电流密度矢量.
大学物理稳恒磁场习题及答案 (1)
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答一、填空题（每空1分）1、电流密度矢量的定义式为：dI j n dS ⊥=v v，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。
2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量? = 0 ．若通过S 面上某面元d Sv的元磁通为d ?，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d ?＇，则d ?∶d ?＇= 1:2 。
3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2020100444R IR IR IB πμμμ-+=。
4、一磁场的磁感强度为k c j b i a B ϖϖϖϖ++= (SI)，则通过一半径为R ，开口向z 轴正方向的半球壳表面的磁通量的大小为πR 2c Wb 。
5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于：对环路a ：d B l ⋅⎰v v Ñ=____μ0I __；对环路b ：d B l ⋅⎰vv Ñ=___0____； 对环路c ：d B l ⋅⎰v v Ñ =__2μ0I __。
6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。
二、单项选择题（每小题2分）（ B ）1、均匀磁场的磁感强度B v垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为A. 2?r 2BB.??r 2BC. 0D. 无法确定的量（ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为A. B. C. D.（ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外C ．方向在环形分路所在平面内，且指向aD ．为零（ D ）4、在真空中有一根半径为R 的半圆形细导线，流过的电流为I ，则圆心处的磁感强度为A.R 140πμ B. R120πμ C ．0 D ．R140μ （ C ）5、如图4，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度??绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度??绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为A. B 1 = B 2B. B 1 = 2B 2 C ．B 1 =21B 2 D ．B 1 = B 2 /4 （ B ）6、有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4倍和1/8． (B) 4倍和1/2． (C) 2倍和1/4． (D) 2倍和1/2． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×）（ × ）1、电源的电动势是将负电荷从电源的负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
电磁场名词解释
电场：任何电荷在其所处的空间中激发出对置于其中别的电荷有作用力的物质。
磁场：任一电流元在其周围空间激发出对另一电流元（或磁铁）具有力作用的物质。
标量场：物理量是标量的场成为标量场。
矢量场：物理量是矢量的场成为矢量场。
静态场：场中各点对应的物理量不随时间变化的场。
有源场：若矢量线为有起点，有终点的曲线，则矢量场称为有源场。
通量源：发出矢量线的点和吸收矢量线的点分别称为正源和负源，统称为通量源。
有旋场：若矢量线是无头无尾的闭曲线并形成旋涡，则矢量场称为有旋场。
方向导数：是函数u （M ）在点 M0 处沿 l 方向对距离的变化率。
梯度：在标量场 u (M ) 中的一点 M 处，其方向为函数 u (M )在M 点处变化率最大的方向，其模又恰好等于此最大变化率的矢量 G ，称为标量场 u (M ) 在点 M 处的梯度，记作 grad u (M )。
通量：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量。
