高等代数欧几里得空间
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(欧几里得空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品】
第9章欧几里得空间9.1复习笔记一、定义与基本性质1．欧几里得空间定义设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（α，β），它具有以下性质：（1）（α，β）＝（β，α）；（2）（kα，β）＝k（α，β）；（3）（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）；（4）（α，α）≥0，当且仅当α＝0时（α，α）＝0.这里α，β，r是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间．2．长度（1）定义非负实数称为向量α的长度，记为|α|．（2）关于长度的性质①零向量的长度是零，②|kα|＝|k||α|，③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0，向量1αα就是一个单位向量，通常称此为把α单位化．3．向量的夹角（1）柯西-布涅柯夫斯基不等式，即对于任意的向量α，β有|（α，β）|≤|α||β|当且仅当α，β线性相关时，等号才成立．（2）非零向量α，β的夹角＜α，β＞规定为（3）如果向量α，β的内积为零，即（α，β）＝0，那么α，β称为正交或互相垂直，记为α⊥β．零向量才与自己正交．（4）勾股定理，即当α，β正交时，|α＋β|2＝|α|2＋|β|2．4．有限维空间的讨论（1）度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间，在V中取一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意两个向量α＝x1ε1＋x2ε2＋…＋x nεn，β＝y1ε1＋y2ε2＋…＋y nεn，由内积的性质得a ij＝（εi，εj）（i，j＝1，2，…，n），显然a ij＝a ji，于是利用矩阵，（α，β）还可以写成（α，β）＝X'AY，其中分别是α，β的坐标，而矩阵A＝（a ij）nn称为基ε1，ε2，…，εn的度量矩阵．（2）性质①设η1，η2，…，ηn是空间V的另外一组基，而由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为C，即（η1，η2，…，ηn）＝（ε1，ε2，…，εn）C，于是基η1，η2，…，ηn的度量矩阵B＝（b ij）＝（ηi，ηj）＝C'AC；表明不同基的度量矩阵是合同的．②对于非零向量α，即有（α，α）＝X'AX＞0．因此，度量矩阵是正定的．二、标准正交基1．正交向量组欧式空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组．按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组．2．标准正交基（1）定义在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基．说明：①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基．②一组基为标准正交基的充分必要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵．（2）标准正交基的求法①定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基．②定理2对于n维欧氏空间中任意一组基ε1，ε2，…，εn，都可以找到一组标准正交基η1，η2，…，ηn，使L（ε1，ε2，…，εi）＝L（η1，η2，…，ηi），i＝1，2，…，n．定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称做施密特正交化过程．例：把α1＝（1，1，0，0），α3＝（－1，0，0，1），α2＝（1，0，1，0），α4＝（1，－1，－1，1）变成单位正交的向量组．解：①先把它们正交化，得β1＝α1＝（1，1，0，0），②再单位化，得3．基变换公式设ε1，ε2，…，εn与η1，η2，…，ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A＝（a ij），即因为η1，η2，…，ηn是标准正交基，所以矩阵A的各列就是η1，η2，…，ηn在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的坐标．4．正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果A'A＝E．由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基．三、同构1．同构定义实数域R上欧式空间V与V'称为同构的，如果由V到V'有一个双射σ，满足（1）σ（α＋β）＝σ（α）＋σ（β），（2）σ（kα）＝kσ（α），（3）（σ（α），σ（β））＝（α，β），这里α，β∈V，k∈R，这样的映射σ称为V到V'的同构映射．同构的欧氏空间必有相同的维数．每个n维的欧氏空间都与R n同构．2．同构的性质同构作为欧氏空间之间的关系具有（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性；（4）两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同．.四、正交变换1．定义欧氏空间V的线性变换A称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V，都有（Aα，Aβ）＝（α，β）．2．性质。
(2021年整理)高等代数教案北大版第九章
绩进步，以下为高等代数教案北大版第九章的全部内容。
教学时数2授课类型讲授教学目标使学生理解、基本掌握欧几里得空间的定义及其度量性概念，基本掌握n维欧几里得空间的内积表示教学重点Euclid空间的内积及其度量性结论教学难点n维Euclid空间的内积规律教学方法与手段讲授法启发式一、定义与例子大家知道，几何空间V3中两个非零向量α，β的内积是实数α•β=|α||β|cos，这里｜α|,｜β|分别表示向量α,β的长,表示α与β的夹角；当α和β中有一个是零向量时，就定义α·β=0．于是，向量的内积具有下列性质：α•β=α•β；(α+β)•γ=α•γ+β•γ；(kα）•β=k(α•β）；当α≠0时，α•α＞0,这里α，β,γV3，k∈R．再作分析，可知这些性质足以刻画内积的概念．因此，将其一般化，引入定义1设V是实数域R上的一个向量空间．若对于α，β∈V,有一个确定的记作<α,β〉的实数与它们对应,叫做向量α与β的内积；并且对于α，β，γ∈V，k∈R，满足下列条件：1）〈α，β>=〈β,α>;2）〈α+β,γ>=〈α，γ>+ <β,γ〉；3）<kα，β>=k 〈α,β〉；4）当α≠时，〈α，α〉＞0,则称V关于这个内积是一个Euclid空间．例1在R n里，对于任意两个向量α=(x1，x2，…,x n），β=（y1，y2，…，y n)，规定〈α，β〉=x1y1+x2y2+…+x n y n．（1）容易验证，定义1中的公理1)－4）都成立，因而R n关于这样定义的内积是一个Euclid空间．又若规定〈α,β〉=x1y1+2x2y2+…+nx n y n．不难验证,这时R n也作成一个Euclid空间．这个例子表明，对同一个向量空间可以引入不同的内积，使它们分别作成Euclid空间．因此，以后说到Euclid空间R n时，都是关于前面的内积(称为标准内积）所作成的Euclid空间．例2在实向量空间R nxm中规定〈A,B>=Tr AB．容易验证它满足定义1的四条公理,因此R nxm关于这个内积成为一个nm维Euclid空间．例3设C[a，b］是定义在［a，b]上一切连续实函数所成的向量空间．设f(x),g（x)∈C［a,b］，规定〈f , g〉=⎰badxxgxf)()(．根据定积分的基本性质可知，内积的公理1)－4）都成立,因而C ［a，b］作成一个Euclid空间．例4令H是一切平方和收敛的实数列α=( x1，x2,…）,∑∞=12nnx＜∞所成的集合．在H中用自然的方式定义加法和纯量与向量的乘法：设α=（ x1，x2,…），β=( y1，y2，…），k∈R．规定α+β=（x1+y1，x2+y2，…); kα=(kx1,kx2，…）则H是实向量空间．