含有30度角的直角三角形课件
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《含30°角的直角三角形的性质》优质课件(3套)
B
C
创设情境，导入新知
思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一 条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三 角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
活动操作，探索性质
活动 用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能 拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的 理由．
∴
BC
=
1 2
AB，DE
=
1 2
AD．
B
∴ BC =3.7（m）．
D
又 AD = 1 AB，
(m).
22
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例5 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上
的高.
D A
B
)15 °
15 ° C
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
思考 这个命题是真命题吗？请进行证明．
活动操作，探索性质
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =
30°.
求证：BC =
1 2
AB．
证明：在△ABC 中，
A
∵ ∠C =90°，∠A =30°,
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
B
C
性质：
B
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么
它所对的直角边等于斜边的一半.
含有30度角的直角三角形的性质
胆
B
试
D
尝
C
A C D 150 150 20
01
02
03
04
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D
展
B
升
∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= AC= ×20=10
提
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
拓
13.3.2等边三角形（2） ——含有30度角的直角三角形的性质
单击添加副标题
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
1、等边三角形的三条边都相等； 2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 °； 3、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分线都三线合一． 4、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，且交于一点；
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.
B
C
）
30°
A
D
∴ △ABC≌△ADC（SAS）
在△ABC与△ADC中
∴AB=AD
BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC
∴BC＝DC＝ BD= AB
1
2
1
2
∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
证明方法：倍长法
操
作
探
究
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
猜一猜 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
单击此处添加正文。
单击此处添加正文。
操
作
探
究
探究2 当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由； 得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
B
试
D
尝
C
A C D 150 150 20
01
02
03
04
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D
展
B
升
∵∠B=∠ACB=150(已知), ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= AC= ×20=10
提
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
拓
13.3.2等边三角形（2） ——含有30度角的直角三角形的性质
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1、等边三角形的三条边都相等； 2、等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 °； 3、等边三角形每条边上中线、高线和所对角的平分线都三线合一． 4、等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，且交于一点；
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.
B
C
）
30°
A
D
∴ △ABC≌△ADC（SAS）
在△ABC与△ADC中
∴AB=AD
BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC
∴BC＝DC＝ BD= AB
1
2
1
2
∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
证明方法：倍长法
操
作
探
究
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
猜一猜 在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
单击此处添加正文。
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操
作
探
究
探究2 当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的三角形吗？请说明理由； 得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量关系，说明理由.
含30度角直角三角形的性质
任何三角形的三个内角之和都等 于180度，因此，在30度角直角 三角形中，两个锐角的角度和为 90度。
角度与边长的关系
边长与角度的正弦关系
在30度角直角三角形中，较短的直角边（30度角所对的边）长度等于斜边长度的一半，即斜边长度 为2倍的较短的直角边长度。
边长与角度的余弦关系
在30度角直角三角形中，较长的直角边（60度角所对的边）长度等于斜边长度的根号3倍的一半，即 斜边长度为2倍的较长的直角边长度除以根号3。等腰三ຫໍສະໝຸດ 形的性质等腰三角形的两腰相等
在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，因此，这个直角边和另一个直角边是等长的， 即构成等腰三角形。
等腰三角形的底角相等
由于两腰相等，根据等腰三角形的性质，两个底角也相等，均为60度。
等边三角形的性质
要点一
等边三角形的三边相等
在含30度角的直角三角形中，由于30度角所对的直角边等 于斜边的一半，另一条直角边等于斜边的根号3倍，因此， 三条边都相等，构成等边三角形。
边长与角度的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，斜边是较长直角边的2倍，是 较短直角边的√3倍。