环量：矢量场 A 沿有向闭曲线 L 的线积分称为矢量 A 沿有向闭曲线 L 的环量。
亥姆霍兹定理：对于边界面为S 的有限区域V 内任何一个单值、导数连续有界的矢量场，若给定其散度和旋度，则该矢量场就被确定，最多只相差一个常矢量；若同时还给出该矢量场的边值条件，则这个矢量场就被唯一确定。
（前半部分又称唯一性定理） 电荷体密度： ，即某点处单位体积中的电量。
传导电流：带电粒子在中性煤质中定向运动形成的电流。
运流电流：带电煤质本身定向运动形成形成的电流。
位移电流：变化的电位移矢量产生的等效电流。
电流密度矢量（体（面）电流密度）：垂直于电流方向的单位面积（长度）上的电流。
静电场：电量不随时间变化的，静止不动的电荷在周围空间产生的电场。
电偶极子：有两个相距很近的等值异号点电荷组成的系统。
磁偶极子：线度很小任意形状的电流环。
感应电荷：若对导体施加静电场，导体中的自由带电粒子将向反电场方向移动并积累在导体表面形成某种电荷分布，称为感应电荷。
电磁感应习题课
作业79．一半径r=10cm的圆形闭合导线回路置于均匀磁 场B ( B=0.80T)中，B与回路平面正交。若圆形回路的半径 从t=0开始以恒定的速率(dr/dt=-80cm/s)收缩，则在t=0时 刻闭合回路的感应电动势的大小是多少？如要求感应电动 势保持这一数值，则闭合回路面积应以怎样的恒定速率收 缩？
作业84．无限长直导线载有电流I，其旁放置一段长度为l与 载流导线在同一平面内且成的导线。计算当该导线在平面上 以垂直于载流导线的速度v平移到该导线的中点距载流导线 为a时，其上的动生电动势，并说明其方向。
a I
60°
l
孙秋华
Harbin Engineering University
Ⅱ 感生电动势的计算 利用法拉第电磁感应定律
1. 求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定 轴转动时的动生电动势。已知杆相对于均匀磁场B的方位 角为，杆的角速度为 ，转向如图所示。
B
孙秋华
L
Harbin Engineering University
解： ab
( v B ) dl
b 0
vBdl sin
另外一边产生的动生电动势与２大小相等绕向相同
孙秋华
Harbin Engineering University
2 3 ac 1 2 2 [ ln ] 2π a 3 a
其方向为顺时针
0 Iv l
C I D a A
孙秋华
Harbin Engineering University
6.理解涡旋电场和位移电流的概念。理解变化磁场引起电 场和变化电场引起磁场的两个基本规律，是电磁感应定 律和安培环路定律相应的推广。掌握麦克斯韦方程组的 积分形式。掌握电磁波的性质及波印廷矢量
电流密度矢量,电场强度+习题解答
3. 已知 J ，求穿过 x 3m 处， 2m y 3m ， 3.8m z 5.2m 面积上在ex 方向的总电流 I，
其中， J 10y2 zex 2x2 yey 2x2zez A / m2 。
A. 198A
B. 98A C. 399A D. 299A
Hale Waihona Puke 解： C按体密度分布的电荷，以速度作匀速运动时，形成电流面密度，用电流面密度矢量 J
I
S 10 y2zexdS 10
3 y2dy
2
5.2
zdz
3.8
计算结果为 399A。
因此，正确选项为 C 399A。
1. 体密度分布为 的电荷，以速度v 作匀速运动，并通过某一面积 S ，则形成的电流 流过面积 S 的电流 I 。
A. 1 v dS 2S
C.
12
v
S
dS
解：B
B. v dS S
D. v dS S
单位时间内通过任意曲面的电量值为电流密度矢量 J 的面积分，其中 J 可表示为按体
密度 分布的电荷，以速度v 作匀速运动时，形成电流面密度。
因此，正确答案为选项 B S v dS
2. 导电媒质中通入电流，必有功率损耗，其功率体密度的表达式可写作
，该表
达式也被称为焦耳定律的微分形式。
A. p J E
B. p dP dV
C. p dA /dt dV
D. p dA E dV
e
解：A
焦耳定律描述的是功率密度的表达式，功率密度 p 为单位体积上的电功率，为 J 与 E 两者的乘积。 因此，正确选项为A p J E 。
来表示，对于穿过某一个面的电流 I，可以使用 I J dS 来计算。 S
量子力学1-2
