =0 ，则 y =3 ，令 y =0 ，即 −34x +3=0 ，解得： x =4 ，故点 D(0,3) 、 (4,0) ，则 BD =3+52=112，CC =4 ， ΔBCD 的面积 =12×BD ×OC =12×112×4=11 ； (2) 如图2，在直线 y =−34x +3 上存在点E ，使得 ∠ABE =45° ，求点E 的坐标；解：过点E 作 BE 的垂线交 AB 于点R ，过点E 作y 轴的平行线交过点R 与x 轴的平行线于点G ，交过点B 与x 轴的平行线于点H ，设点 E(m,−34m +3) ，点 R(n,−3n −52) ，∵∠ABE =45° ，故 ER =EB ，∵∠REG +∠BEH =90° ， ∠BEH +∠EBH =90° ， ∴∠REG =∠EBH ，∵∠EHB =∠RGE =90° ， EB =ER ， ∴ΔEHB ≅ΔRGE(AAS) ， ∴RG =EH ， BH =GE ，即 m =−3n −52+34m −3 ， −34m +3+52=m −n ，解得 {m =2n =−2，故点 E(2,32) ；(3) 如图3，在 (2) 的条件下，连接 OE ，过点 E 作 CD 的垂线交y 轴于点F ，点P 在直线 EF 上，在平面中存在一点Q ，使得以 OE 为一边， O ，E ，P ，Q 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q 的坐标.(6,173) 或 (625 ， −15175) 或 (32 ， 2) 或(−32 ， −2) （1）解：对于直线 y =−3x −52 ，令 x =0 ，则 y =−52 ，故点 B(0,−52) ；对于 y =−34x +3 ，令 x =0 ，则 y =3 ，令 y =0 ，即 −34x +3=0 ，解得： x =4 ，故点D(0,3)、(4,0)，则BD=3+52=112，CC=4，ΔBCD的面积=12×BD×OC=12×112×4=11；（2）解：过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，设点E(m,−34m+3)，点R(n,−3n−52)，∵∠ABE=45°，故ER=EB，∵∠REG+∠BEH=90°，∠BEH+∠EBH=90°，∴∠REG=∠EBH，∵∠EHB=∠RGE=90°，EB=ER，∴ΔEHB≅ΔRGE(AAS)，∴RG=EH，BH=GE，即m=−3n−52+34m−3，−34m+3+52=m−n，解得{m=2n=−2，故点E(2,3 2)；（3）(6,173)或(625，−15175)或(32，2)或(−32，−2)14．【答案】（1）解：如图2所示，菱形EFGH即为所求；（2）解：如图3，连接HF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，AD//BC，AB=CD=5，∴∠DHF=∠HFB，∵四边形EFGH是菱形，∴GH=EF，GH//EF，∴∠GHF=∠HFE，∴∠DHF−∠GHF=∠BFH−∠HFE，即∠DHG=∠BFE，∴ΔDHG≅ΔBFE(AAS)∴DG=BE=2，∴CG=CD−DG=5−2=3；（3）解：①如图4所示，由（2）知：ΔDHG≅ΔBFE，∴DG=BE=2，作法：作DG= 2，连接EG，再作EG的垂直平分线，交AD、BC于H、F，得四边形EFGH即为所求作的内接菱形EFGH；②1+√615．【答案】（1）证明：∵AB＝AC，∴△ABC＝△C，连接OD，∵OB ＝OD ，∴△ABC ＝△ODB ，∴△ODB ＝△C ，∴OD ∥AC ，∵DF△AC ，∴OD△DF ，∴DF 与△O 相切；（2）6；30；菱形16．【答案】（1）①当x=4时， y =4x=1 ∴点B 的坐标是（4，1）当y=2时，由得 y =4x得x=2 ∴点A 的坐标是（2，2）设直线AB 的函数表达式为 y =kx +b∴{2k +b =24k +b =1 解得 {k =−12b =3∴直线AB 的函数表达式为 y =−12x +3 ②四边形ABCD 为菱形，理由如下：如图，由①得点B （4，1），点D （4，5）∵点P 为线段BD 的中点∴点P 的坐标为（4，3）当y=3时，由 y =4x 得 x =43 ，由 y =20x 得 x =203， ∴PA= 4−43=83，PC= 203−4=83 ∴PA=PC而PB=PD ∴四边形ABCD 为平行四边形又∵BD△AC∴四边形ABCD 是菱形（2）四边形ABCD 能成为正方形当四边形ABCD 时正方形时，PA=PB=PC=PD （设为t ，t≠0），当x=4时， y =m x =m 4∴点B 的坐标是（4， m 4 ）则点A 的坐标是（4-t ， m 4+t ）∴(4−t)(m 4+t)=m ，化简得t= 4−m 4∴点D 的纵坐标为 m 4+2t =m 4+2(4−m 4)=8−m 4则点D 的坐标为（4， 8−m 4 ）所以 4×(8−m 4)=n ，整理得m+n=32。

【2022】苏教版中考数学精编专题《平行四边形、矩形、正方形、菱形》(含答案解析)

【2022】苏教版中考数学精编专题《平行四边形、矩形、正方形、菱形》(含答案解析)