又规定<α，β〉=∑∞=1nnny x，则H是一个Euclid 空间．首先需要验证以上定义的加法和纯量与向量的乘法以及内积的合理性．由基本不等式|x n y n |≤)(2122n n y x +推出,级数∑∞=1n n n y x 收敛．其次,等式∑∑===m n nmn n x kkx 12212)(，∑∑∑∑====++=+mn nm n n n mn nmn n n y y x x y x 12112122)( 表明，级数∑∞=+12)(n n n y x 和∑∞=12)(n n kx收敛．因此,对于β，α∈H , k ∈R ，α+β∈H ,k α∈H ．剩下待验证定义1的1)4）成立，请同学们思考完成．向量空间H 通常叫做Hilbert 空间．由定义1，我们来推导内积的一些简单性质． 设V 是一个Euclid 空间．由1）及3)得到<,α〉=<α， >=0，αV ．反过来，若对任意β∈V ，都有<α，β>=0，特别地有〈α,α>=0，则由4）得到α=．其次,由1）,2），3)，对于α，β,γ∈V ，k ∈R ，我们有<γ，α+β>=<γ,α〉+<γ，β〉；〈α, k β〉=k <α，β〉． 因此，对于α1，α2，…，αm ，β1，β2，…，βn ∈V ,k 1，k 2，…，k m ，l 1,l 2，…,l n ∈R ，有∑∑∑∑=====m i nj ji j i n j j j m i i i l k l k 1111βαβα，，．二、度量性概念注意到〈α, α〉总是非负实数，因而可以合理地引入向量长度的概念．定义2 设α是Euclid 空间V 的一个向量．非负实数〈α，α>的算术根αα,叫做α的长度,用符号|α|表示，即｜α｜=αα,． （2）这样，Euclid 空间的每一向量都有一个确定的长度．零向量的长度是零，任意非零向量的长度是一个正数．例5 设R n是例1中关于标准内积的Euclid 空间．R n的向量α=（ x 1，x 2，…，x n )的长度是｜α｜=αα，=22221nx x x +++ ． 由长度的定义,对于Euclid 空间中任意向量α和任意实数k ，有|k α|=αααα，，2k k k ==｜k ｜ ｜α|． （3)因此，一个实数k 与一个向量α的乘积的长度等于k 的绝对值与α的长度的乘积．我们把长度是1的向量叫做单位向量．由(2)，若α是一个非零向量，则α/｜α|是一个单位向量，叫做α的单位化向量．下面证明Euclid 空间的一个重要不等式．定理9。
欧几里得空间
第九章欧几里得空间§1 定义与基本性质教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵 .教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质 .教学难点：理解欧几里得空间的定义 .教学内容：一、向量的内积定义1设V是实数域R上一个向量空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积,记作( , ) ,它具有以下性质 :1) ( , ) ( , );2) (k , ) k( , ) ;3) ( , ) ( , ) ( , );4) ( , ) 0 ,当且仅当0时, ( , ) 0这里，，是V任意的向量,k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间.例1在线性空间R n中，对于向量(a1, a2 , ,a n) , (b1,b2, ,b n),定义内积( , ) a1b1 a2b2 a n b n. (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样R n就成为一个欧几里得空间•仍用来表示这个欧几里得空间 .在 n 3时， (1) 式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例 2 在 R n里 , 对于向量(a1, a2 , ,a n) , (b1,b2, ,b n),定义内积( , ) a1b1 2a2b2 na n b n .则内积(1)适合定义中的条件，这样R n就也成为一个欧几里得空间•仍用来表示这个欧几里得空间 .,对同一个线性空间可以引入不同的内积 ,使得它作成欧几里得空间•例 3 在闭区间[a,b] 上的所有实连续函数所成的空间C(a,b) 中 ,对于函数f(x),g(x) 定义内积b(f (x),g(x)) a f (x)g(x)dx • (2)对于内积(2)，C(a,b)构成一个欧几里得空间•同样地，线性空间R[x], R[x]n 对于内积 (2) 也构成欧几里得空间•例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列2(x1,x2 , ,x n ), x nn1所成的集合，则H是一个欧几里得空间，通常称为希尔伯特(Hilbert)空间•二、欧几里得空间的基本性质1 )定义中条件 1 )表明内积是对称的•2) ( ,k ) (k , ) k( , ) k(,).定义2非负实数,(,)称为向量的长度，记为显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质:这里k R, V .长度为1的向量叫做单位向量.如果，0由⑶式，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量，有(，)I II I当且仅当，线性相关时，等式才成立对于例1的空间R n，(5)式就是对于例2的空间C(a,b)，(5)式就是定义3非零向量，的夹角，规定为arccos(根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式定义4如果向量，的内积为零，即bn.f (x)g(x)dx 2(x)dx g2(x)dx那么，称为正交或互相垂直，记为两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为- 只有零向量才与自己正交.(,)XAY ,勾股定理：当，正交时,推广：如果向量两222 1 2m12m设V 是一个n 维欧几里得空间，在 2,n，对于V 中任意两个向量 X 1 1X 2 2X n n , y 1 1 y 2由内积的性质得X 1 1n n(i 1 j 1X 2 jEja ij(i ,j)X n n , y 11 y22(i, j 1,2, ,n)y n(8)显然a ij a ji.于是na j X i y jj 1(9)利用矩阵,)还可以写成(10)1，2 12 V 中取一组基m两两正交，那么其中x1 y1y2x2X 2 , Yx n y n分别是, 的坐标，而矩阵A (a ij ) nn称为基1, 2, , n 的度量矩阵 .上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按( 9)或( 10 )来计算，因而度量矩阵完全确定了内积 .设1, 2, , n是空间V的另外一组基，而由1, 2, , n到1, 2, , n的过渡矩阵为 C ，即( 1, 2, , n) ( 1, 2, , n)C于是不难算出，基1, 2, , n的度量矩阵B b ij i , jC AC . (11) 这就是说，不同基的度量矩阵是合同的 .根据条件 (4)，对于非零向量，即X有( , ) X AX 0因此，度量矩阵是正定的 .反之，给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基1, 2, , n可以规定V上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的1, 2, , n度量矩阵是A. 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 . 欧几里得空间以下简称为欧氏空间 .§2 正交基理解正交基、标准正交基、正交矩阵的概念，掌握施密特正交.化方教学目的：法，会求欧几里得空间的标准正交基教学重施密特正交化方法 .点：教学难求标准正交基 .点：教学内容：、标准正交基定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量 ,如果它们两两正交，就称为一个正交向量组 .按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交的非 零向量不能超过 n 个.定义 6 在 n 维欧氏空间中， 由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基； 由单 位向量组成的正交基称为 标准正交基组 .