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量） 电流强度和电流密度（矢量） I： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培） 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
v J:
大小：单位时间垂直通过单位面积的电量 大小： 方向：沿导体内该点上的电流方向 方向：
r r 两者关系： 两者关系： I = dI = J ⋅ dS ∫ ∫
二、毕奥萨伐尔定律
1、毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） 毕奥萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律） r v v v v r 上的电流密度， 设 J (x′)为源点 x′上的电流密度，r 为由 x′点到场点 x 的距离， 的距离，则
r 线电流元为： 线电流元为： Idl
r 体电流元为： 体电流元为： JdV
µ0 I r µ0 I = − + e =0 2 2 z 2π r 2π r
(r > a)
(r < a)
r r µ0 I r ∇× B = 2 ez = µ0 J πa
意义： 意义：某点邻域上的磁感应强度的旋度只和该点上的电流密度有 虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量， 关，虽然对任何包围着导线的回路都有磁场环量，但是磁场的旋 度只存在于有电流分布的导线内部， 度只存在于有电流分布的导线内部，而在周围空间中的磁场是无 旋的。 旋的。
又 ∵
Q = ∫ ρdV
V
dQ d ∂ρ ∴ = ∫ ρdV = ∫ dV V ∂t dt dt V
所以有： 所以有：
∫
S
r r J ⋅ dS = −
∫
∂ρ dV V ∂t
d dQ = 0 Q=C ρdV = 0 全空间总电荷守恒 ∫V dt dt
大学物理稳恒磁场习题及答案
衡水学院 理工科专业 《大学物理B 》 稳恒磁场 习题解答一、填空题（每空1分）1、电流密度矢量的定义式为：dIj n dS ⊥=，单位是：安培每平方米（A/m 2） 。
2、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量Φ = 0 ．若通过S 面上某面元d S 的元磁通为d Φ，而线圈中的电流增加为2I 时,通过同一面元的元磁通为d Φ＇，则d Φ∶d Φ＇= 1:2 。
3、一弯曲的载流导线在同一平面内，形状如图1(O 点是半径为R 1和R 2的两个半圆弧的共同圆心，电流自无穷远来到无穷远去)，则O 点磁感强度的大小是2020100444R IR IR IB πμμμ-+=。
4小为πR 2c Wb。
5、如图2所示通有电流I 的两根长直导线旁绕有三种环路；在每种情况下，等于：对环路a ：dB l ⋅⎰=____μ0I __； 对环路b ：d B l ⋅⎰=___0____； 对环路c ：d B l ⋅⎰ =__2μ0I __。
6、两个带电粒子，以相同的速度垂直磁感线飞入匀强磁场，它们的质量之比是1∶4，电荷之比是1∶2，它们所受的磁场力之比是___1∶2__，运动轨迹半径之比是_____1∶2_____。
二、单项选择题（每小题2分）（ B ）1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为A. 2πr 2BB. πr 2BC. 0D. 无法确定的量（ C ）2、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为A. 0.90B. 1.00C. 1.11D. 1.22（ D ）3、如图3所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度A. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内B. 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外C ．方向在环形分路所在平面内，且指向aD ．为零（ D ）（ C ）绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为A. B 1 = B 2B. B 1 = 2B 2 C ．B 1 = 21B 2 D ．B 1 = B 2 /4（ B ）6、有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的 (A) 4倍和1/8． (B) 4倍和1/2． (C) 2倍和1/4． (D) 2倍和1/2． 三、判断题（每小题1分，请在括号里打上√或×）（ × ）1、电源的电动势是将负电荷从电源的负极通过电源内部移到电源正极时，非静电力作的功。