详细描述
由于30度角的三角函数值已知，我们可以利用三角函数的知 识来推导边长与角度之间的关系。根据三角函数，当角度为 30度时，斜边是较长直角边的2倍，是较短直角边的√3倍。
边长与面积的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，面积与 较短的直角边长度成正比，与斜边的 长度无关。
特点
含30度角的直角三角形具有一些特殊的性质，如30度角所对的直角边等于斜边 的一半，以及30度角所对的直角边与邻边之比为$sqrt{3}$：$1$。
30度角直角三角形与其他三角形的关系
角度与边长的关系
边长与角度的正弦关系
在30度角直角三角形中，较短的直角边（30度角所对的边）长度等于斜边长度的一半，即斜边长度 为2倍的较短的直角边长度。
边长与角度的余弦关系
在30度角直角三角形中，较长的直角边（60度角所对的边）长度等于斜边长度的根号3倍的一半，即 斜边长度为2倍的较长的直角边长度除以根号3。等腰三ຫໍສະໝຸດ 形的性质等腰三角形的两腰相等
在含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，因此，这个直角边和另一个直角边是等长的， 即构成等腰三角形。
等腰三角形的底角相等
由于两腰相等，根据等腰三角形的性质，两个底角也相等，均为60度。
等边三角形的性质
要点一
等边三角形的三边相等
在含30度角的直角三角形中，由于30度角所对的直角边等 于斜边的一半，另一条直角边等于斜边的根号3倍，因此， 三条边都相等，构成等边三角形。
边长与角度的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，斜边是较长直角边的2倍，是 较短直角边的√3倍。
详细描述
由于30度角的三角函数值已知，我们可以利用三角函数的知 识来推导边长与角度之间的关系。根据三角函数，当角度为 30度时，斜边是较长直角边的2倍，是较短直角边的√3倍。
边长与面积的关系
总结词
在含30度角的直角三角形中，面积与 较短的直角边长度成正比，与斜边的 长度无关。
特点
含30度角的直角三角形具有一些特殊的性质，如30度角所对的直角边等于斜边 的一半，以及30度角所对的直角边与邻边之比为$sqrt{3}$：$1$。
30度角直角三角形与其他三角形的关系
30度直角三角形课件
4
在Rt△BCD中, ∠B=600,
1 ∴ BC AB 2
B
┏ D
∴ ∠BCD=300,
A
1 ∴ BD BC 2
1 ∴ BD AB 4
7.如图：已知 在△ABC 中，∠A=300，C=900， BD平分∠ABC. 求证：AD=2DC Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来. A
分析：利用三角形的一个外 C 角等于与它不相邻的两个内 角的和．可得出∠C=42°，
从而得出ＡＢ＝ＢＣ，再由ＡＢ ＝１５×２＝３０（海里），得 到ＢＣ＝３０ （海里）
N北
４２° ８４°
B
A
４２°
5、议一议、写一写：
（1） 已知P是OM上一点,过点P画ON的平行线，与∠MON的平分线 相交于点Q，它们围成的△POQ是等腰三角形吗？为什么？
3、△ABC是等腰三角形，周长为15cm且∠A=60°，则BC=___
4、下列四个说法中，不正确的有（ ） *三个角都相等的三角形是等边三角形。 *有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 *有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 *有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。 （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 5、 等边三角形的对称轴有（ ）条 （A）1条（B）2条（C）3条（D）4
已知: Rt△ABC中∠C=900. ∠A=300
求证：
,2
证明： CD=AD ∠ACD=∠A=300 ∴△ADC是等腰三角形， ∠CDB=∠B=600 △BCD是等边三角形 ∴CD=BD=BC=AD
30度角的直角三角形性质。ppt
15.3等腰三角形
（第4课时）
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等. （简称“等角对等边”）
用符号语言表示为： A 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是 60°，那么这个三角形是
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
提高训练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， 且BD=DC，求证：BC=2AB. A 证明：∵∠A=90°（已知） D ∴∠ABC+∠C=90° (直角三角形两锐角互余) 又∵BD平分∠ABC（已知） B ∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义） 又∵BD=DC（已知） ∴∠DBC=∠C（等边对等角） ∴∠ABD=∠CBD =∠C（等量代换） ∴ ∠C =30° ∴BC=2AB（Rt△中，30°角所对边等于斜边的一半）
作业：
1、当堂作业：课本P138练习第3题 2、课本P139＿＿P140习题15.3 3、完成基础训练和畅优新课堂15.3 4、预习15.4，课本P141＿＿P142 思考的上方（作角平分线）Leabharlann C提高训练A
2.已知：如图，△ABC中， ∠ABC与∠ACB的平分线 相交于点O，DE∥BC。
E B
O
你能得出什么结论？
D C
提高训练
3.已知：在△ABC中，内角∠ABC的平分线 BD与外角∠ACP的平分线交于D点， DE∥BC.求证：EF=BE-CF
A E F
D
B
C
P
本节课学习了什么内容？
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
（第4课时）
如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等. （简称“等角对等边”）
用符号语言表示为： A 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
B
C
推论2 如果一个等腰三角形中有一个角是 60°，那么这个三角形是
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
提高训练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线， 且BD=DC，求证：BC=2AB. A 证明：∵∠A=90°（已知） D ∴∠ABC+∠C=90° (直角三角形两锐角互余) 又∵BD平分∠ABC（已知） B ∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义） 又∵BD=DC（已知） ∴∠DBC=∠C（等边对等角） ∴∠ABD=∠CBD =∠C（等量代换） ∴ ∠C =30° ∴BC=2AB（Rt△中，30°角所对边等于斜边的一半）
作业：
1、当堂作业：课本P138练习第3题 2、课本P139＿＿P140习题15.3 3、完成基础训练和畅优新课堂15.3 4、预习15.4，课本P141＿＿P142 思考的上方（作角平分线）Leabharlann C提高训练A
2.已知：如图，△ABC中， ∠ABC与∠ACB的平分线 相交于点O，DE∥BC。
E B
O
你能得出什么结论？
D C
提高训练
3.已知：在△ABC中，内角∠ABC的平分线 BD与外角∠ACP的平分线交于D点， DE∥BC.求证：EF=BE-CF
A E F
D
B
C
P
本节课学习了什么内容？
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
30度直角三角形课件
B D D
A
C
B
A A
E A
C
E D C
挑战自我