对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基 设 1, 2, , n 是一组标准正交基，由定义，有显然， (1)式完全刻画了标准正交基的性质 .换句话说，一组基为标准正交基 的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵 .因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第 五章关于正定二次型的结果， 正定矩阵合同于单位矩阵 .这说明在 n 维欧氏空间中 存在一组基， 它的度量矩阵是单位矩阵 .由此断言， 在 n 维欧氏空间中， 标准正交 基是存在的 .在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即( 1, ) 1 ( 2, ) 2( n , ) n .(2)在标准正交基下，内积有特别简单的表达式 .设这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广 应该指出，内积的表达式 (3)，对于任一组标准正交基都是一样的 .这说明了，所 有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位 .二、规范正交基的存在性及其正交化方法( i , j )1,当 i j; 0,当 i j.(1)x 1 1 y 11那么( , ) x 1y 1 x 2 y 2x 2 2 x n n .y 2 2 y n n .x n y n X Y. (3)定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基 . 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基 .再单位化，就得到一组标准正交基 .定理2对于n维欧氏空间中任意一组基1, 2, , n，都可以找到一组标准正交基1, 2, , n ，使L( 1 , 2, , i ) L( 1, 2, , i ) ,i1,2, ,n.应该指出，定理中的要求L( 1 , 2 , , i ) L( 1, 2, , i ) ,i1,2, ,n.就相当于由基1, 2, , n 到基1, 2, , n 的过渡矩阵是上三角形的定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和文献中称为施密特( Schimidt )正交化过程 .例 1 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0), 3 ( 1,0,0,1), 4 (1, 1, 1,1) 变成单位正交组 .三、正交矩阵上面讨论了标准正交基的求法 .由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式 .设1, 2, , n 与1, 2, , n 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是 A (a ij ) ，即A 1A定义7 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵，如果A A E由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵； 反过来， 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基最后指出，根据逆矩阵的性质，由AA E即得AA E写出来就是1, 当 i j ； ai1aj1 ai2aj2 ain ajn0,当 i j.(5)式是矩阵列与列之间的关系， (7)式是矩阵行与行之间的关系 .这两组关系是等因为 )(12是标准正交基，所以)1,当i j ； j )0,当 i j.矩阵 A 的各列就是 2n在标准正交基式可以表示为a 1i a 1ja 2i a 2ja ni a nj(5)式相当于一个矩阵的等式或者a 11 a 21a n1 a 12 a 22a n2 1,当i0,当 ij; j.a 1n a 2na nn(4)n下的坐标 .按公式 (3),(4)(5)(6)如果第一组基 (7)价的.例2考虑定义在闭区间［0,2 ］上一切连续函数所作成的欧氏空间 函数组1,cosx,sinx, , cosnx,sin nx,构成C ［0,2 ］的一个正交组.把上面的每一向量除以它的长度，就得到C ［0,2 ］的一个标准正交组例3欧氏空间R n的基(i )i(0,,0, 1 ,0, ,0),i 1,2, ,n是R n 的一个标准正交基.§3 同构教学目的：理解欧几里得空间同构的定义，注意它与一般线性空间同构的不同 . 教学重点：同构的定义 . 教学难点：同构的判定 . 教学内容：定义8实数域R 上欧氏空间V 与V 称为同构的,如果由V 到V 有一个双射 ，满足1) () () ( ), 2) (k ) k(),3)( ( ), ( )) ( , ) , 这里 ,V,k R ，这样的映射称为V 到V 的同构映射 由定义，如果 是欧氏空间V 到V 的一个同构映射，那么也是 V 到V 作为 线性C[0,2 ]. 1 1.2cos x, 1sinx,1 .—sin nx,广1空间的同构映射 .因此，同构的欧氏空间必有相同的维数 .设V是一个n维欧氏空间，在V中取一组标准正交基1, 2, , n，在这组基下， V 的每个向量都可表成x1 1 x2 2 x n n( ) (x1,x2, ,x n ) R n就是V到R n的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明，也适合条件 3)，因而是 V 到 R n的一个同构映射，由此可知，每个n 维的欧氏空间都与R n同构.同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性 .既然每个n维欧氏空间都与R n同构，按对称性与传递性得，任意两个n维欧氏空间都同构 .定理 3 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相等 . 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定 .§4 正交变换教学目的：掌握正交变换的定义与性质及其分类，了解正交变换与正交矩阵之间的关系.教学重点：正交变换的定义与性质 .教学难点：正交变换的应用 .教学内容：定义 9 欧氏空间 V 的线性变换 A 叫做一个正交变换 ,如果它保持向量的内积不变，即对任意的，都有, V ,都有 .(A ,A )= ( , ).正交变换可以从几个不同方面公平加以刻画 .定理 4 设 A 是维欧氏空间的一个线性变换，于是下面四个命题是相互等价的：1) A是正交变换；2) A保持向量的长度不变，即对于V ,|A |=| |；3 )如果!, 2, , n是标准正交基，那么A 1 , A 2,…,A n也是标准正交基;4) A在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵.因为正交矩阵是可逆的，所以正交变换是可逆的•由定义看出，正交变换实际上就是一个欧氏空间到自身的同构映射，因而正交变换的乘积与正变换的逆变换还是正交变换.在标准正交基下，正交变换与正交矩阵对应，因此，正交变换的乘积与正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵•如果A是正交矩阵，那么由AA E可知2A 1或者A 1.因此，正交变换的行列式等于+1或-1.行列式等于+1的正交矩阵通常称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于-1的正交变换称为第二类的•例如，在欧氏空间中任取一组标准正交基1, 2, , n，定义线性变换A为:A 1 1 , A i i ,I 2,3, ,n.那么，A就是一个第二类的正交变换.从几何上看，这是一个镜面反射.例1令H是空间V3里过原点的一个平面，V3,令对于H的镜面反射与它对应.: 是V3的一个正交变换.例 2 设L(R3),令()(X2,X3,X1), (X1,X2,X3)V3.则是 R3的一个正交变换.例3将V2的每一向量旋转一个角的正交变换关于V2的任意标准正交基的矩阵是cos sinsin cos又令是例 1 中的正交变换 .