磁场中导体的电流密度计算与磁感应强度
磁场中导体的电流密度计算与磁感应强度在物理学中，关于电流和磁场的相互作用是一个重要的研究领域。
当电流通过导体时，它会产生一个磁场，这个磁场的强度可以通过电流的特性来计算。
同时，导体在磁场中也会受到磁感应力的影响，这个力可以通过磁感应强度来描述。
本文将详细介绍磁场中导体的电流密度计算以及磁感应强度的相关内容。
首先，我们来讨论导体中的电流密度计算。
电流密度是一个矢量，用于描述单位面积（或单位体积）内通过的电流。
在导体中，电流的流动方式可以分为两种情况：均匀电流密度和非均匀电流密度。
对于均匀电流密度的情况，我们可以使用安培定律来计算磁场的强度。
安培定律指出，通过直长导线所产生的磁场强度的大小与电流的大小和导线到磁场点的距离成正比。
具体而言，对于一条无限长的直导线，磁场的强度可以由以下公式计算：B = μ₀I/(2πr)其中，B表示磁感应强度，μ₀是真空中的磁导率，I是电流的大小，r是从导线到磁场点的距离。
对于非均匀电流密度的情况，我们可以利用比奥-萨伐尔定律来计算导体中某一点的磁场强度。
比奥-萨伐尔定律表明，一个由电流通过的导体元素所产生的磁场可以由以下公式计算：dB = μ₀I/(4πr²) * Idl × r/|r|³其中，dB表示由电流元素产生的微小磁场，Idl表示电流元素的长度和方向，r表示从电流元素到磁场点的矢量距离，μ₀是真空中的磁导率。
通过积分，我们可以将每个电流元素对磁场产生的贡献相加，从而得到整个导体中磁场的强度。
接下来，我们将讨论导体在磁场中所受到的磁感应力，即洛伦兹力的计算。
洛伦兹力是指导体中电流受到的磁场力。
当一个导体位于磁场中时，电流通过导体时会受到一个力，这个力的大小和方向可以用以下公式计算：F = I × B × l × sinθ其中，F表示洛伦兹力，I表示电流的大小，B表示磁感应强度，l表示导体的长度，θ表示电流和磁感应强度之间的夹角。
电磁场复习提纲(大连海事大学)
五．均匀平面波对导体平面的垂直入射
①入、反射波都是行波，合成波为纯驻波，振幅与位置有关。
②z=0和z为0.5 整数倍处是合成波电场波节、磁场波腹；z为0.25 奇数倍处是合成波电场波腹、磁场波节。合成波磁场与电场存在90°相差。
2.远区场
远区电场与磁场相位相同、相互垂直，复数波印亭矢量无虚部;
平均波印亭矢量不为零，电流元能量转换成电磁波向四周扩散。
瞬时玻印亭矢量的值始终不小于零，说明电磁能量一直向外辐射，因此远区场又称为辐射场。
电基本振子远区场的电气特性：
非均匀球面波横电磁波
E面：电场矢量所在的平面。
H面：磁场矢量所在的平面。
电场强度矢量指向电位Ф减小的方向，即由正电荷指向负电荷的方向，而电位梯度方向是电位Ф增大的方向。
电场能量密度
静电位能
镜像电荷：两个导板夹角为180°/n (n必须为整数)条件下镜像电荷数为2n−1。
电流元的镜像：电流元视为等量异号电荷构成的电偶极子。电流元电流正方向由负电荷指向正电荷。
两个带等量异号电荷导体的电容：
第4章恒定电场与恒定磁场
一.恒定电场【有源场，无旋场】
恒定电场基本方程
恒定电场边界条件
电流密度法向分量在边界上连续
恒定电场切向分量在边界上连续
电流线与 很大的媒质表面垂直。
电导率均匀，体电荷密度为0。换言之，各向同性线性均匀媒质不存在体电荷（媒质内没有净余电荷）。
通常导电媒质分界面上存在面电荷。除非 。
(2)导电媒质均匀平面波是TEM波, 仍成立。
电流的连续性方程和恒定条件
随着电压少 许增加，电 流会很快增 大，主要用 于灭火花、 过电保护、 避雷、电压 稳定化等。
图2 各种压敏电阻的伏安特性曲线 1．齐纳二极管；2.SiC压敏电阻； 3. 釉-ZnO压 敏电阻 4. 线性电阻 5. ZnO压敏电阻
焦耳定律——电流热效应
电功率 ：电场在单位时间内所做的功
P A UI t
恒定电场：与恒定电流相联系的场
电荷分布不 随时间变化
欧姆定律 p253
恒定电场和静电场一样 ，满足环路定理 ；
E dl 0
可以引进电势差 （电压）的概念
欧姆定律
I U , 或 U IR
积分形式
R
导体的电阻率
电阻率和电导率 R l
均匀导体电阻 非均匀导体
S
R
dl
S
G 1, R
电导
1
热功率 ：单位时间内电流通过导体时产生的热量
P热
Q t