【苏教版】中考数学精编专题汇编专题1平行四边形、矩形、菱形、正方形学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省南京市中考二模】下列命题中假命题是（ ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形C 、一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形D 、一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形D 、例如等腰梯形，满足一组对边平行一组对边相等，但它不是平行四边形，所以是个假命题．正确． 故选D ．【考点定位】命题与定理．2.【江苏省江阴市中考】如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，AB ＝8， E 是CD 的中点，则OE 的长等于( )A.2B.3C.4D.5 【答案】C.B【解析】已知菱形ABCD ，根据菱形的性质可得AB=BC=8，OB=OD ，又因E 是CD 的中点，所以OE 为△DBC 的中位线，根据三角形的中位线定理可得OE=BC=4.故选C. 【考点定位】菱形的性质；三角形的中位线定理.3. 【江苏省常州市中考】如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．AO =ODB ．AO ⊥ODC ．AO =OCD ．AO ⊥AB 【答案】C ．【考点定位】平行四边形的性质．4.【江苏省徐州市中考】如图，菱形中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于（ ）【考点定位】菱形的性质.215. 【江苏省徐州市中考模拟】15.如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC 、BD 应满足条件 .【答案】AC=BD ．【考点定位】1.菱形的性质；2.三角形中位线定理．6.【江苏省徐州市中考模拟】将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1，如图2，将Rt△BCD 沿射线BD 方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为时，四边ABC 1D 1为矩形；当点B 的移动距离为 时，四边形ABC1D 1为菱形．【解析】当点B 的移动距离为时，∠C 1BB 1=60°，则∠ABC 1=90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC 1D 1为矩形；当点B 的移动距离为时，D 、B1两点重合，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可判定四边形ABC 1D 1为菱形．333如图：【考点定位】1.菱形的判定；2.矩形的判定；3.平移的性质．7. 【江苏省淮安市中考】如图，A，B两地被一座小山阻隔，为测量A，B两地之间的距离，在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D、E，测得DE的长度为360米，则A、B两地之间的距离是米．【答案】720．【考点定位】1．三角形中位线定理；2．应用题．8.【江苏省无锡市中考】如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于 cm．【答案】16.【解析】根据三角形的中位线定理和矩形对角线相等的性质可证得四边形EFGH是菱形，且故答案为：16.【考点定位】三角形的中位线定理；矩形的性质；菱形的判定及性质.9.【江苏省中考模拟】已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．求证：四边形BEDF是平行四边形．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论．试题解析：证明：如图，连接 BD设对角线交于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵AE=CF，OA﹣AE=OC﹣CF，∴OE=OF．∴四边形BEDF是平行四边形．【考点定位】平行四边形的判定与性质．10.【江苏省常州市中考】如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF 都是正三角形．（1）求证：AE=AF；（2）求∠EAF的度数．【答案】（1）证明见试题解析；（2）60°．【考点定位】1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的性质．专题2 圆的有关计算及圆的综合学校：___________姓名：___________班级：___________1.【江苏省南通市九年级上学期期末】如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠A OB=52°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．36°B ．26°C ． 38°D ．46°【答案】D ． 【解析】故选D.【考点定位】1.圆周角定理；2.垂径定理.2.【江苏省江阴市九年级下学期期中】一个圆锥底面直径为2，母线为4，则它的侧面积为（ ） A ． B．C ．D ．【答案】C.【解析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl 可得这个圆锥的侧面积为π×1×4=4π.故选C. 【考点定位】圆锥的侧面积公式.3.【江苏省苏州市区中考】如图，⊙O 上A 、B 、C 三点，若∠B=50，∠A=20°，则∠AOB 等于（ ） A 、30° B 、50° C 、70° D 、60°【答案】D ．2π12π4π8π【解析】先根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB ，再由三角形内角和定理即可得出结论．∵∠AOB 与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠B=50，∠A=20°，∴∠ACB=∠AOB ．∴180°-∠AOB-∠A=180°-∠ACB-∠B ，即180°-∠AOB-20°=180°-∠AOB-50°，解得∠AOB=60°．故选D ．【考点定位】圆周角定理．4.【江苏省南通市九年级上学期期末】某个圆锥的侧面展开图形是一个半径为6cm ，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ）cm ． A 、2B 、3C 、4D 、5【答案】A ．故选A.【考点定位】弧长的计算.5.【江苏省苏州市中考一模】如图，AB 是⊙O 的切线，切点为B ，AO 交⊙O 于点C ，且AC=OC ，若⊙O 的半径为5，则图中阴影部分的面积是 .． 【解析】直接利用切线的性质结合勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数关系得出∠BOC 的度数，结合阴影部分的面积为：S △OBA -S 扇形BOC 求出即可．连接OB ，∵AB 是⊙O 的切线，切点为B ，∴∠OBBA=90°，∵AC=OC ，⊙O 的半径为5，∴AC=5，AB=5，∴∠A=30°，则∠BOC=60°，∴图中阴影部分的面积为：S △OBA -S 扇形BOC =×BO ×AB-．故答案为：121212625π312605360π⨯536225π. 【考点定位】1.扇形面积的计算；2.切线的性质．6.【江苏省徐州中考】13.圆锥底面圆的半径为3m ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 m． 【答案】6．【考点定位】圆锥的计算．7.【江苏省中考】已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ． 【答案】27π．【考点定位】扇形面积的计算．8.【江苏省南京市中考二模】已知等腰△ABC 中，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，则△ABC 的内切圆半径为 cm ． 【答案】. 【解析】如图，设△ABC 的内切圆半径为r ，由勾股定理得AD=12，再由切线长定理得AE=8，根据勾股定理求得r 即可．如图，∵AB=AC=13cm ，BC=10cm ，∴BD=5cm ，∴AD=12cm ，根据切线长定理，AE=AB-BE=AB-BD=13-5=8，设△ABC 的内切圆半径为r ，∴AO=12-r ，∴（12-r ）2-r 2=64，解得r=.故答案为：. 【考点定位】1.三角形的内切圆与内心；2.等腰三角形的性质．9.【江苏省苏州中考一模】如图所示，D 是以AB 为直径的半圆O 上的一点，C 是弧AD 的中点，点M 在AB 上，AD 与CM 交于点N ，CN=AN ．625π103103103（1）求证：CM⊥AB；（2）若BD=2，求半圆的直径．【答案】（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题解析：（1）证明：如图1，连接BC，则∠ACB=90°，∵CN=AN，∴∠NCA=∠NAC，∴∠MCA=∠DAC，∵C是弧AD的中点，∴∠ABC=∠DAC，∴∠MCA=∠ABC，∵∠CAB=∠BAC，∴△ABC∽△ACM，∴∠AMC=90°，∴CM⊥AB；（2）解：如图2，连接CD，作CE⊥BD，交BD的延长线于E，在△CMB与△BCE中，，【考点定位】1.相似三角形的判定与性质；2,全等三角形的判定与性质；2.圆周角定理．10.【江苏省无锡市中考】已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且BC ＝6cm ，AC ＝8cm ，∠ABD ＝45º．（1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【答案】(1)BD ＝52cm;(2)S 阴影＝25π－504cm 2． 【解析】MBC CBE CMB CEB BC BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩【考点定位】圆周角定理的推论；勾股定理；扇形的面积公式.专题3 图形的变换、视图与投影学校：___________姓名：___________班级：___________1. 【江苏省苏州市中考一模】下列腾讯QQ表情中，不是轴对称图形的是（）【答案】C．【解析】根据轴对称图形的概念求解．A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．【考点定位】轴对称图形．2.【江苏省徐州市中考模拟】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）【答案】D．【考点定位】1.中心对称图形；2.轴对称图形．3. 【江苏省淮安市中考】如图所示物体的主视图是（）A． B． C． D．【答案】C．【考点定位】简单组合体的三视图．4.【江苏省常州市中考】下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B．故选B.【考点定位】轴对称图形．5.【江苏省常州市中考】将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【答案】8cm2 .故答案为：8cm 2.【考点定位】1．翻折变换（折叠问题）；2．最值问题．6.【江苏省江阴市中考】如图，Rt ΔABC 中，AB=9，BC=6，∠B=900，将ΔABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN的长为【答案】 4. 【解析】 故答案为：4.【考点定位】翻折变换；勾股定理. 7.【江苏省苏州市区中考】在R t △ABC 中，斜边AB=4，∠B=60°，将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是 （结果保留π）．【答案】.【解析】将△ABC 绕点B 旋转60°，顶点C 运动的路线长是就是以点B 为圆心，B C 为半径所旋转的弧，根据弧长公式即可求得．∵AB=4，∴BC=2，所以弧长=.故答案为：. 【考点定位】1.弧长的计算；2.旋转的性质．8.【江苏省扬州市2015年中考数学试题】如图，已知Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AC =6，BC =4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = 23π602180π⨯=23π23π【答案】5【考点定位】旋转的性质9.【江苏省徐州市中考】如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，每个小正方形的边长为1．（1）画出△AOB关于x轴对称的△A1OB1．（2）画出将△AOB绕点O顺时针旋转90°的△A2OB2，并判断△A1OB1和△A2OB2在位置上有何关系？若成中心对称，请直接写出对称中心坐标；如成轴对称，请直接写出对称轴的函数关系式．（3）若将△AOB绕点O旋转360°，试求出线段AB扫过的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；△A1OB1和△A2OB2是轴对称关系，对称轴为：y=﹣x．（3）2.5π．【解析】试题解析：（1）如图所示：．（2）如图所示：△A1OB1和△A2OB2是轴对称关系，对称轴为：y=﹣x．（3）过点O作OE⊥AB，线段AB2﹣π（）2=5π﹣2.5π=2.5π． 【考点定位】1.作图-旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图-轴对称变换．10.【江苏省南京市中考二模试题】△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，矩形DEFG 中，EF=4，FG ＞12．（1）如图①，点A 是FG 的中点，FG ∥BC ，将矩形DEFG 向下平移，直到DE 与BC 重合为止．要研究矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．（2）如图②，点B 与F 重合，E 、B 、C 在同一直线上，将矩形DEFG 向右平移，直到点E 与C 重合为止．设矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为y ，平移的距离为x ．①求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；②在给定的平面直角坐标系中画出y 与x 的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．2【考点定位】几何变换综合题．。

专题19.1 矩形、菱形与正方形(基础篇)专项练习-2020-2021学年八年级数学下(华东师大版)

专题19.1 矩形、菱形与正方形(基础篇)专项练习-2020-2021学年八年级数学下(华东师大版)

专题19.1 矩形、菱形与正方形（基础篇）专项练习一、单选题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 2．下列判断错误的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．菱形的周长为8cm ，高为1cm ，则菱形两邻角度数比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：1 4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为( )A ．2.4cmB ．4.8cmC ．5cmD ．9.6cm 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )A．(B．)2C．)D．(7．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝, DE ＝2,则四边形OCED 的面积为（）A．B．4C．D．88．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将∥BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到∥DCF，连接EF，若∥BEC=60°，则∥EFD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．25°9．如图，在∥ABC 中，点D 是边BC 上的点（与B、C 两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC 于E、F 两点，下列说法正确的是（）A．若AD 平分∥BAC，则四边形AEDF 是菱形B．若BD＝CD，则四边形AEDF 是菱形C．若AD 垂直平分BC，则四边形AEDF 是矩形D ．若 AD ∥BC ，则四边形 AEDF 是矩形10．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为20，面积为24，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．245C ．6D ．485二、填空题 11．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ． 12．如图，在∥ABC 中，AD 是高，E 是AB 的中点，EF∥AD ，交AC 于点F ，若AC=6，则DF 的长为______.13．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E ，F ，连接CE ，则CE 的长为________．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，∥DAB=60°，E 为BC 的中点，在对角线AC 上存在一点P ，使∥PBE 的周长最小，则∥PBE 的周长的最小值为________．15．如图：已知：AM MN ⊥，BN MN ⊥，垂足分别为M 、N ，点C 是MN 上使AC BC +的值最小的点．若3AM =，5BN =，15MN =，则AC BC +=________．16．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∥EAF ＝45°，∥ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为_____．17．如图，在Rt∥ABC 中，∥ABC=90°，AC=10cm ，点D 为AC 的中点，则BD=_____cm ．18．如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，PE AB ⊥于点E ，若5PE =，则点P 到AD 的距离为________．19．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT 的长为_____．20．如图，在Rt∥BAC 和Rt∥BDC 中，∥BAC ＝∥BDC ＝90°，O 是BC 的中点，连接AO 、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．21．如图，在正方形ABCD，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接∠=︒，则CEFCE．若56BAE∠=______︒．22．如图，边长为1的菱形ABCD中，∥DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∥FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∥HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是___．三、解答题23．如图，∥ABC中，AB=AC，AD是∥ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO 并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当∥ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在∥ABC 和∥DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，AC 与DB 交于点M ．（1）求证：∥ABC∥∥DCB（2）过点C 作CN∥BD ，过点B 作BN∥AC ，CN 与BN 交于点N ，试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论．25．如图，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA (不包括端点)上运动，且满足AE CG =，AH CF =．(1)求证：AEH CGF ∆≅∆；(2)试判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(3)请探究四边形EFGH 的周长一半与矩形ABCD 一条对角线长的大小关系，并说明理由．26．在∥ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM．将∥ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM∥AB 时。