在平面 H 内取两个正交的单位向量1, 2,再取一个垂直于 H 的单位向量 3 ,那么 1 ,2, 3是V的一个规范止父基,关于这个基的矩阵是1 000 100 01以上两个矩阵都是正交矩阵§5 子空间教学目的：理解子空间正交的定义与性质，掌握正交补的定义与求法教学重点：子空间正交的定义与性质，正交补的定义 . 教学难点：正交补的性质与求法 .教学内容：定义 10 设V1,V2 是欧氏空间 V 中两个子空间 .如果对于任意的V1, V2 ，恒有( , ) 0则称V i,V2为正交的，记为V V2.一个向量，如果对于任意的V，恒有( , ) 0则称与子空间V1正交，记为V1.因为只有零向量与它自身正交，所以由V1 V2可知V1 V2 0；由V1, V1可知0.定理5如果子空间V i,V2, ,V s两两正交，那么和V V2 V s是直和•定义 11 子空间V2 称为子空间V1 的一个正交补，如果V1 V2 ，并且V1 V2 V .显然，如果V是V的正交补，那么V也是V的正交补.定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V i都有唯一的正交补.V1 的正交补记为V1 ，由定义可知维(V1)+ 维(V)= n推论V1 恰由所有与V1 正交的向量组成 .由分解式V V1 V1可知， V 中任一向量都可以唯一分解成12其中 1 V1, 2 V2 .称 1 为向量在子空间V1 上的内射影 .§6 实对称矩阵的标准形掌握实对称矩阵的特点与性质，会把一个对称矩阵对角化；掌握对称变教学目的：换的定义及性质，了解对称变换与对称矩阵之间的对应关系 .教学重点：对称变换，对称矩阵的性质，实对称矩阵对角化方法 . 教学难点：实对称矩阵对角化方法 . 教学内容：由第五章得到， 任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，换句话说，都有 一个可逆矩阵C 使CAC 成对角形•现在利用欧氏空间的理论，第五章中关于实对 称矩阵的结果可以加强 .这一节的主要结果是：对于任意一个n 级实对称矩阵A ，都存在一个n 级正交矩阵T ，使T AT T 1AT成对角形 .引理1设A 是实对称矩阵，则A 的特征值皆为实数.对应于实对称矩阵 A ，在n 维欧氏空间R n 上定义一个线性变换A 如下：x 1 x 1x 2 x 2(1)A 2 A 2 .x nx n显然 A 在标准正交基1 0 011,2,,n(2)0 1下的矩阵就是 A.引理2设A 是实对称矩阵，A 的定义如上，则对任意 , R n，有(A , )=( ,A),(3)或(A ) A定义 12 欧氏空间中满足等式 (3) 的线性变换称为对称变换 . 容易看出，对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵 .用对称变换来反映实对称矩阵，一些性质可以看得更清楚 .引理3设A 是对称变换，V 是A-子空间，则V i 也是A-子空间.引理4设A 是实对称矩阵，则R n中属于A 的不同特征值的特征向量必正交T AT T 1AT 对角形 .基.事实上，设T 是一个正交矩阵，而就是对角形 .定理 7 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使成面来看看在给定了一个实对称矩阵 A 之后，按什么办法求正交矩阵 T 使T AT 成对角形 .在定理的证明中看到，矩阵 A 按(1)式在R n 中定义了一个线性变 换.求正交矩阵 T 的问题就相当于在 R n 中求一组由A 的特征向量构成的标准正交t 11 t 211t 12 t 22t 1n t 2nt n1t n2t nn是 R n 的一组标准正交基，它们都是A 的特征向量 . 显然，由 1, 2 ,, n 到12n的过渡矩阵就是t 11 t 21t 12t 22t 1n t 2nt n1 t n2 t nn1 T 1ATTAT根据上面的讨论，正交矩阵T的求法可以按以下步骤进行：1. 求出A的特征值.设1, , r是A的全部不同的特征值•2. 对于每个i，解齐次方程组X iX2(i E A) 0X n求出一个基础解系，这就是 A的特征子空间V i的一组基.由这组基出发，按定理 2的方法求出V i的一组标准正交基ii , , ik i.3. 因为1, , r两两不同，所以根据这一节引理4 ,向量组rk r还是两两正交的•又根据定理7以及第七章§5的讨论，它们的个数就等于空间的维数.因此，它们就构成R n的一组标准正交基，并且也都是A的特征向量.这样，正交矩阵T也就求出了•例已知0 1111 0 1 1A1 1 0 11110求一正交矩阵T使TAT成对角形•应该指出，在定理7中，对于正交矩阵T我们还可以进一步要求事实上，如果求得的正交矩阵T的行列式为-1，那么取11S 1那么T i TS 是正交矩阵，而且T i | T|S 1 显然 T 1AT 1 TAT .如果线性替换X 1 C11 y 1C12y2C1n yn，X 2 C 21 y 1 022 y2C2n yn,X nCn1 y1C n2y 2Cnn yn的矩阵C C j 是正交的，那么它就称为正交的线性替换.正交的线性替换当然是 非退化的.用二次型的语言，定理7可以叙述为: 定理8任意一个实二次型n na x x aII i j iji 1 j 1都可以经过正交的线性替换变成平方和其中平方项的系数1, 2, , n 就是矩阵A 的特征多项式全部的根最后指出，这一节的结果可以应用到几何上化简直角坐标系下二次曲线的方 程，以及讨论二次曲线的分类在直角坐标系下，二次曲线的一般方程是a11 a12a13 x b 1 Aa12 a22 a23 , Xy ,B b 2a 13a23a33zb 3则(5)可以写成XAX 2BX d 0a ji2 2 1 y12 y22 n y n,2 2 2 aux a 22x a 33X2@2xy 2a 13xz 2a 23 yz 2dx2b 2y 2b 3z d经过转轴，坐标变换公式为X c11 C12 C13 X iy C21 C22C23 y i ,或者X CX iz C31 C32 C33 Z i其中C为正交变换且C 1，在新坐标系中，曲面的方程就是X i(CAC)X i 2(B C)X i d 0根据上面的结果，有行列式为1的正交矩阵C使1 0 0CAC 0 200 0 3这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中的方程为2 2 2 * * *i X i 2力3丫1 20 X i 2b2 y i 2b3Z i d 0其中(b；,b；,b3) (b i,b2,b3)C这时，再按照1, 2, 3是否为零的情况，作适当的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程.譬如说，当i, 2, 3全不为零时，就作移轴*biX1x271y i y2* b22Z i Z2 b! 3于是曲面的方程化为2 1 X222 y22 .*3Z2 d 0其中* 2 * 2 * 2* d b2 b3d d1 2 3§向量到子空间的最小距离•最小一乘法理解向量间的距离与向量到子空间的最小距离的概念，了解它在实际教学目的：中的应用一最小一乘法.教学重点：向量间的距离与向量到子空间的最小距离的概念教学难点：实际应用教学内容：在解析几何中，两个点和间的距离等于向量的长度.定义13长度称为向量和的距离，记为d (,)不难证明距离的三条性质：1) d( , ) d(,);2) d ( , ) 0，并且仅当时等号才成立；3) d( , ) d( , ) d(,)(三角不等式)在中学所学几何中知道一个点到一个平面（一条直线）上所有点的距离以垂线最短.下面可以证明一个固定向量和一个子空间中各向量间的距离也是以“垂线最短”.先设一个子空间W，它是由向量1, 2, , k所生成，即W L（1, 2, , k）.说一个向量垂直于子空间W，就是指向量垂直W于中任何一个向量.易证垂直于W 的充要条件是垂直于每个i （i 1,2, ,k）.现给定，设是W中的向量，满足垂直于W.要证明到W中各向量的距离以垂线最短，就是要证明，对于 W中任一向量，有我们可以画出下面的示意图：证明（）（）因W是子空间，W, W,则W.故垂直于.由勾股定理，2 2 2故这就证明了，向量到子空间各向量间的距离以垂线最短 .这个几何事实可以用来解决一些实际问题 .其中的一个应用就是解决最小二乘法问题.例已知某种材料在生产过程中的废品率 y与某种化学成分x有关.下列表中记载了某工厂生产中y与相应的x的几次数值：我们想找出y 对x 的一个近似公式. 最小二乘法问题：线性方程组an X i 812X 2 Q S Xsb i 0,a 21 X i 822X 2 a2s Xsb 2 0,8ni X i 8n2 X 2an s xsb n可能无解 .