I
2R
U2 R
热功率 ：热功率只是电功率中转化为内能的
那一部分
P热
I2R U 2 R
IU
( jS )2
l
S
j2 V (E)2 V E 2V
焦耳定律的微分形式
热功率密度 ：单位体积内的热功率
p lim P V 0 V
E 2V
p E 2
则t时间内，通过导体内任 一面元迁移的电量为q
q (utS )ne
j neu
考虑方向
j lim q lim (utS)ne neu
S 0 tS S 0 tS
u e E
2m v
j neu
j Ne2 E
2m v
电导率与电子、v、n的微观平均量相联系，是微
电流密度
§10-2 恒定电流和恒定电场 电动势
1. 恒定电流
（1）恒定电流： 电流场中每一点电流密度的大小和方 ）恒定电流： 向均不随时间改变的电流。 向均不随时间改变的电流。 维持恒定电流的条件： 维持恒定电流的条件：
dq =0 dt
意义： 意义：空间各点的电荷 分布不随时间改变。 分布不随时间改变。
根据电流连续性方程得
热功率密度：单位时间、单位体积内的焦耳热。 热功率密度：单位时间、单位体积内的焦耳热。 单位时间内电场力对一个自由电子做功
v v v v F ⋅ v = − eE ⋅ v
个自由电子， 设单位体积内有 n 个自由电子，则单位时间内的总功
由 和
r v jr = − nev v j = σE
v v p = − neE ⋅ v
σ
σ
v Bv v ⋅ dl − ∫ Ek ⋅ dl
A
电源放电时，电流密度与积分方向相反； 电源放电时，电流密度与积分方向相反；电源 充电时，电流密度与积分方向相同， 充电时，电流密度与积分方向相同，且
v v I ∫A E ⋅ dl = VA − VB A ε , Ri C R v Cv v Bv ∫A Ek ⋅ dl = ∫A Ek ⋅ dl = −ε 电源放电 r I j= I S A ε , Ri C R 代入上式， 代入上式，则
几种典型的电流分布
粗细均匀的 金属导体
粗细不均匀 半球形接地电 同轴电缆中的漏 的金属导线 极附近的电流 电流
电阻法勘探矿藏时的电流
3、电流强度与电流密度的关系 、
在导体中任取一截面元 v dS，设该处电荷密度为ρ， ，设该处电荷密度为ρ v 运动速度为 。
v en
dS θ
v v dq = ρdV = ρv dt ⋅ dS v r v v = ( ρv ) ⋅ dSdt = j ⋅ dSdt
第八章稳恒电流
A
IR
B
U A UB I ( R Ri )
§8-3 含源电路的欧姆定律
三、由几个电阻和电源组成的含源电路
UA UB IR
A
IR
B
在上式的应用中，为了不至于发生混乱，规定了如下的
正负号选取规则：
先任意选取沿电路的指向，写出始末端的电势差 UA－UB 。 如果通过电阻的电流方向与电路指向相同，该电阻上 电势降落取“+”号，相反则取“－”号。
(1) 1 R L
S
(2) I U R
(3) E U E
L
(4) dU U dL L
(5) P IU
(6) v
8-18 在如图所示的电路中,已知 1 2.0 V, 2 6.0 V,
3 2.0 V, R1 1.0, R2 5.0, R2 5.0 ,
R4 2.0 . 求通过电阻R2的电流的大小和方向。
2、接触电势差的大小
kT ln nA
e nB
+
A
+ +
B
+
§ 8-2 电动势
三、温差电动势
1、温电动势的形成 两种不 同的导体，互相接触，形成 闭合路，若两个接触端处于 同一温度，回路电动势为零， 若将两个接触端置于不同温 度下，则形成电势差。
2、温差电动势的大小
温差电动势的形成
1
2
k (T1 T2 ) e
ln
nA nB
§ 8-2 电动势
3、温差电动势的应用
温差电偶测温示意图 温差电堆测温示意图
§ 8-2 电动势
四、能斯特电动势
1、能斯特电动势的形成 在由半透膜相隔的溶液系中，由 于带电离子的扩散作用，在膜的两侧产生电动势。
§4-6 导体、电磁介质界面上的边界条件 磁路定理
dV
j t 任何一点电流密度的散度等于该 点电荷体密度的减少
(S )
j dS 0
恒定条件
dq 0 dt
电荷分布不 随时间变化
电流线连续性地穿过闭合曲面所包围的体积，
铁芯的边界就构成一个磁感应管，它把绝大部 分磁通量集中到这个管子里 铁芯构成的磁感应管叫做磁路
磁路定理
磁路定理是磁场的“高斯定理”和安培环路定理 的具体应用 恒定电路中，通过各个截面的电流I相等 铁芯里通过各个截面的磁通量φB相同 闭合电路中，电源的电动势等于各段导线上的电势 降落之和
li IRi I Ri I i i i i Si