(完整版)平行四边形、菱形、矩形正方形测试题

(完整版)平行四边形、菱形、矩形正方形测试题

平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题一、选择题 (每题 3 分，共 30 分 )。

1．平行四边形 ABCD 中，∠ A=50°，则∠ D=（ ）A. 40°B. 50°C. 130°D. 不可以确立 2．以下条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）A. 一组对边相等B. 对角线相互均分C. 一组对角相等D. 对角线相互垂直3．在平行四边形 ABCD 中，EF 过对角线的交点 O ，若 AB=4 ，BC=7，OE=3，则四边形 EFCD 周长是（ ） A ．14 B. 11 C. 10 D. 17 4．菱形拥有的性质而矩形不必定有的是 ( )A ．对 角相等且互补B ． 对角线相互均分C ． 一组对边平行另一组相等D ．对 角线相互垂直5．已知菱形的周长为 40cm ，两条对角线的长度比为 3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ， 16cm D. 24cm ，32cm6．如图在矩形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 订交于点 O ，则以下说法错误的选项是 ( ) A ．AB= 1AD2B ．AC=BDC ． DAB ABC BCD CDA 90 D ．AO=OC=BO=OD图 57．如图 5 连接正方形各边上的中点，获得的新四边形是 ( )A ．矩形 B. 正方形 C.菱形 D.平行四边形8. 一矩形两对角线之间的夹角有一个是 600, 且这角所对的边长 5cm,则对角线 长为 ( )A. 5 cmB. 10cmC. 5 2 cmD. 没法确立9. 当矩形的对角线相互垂直时 , 矩形变为 ( )A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 没法确立 .10. 如下图，在ABCD 中， 、 分别 AB 、CDA E BE F 的中点，连接 DE 、EF 、BF ，则图中平行四边形共有（ ） DCA ．2 个B ．4 个C ．6 个D ． 8 个F二、填空题（每题 3 分，共 24 分 ）11．□ABCD 中, AB ：BC=1：2，周长为 24cm,则AB=_____cm, AD=_____cm. 12．已知：四边形ABCD中， AB＝ CD，要使四边形 ABCD为平行四边形，需要增加__________，（只要填一个你以为正确的条件即可）你判断的原因是：。

平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案(中考必备)

平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题与答案(中考必备)

平行四边形·矩形·菱形·正方形解答题(含答案)1.以四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．（1）如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设∠ADC =α（0°＜α＜90°），① 试用含α的代数式表示∠HAE ；② 求证：HE =HG ；③ 四边形EFGH 是什么四边形？并说明理由．2.正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线1l 、2l 、3l 、4l 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为1h 、2h 、3h （1h ＞0，2h ＞0，3h ＞0）．（1）求证：1h =3h ；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S=21221)(h h h ++； （3）若12321=+h h ，当1h 变化时，说明正方形ABCD 的面积S 随1h 的变化情况．3.已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.4. （ 如图4，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．A B C D E F 图10-1 O图10-2 AB CD E F P Q 备用图 A B C DE F P Q5. 如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠BCA 的平分线于点E ,交∠BCA 的外角平分线于点F ，连接AE 、AF 。

专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题

专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） B. 2 C. 3 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC .求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□A BCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMB(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题BDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12ab第8题AB E F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD 为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F B C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED的大小是（ ）A. 60°B. 65° ° °第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13第9题B A1P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBACB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED －AB＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)。

中考复习：《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总

中考复习：《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总

最全《平行四边形、矩形菱形、正方形》计算类典型题汇总一、平行四边形中，边(周长)的计算例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD＝8，则AD 的取值范围是_________．解析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，得AO＝5，DO＝4．借助三角形三边关系，AO－DO＜AD＜AO＋DO，则1＜AD＜9变式：1.已知平行四边形ABCD的周长是12，AC，BD交于点O，△ABO的周长比△BOC 的周长大1，求AB，BC的长．解析：对照上图，我们知道AO＝CO，BO为公共边，则△ABO的周长与△BOC的周长之差就是AB与BC之差，设AB＝x，BC＝x－1，根据周长＝12，可得2(x＋x－1)＝12，x＝3.5，AB＝3.5，BC＝2.5例2：如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC，BD相交于点O，OE⊥AC于O，则△BCE的周长为_________．解析：由OE⊥BD，BO＝DO，可知OE垂直平分BD，则BE＝DE，C△BCE＝BC＋CE ＋BE＝ BC＋CE＋DE＝BC＋CD＝8变式：如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AD于E，交BC于点F，若OE＝5，四边形CDEF的周长为25，则平行四边形ABCD的周长为________．解析：首先，可证△AEO≌△CFO，则OE＝OF．(事实上，经过平行四边形对称中心的线段，既平分平行四边形的周长，也平分面积．)EF＝2OE＝10，AE＝CF，C四边形CDEF＝CD＋DE＋CF＋EF＝CD＋DE＋AE＋EF＝CD ＋DA＋EF＝25CD＋DA＝15，C平行四边形ABCD＝30例3：在平行四边形ABCD中，AD＝11，∠A、∠D的角平分线分别交BC于E、F，EF＝3，则AB＝__________．解析：本题是典型的易错题，极易漏解，我们应该想到，AE，DF必然相交，且夹角为90°，但交点可以在平行四边形内，也可在形外．故而要分类讨论．同时，这里面隐藏着一个常见的基本模型，平行＋角平分，构造等腰，△ABE和△FCD是等腰三角形，且腰相同，AB＝BE＝DC＝CF．如图，当AE，DF交于形内，BE＋CF－EF＝11，2BE－3＝11，BE＝7，AB＝7如图，当AE，DF交于形外，BE＋CF＋EF＝11，2BE＋3＝11，BE＝4，AB＝4综上，AB＝7或4变式：1.平行四边形ABCD的周长为32，∠ABC的角平分线交边AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB＝______．解析：看到“所在直线” 这样的字眼，第一时间应该想到两解了吧．如图，AD＜AB，则E在AD延长线上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：1，AB：AD＝3：1，设AD＝x，AB＝3x，3x＋x＝16，x＝4，AB＝3x＝12．如图，AD＞AB，则E在AD上，AE＝AB，∵AE：ED＝3：2，∴AE：AD＝3：5，AB：AD＝3：5，设AB＝3x，AD＝5x，3x＋5x＝16，x＝2，AB＝3x＝6．综上，AB＝6或12.二、平行四边形面积类问题例1：平行四边形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，若DE＝2，DF＝3，四边形ABCD 的周长是30，求其面积．解析：本题其实早在小学阶段，可能就有同学做过，知道平行四边形周长，则知道了邻边之和为其一半，有了2条高，自然想到面积，用等积法解决．如图，设AB＝x，BC＝15－x，2x＝3(15－x)，x＝9，S＝2x＝18例2：如图，M、N是平行四边形ABCD的边AB、AD的中点，连接MN、MC，若阴影四边形的面积为10，则图中空白部分的面积是____________．解析：面对一般四边形的面积问题，我们通常转化为熟悉的平行四边形求面积，或者将四边形分割成2个小三角形，分别求面积，再求和．本题显然不能转化，尝试分割，若连接NC，则△NMC的面积不好求，所以连接MD．例3：解析：初次拿到这样的题目，很难下手，没有具体的底边和高长，我们求不出各图形的面积，但既然平行四边形对边平行，我们不妨过点P再作一次平行．如图，过点P作EF∥AD，则EF∥BC，四边形AEFD，四边形EBCF均为平行四边形．本题重要结论：S1＋S3＝S2＋S4三、矩形正方形线段和的计算、菱形中面积，最值类问题例1：在矩形ABCD中，AB＝3， BC＝4，对角线AC，BD交于点O，点P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：拿到题目，有些同学立刻反应，说是“将军饮马”问题，但这里是求值，是定值，而将军饮马属于求最值问题．PE，PF分别是高，则想到面积，这才应该是第一反应．如图，连接OP变式：1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，对角线长为10，P是BC边上的一点，PE⊥BO，PF⊥CO，求PE＋PF＝_________．解析：本题同样也能用上题思路，PE＋PF＝BO＝5，也能证明四边形EPFO是矩形，PF＝EO，∠EBP＝∠EPB＝45°，则BE＝PE，PE＋PF＝BE＋EO＝BO＝5例2：已知菱形ABCD的周长为20，面积为20，求对角线AC，BD的长．解析：由周长为20，我们可以知道，边长是5，由面积是20，我们可以知道对角线乘积的一半是20，因此，不妨设AC＝2x，BD＝2y，x＞y，例3：如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：这才是标准的将军饮马问题，作点M关于AC的对称点M’，则PM＋PN＝P M’＋PN≥M’N(当M’，P，N三点共线时可取等号)，则最小值即为M’N＝5变式：1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P、N是AC，BC上的一个动点，点M是边AB的中点，则PM＋PN的最小值是________．解析：变成了一定(点M)一动问题(点N)，方法与之前一致，确定AD边上的点M’，则当M’N⊥BC时，M’N最短，过点M’作M’Q⊥BC，利用面积法，S菱形ABCD ＝24，BC＝5，M’Q＝4.8，PM＋PN的最小值是4.8。