即任何一组数X i ,X 2, ,X S 都可能使n(aii X iai2X 2i iais Xsb i )2(i)不等于零 .我们设法找X i 0,X 0, ,X S 使（i ）最小, 这样的x ；,x 0, ,x ；称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.下面利用欧氏空间的概念来表达最小二乘法, 数条件.令,x S 使丫与B 的距离最短.但从（2），知道向量丫就是aiiai2aisa2ia22a ?s2s,Ba nian2anssa ij X jX ij isX 2 ，丫j ia2j XjX ssa nj X jj iY B 2AX用距离的概念，（1 ）就是b ib 2b n⑵AX.并给出最小二乘解所满足的代最小二乘法就是找X ：, x 2,述成：应用前面所讲的结论，设是所求的向量，则B Y B AX回忆矩阵乘法规则，上述一串等式可以写成矩阵相乘的式子，即AAX AB这就是最小二乘解所满足的代数方程，它是一个线性方程组，系数矩阵是 AA ， 常数项是 A B .这种线性方程组总是有解的 .回到前面的例子，易知a 11 Y x 1a21x 2a 12 a 22a 1s a 2s x sa n1 a n2 a ns把 A 的 各 列 向 量 分 别 记 成.由它们生成的子空间为L(1, 2, , s ) .Y 就是 L ( s )中的向量 .于是最小二乘法问题可叙找 X 使( 1 )最小，就是在 12s) 中找一向量 Y ，使得 B 到它的距离比到子空间 L (12s) 中其它向量的距离都短 .AXx 1 1 x 2 2x s s必须垂直于子空间 L (s) .为此只须而且必须(C, 1) (C, 2 )(C, s ) 01C 0, 2 C 0, s C 0.s按行正好排成矩阵 A ，上述一串等式合起来就是A(BAX) 03.6 1 1.003.7 1 0.903.8 1 0.90A 3.9 1 ,B 0.814.0 1 0.604.1 1 0.564.2 1 0.35最小二乘解a,b 所满足的方程就是aAA A B 0,b即为106.75a 27.3b 19.675 0,27.3a 7b 5.12 0.解得a 1.05,b 4.81（取三位有效数字）§8 酉空间介绍教学目的：了解酉空间的定义与性质及与欧几里得空间相类似的概念与结论教学重点：酉空间的定义与性质 . 教学难点：对与欧几里得空间相类似的概念与结论的理解 . 教学内容：定义14设V 是复数域上一个线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称 为内积,记作(，)，它具有以下性质：1) (,) m ，u~r )是(，)的共轭复数； 2) (k , ) k(,)； 3) (,)(,)(,)；4) (,)是非负实数且(，)0当且仅当 0这里，，是V 中任意的向量,k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间.例1在线性空间c n ,对向量ai ,a 2, ,an !定义内积为(,)3^ a2^显然内积(1 )满足定义14中的条件•这样C n就成为一个酉空间•由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似， 有一套平行的理论，因此在这 只简单地列出重要的结论，而不详细论证.1) ( ,k ) k(,). 2)(, )(,)(,).3) .,(,)叫做向量的长度，记为||.4) 柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对于任意的向量，有I ， I I II I ，db, ,b n3n b n , (1)当且仅当，线性相关时等号成立•注意：酉空间中的内积(，)一般是复数，故向量之间不易定义夹角但仍引5） 向量，，当（，）0时称为正交的或互相垂直.在n 维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基 也有下述一些重要性质：6） 任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充为一组标准 正交基.7） 对门级复矩阵A ，用A 表示以A 的元素的共轭复数作元素的矩阵.如A 满足A A AA E ，就叫做酉矩阵.它的行列式的绝对值等于1.两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.8） 酉空间V 的线性变换A ，满足（A ,A ）=（,）,就称为V 的一个酉变换.酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.9）如矩阵A 满足X n(A , )=( ,A ).A 也是对称变换.10）V 是酉空间，V i 是子空间，V i 是V i 的正交补，则V V i V i又设V i 是对称变换的不变子空间，则 V i 也是不变子空间.ii ）埃尔米特矩阵的特征值为实数.它的属于不同的特征值的特征向量必正则叫做埃尔米特（Hermite ） 矩阵.在酉空间 C n 中令X i A X 2 X iA X 212 ）若A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C,使1 —C 1AC C AC 是对角形知阵.13）设A 为埃尔米特矩阵，二次齐次函数叫做埃尔米特二次型.必有酉矩阵C ，当时X CYf (X 1,X 2, ,X n )小“孑 d 2y 2?2d n y n%. 第九章欧几里得空间（小结）一、 欧氏空间1. 内积、欧氏空间的概念及其简单性质• f(X i ,X 2, ,X n ) n na j X i X j i 1 j 1XAX2. 柯西一布涅可夫斯基不等式：(,)2 (,)(,).3. 向量的长度：| | 7(，).4. 两个非零向量与的夹角：arccos( , ). (0 ).I II I若(，)0,则与正交.二、标准正交基1. 标准正交基的概念.2. 标准正交基的求法一施密特正交化方法.3. 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.反过来，假如两个基之间的过渡矩阵是正交矩阵，而且其中一个基是标准正交基，那么另一个基也是标准正交基.三、正交补内射影1. 向量与集合正交的概念.2. 欧氏空间的子空间y的正交补的概念.3. 设V是V的子空间，则V V i V i ,且V可以唯一写成 1 2,其中，则称1是在V上的内射影.1 V1,2 V1四、欧氏空间的线性变换1. 正交变换(1) V的线性变换是正交变换①保持向量的长度不变②保持向量的内积不变 .③把规范正交基仍变为规范正交基 .④关于规范正交基的矩阵是正交矩阵 .(2) 正交矩阵的性质①正交矩阵为可逆矩阵 , 其逆仍为正交矩阵 .②正交矩阵的行列式为 1 或 -1.③正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵 .2. 对称变换(1) 假如欧氏空间 V 的线性变换满足 :( ( ), ) ( , ( )), , V那么叫做对称变换 .(2) n维欧氏空间V的线性变换是对称变换在V的标准正交基下的矩阵是对称矩阵 .(3) 设是欧氏空间V的对称变换若W是的不变子空间，则W 也是的不变子空间 .(4) 实对称矩阵的特征值都是实数 ,相应地有对称变换的特征值都是实数 .(5) 设A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量是正交的.(6) 任一个n阶实对称矩阵 A都可以正交对角化，即存在正交矩阵 U，使得U AU U 1AU 是对角形式 ,相应地有对于欧氏空间 V 的任一个对称变换,存在 V 的标准正交基 , 在这个标准正交基下的矩阵是对角形式 . 六、欧氏空间的同构1. 欧氏空间同构的概念2. 两个有限维欧氏空间同构它们的维数相同 .3. 每个n维欧氏空间都与R n同构.本章的重点是欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵 .难点是正交变换、正交补、对称变换 .。
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
高等代数欧氏空间的定义与基本性质
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足 右齐次性 (α, kβ) = k(α, β)；
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. .. . . ..