5.在Rt△ABC中,如果∠BCA＝90°,∠A＝ 30°,CD 是AB边上的高,求证:BD=1/4AB C 证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90° ∴∠A+∠B=90° A ∵CD是AB边上的高 D B ∴∠BDC＝90° ∴∠BCD+∠B=90° ∴∠A=∠BCD＝ 30° ∴在Rt△ABC中,BC=1/2AB 在Rt△BCD中,BD=1/2BC ∴ BD=1/2BC=1/4AB
证一证
已知：在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30° 1 求证： BC= AB 证明： 2
A
30°
猜想 证明
B
C
延长BC至D，使CD=BC，连接 AD(如图),则BC=1/2BD 在△ABC中，∠ACB=90°， ∴△ABD是等腰 ∠BAC=30° , 则∠B=60°． 三角形 ∵∠ACB+∠ACD=180° ∵∠B=60° ∴∠ACD=180°-∠ACB=90° ∴△ABD是等边 三角形 ∴∠ACD=∠ACB (有一个角是60° 在△ABC和△ADC中： 的等腰三角形是 BC=CD 等边三角形) ∠ACB=∠ACD D ∴AB=AD=BD AC=AC 1 1 ∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴BC= BD= 2 AB． 2 ∴AB=AD (全等三角形的对应边相等)．
拼一拼
我们可以将两个同样大小的含有30°角的三角尺如图 摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?试说明理由。
A
B
C
D
你还能用 其他的方法 证明吗？
由拼图可知：△ABC与 △ADC关于线段AC所在直 线对称，因此AB＝AD， ∠BAD=2×30º =60º 从而 △ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD可得 BC＝DC＝ 1 AB 2
A
C
B
A A
E A
C
E D C
挑战自我
5.在Rt△ABC中,如果∠BCA＝90°,∠A＝ 30°,CD 是AB边上的高,求证:BD=1/4AB C 证明:∵在Rt△ABC中,∠ACB＝90° ∴∠A+∠B=90° A ∵CD是AB边上的高 D B ∴∠BDC＝90° ∴∠BCD+∠B=90° ∴∠A=∠BCD＝ 30° ∴在Rt△ABC中,BC=1/2AB 在Rt△BCD中,BD=1/2BC ∴ BD=1/2BC=1/4AB
证一证
已知：在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30° 1 求证： BC= AB 证明： 2
A
30°
猜想 证明
B
C
延长BC至D，使CD=BC，连接 AD(如图),则BC=1/2BD 在△ABC中，∠ACB=90°， ∴△ABD是等腰 ∠BAC=30° , 则∠B=60°． 三角形 ∵∠ACB+∠ACD=180° ∵∠B=60° ∴∠ACD=180°-∠ACB=90° ∴△ABD是等边 三角形 ∴∠ACD=∠ACB (有一个角是60° 在△ABC和△ADC中： 的等腰三角形是 BC=CD 等边三角形) ∠ACB=∠ACD D ∴AB=AD=BD AC=AC 1 1 ∴△ABC≌△ADC(SAS) ∴BC= BD= 2 AB． 2 ∴AB=AD (全等三角形的对应边相等)．
拼一拼
我们可以将两个同样大小的含有30°角的三角尺如图 摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?试说明理由。
A
B
C
D
你还能用 其他的方法 证明吗？
由拼图可知：△ABC与 △ADC关于线段AC所在直 线对称，因此AB＝AD， ∠BAD=2×30º =60º 从而 △ABD是一个等边三角形. 再由AC⊥BD可得 BC＝DC＝ 1 AB 2
含有30度角的直角三角形
A
C
D
B
2、如图△ABC是等边三角形， AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为D、E、F点， 2.5cm ， 则∠ADF =______, BD=______ 60° 1.25cm BE=_______.
E B D
F
C
6.已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1 AB.
拓
展
提
升
D
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),50
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2
C
1 ×20=10 2
课堂检测
1、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm , ∠BCD=---------300 , 则BC= ---------6cm , 2cm ,AD= ---------BD= ---------A
√
试一试
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A， 3cm AB=6cm，则BC=________.
B
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°， 8cm AB+BC=12cm，则AB= _______. C
D
A
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜 梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC， AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC、DE要 多长？
4
B D C
A
练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A ＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F. 求证：BF＝2CF.
C
D
B
2、如图△ABC是等边三角形， AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为D、E、F点， 2.5cm ， 则∠ADF =______, BD=______ 60° 1.25cm BE=_______.
E B D
F
C
6.已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD= 1 AB.
拓
展
提
升
D
已知:等腰三角形的底角为150,腰长为20. 求:腰上的高.
解:过C作CD⊥BA交BA的延长线于点D ∵∠B=∠ACB=150(已知),50
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 150+150=300 ∴CD= 1 AC=
2
C
1 ×20=10 2
课堂检测
1、如图所示，已知△ABC中，∠ACB=900, CD⊥AB于D, ∠A=300,且AB=8cm, 4cm , ∠BCD=---------300 , 则BC= ---------6cm , 2cm ,AD= ---------BD= ---------A
√
试一试
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A， 3cm AB=6cm，则BC=________.
B
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°， 8cm AB+BC=12cm，则AB= _______. C
D
A
例5：如图是屋架设计图的一部分，点D是斜 梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC， AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC、DE要 多长？
4
B D C
A
练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A ＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F. 求证：BF＝2CF.