重点高中自招必备 八年级 专题19 平行四边形、矩形、菱形

重点高中自招必备 八年级 专题19 平行四边形、矩形、菱形

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（）A.1B. 2C. 3D.4(全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC . 求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMBA(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.能力训练 A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题ABDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，ADAF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB.34ab C. 23ab D. 12ab第8题ABE F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，P A ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题FB C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16D.12第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED 的大小是（ ） A. 60° B. 65° C.70° D.75°第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13D.12第9题BA 11P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBAB CB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12.如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，对边之差BC－EF＝ED－AB＝AF－CD＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题③正确.例3 （1）△BEF 为正三角形 提示：由△ABD 和△BCD 为正三角形，可证明△BDE ≌△BCF ，得：BE=BF ，∠DBE =∠CBF .∵∠DBC=∠CBF +∠DBF =∠DBE +∠DBF =60°，即∠EBF=60°，故△BEF 为等边三角形.(2)设BE BF EF x ===，则可得：2S x =，当BE ⊥AD 时，x∴2min S ==当BE 与AB 重合时，x 有最大值为2，∴()2max 24S =⨯=. S ≤≤. 例4 提示：PC=EF=PD ，4545CPB PFC EPG GPA BPD ︒︒∠=+∠=+∠=∠=∠，可证明△CPB ≌△DPB .例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连DH ，则 △AHD 是等边三角形.∵AH=AD=DF ，∴BH=GF ，又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF ，∴△DBH ≌△DGF ，∠BDH=∠GDF ，∴()1206060BDG ADC ADB GDF ADC ADB BDH ︒︒︒∠=∠-∠-∠=∠-∠+∠=-=例6 如图过M 作ME AN ，连NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，ME ⊥BC .∵ME=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC .∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE .∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°.∵AM ∥NE ，∴∠BPM=∠BNE=45°.A 级1. 2. 2α3. 26° 提示：作FG 边上中线，连接EC ，则EF=EC=AC .4. 20° 提示：连接AC ，则△AFC ≌△AEB ，△AEF 为等边三角形.5.C6.B7.D8. A 提示：E 、F 分别为AB 、BC 中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD 是平行四边形的有以下9种情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥.10. 提示：（2）当D 为BC 中点时，满足题意.11. 提示：连AM ，证明△AMF ≌△BME ，可证△MEF 为等腰直角三角形.12. 6 提示：由△ABC ≌△DBF ，△ABC ≌△EFC 得：AC=DF=AE ，AB=EF=AD .故四边形AEFD 为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE =360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F 到AD 的距离为2，故326AEFD S =⨯=.B 级1. 92cm2. 提示：可以证明2222PA PC PB PD +=+.3.152cm 4. 10 提示：可先证：AF=CF .设AF CF x ==，则8BF x =-，∴()22284x x =-+. ∴5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆==⨯⨯=. 5. 6013提示：过A 作AG ⊥BD 于G 可证PE+PF=AG ， 由AG BD AB AD =可得：512601313AG ⨯==.6. 提示：A ，C 关于BD 对称，连AE 交BD 于P .∴PE+PC=AE.又∵AE⊥BC且∠BAE=30°，∴AE .7. B8. B提示：取DE中点为G，连结AG，则AG=DG=EG.9. C10.(1)=；图略（2）1；图略（3）3；图略（4）以AB 为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC，如图，则易证△ABC与△ADC都为等边三角形．(1)若∠MAN＝60°，则△ABM≌△ACN．∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．(2)∠AMN＝60°，过M作CA的平行线交AB于P．∵∠BPM＝∠BAC＝60°，∠B＝60°，∴△BPM为等边三角形，BP＝BM，BA＝BC．∴AP＝MC．又∠APM＝120°＝∠MCN．∠PAM＝∠AMC－∠B＝∠AMC－60°＝∠AMC－∠AMN＝∠CMN，∴△PAM≌△CMN．∴AM＝MN，又∠AMN＝60°．故△AMN为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A作AM∥EF，过点C作CP∥AB，过点E作EN∥AF，它们分别交于N，M，P点，得□ABCM、□CDEP、□EFAN，则EF＝AN，AB＝CM，CD＝PE，BC＝AM，CP＝DE，AF＝NE，由条件得△NMP为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．AM NPB DABC D EPNMF。

八年级数学下学期第19章 矩形、菱形、正方形检测题(附答案.析解)

八年级数学下学期第19章 矩形、菱形、正方形检测题(附答案.析解)

第19章矩形、菱形、正方形检测题（时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每小题3分，共30分）1. （2018·四川凉山中考）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A.14B.15C.16D.172.下列命题中，正确的是（）A.两条对角线相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形C.两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形D.两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形3.（2018·陕西中考）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于（）A.38B.23C.35D.454.（2018·成都中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合.若AB=2,则的长为（）A.1B.2C.3D.45.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、DA、CD、BC的中点.若，，则图中阴影部分的面积为（）A.3B.4C.6D.86.如图所示，将一圆形纸片对折后再对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（）A B C D7.如图，在菱形中，，∠，则对角线等于（）A．20 B．15 C．10 D．58.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中∠的度数是（）A．B． C．D．9．（2018·山东威海中考）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且BE=BF.添加一个条件,仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF10.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A.4B.2C.D.二、填空题（每小题3分，共21分）11.（2018·南京中考）如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O 处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为 2 cm,∠A=120°,则EF=cm.12.（2018·山东潍坊中考）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）13.已知菱形的边长为5，一条对角线长为8，则另一条对角线长为_________.14.如图，矩形的对角线，，则图中五个小矩形的周长之和为_______．15.（2018·北京中考）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为.16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且cm，则BD的长为________cm，BC的长为_______cm.17.（2017·江西中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB=22，BC=23，则图中阴影部分的面积为.三、解答题（共49分）18.（8分）（2018·南京中考）如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P 是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M，N.(1)求证:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.19.（8分）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）：（1）连接____________ ；（2）猜想：______________＝_______________；（3）试证明你的猜想.ABDO第16题图20.（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出图中和BE相等的线段，并说明你的结论.21.（8分）如图，在矩形中，是边上一点，的延长线交的延长线于点，⊥，垂足为，且．（1）求证：；（2）根据条件请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．22.（9分）已知：如图，在△ABC中，，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线，交AC于点P，交AB于点Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.23.（8分）（2018·山东青岛中考）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点.（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD∶AB＝时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）第19章矩形、菱形、正方形检测题参考答案1.C 解析:根据菱形的性质得到AB=BC=4，由∠B=60°得到△ABC是等边三角形，所以AC=4.则以AC为边长的正方形ACEF的周长为16.2.C 解析：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错;两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，B错;两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，D错.故选C.3. C 解析:设AB=x,AM=y,则BM=MD=2x-y.在Rt△ABM中，根据勾股定理有BM2=AB2+AM2，即（2x-y）2=x2+y2,整理得3x=4y,所以x=43y,故AMMD＝423yy y⨯-＝53yy=35.4.B 解析:因为四边形ABCD是矩形，所以CD =AB=2.由于沿BD折叠后点C与点C′重合，所以=CD=2.5.B 解析：∵矩形ABCD的面积为，∴阴影部分的面积为，故选B．6.C7.D 解析：在菱形中，由∠= ，得∠.又∵，∴△是等边三角形，∴.8.A 解析：观察图形，在等腰梯形的一个上底角顶点处有三个上底角，因而等腰梯形上底角等于，所以.9.D 解析:本题综合考查了直角三角形、线段的垂直平分线的性质与菱形、正方形的判定方法等知识.因为EF垂直平分BC，所以BE=EC,BF=FC.又BE=BF,所以BE=EC=CF=FB,所以四边形BECF为菱形.如果BC=AC,那么∠ABC=90°÷2=45°,则∠EBF=90°，能证明四边形BECF为正方形.如果CF⊥BF,那么∠BFC=90°,能证明四边形BECF为正方形.如果BD=DF,那么BC=EF,能证明四边形BECF为正方形.当AC=BF时，可得AC=BE=EC=AE,此时∠ABC=30°，则∠EBF=60°，不能证明四边形BECF为正方形.点拨:判定一个四边形是正方形一般有两种方法：一是先证明它是矩形，再证明一组邻边相等或证明对角线互相垂直；二是先证明它是菱形，再证明有一个角是直角或证明对角线相等.10.B 解析：如图，正方形ABCD中，，则，即，所以，所以正方形的面积为2 ，故选B.11. 3解析:本题综合考查了菱形的性质、勾股定理和三角形中位线的性质.连接BD，AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.∵∠BAD=120°，∴∠BAC=60°，∴∠ABO=90°-60°=30°.∵∠AOB=90°，∴AO=12AB=12×2=1（cm）.由勾股定理得BO=3cm，∴DO=3cm.∵点A沿EF折叠后与O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.∵AC⊥BD，∴EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=12BD=12×（3+3）=3(cm).12.OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC等（答案不唯一）解析:本题主要考查了菱形的判定方法，属于条件开放型题目.对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.13.6 解析：∵菱形的两条对角线互相垂直平分，∴根据勾股定理，可求得另一条对角线长的一半为3，则另一条对角线长为6．14.28 解析：由勾股定理得，又，，所以所以五个小矩形的周长之和为15. 20 解析:本题考查了矩形的性质、三角形中位线的性质和勾股定理.在Rt△ABC中，因为AB=5，BC=AD=12，由勾股定理可得AC=13.因为O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，所以OM==2.5，=6.5，，所以四边形ABOM的周长=AB+BO+OM+MA=5+6.5+2.5+6=20.16.4 解析：因为cm，所以cm.又因为，所以cm.，所以（cm）.6解析:在Rt△ADE中，M为DE中点，故S△AEM=S△ADM,所以S△AEM=12S△AED，同理S△BNC=12S△BFC，S□DMNF=12S□BEDF，所以S阴影=12S矩形ABCD=12AB·BC=12×2×36.18.分析:本题考查了全等三角形和正方形的判定.（1）根据SAS定理可证明△ABD≌△CBD，从而得∠ADB=∠CDB.（2）先根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形MPND是矩形，再根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得PM =PN ，从而证得矩形MPND 是正方形.证明:(1)∵ BD 平分∠ABC , ∴ ∠ABD =∠CBD . 又∵ BA =BC ,BD =BD , ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ ∠ADB =∠CDB . (2)∵ PM ⊥AD ,PN ⊥CD , ∴ ∠PMD =∠PND =90°.又∵ ∠ADC =90°,∴ 四边形MPND 是矩形. 由（1）知∠ADB =∠CDB ,又PM ⊥AD ,PN ⊥CD , ∴ PM =PN .∴ 四边形MPND 是正方形.点拨:（1）证明三角形全等是证明角相等或线段相等的常用方法；（2）因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以遇到角平分线和两条垂线段时通常考虑这两条垂线段 相等.19.分析：观察图形可知应该是连接AF ，可通过证△ABF 和△ADE 全等来实现．解：（1）如图，连接AF. （2）.（3）∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ ， ∴ ∠∠， ∴ ∠∠.在△ABF 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE BF ADE ABF AD AB ∴ △ABF ≌△ADE ，∴．20.解：和BE 相等的线段是AF.理由如下： 因为四边形ABCD 是正方形， 所以，∠∠°.因为CE ⊥BF ，所以∠∠°.又因为∠∠°，所以∠∠.在△AFB 和△BEC 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=,,,ECB ABF A ABC BC AB 所以△≌△，所以.21.（1）证明：在矩形ABCD 中，，且，∴.（2）解：△ABF ≌△DEA ．证明如下：在矩形ABCD 中，∵ BC ∥AD ， ∴ ∠∠.∵ DE ⊥AG ，∴ ∠°. ∵ ∠°，∴ ∠∠.又∵，∴ △ABF ≌△DEA ．22.分析：（1）根据平行四边形的性质可得对应角相等，对应边相等，从而不难求得其周长；（2）根据中位线的性质及菱形的判定说明． 解：（1）∵ AB ∥MP ，QM ∥AC ， ∴ 四边形APMQ 是平行四边形，∠∠，∠∠．∵ ，∴ ∠∠， ∴ ∠∠，∠∠．∴，．∴ 四边形AQMP 的周长．（2）当点M 是BC 的中点时，四边形APMQ 是菱形，理由如下： ∵ 点M 是BC 的中点，AB ∥MP ，QM ∥AC ， ∴ QM ，PM 是三角形ABC 的中位线． ∵，∴．又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．23.分析:本题考查了矩形的性质以及菱形和正方形的判定.（1）用SAS证明△ABM和△DCM全等.（2）先证四边形MENF是平行四边形，再证它的一组邻边ME和MF相等.（3）由（2）得四边形MENF是菱形，当它是正方形时，只需使∠BMC是直角，则有∠AMB+ ∠CMD=90°.又∵∠AMB=∠CMD,∴△AMB和△CMD都是等腰直角三角形.（1）证明:∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D＝90°，AB＝DC.又∵MA=MD，∴△ABM≌△DCM（SAS）.（2）解:四边形MENF是菱形.理由：∵CF=FM,CN=NB，∴FN∥MB.同理可得：EN∥MC，∴四边形MENF是平行四边形.∵△ABM≌△DCM，∴MB＝MC.又∵ME=12MB,MF=12MC,∴ME＝MF.∴平行四边形MENF是菱形. （3）解:2∶1.。