欧氏空间的度量
由欧氏空间定义中内积的正定性，有 √
(α,
α)
≥
0.
所以对于任意
的向量 α， (α, α) 是有意义的. 在几何空间中，向量的长度为
√ (α, α).
类似地，我们在一般的欧氏空间中引进：
定义 √
非负实数 (α, α) 称为向量 α 的长度，（或称范数，或称模）记 为 |α|.
. .. . . ..
欧几里得空间的概念
注 在欧几里得空间的定义中, 对它作为线性空间的维数并无要 求，可以是有限维的，也可以是无限维的. 由内积的对称性可知，内积也满足
因而我们也称内积满足齐次性、可加性，这两条性质合在一 起称为内积的双线性性. 即内积是实线性空间中的一个正定 对称双线性函数.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样 定义的长度符合熟知的性质：
|kα| = |k||α|,
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
欧氏空间的度量
这里，k ∈ αR, α ∈ V. 事实上，
√
高代第9章讲义
(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。
这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2、向量的长度 α= 。
3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。
当且仅当α,β线性相关时，等号成立。
4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。
αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。
6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。
7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。
2） 标准正交基的度量阵是单位阵。
高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < ห้องสมุดไป่ตู้ , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
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例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
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证毕. 证毕
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结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )
高等代数-欧几里得空间
2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广： ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R3向量 的长度（模） . 2) 欧氏空间V中， ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1．在 Rn 中，对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1）定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
（1）
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地，当 1时，称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3）非零向量 的单位化：
1.
（3）
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
证： 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广：若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交，
当 n 3 时，1）即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .
高等代数欧几里得空间知识点总结
第九章 欧几里得空间（ * * * ）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。
除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。
二、考点精讲：三、首师大真题： （一）欧氏空间1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ=（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2.α的长度，记为α。
3.非零向量的夹角,β规定为(,),arccos,0,ααβαβπαβ=≤≤4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。
5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1,β2=α2-11112),(),(ββββα,β3=α3-11113),(),(ββββα-22223),(),(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R 上欧氏空间V 与'v 称为同构，如果由V 到'v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'v 的同构映射。
高等代数第9章欧几里得空间习题 [1]...
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α
α 是一个单位向量. 是一个单位向量.
在欧氏空间V中 定义 在欧氏空间 中, 任意两个非零向量 之间的夹角 夹角定义为 α, β之间的夹角定义为 (α , β ) θ =< α , β >= arccos
α β
显然有0≤ ≤π． 注(1) 显然有 ≤ <α, β > ≤π． (2)由C-S不等式 上述定义有意义 不等式,上述定义有意义 由 不等式 上述定义有意义. 是欧氏空间, 定义 设V是欧氏空间 对α, β∈V, 如果 是欧氏空间 (α , β ) = 0 正交, 则称α与β 正交 记作α⊥β. 零向量0与任何向量正交 与任何向量正交. 零向量 与任何向量正交.
第9章 欧几里得空间习题课 §1 §2 §3 §4 §5 §6 定义与基本性质 标准正交基的定义及求法 正交变换，对称变换 正交变换， 子空间的正交补 实对称矩阵的标准形 向量到子空间的距离
§1
定义
定义与基本性质
是实数域R上的线性空间 设V是实数域 上的线性空间 在V上 是实数域 上的线性空间,在 上 定义了一个二元实函数 即对于V中任意两个 定义了一个二元实函数, 即对于 中任意两个 函数 向量α, β, 都有惟一确定的实数与之对应, 都有惟一确定的实数与之对应 该实数记作( 它满足如下性质: 该实数记作 α, β), 它满足如下性质: (1)(α, β)=(β, α ); (2)(α+β, γ)= (α, γ) + (β, γ); (3) (kα, β)= k(α, β ); (4) (α, α)≥0, (α, α)=0当且仅当α=0. 当且仅当α
欧氏空间中，下述式子成立： 定理 在欧氏空间中，下述式子成立： (1) 三角形不等式 |α+β| ≤ |α|+|β| ; 三角形不等式: | (2) 勾股定理 当α⊥β 时, |α+β|2=|α|2+|β|2. 勾股定理: | |
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，，(0,0,,1)n ε=的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当0α=时，(,)0αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即 =B A .3）,(,)ij i j i ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设 1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=. 2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，cos ,αβ<>==，所以.4αβπ<>=.3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，cos ,αβ<>=，所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
