非平衡态统计理论初步
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在统计物理课程中，我们要求出非平衡态的分布函数，利用非 平衡态分布函数求微观量的统计平均值，为此，首先要导出非 平衡态分布函数所遵从的方程。
§11.1 玻尔兹曼积分微分方程
玻耳兹曼方程是稀薄气体处在非平衡态时的分布函数满足的方程。
我们将忽略分子的内部结构，或者考虑单原子分子。当气体分子的 平均热波长远小于分子间的平均距离时，可以将分子看作经典粒子， 用坐标 r 和速度 v 描述它的微观运动状态。则分布函数除依赖于分 子速度 v 外，一般还依赖于分子坐标 r 与时间 t，即
碰撞方向 n ：由第一个分子的中心到第二个分子的中心的方向上 的单位矢量。
对钢球模型，两个分子碰撞时每个分子受的力沿着 n（平行或者反 平行），两个分子的速度改变也必定在碰撞方向，即 v1 1n, v2 v2 2 n, v1 可解得
vx v y vz 0 x y z
设作用于一个分子上的外力为 mF m( X , Y , Z ) ， 则牛顿第二定律 给出
vx X ,
vy Y ,
vz Z
常见的力是重力，电磁力 重力与速度无关；
电磁力与速度有关： mF q E v B
q X Ex v y Bz vz By m
f f (r , v , t )
3 则在时刻ｔ，位于体积元 d 3r dxdydz 和速度间隔 d v dvx dvy dvz 内的分子数为 3 3
v d 3rd 3v
r
f (r , v , t )d rd v
归一化条件：
Байду номын сангаас
f (r , v , t )d 3rd 3v N
经过dt 时间后，在t+dt 时刻、位于同一体积元 和同一速度间隔内的分子数变为
f f f t t d t c
1.漂移贡献 以x、y、z、vx、vy、vz为直角坐标，构成一个6维空间。在dt时间内， 在界面x处进入固定体积元 d 3rd 3v 的粒子数等于以 xdt 为高，以 dA dydzdvx dvy dvz 为底的柱体内的粒子数
q Y E y vz Bx vx Bz m q Z E v B v B z x y y x m
X Y Z 0 重力和电磁力均满足 vx v y vz
X 0 vx
Y 0 v y
Z 0 vz
所以漂移引起的分布函数的变化为
f f f f f f f v v v X Y Z x y z t x y z vx v y vz d
2.碰撞贡献 （1）基本假定 ①假定粒子是弹性刚球，忽略分子的内部结构，在碰撞时两球的 相互作用力在两球心的连线上。 ②假定气体中稀薄的，三个或三个以上的粒子同时相碰的概率很 小，可以只考虑两两分子相碰。 ③稀薄气体中，任何两个粒子的速度分布是相互独立的（分子 混沌性假设）。 （2）粒子碰撞前后速度的改变 假定两个粒子碰撞前后的速度分别为v1，v2，v1′，v2′。碰撞前后动 量能量均守恒， m2v2 m1v1 m2v2 m1v1 1 1 1 1 2 2 2 2 m v m v m v m v 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
①分子的速度使其位置发生变化，当存在外场时，分子的加速度 使其速度发生变化，这两者都会引起6维固定体积元内分子数的 改变的变化，用 f / t d 表示，称为漂移(drift)变化。 ②分子相互碰撞引起分子速度的改变，使得6维固定体积元内的分 子数发生改变。用 f / t c 表示，称为碰撞(collision)变化。
同理可得，在dt时间内通过一对平面vx和vx+dvx进入该固定体积元 的分子数为
fvx dtd 3rd 3v vx
所以在dt时间内通过六对平面进入体积元的分子数为
fvx fv y fvz fvx fv y fvz dtd 3rd 3v x y z vx v y vz
第十一章 非平衡态统计理论初步
平衡态是热运动的一种特殊状态，由于在许多重要的实际问题 中物质系统处在非平衡态，因而需要研究非平衡态的统计理论。 但建立非平衡态统计理论则要困难得多。
非平衡态统计物理学的任务是从微观运动规律出发，分析非平 衡态系统在演变过程中的行为和性质。非平衡态统计理论对系 统自发趋向平衡态的不可逆性提供统计诠释，并分析平衡态得 以建立的条件；对于偏离平衡态不远时的输运过程，非平衡统 计理论要导出与之相关的现象性规律，并将现象性理论中出现 的输运系数与物质的微观结构联系起来。
f (r , v , t dt )d 3rd 3v
两个式相减可得，从t到t+dt时间内，在固定体积元 d 3rd 3v 内分子数 的变化为 f 3 3 3 3 f ( r , v , t dt ) f ( r , v , t ) d rd v dtd rd v t
分布函数随时间变化有两个原因：
所以有
fvx fv y fvz fvx fv y fvz f x y z vx v y vz t d
因分子的坐标 r 与其速度 v 是相互独立的变量，因而：
fx x dtdA
同理，在dt 时间内，通过界面x+dx处逸出 d 3rd 3v 的分子数为