【素材】《平行四边形》拔高训练(人教版)

【素材】《平行四边形》拔高训练(人教版)

四边形拔高训练题一．解答题（共39小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）2．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABE=∠CBE；（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？3．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．5．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF 还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？9．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．10．如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P 作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．11．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．（1）求证：EF=AB；（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．12．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF ⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE．当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明．13．如图，在正方形ABCD中，点P为AD边上一点，PC的垂直平分线交PC于E交CB的延长线于F，连接PF交AB于G，连接CG．（1）如图1，求证：GC平分∠PGB；（2）如图2连接AN，试判断线段PC与AN的数量关系，并给予证明．14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一动点（包括点A、点C），点E在直线BC 上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）连接DE，求证：△DPE为等腰直角三角形；（3）若AB=，点P在AC上运动过程中，求出△DPE面积的最大值和最小值．15．如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；（2）求证：AE+BF=AF．16．如图所示，已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动（与B、D不重合），过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE于点E，交CD（或CD的延长线）于点F．（1）如图（1），求证：△AGE≌△EHF；（2）点E在运动的过程中（图（1）、图（2）），四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由．17．如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE 上取一点F，使BF=BC，过点B作BK⊥BE于B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK 于点G．（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE．18．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF 交于点H，连接DH交AC于点O．（1）求证：△ABF≌△CAE；（2）HD平分∠AHC吗？为什么？19．（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于点F，EG ⊥AC于点G，CH⊥BD于点H，试证明CH=EF+EG；（2）若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC的延长线于点G，CH⊥BD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，L在BD上，且BL=BC，连接CL，点E是CL上任一点，EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；（4）观察图1、图2、图3的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论．20．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．21．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接BF、DE．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当AE的长为多少时，四边形DEBF是菱形？（3）在（2）的基础上，若点P是对角线AC上的一个动点，请在图中用直尺在边AC上作出点P，使得PB+PE的值最小，并求出这个最小值．22．如图，正方形ABCD，BE⊥ED，连接BD，CE．（1）求证：∠EBD=∠ECD；（2）设EB，EC交AD于F，G两点，若AF=2FG，探究线段CG与DG之间的数量关系并证明．23．在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线于点N．（1）写出点C的坐标；（2）求证：MD=MN；（3）连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．24．如图，正方形AOCD中，点B是OC上任意一点，以AB为边作正方形ABEF．①连接DF，求证：∠ADF=90°；②连接CE，猜想∠ECM的度数，并证明你的结论；③设点B在线段OC上运动，OB=x，正方形AOCD的面积为16，正方形ABEF的面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．25．如图，已知▱ABCD，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC于F，交AE于G，且DF=AD．（1）试说明DE=BC；（2）试问AB与DG+FC之间有何数量关系？写出你的结论，并说明理由．26．在正方形ABCD中，点E为BC边上的一点，连接DE，点G为DE中点，连接GA、GB、GC，GB与AC交于点H，过点B作BM垂直DE延长线于点M．（1）求证：GA=GB；（2）若AH=CH，求证：AG=BM．27．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC⊥CF；（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，请探究线段CF，BC，CD之间的关系；（3）如图3，在（1）的条件下，若BC=2，CF交DE于点P，连接AP，求△ACP的面积的最大值．28．如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=，求BE的长；（2）若∠ADE=2∠BFE，求证：FH=HE+HD．29．正方形ABCD中，E、F分别为边BC、DC上的点，若∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；（2）若正方形的边长为，求△AEF的面积；（3）若连接BD，交AE于M、交AF于N，请探究线段BM、MN、DN之间的数量关系，并给出证明．30．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45度．则有结论EF=BE+FD 成立；（1）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由．（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明．31．已知：如图1．四边形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．绕顶点A逆时针旋转∠MAN，边AM与射线BC相交于点E（点E与点B不重合），边AN与射线CD相交于点F．（1）当点E在线段BC上时，求证：BE=CF；（2）设BE=x，△ADF的面积为y．当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）连接BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的长．32．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD 于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．33．如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE．（不需要证明）．（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．34．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．35．在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．36．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．37．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于O．（1）（图1）若E为AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG、BD交于F，求证：OE=OF；（2）（图2）若E为AC延长线上一点，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，OE=OF还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．38．已知点E是边长为2的正方形ABCD的AB边的延长线上一点，P为边AB上的一个动点（不与A、B重合），直线PF⊥PD，∠EBC的平分线与PF交于点Q．（1）如图1，当P为AB的中点时，求PD的长，并比较PD与PQ长的大小；（2）如图2，在点P运动过程中，PD与PQ长的大小关系会发生变化吗？为什么？（3）设PB=x，△BPQ和△PAD的面积分别是S1、S2，又y=，试求y与x之间的函数关系式，并判断y随PB的变化而怎样变化？39．如图，在正方形ABCD中．（1）若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；（2）若P、Q、M、N是正方形ABCD各边上的点，PQ与MN相交，且PQ=MN，问PQ⊥MN成立吗？为什么？2018年01月10日626****8110的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共39小题）1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC （或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：AH=AB ；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB，（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．【解答】解：（1）如图①AH=AB．（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，∴∠EAM=∠NAM=45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM．∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH．（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2（6分）解得x1=6，x2=﹣1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．