高等代数II期末复习提纲及题型
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， ，那么有 。
22、两个子空间的正交：设V1与V2都是欧氏空间V的子空间，如果对于 ，都有 ，则称V1与V2是正交的，记作 。
例如：〔1〕 中，子空间 ，，那么有 。
〔2〕 中，子空间 由一些偶函数组成的， 由一些奇函数组成的，那么有 。
15、等价的 矩阵有相同的秩与相同的各级行列式因子。
16、 矩阵的标准形是唯一的。 的标准形的主对角线上的非零元素 称为 的不变因子。
17、数字矩阵A与B相似的充分必要条件是：
〔1〕特征矩阵 与 等价；
〔2〕特征矩阵 与 有相同的标准形；
〔3〕特征矩阵 与 有相同的不变因子〔 的不变因子以后就简称为A的不变因子〕；
20、正交变换的性质
〔1〕正交变换是可逆的〔因为正交变换在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，而正交矩阵的行列式= ，是可逆的，所以正交变换是可逆的。〕
〔2〕正交变换的逆变换也是正交变换。〔证明过程？〕
〔3〕两个正交变换的乘积也是正交变换。〔证明过程？〕
〔4〕正交变换是欧氏空间V到V自身的同构映射〔满足同构映射的条件〕。
〔5〕正交变换的分类：如果正交变换的矩阵A的行列式|A|=1，此时的正交变换就称是第一类的〔旋转〕；如果矩阵A的行列式|A|=-1，则称正交变换是第二类的。判断上面18的正交变换 是第几类的？
21、一个向量与一个子空间正交：设W是欧氏空间V的一个子空间，如果对于 ，都Biblioteka ，称向量 与子空间W正交，记作 。
〔4〕A与B有相同的不变因子；
〔5〕A与B有相同的初等因子。
18、不变因子与初等因子都是矩阵相似的不变量。
19、行列式因子与不变因子的关系：
欧几里得空间课件
不同类型的拓扑具有不同的性质和特点，例如离散拓扑中的点是孤立的，紧凑拓扑中的点是逐渐趋近于某个点的 ，线性拓扑中的点在直线上呈线性排列等。
拓扑的应用与实例
拓扑的应用
拓扑在数学、物理学、工程学和其他学 科中都有广泛的应用，例如在计算机科 学中，拓扑排序和图论中的问题解决需 要用到拓扑的性质。
。
立方体
立方体是一个三维的欧几里得空 间，其中两点之间的距离可以通 过连接这两点的线段的长度来定
义。
非欧几里得空间的例子
球面
球面是一个二维的曲面，其中两点之间的距 离可以通过连接这两点的最短线段的长度来 定义。球面不同于平面，因为球面的曲率是 变化的。
双曲几何
双曲几何是一种非欧几里得空间，其中两点 之间的距离可以通过连接这两点的线段的长 度来定义。双曲几何不同于欧氏空间，因为 它的角度和距离的定义与欧氏空间不同。
05
欧几里得空间的拓扑学
拓扑的定义与性质
拓扑的定义
拓扑是研究空间结构的一种数学分支，主要关注空间中点、线、面等基本元素之间的相互关系和性质 。
拓扑的性质
拓扑研究空间中的开集、闭集、连续性、紧致性、连通性等基本性质，这些性质在欧几里得空间和非 欧几里得空间中有所不同。
拓扑的分类与性质
拓扑的分类
根据空间中基本元素的性质和相互关系，可以将拓扑分为离散拓扑、紧凑拓扑、线性拓扑和微分拓扑等不同类型 。
子空间的定义与性质
01
02
子空间的定义：设E是域 P上的线性空间，F是E的 子集，如果F对于E的加 法和数量乘法构成域P上 的线性空间，则称F为E 的子空间。
子空间的性质
03
1. F是E的子集。
04
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(名校考研真题 欧几里得空间)
第9章 欧几里得空间一、分析计算题1．设B 是实数域上n×n 矩阵，，对任一大于0的常数n ，证明定义了的一个内积，使得成为欧氏空间．其中表示列向量的转置，E表示单位矩阵．[浙江大学研]证明：（1）（2）（3）（4）由于，所以由上可知，定义了上的一个内积，从而成为欧氏空间．2．设n 维欧氏空间的两个线性变换在V 的基下的矩阵分别是A 和B ，证明：，都有，则存在正定矩阵P ，使[武汉大学研]证明：由题设任给，令则同理令基的度量矩阵为，则同理因，故考虑的任意性，并结合与均为对称矩阵知3．设是n 维欧氏空间V 子空间，且的维数小于的维数，证明必有一个非零向量正交于中一切向量．[浙江大学研]证：证法1：由于恰由一切与正交的向量组成，所以只要证明即可．事实上，如，则为直和．所以又 所以 所以 所以矛盾．证法2：（1）当时，结论显然成立．（2）设，取的基的基令因为等价于（1）而方程组（1）的方程个数未知量个数s ，所以它有非零解．即使．4．设α是欧氏空间V 的线性变换，τ是V 的一个变换，且．都有（σ（α），β）=（α，τ（β））．证明：（1）τ是V 的线性变换；（2）τ的值域Imτ等于σ的核ker （σ）的正交补．[武汉大学研]证明：（1）β，α，γ∈V∈V，由题设可得由α的任意性知（1）同理，λ∈R，ξ∈V，有（2）所以由式（1）、式（2）得τ是V的线性变换．（2）可等价地证明①，有所以②如，则有所以从而结合①、②可得5．设S 是酉空间V 的一个非空集合，记证明：是子空间，且，并举例说明不一定成立．[西安交通大学研]证明：对给定的集合S ，显然V 的零元素属于，所以（复数域），对任一γ∈S 有所以即由α、β、k 、l的任意性知是V的子空间．又，由题设知可见 因此不一定成立，如在酉空间中，取S={（0，0，1）}，S 不是V 的子空间，但是V 的子空间，所以6．在欧氏空间V 中（1）若向量α，β等长，证明：α＋β与α－β正交，作出几何解释；（2）设V 是n 维的，S 是V 的子空间，是V 中的一切与s 正交的向量所成集合，证明：是V的子空间，且[四川大学研]证明：（1）因为，所以几何解释：表示菱形两对角线互相垂直．（2）由已知有仿上题可证是V 的予空间，且，故①成立，且故S 和是同一子空间的正交补，由正交补的惟一性，即证②．7．实矩阵A 和B ，证明：A 和B 实相似的充要条件是复相似．[复旦大学研]证明：必要性显然．下证充分性，设A 与B 复相似，即存在复可逆阵使其中M 和H 都是n 阶实方阵，由①有，此即因为故不是零多项式，它在复数域上仅有有限个根，从而存在实数a ，使，令有8．设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价．（1）T 是酉变换；（2）T 是同构映射；（3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基；（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵．[湖南大学研] 证明：（1）＝>（3）设T 是酉变换，即取为V 的一组标准正交基，且。
高等代数(第9章)
证 依题意，可设 = k11+k22+…+knn ,则
n
n
( , ) ( ki i , ) ki ( i , ) 0
i 1
i 1
故 = 0.
(2)性质 设V是欧氏空间，则内积有如下性质
(i) (, 0)= (0, )=0
对称性
(ii) (k , )= (, k )
3.度量矩阵
定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n )
A ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , n )
( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n )
依定义，若1, 2,…,n是n维欧氏空间V中一个标
准正交基，则
( i ,
j)
1, 0,
i i
j j
(i, j 1,2,, n).
反之亦然，因此有如下结论.
定理 n维欧氏空间V的一组基1, 2,…,n是标准正 交基为该基的度量矩阵A=((i,j))nn为单位矩阵.
(ii)|k |=| k| | | (iii) |+ || |+ | | (后证)
证 (ii) k (k, k ) k 2 (, ) k .
长度为1的向量称为单位向量，而 称为把单位化.
(2)向量的夹角 为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空
间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski) 不等式.