fx xdx dtdA
净增分子数为
3 3 fx fx dtdA fx dxdtdA fx dtd rd v x x dx x x
§11.1 玻尔兹曼积分微分方程
玻耳兹曼方程是稀薄气体处在非平衡态时的分布函数满足的方程。
我们将忽略分子的内部结构，或者考虑单原子分子。当气体分子的 平均热波长远小于分子间的平均距离时，可以将分子看作经典粒子， 用坐标 r 和速度 v 描述它的微观运动状态。则分布函数除依赖于分 子速度 v 外，一般还依赖于分子坐标 r 与时间 t，即
碰撞方向 n ：由第一个分子的中心到第二个分子的中心的方向上 的单位矢量。
对钢球模型，两个分子碰撞时每个分子受的力沿着 n（平行或者反 平行），两个分子的速度改变也必定在碰撞方向，即 v1 1n, v2 v2 2 n, v1 可解得
vx v y vz 0 x y z
设作用于一个分子上的外力为 mF m( X , Y , Z ) ， 则牛顿第二定律 给出
vx X ,
vy Y ,
vz Z
常见的力是重力，电磁力 重力与速度无关；
电磁力与速度有关： mF q E v B
q X Ex v y Bz vz By m
f f (r , v , t )
3 则在时刻ｔ，位于体积元 d 3r dxdydz 和速度间隔 d v dvx dvy dvz 内的分子数为 3 3
v d 3rd 3v
r
f (r , v , t )d rd v
归一化条件：
Байду номын сангаас
f (r , v , t )d 3rd 3v N
经过dt 时间后，在t+dt 时刻、位于同一体积元 和同一速度间隔内的分子数变为
f f f t t d t c
1.漂移贡献 以x、y、z、vx、vy、vz为直角坐标，构成一个6维空间。在dt时间内， 在界面x处进入固定体积元 d 3rd 3v 的粒子数等于以 xdt 为高，以 dA dydzdvx dvy dvz 为底的柱体内的粒子数
q Y E y vz Bx vx Bz m q Z E v B v B z x y y x m
X Y Z 0 重力和电磁力均满足 vx v y vz
X 0 vx
Y 0 v y
Z 0 vz
所以漂移引起的分布函数的变化为
f f f f f f f v v v X Y Z x y z t x y z vx v y vz d
2.碰撞贡献 （1）基本假定 ①假定粒子是弹性刚球，忽略分子的内部结构，在碰撞时两球的 相互作用力在两球心的连线上。 ②假定气体中稀薄的，三个或三个以上的粒子同时相碰的概率很 小，可以只考虑两两分子相碰。 ③稀薄气体中，任何两个粒子的速度分布是相互独立的（分子 混沌性假设）。 （2）粒子碰撞前后速度的改变 假定两个粒子碰撞前后的速度分别为v1，v2，v1′，v2′。碰撞前后动 量能量均守恒， m2v2 m1v1 m2v2 m1v1 1 1 1 1 2 2 2 2 m v m v m v m v 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2
①分子的速度使其位置发生变化，当存在外场时，分子的加速度 使其速度发生变化，这两者都会引起6维固定体积元内分子数的 改变的变化，用 f / t d 表示，称为漂移(drift)变化。 ②分子相互碰撞引起分子速度的改变，使得6维固定体积元内的分 子数发生改变。用 f / t c 表示，称为碰撞(collision)变化。
同理可得，在dt时间内通过一对平面vx和vx+dvx进入该固定体积元 的分子数为
fvx dtd 3rd 3v vx
所以在dt时间内通过六对平面进入体积元的分子数为
fvx fv y fvz fvx fv y fvz dtd 3rd 3v x y z vx v y vz
第十一章 非平衡态统计理论初步
平衡态是热运动的一种特殊状态，由于在许多重要的实际问题 中物质系统处在非平衡态，因而需要研究非平衡态的统计理论。 但建立非平衡态统计理论则要困难得多。
非平衡态统计物理学的任务是从微观运动规律出发，分析非平 衡态系统在演变过程中的行为和性质。非平衡态统计理论对系 统自发趋向平衡态的不可逆性提供统计诠释，并分析平衡态得 以建立的条件；对于偏离平衡态不远时的输运过程，非平衡统 计理论要导出与之相关的现象性规律，并将现象性理论中出现 的输运系数与物质的微观结构联系起来。
f (r , v , t dt )d 3rd 3v
两个式相减可得，从t到t+dt时间内，在固定体积元 d 3rd 3v 内分子数 的变化为 f 3 3 3 3 f ( r , v , t dt ) f ( r , v , t ) d rd v dtd rd v t
分布函数随时间变化有两个原因：
所以有
fvx fv y fvz fvx fv y fvz f x y z vx v y vz t d
因分子的坐标 r 与其速度 v 是相互独立的变量，因而：
fx x dtdA
同理，在dt 时间内，通过界面x+dx处逸出 d 3rd 3v 的分子数为
fx xdx dtdA
净增分子数为
3 3 fx fx dtdA fx dxdtdA fx dtd rd v x x dx x x