2．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN=90°，CM=MN，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ABE=∠CBE；（3）设AB=2，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？【分析】（1）依照题意补全图形即可；（2）连接CE，只要证明△ABE≌△CBE即可．（3）找出EN所扫过的图形为四边形DFCN．根据正方形以及等腰直角三角形的性质可得出BD∥CN，由此得出四边形DFCN为梯形，再由AB=2，可算出线段CF、DF、CN的长度，利用梯形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示．（2）证明：连接CE，如图2所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，AB=BC，∴∠ACB=∠ACD=∠BCD=45°，∵∠CMN=90°，CM=MN，∴∠MCN=45°，∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．∵在Rt△ACN中，点E是AN中点，∴AE=CE=AN．∵AE=CE，AB=CB，BE=BE，∴△ABE≌△CBE，∴∠ABE=∠CBE．∴点B，E在AC的垂直平分线上，（3）在点M沿着线段CD从点C运动到点D的过程中，线段EN所扫过的图形为四边形DFCN．∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，∴BD∥CN，∴四边形DFCN为梯形．∵AB=1，∴CF=DF=BD=，CN=CD=2，∴S梯形DFCN=（DF+CN）•CF=（+2）×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质以及梯形的面积公式，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题，属于中考压轴题．3．如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB．（1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF的最大值与最小值．【分析】（1）由在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，易得△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，继而证得△BDE≌△BCF（SAS），则可证得结论；（2）由△BDE≌△BCF，易证得△BEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，BE的最大，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小．【解答】解：（1）BE=BF，证明如下：∵四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4，∴△ABD、△CBD都是边长为4的正三角形，∵AE+CF=4，∴CF=4﹣AE=AD﹣AE=DE，又∵BD=BC=4，∠BDE=∠C=60°，在△BDE和△BCF中，，∴△BDE≌△BCF（SAS），∴BE=BF；（2）∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD=∠FBC，∴∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF，∴∠EBF=∠DBC=60°，又∵BE=BF，∴△BEF是正三角形，∴EF=BE=BF，当动点E运动到点D或点A时，BE的最大值为4，当BE⊥AD，即E为AD的中点时，BE的最小值为，∵EF=BE，∴EF的最大值为4，最小值为．【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△BDE≌△BCF是解此题的关键．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．【分析】（1）判断出△PBQ是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE，再求出AP=CQ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ，判断出△AQE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质解答；（3）把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，求出∠GAF=45°，从而得到∠GAF=∠QAF，再利用“边角边”证明△AQF和△AGF全等，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF，再根据两直线平行，同位角相等求出∠CQF=45°，然求出CQ=CF，分别用x表示出CQ、CF、QF，利用勾股定理列式表示出QF，然后列出方程求出x，再求出△AGF的面积，即为△AQF的面积．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∵BP=BQ，∴△PBQ是等腰直角三角形，AP=CQ，∴∠BPQ=45°，∵CE为正方形外角的平分线，∴∠APQ=∠QCE=135°，∵AQ⊥QE，∴∠CQE+∠AQB=90°，又∵∠PAQ+∠AQB=90°，∴∠PAQ=∠CQE，在△APQ和△QCE中，，∴△APQ≌△QCE（ASA）；（2）解：∵△APQ≌△QCE，∴AQ=EQ，∵AQ⊥QE，∴△AQE是等腰直角三角形，∴∠QAE=45°；（3）解：如图，把△ABQ绕点A逆时针旋转90°得到△ADG，则AQ=AG，BQ=DG，∠BAQ=∠DAG，∵∠QAE=45°，∴∠GAF=45°，∴∠GAF=∠QAF，在△AQF和△AGF中，，∴△AQF≌△AGF（SAS），∴QF=GF，∵QF∥CE，∴∠CQF=45°，∴△CQF是等腰直角三角形，∴CQ=CF，∵BQ=x，∴CQ=CF=2﹣x，∴DF=2﹣（2﹣x）=x，∴QF=GF=2x，在Rt△CQF中，CQ2+CF2=QF2，即（2﹣x）2+（2﹣x）2=（2x）2，解得x=2﹣2，∴△AGF的面积=×2（2﹣2）×2=4﹣4，即△AQF的面积为4﹣4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．5．已知四边形ABCD是矩形，连接AC，点E是边CB延长线上一点，CA=CE，连接AE，F是线段AE的中点，（1）如图1，当AD=DC时，连接CF交AB于M，求证：BM=BE；（2）如图2，连接BD交AC于O，连接DF分别交AB、AC于G、H，连接GC，若∠FDB=30°，S四边形GBOH=，求线段GC的长．【分析】（1）如图1，根据等腰三角形的三线合一得CF⊥AE，则∠AF C=90°，证明△AEB≌△CMB，可得BE=BM；（2）如图2，作辅助线构建三角形全等，先证明△AMF≌△EBF，得FM=BF，AM=BE，再证明△DMB是等腰三角形，由三线合一得：DF平分∠BDM，根据∠FDB=30°得△BDM是等边三角形；由此△ACE为等边三角形，△OHD为直角三角形，设未知数：OH=x，根据S四边形GBOH=S△DGB ﹣S△OHD，列方程得出结论．【解答】证明：（1）如图1，∵AC=EC，F是AE的中点，∴CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∵四边形ABCD是矩形，AD=DC，∴矩形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠AFC=∠ABC，∵∠AMF=∠BMC，∴∠EAB=∠MCB，∵∠ABE=∠ABC=90°，∴△AEB≌△CMB，∴BE=BM；（2）如图2，连接BF并延长交直线AD于M，∵F是AE的中点，∴AF=EF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，∴∠M=∠FBE，∵∠AFM=∠EFB，∴△AMF≌△EBF，∴FM=BF，AM=BE，∵AD=BC，∴AD+AM=BC+BE，即DM=CE，∵AC=CE，∴EC=DM=AC=BD，∴△DMB是等腰三角形，∵F是BM的中点，∴DF平分∠BDM，∵∠BDF=30°，∴∠BDM=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠M=60°，在Rt△BCD中，∠BDC=90°﹣60°=30°，∴∠DBC=60°，∵OB=OC，∴∠DBC=∠OCB=60°，∴△ACE为等边三角形，在△OHD中，∠HOD=∠BOC=60°，∴∠OHD=90°，设OH=x，则OD=2x，BD=4x，BC=2x，∴DH=x，AH=x，DC=AB=2x，Rt△ABC中，∠ACE=60°，∴∠BAC=30°，∴cos30°=，AG==，∴BG=AB﹣AG=2x﹣=，∴S四边形GBOH=S△DGB﹣S△OHD，=BG•AD﹣OH•DH，=••2x﹣•x•x=，解得：x2=9，x=±3，∴BC=2x=6，BG=×3=4，由勾股定理得：CG===2．【点评】本题考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定，又考查了等边三角形和30°的直角三角形的性质，设未知数，表示边的长度，根据直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半得出其它边长，与三角函数和勾股定理相结合，分别表示出△DGB和△OHD各边的长，为列方程作铺垫，从而使问题得以解决．6．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．【分析】（1）猜想：CE=DF，连接AC，易得△ABC、△ACD为正三角形，根据等边三角形的性质，利用ASA即可判定△AEC≌△AFD，因为全等三角形的对应边相等，所以CE=DF．（2）结论CE=DF仍然成立，同（1）类似可得△ACE≌△ADF（AAS），从而不难求得结论．【解答】解：（1）猜想：CE=DF．（1分）如图①，连接AC，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD为正三角形．∵AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°，∠CAE=∠DAF=60°﹣∠CAF，∴△AEC≌△AFD（ASA）．（4分）∴CE=DF．（1分）（2）结论CE=DF仍然成立．（1分）如图②，连接AC∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC、△ACD为正三角形．∵AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°，∴∠ACE=∠ADF=120°．∵∠CAE=∠DAF=60°﹣∠DAE，∴△ACE≌△ADF（AAS）．（2分）∴CE=DF．（1分）【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用．7．如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，以AE为边作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：∠FCN=45°；（3）请问在AB边上是否存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据同角的余角相等得∠DAG=∠BAE，再根据“SAS”证得△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，首先证△ABE、△EHF全等，然后得AB=EH，BE=FH；然后根据AB=BC=EH，即BE+EC=EC+CH，得到CH=BE=FH，即可得证．（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，首先证△DAQ、△ABE、△ADG三个三角形全等，易证得AG、QD平行且相等，又由于AG、EF平行且相等，所以QD、EF平行且相等，即可得证．