定理 设V是欧氏空间， , V,有 |( , ) ||| | |
当且仅当 , 线性相关时等号成立. 证 (i)若 , 线性无关,则0, t , tR.考虑向量 =-t ( 0),由于
欧几里德空间与内积空间
欧几里德空间与内积空间欧几里德空间与内积空间是数学中重要的概念，它们在几何学和线性代数中有广泛的应用。
本文将就欧几里德空间和内积空间的定义、性质以及它们之间的关系展开论述。
一、欧几里德空间欧几里德空间是指具有欧几里德度量的实数向量空间，常用的例子是n维实向量空间Rn。
在欧几里德空间中，我们可以定义向量的长度、角度等概念。
1. 定义：设V是一个实数向量空间，如果对于任意的两个向量x和y都可以定义它们之间的距离||x-y||，并满足以下性质：- 非负性：对于所有的x和y，有||x-y||≥0，且当且仅当x=y时，等号成立。
- 同一性：对于所有的x和y，有||x-y||=||y-x||。
- 三角不等式：对于所有的x、y和z，有||x-y||+||y-z||≥||x-z||。
2. 性质：欧几里德空间具有以下性质：- 每个向量x的长度||x||≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
- 对于任意的标量c和向量x，有||cx||=|c|·||x||。
- 欧几里德空间中任意两个向量的内积可以通过向量的长度及其夹角来表示，即x·y=||x||·||y||·cosθ。
二、内积空间内积空间是指具有内积运算的向量空间，它是欧几里德空间的推广。
内积空间中，我们可以定义向量之间的内积、正交性等概念。
1. 定义：设V是一个实数向量空间，如果对于任意的两个向量x和y都可以定义它们之间的内积(x, y)，并满足以下性质：- 非负性：对于所有的x，有(x, x)≥0，且当且仅当x=0时，等号成立。
- 同一性：对于所有的x和y，有(x, y)=(y, x)。
- 线性性：对于任意的标量c和向量x、y、z，有(c·x, y)=c·(x, y)和(x+z, y)=(x, y)+(z, y)。
2. 例子：常用的内积空间包括实数向量空间Rn和复数向量空间Cn。
在Rn中，向量的内积定义为(x, y)=x1y1+x2y2+...+xnyn；在Cn中，向量的内积定义为(x, y)=x1y1*+x2y2*+...+xnyn*。
欧几里得空间
欧几里得空间
欧几里得空间介绍如下：
欧几里德空间，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，例如紧性加以调查。
内积空间是对欧氏空间的一般化。
内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
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易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ～ 4 . 所以, ( , ) 为内积.
这样R n 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
当 n 3时，1）即为几何空间 R 3 中内积在直角 坐标系下的表达式 . (,)即.
例2．C(a,b) 为闭区间 [ a , b ] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f(x), g(x) ，定义
b
(f,g)af(x)g(x)dx
则 C(a,b) 对于（2）作成一个欧氏空间.
（2）
证： f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) C ( a , b ) , k R
2) 欧氏空间V中， , V , (,) 0
使得 有意义.
2. 向量长度的定义
, V , (,)称为向量 的长度.
特别地，当 1 时，称 为单位向量.
3. 向量长度的简单性质
1 ) 0 ; 0 0
2) kk
3）非零向量 的单位化：
1
.
（3）
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
问题的引入：
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R 2、R 3 , 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
2、在解析几何中，向量的长度，夹角等度量性质 都可以通过内积反映出来：
长度：
夹角 ,： cos,
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
b
(f(x ),g (x ))af(x )g (x )d x
则称 (,)为和 的内积，并称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
注： 欧氏空间 V是特殊的线性空间
① V为实数域 R上的线性空间; ② V除向量的线性运算外，还有“内积”运算;
③ (,)R.
例1．在 R n 中，对于向量
a 1 , a 2 ,, a n , b 1 , b 2 ,, b n
b
b
1 . ( f , g ) a f ( x ) g ( x ) d x a g ( x ) f ( x ) d x ( g ,f )
b
b
2 .( k f ,g ) a k f ( x ) g ( x ) d x k a f ( x ) g ( x ) d x
k(f,g)
3 .(f g ,h ) a b f(x ) g (x ) h (x )d x
2. 内积的简k ) k ( ,) , k , k k 2 ( ,)
2 )(, ) (,) (,)
s
s
推广： (,i)(,i)
i1
i1
3) (0,)0
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1）在 R 3 向量 的长度（模） .
一、欧氏空间的定义
1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , )
满足性质： ,, V , k R
1 (,)(,)
2(k,)k(,)
3 ( ,) , ( ,)
（对称性） （数乘） （可加性）
4 (,)0,当且仅当 0时 (,)0. （正定性）
两边开方，即得 ,.
当 、 线性相关时，不妨设 k
于是， (,) ( k,) k (,) k2 .
kk2
(,). (5)式等号成立.
反之，若（5）式等号成立，由以上证明过程知
或者 0 ，或者
, ,
0
也即 、 线性相关.
3. 柯西－布涅柯夫斯基不等式的应用
1）
柯西 不等式
a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
2）定义 ( , ) a 1 b 1 2 a 2 b 2 k a k b k n a n b n
易证( , )满足定义中的性质 1 ～ 4 . 所以 ( , ) 也为内积.
从而R n 对于内积 ( , )也构成一个欧氏空间.
注意：由于对 V,未必有 (,)(,)
所以1），2）是两种不同的内积. 从而 R n 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.1 定义与基本性质
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
a 1 2 a 2 2 a n 2b 1 2 b 2 2 b n 2 （7）
a i,b i R ,i 1 ,2 , ,n .
2）
施瓦兹 不等式
bf(x )g (x )d xbf2 (x )d xb g 2 (x )d x
a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f(x)与 g(x)的内积定义为
当 0 时，作向量 t, t R
由内积的正定性，对 tR，皆有
( ,) ( t, t) (,) 2 (,) t (,) t2 0 （6）
取 t ( , ) 代入（6）式，得 ( , )
(,) 2 (,)( ( ,, ) ) (,)( ( ,, ) )2 20
即 (,)2(,)(,)
1）在 R 3 中向量 与 的夹角
,arccos
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式： 此即,
( , ) 1
2. 柯西－布涅柯夫斯基不等式
对欧氏空间V中任意两个向量 、 ，有
(,)
（5）
当且仅当、 线性相关时等号成立.
证：当 0时， (,0)0, 0
(,)0. 结论成立.
b
b
af(x )h (x )d x ag (x )h (x )d x
(f,h )(g,h )
4.(f,f)bf2(x)dx a f2(x)0, (f,f)0.
且若 f(x)0, 则 f 2(x) 0, 从而 (f,f)0.
故 (f,f) 0 f( x ) 0 .
因此，( f , g ) 为内积， C(a,b)为欧氏空间.