【解答】证明：（1）连接DG∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴DA=BA，EA=GA，∴∠BAD=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠BAE，∴△ADG≌△ABE；（2）过F作BN的垂线，设垂足为H，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠HEF，∵AE=EF，∴△ABE≌△EHF，∴AB=EH，BE=FH，∴AB=BC=EH，∴BE+EC=EC+CH，∴CH=BE=FH，∴∠FCN=45°；（3）在AB上取AQ=BE，连接QD，∵AB=AD，∴△DAQ≌△ABE，∵△ABE≌△EHF，∴△DAQ≌△ABE≌△ADG，∴∠GAD=∠ADQ，∴AG、QD平行且相等，又∵AG、EF平行且相等，∴QD、EF平行且相等，∴四边形DQEF是平行四边形．∴在AB边上存在一点Q，使得四边形DQEF是平行四边形．【点评】考查全等三角形的判定及平行四边形的判定，难度较大．8．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．9．如图，在正方ABCD中，E是AB边上任一点，BG⊥CE，垂足为O，交AC于点F，交AD于点G．（1）证明：BE=AG；（2）E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB？说明理由．【分析】（1）要证明AG=BE，只要证明三角形ABG和EBC全等即可．两三角形中已知的条件有一组直角，AB=BC，只要再得出一组对应角相等即可．我们发现∠1和∠2都是∠3的余角因此∠1=∠2，这样就构成了两三角形全等的条件ASA，因此两三角形全等．（2）要求E位于什么位置时，∠AEF=∠CEB，我们先看若两角相等能得出什么．若∠AEF=∠CEB，由（1）中的全等三角形我们可得出∠AGF=∠CEB，因此∠AEF=∠AGF，三角形GFA 和AEF中，有一条公共边，∠DAC=∠CAB=45°，因此两三角形全等，那么AG=AE，由（1）知AG=BE，因此AE=BE，那么只有AE=BE时，∠AEF=∠CEB．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠1+∠3=90°．∵BG⊥CE，∴∠BOC=90°．∴∠2+∠3=90°．∴∠1=∠2．在△GAB和△EBC中，∵∠GAB=∠EBC=90°，AB=BC，∠1=∠2，∴△GAB≌△EBC（ASA）．∴AG=BE．（2）解：当点E位于线段AB中点时，∠AEF=∠CEB．理由如下：当点E位于线段AB中点时，AE=BE；由（1）知，AG=BE，∴AG=AE；∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAF=∠EAF=45°；又∵AF=AF，∴△GAF≌△EAF（SAS）；∴∠AGF=∠AEF；由（1）知，△GAB≌△EBC；∴∠AGF=∠CEB；∴∠AEF=∠CEB．【点评】本题考查了全等三角形的判定，正方形的性质等知识点，利用全等三角形来得出线段相等是这类题的常用方法．10．如图1，图2，正方形ABCD的边长为1，P是对角线BD上一动点，连接AP、CP，过P 作PN⊥AP交射线CD与点N．（1）求证：AP=CP．（2）①若点N在边CD上，如图1，判断△APN的形状，并说明理由；②若点N在边CD的延长线上，如图2，①中的结论还成立吗？（不需要证明）．（3）若N为边CD的中点，求BP的长．【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，然后利用“边角边”证明△ADP和△CDP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①根据四边形的内角和定理求出∠DAP+∠DNP=180°，再根据邻补角的定义可得∠DNP+∠PNC=180°，从而得到∠DAP=∠PNC，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAP=∠DCP，然后求出∠DCP=∠PNC，再根据等角对等边可得PN=CP，然后根据等腰直角三角形的定义解答；②同理求出AP=CP，∠DAP=∠DCP，再根据三角形的内角和定理求出∠DAP=∠N，然后求出∠N=∠DCP，根据等角对等边可得PN=CP，从而得解；（3）过点P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，根据矩形的对边相等可得BE=CF，再根据线段中点的定义和等腰三角形三线合一的性质求出CF，然后根据△BEP是等腰直角三角形解答．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADP和△CDP中，，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP=CP；（2）①△APN是等腰直角三角形．理由如下：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∵PN⊥AP，∴∠APN=90°，∴∠DAP+∠DNP=180°，∵∠PNC+∠DNP=180°，∴∠PNC=∠DAP，∵△ADP≌△CDP，∴∠DCP=∠DAP，∴∠PNC=∠DCP，∴PN=PC，又∵AP=PC，∵AP=PN，∴△APN是等腰直角三角形；②①中得结论仍然成立．理由如下：同理可得AP=CP，∠DAP=∠DCP，∵AP⊥PN，AD⊥DN，∴∠DAP=∠N，∴∠N=∠DCP，∴PN=PC，又∵AP=PC，∵AP=PN，∴△APN是等腰直角三角形；（3）过P作EF∥BC分别交AB、CD于E、F，可得四边形EBCF是矩形，EF⊥AB，EF⊥CD，∴BE=CF，∵PN=PC，PF⊥CD，∴CF=NF=CN，∵N是CD的中点，∴CN=CD=，∴BE=CF=CN=×=，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴PE=BE=，∴BP===．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）根据四边形的内角和定理和邻补角的定义求出相等的角．11．如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．（1）求证：EF=AB；（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，根据同角的余角相等求出∠BPC=∠MEP，然后利用“角角边”证明△BPC和△MEP全等，根据全等三角形对应边相等可得BP=ME，BC=MP，然后求出AM=BP，从而得到AM=ME，判断出∠MAE=45°，从而得到∠MAE=∠ABD，然后根据同位角相等，两直线平行求出AE∥BD，再根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；（2）①分点P在线段AB上时，利用“角角边”证明△EGF和△CGD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=DG，再根据等腰直角三角形的性质解答即可；②点P在射线BA上时，同理可求．【解答】（1）证明：过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，∵PE⊥CP，∴∠EPM+∠BPC=∠EPM，∵EM⊥AB，∴∠EPM+∠MEP=90°，∴∠BPC=∠MEP，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，AB∥CD，∴∠ABC=∠M=90°，在△BPC和△MEP中，，∴△BPC≌△MEP（AAS），∴BP=ME，BC=MP，∴AB=MP，∴AM=BP，。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题19平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、 菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形， 矩形的特殊性由一个直角所体现， 菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来， 判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四 边形的背景下思考问题， 运用平行四边形、矩形、 菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定 定理与性质定理的综合运用 .熟悉以下基本图形：例题与求解【例I 】如图，矩形 ABCD 的对角线相交于 O , AE 平分/ BAD ，交BC 于E ,/ CAE = 15 ° 那么/ BOE = _________ .（祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手 【例2】下面有四个命题：① 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；② 一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③ 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平 行四边形；④ 一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是 平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ）A.1B. 2C. 3D.4（全国初中数学联赛试题）S 4S 2S iS 3O解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定 平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD = 2, E , F 分别是边AD , CD 上的两个动 点且满足AE+CF = 2.（1） 判断ABEF 的形状，并说明理由； （2） 设ABEF 的面积为S,求S 的取值范围（烟台中考试题）解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（【例4】如图，设P 为等腰直角三角形 ACB 斜边AB 上任意一点，PE 丄AC 于点E , PF 丄BC 于点F , PG 丄EF 于点G ,延长GP 并在春延长线上取一点 D ，使得PD = PC. 求证：BC 丄 BD , BC = BD.（全国初中数学联赛试题）解题思路：只需证明A CPBDPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质【例5】在口ABCD 中，/ BAD 的平分线交直线 BC 于点E ,交直线DC 的延长线于点 F.2）,只需求出BE 的取值范围DB（北京市中考试题）解题思路：对于（1）,由角平分线加平行线的条件可推出图中有 3个等腰三角形； 对于（2）,用测量的方法可得/ BDG=45°进而想到等腰直角三角形，连 CG , BD ，只需证明ABGC ◎△ DGF ，这对解决（3）,有不同的解题思路• 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，/ C = 90°点M 在BC 上，且BM = AC ,点N 在AC 上，且AN = MC , AM 与BN 相交于点 P. 求证：/ BPM = 45°.解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式， 由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移 AN 或AC ,即作ME 丄AN ,ME = AN ，构造平行四边形•能力训练A 级1.如图，口 ABCD 中, BE 丄 CD , BF 丄 AD ，垂足分别为 E 、F ，若 CE = 2, DF = 1，/ EBF = 60 °,贝U □ ABCD 的面积为 _____ .（1） （2） （3） 的度数•在图 若/ 若/ 1中证明CE = CF ;ABC = 90° G 是 EF ABC = 120° FG // CE , FG = CE ,分别连结 DB , DG （如图 3）,求/ BDG的中点 （如图2）,直接写出/BDG 的度数;FCFNC（浙江省竞赛试题）（浙江省中考试题）在 Rt △ABC 中，/ B = 90 ° / BAC = 78 ° 过 C 作 CF // AB ,连结 AF 与 BC（希望杯”竞赛试题）4. 如图，在菱形 ABCD 中，/ B =Z EAF = 60° / BAE = 20。

，则/ CEF 的大小是（希望杯”邀请赛试题）5. 四边形的四条边长分别是 a , b , c , d ，其中a , c 为对边，且满足a 2b 2c 2 d^2ab 2cd ，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B.平行四边形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形6•现有以下四个命题：2.如图, M ，若 ACDM □ ABCD 的对角线相交于点 0,且AD ^€D ，过点0作0M 丄AC ,交AD 于点 周长为a ，那么口 ABCD 的周长为_______________ .3.如图，相交于G ,若GF = 2AC ,则/ BAG 的大小是第1题第2题DC第4题①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A.①②B.③④C.③D.①②③④7.如图，在矩形ABCD中，AB = 1, AD = 3 , AF平分/ DAB，过点C作CE丄BD于E,延长AF , EC交于点H，下列结论中：① AF = FH •，②BO = BF :③CA= CH ; @ BE =3ED.正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④（齐齐哈尔中考试题）8.如图，矩形ABCD的长为a,宽为b,如果$ J© • S4），则S4 =（）3321A. -abB. abC. abD. ab8432（缙云杯”竞赛试题）9.已知四边形ABCD，现有条件：① AB// DC;②AB= DC;③AD // BC; @ AD = BC;⑤/ A=Z C;⑥/ B=Z D.从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请具体写出这些组合.（江苏省竞赛试题）10.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD = BF ,以AD 为边作等边A ADE.（1） 求证：△ACDCBF ;（2） 当D 在线段BC 上何处时，四边形 CDEF 为平行四边形，且/ DEF = 30°证明你 的结论.（江苏省南通市中考试题）11.如图，在 Rt △ABC 中，AB = AC , / A = 90 ° 点 D 为 BC 上任一点，DF 丄AC 于 F , DE 丄AC 于E , M 为BC 中点，试判断 AMEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.（山东省竞赛试题）B 级1.如图，已知 ABCD 是平行四边形， E 在AC 上，AE = 2EC , F 在AB 上，BF = 2AF , 如果A BEF 的面积为2 cm 2，则口 ABCD 的面积是 _____________ .（希望杯”竞赛试题）（河南省中考试题）12. 如图，△ABC 中，AB = 3, AC = 4, BC = 5, △ABD , A ACE , 形，求四边形 AEFD 的面积. A BCF 都是等边三角D MCE第1题2.如图，已知P 为矩形 ABCD 内一点，FA = 3, PD = 4, PC = 5,贝U PB =4.如图，在矩形ABCDCD ■交AB 于点F ，则重叠部分 △AFC 的面积为（山东省竞赛试题）5.如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD = 12, AB = 5, P 是AD 边上任意一点， PE 丄BD 于E , PF 丄AC 于F ，那么PE+PF 的值为 ________________ .（全国初中数学联赛试题）6. _____________________ 如图，菱形 ABCD 的边长为4 cm ,且/ ABC = 60° E 是BC 的中点，P 点在BD 上, 则PE+PC 的最小值为 .3.如图，在矩形ABCD 则折痕EF 长为 _________ .（山东省竞赛试题）中，AB = 6cm , BC = 8cm ,现将矩形折叠，使B 点与D 点重合,中，AB = 8, BC = 4,将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D 处,（武汉市竞赛试题第4题DC7.如图，△ABC的周长为24, M 是AB 的中点，MC = MA = 5,则A ABC 的面积是（）A. 30B. 24C.16D.128.如图，口 ABCD 中，/ ABC = 75° AF 丄BC 于 F , AF 交 BD 于 E ,若 DE = 2AB ，贝U / AED 的大小是（ ）A. 60 °B. 65 °C.70 °D.75 °9.如图，已知/ A =Z B , AA|, PR , BB| 均垂直于 A 1B 1 , AA| = 17, PR = 16, BB|=20 , A 1B 1 = 12,则 AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13D.12（希望杯”邀请赛试题）（全国初中数学联赛试题）A 1 P 1B 1(全国初中数学联赛试题)10.如图1, △ABC 是直角三角形，/ C = 90 °现将△ABC 补成矩形，使 A ABC 的两个 顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形 ACBD 和矩形AEFB (如图2).解答问题:(1)设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为S 1 , S 2，则S 1 二”或 N”).(2) 如图3, A ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的 矩形可以画出 ________ 个，利用图3画出来.(3) 如图4, A ABC 是锐角三角形且三边满足 BC > AC > AB ，按短文中的要求把它补 成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 ___________ 个，利用图4画出来.(4) 在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？(陕西中考试题)11 四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA ，/ BAD = 120 ° M 为 BC 上一点，N 为 CD上一点•求证：若A AMN 有一个内角等于 60°则A AMN 为等边三角形.12.女口图，六边形 ABCDEF 中，AB // DE , BC // EF , CD // AF ，对边之差 BC — EF=图3图4ED —AB = AF —CD > 0.求证：该六边形的各角相等.（全俄数学奥林匹克试题）专题19平行四边形■矩形、菱形伊1 75，例2 A只有命題③正确.优 3 (l)ABEF为正三角形提示"由AABD和△BCD为止三角形•可证WABDEifiABCT.得,BE = BF./DBE=/CHF.••0曲一ZCRF + ZDBF二/DBE十/DBF^ 60••即ZEBF= 60\«(ABEF为等边三角形.⑵设BET心EF二z■則可得，S=普込当BE丄AD时*有址小值为尽••亠=齐"2号7!当BE与AB觅合时,!•有玫人值为2,••• Si =浮X 2s -73. ••.号外WSC71例4 提示】R -EF-PD・ZCPB=45・+ZPFC=4M + ZEPG 一/GPA =Z〃PD■町证明ACPB 也△DPB.例 5 (1)^ (2>45* (3)60* 如图•延长八“至H•使AH-AD. 连DH・WZWHD是等边三角形.VAH-4D DF.：.BH GF.又Z〃HD=ZGFD= 60\DH-DF・•••△DBHWZSF.ODH ZGDF.•••Z7＜DG = ZADC・ ZADB 一/CDF 一ZADC （ZADB+ZBDH） = 120" G0€=60e.例6如图•过M作ME盘AN.连/NE.BE,刚W边形AMEN为平N行也边形•得NE - AM. ME 丄BC 卩令*」°V ME=CM, Z EMB - ZM^l 、、甘= 90\BM-.4G•••△BEM0ZvU4「・得BE = AM=NE・Z】 = Z2, Z3=Z4・V/HZ3=90 Z4-90e H.BE MJ.AABEN为等金育角三角形＞ZBNE=43\ •••AM〃NE. •••/BPM_ZBNE=45：A 级I.1273 2. 2a3.26°捉示，作比边上中线•连結EC•则EF EC -AC.4. 20-提冇连絡AC•则△APT仝ZiAEB心EF为聲边三轴形.5. C6. B7. D8. A 祖示：E、F分别为AB、必中点.9・从6个条件中任取2个•只有15科组合•其中能祚岀四边形/1BCDfe平行四边於的冇以下9种节形，①与彳$ ②勺④）⑤与⑥$①与②:③与④）①与®①与⑥，③与◎©与⑥.10.我示，＜2）当D为BC中点时•満足赵盘.II.捷示‘连AM. 明小诈仝△31IE•可EEA1X1EF为等蠻玄角二角形.12. 6 ttnc：由△ABC^?ADBF・ZV\RCWAEF「f5/「■DF・AE•八B EF—AD.故四边老AEFD为平行四边形・又Z/14C-90\RiJZDAE=360R-90*-60,- 60—1M.则ZADF・ZAEF=：Q•则 F 刘AD 的忧育为 2 •故S w/ =3X2=6.1. 9 cm22. 3^2提示：可以证明FA:+疋PB—皿・3.罗cm4. 10 提科可先if“lF=CF・设AF= CF=x.^\BF 8 一4；.F・《8 -乂尸+”.Ax=5. .-.S^=yAF- BC：=V X5X4-10.5•暫穩艮过A作AG丄IiDTG可EPE-PF=AG・由AG • 80=AB• AD 可咼:6.2V3cn）提示:・4.C关干BD对称■连AE交ED于P・:・PE+PC=AE.XVAE 丄BC 且ZBAE=30\A.4E=2V3 为廉小.7. B8. B 提灵耿DE 中点为AG.PM AG^DG-EG.9. C10.«1）=）图略（2）1.图略（3）3|图咯《4）以AB为边的矩形您长最小・用曲积注让明・11.证处连AC.如图•則易址( 与/VUJC部为轸边三角形.(1)若/MAN = 60••则22 ^ACN.•••△AMW为等边三角彤.(2)ZAM.\=60\J d MH：CA 阳平行戏交AE 于P・ VZKPM-ZRAC QZB-60SAABPA「为弄边二短形• BF = BM. HA = f«； A AP \ -MC.XZAP.M= 12O・=ZM「N •ZPAM=/AMC ZB = ZAMC-60・=乙・*一iZAMN=X Z CM\\•••△PA也△€•"、：•••・AM=MN・ RZAMN-60\ 故厶心1\为笹边三角形.12.授示；如图.分别过点八件AM// 4 _______ 7EF•过点C 作CP//AB.H点 E 作./\ r V EN〃AF・它幻分别交于NMP \ /i / 点.得UABCM OCDEP. 丫-------------------------------------- /rEE4\Jil1 "=A>・AB YM・CD- PE t BC AM. CP = DE. AF = \E・由条件得△NMP为竽边：用形.可推得只边形各角均为1201。

相关文档
最新文档