j E
欧姆定律微分形式
上式给出了j与E的点点对应关系 更适用于表征性质各异的导体材料的特征 适用范围比积分形式大
6.1 两种介质分界面上的边界条件
要点：
界面上介质的性质有一突变，这将导致静电场也会有突变 电场、磁场的高斯定理、环路定理的积分形式在边界上依 然成立，可以把不同介质里的场量用积分方程联系起来 方程的微分形式只适用于非边界区域，对于边界突变处，方 程的微分形式已失去意义 通常用积分方程还不能直接求得空间各点场的分布，所 以常常要将方程的积分形式变换成微分形式 必须考虑用新的形式来给出边界上各物理量的关系，亦即 给出边界条件 实际上边界条件就是把积分方程放到边界突变处得到的结果
对于磁路，有安培环路定理
Bi li Bi li NI 0 H dl H i li i i i S ( L) 0 i 0 i i
磁通势
因为通过各段磁路的磁通量φB相同 li NI 0 H i l i B B Ri i i 0 i S i
《电磁场理论》教案2
∫ E ⋅dl = 0
把它用到电路中任一闭合回路，则得：
l
∫ E ⋅ d l = ΣU = 0
l
即得到直流电路的基尔霍夫第二定律。
若积分路线经过了电源，考虑到局外场后
可见
∫ (E + E )⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ∫ (E + E )⋅ dl = ε
ϕ ( x, y ) =
U0 sinh
πb
a
sin
πx
a
sinh
πy
a
§2-4导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟
通过前面的讨论，我们发现，导电媒质中的恒定电场（电 源外）与电介质中的静电场（体电荷密度ρ=0的区域）在许多 方面有相似之处。为了清楚起见，列表比较如下：
表2-1恒定电场与静电场的比较
比较内容
场是非守恒的，它沿闭合回路的积分不等于零，而等于回路中的电 动势。
ε=∫lEe·dl
它的物理意义是，把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极 时，局外电场Ee所作的功。当导电媒质中有局外电场Ee时，通过 含源导电媒质的电流为
J=γ(E+Ee) 2.2.2 恒定电场
研究导电媒质中的恒定电场，可使我们进一步理解直流电路 中的有关规律，可以解决绝缘电阻、接地电阻的计算等实际问 题，并为用实验方法研究场的问题提供了依据。 我们要研究的恒定电场有两种情况：一种是导电媒质中的恒 定电场；另一种是通有恒定电流的导电媒质周围介质中的恒定电 场。后一种是我们要着重讨论的问题。
S
I = ∫ J ⋅dS
S
E1t = E 2t
边界条件
E1t = E 2t
电流密度矢量公式
电流密度矢量公式电流密度矢量这个概念在电学中可是相当重要的呢！咱们先来说说啥是电流密度矢量。
想象一下，在一根导线里，电流就像一群小蚂蚁在排队前进。
但电流密度矢量可不是简单地说有多少蚂蚁在走，而是要考虑到这些蚂蚁前进的方向和在不同位置的密集程度。
电流密度矢量 J 被定义为单位时间内通过垂直于电流方向的单位面积的电荷量。
这听起来有点绕，咱们举个例子。
比如说有一根粗粗的铜导线，里面的自由电子在定向移动形成电流。
在导线的某个横截面上，不同位置电子移动的速度和数量可能不太一样。
靠近导线中心的地方，电子可能比较密集，移动速度也快；而靠近边缘的地方，可能就稀疏一些，速度也慢一点。
这时候，电流密度矢量就能很准确地描述这种情况啦。
我记得有一次在给学生们讲这个概念的时候，有个调皮的小家伙就问我：“老师，这电流密度矢量看不见摸不着的，有啥用啊？”我笑了笑，拿起一根粗细不均匀的水管，往里面通水。
我问同学们：“你们看，水在水管里流动，在粗的地方水流是不是慢一些，细的地方水流就快一些？”大家都点头。
我接着说：“这就跟电流在导线里的情况有点像。
电流密度矢量就像是描述水流在不同位置快慢和多少的工具，能让我们更清楚地了解电流的分布情况。
”那电流密度矢量的公式是啥呢？它可以表示为 J = nqv ，其中 n 是单位体积内的自由电荷数，q 是每个自由电荷的电荷量，v 是电荷定向移动的平均速度。
在实际应用中，电流密度矢量可是大有用处的。
比如说在研究电磁感应的时候，我们要通过电流密度矢量来计算磁场的变化；在设计电路的时候，了解电流密度矢量能帮助我们选择合适粗细的导线，避免导线过热或者电流不足的问题。
再比如说，我们家里的电器，像电烤箱、空调，它们工作的时候都有电流通过。
工程师在设计这些电器的时候，就得好好考虑电流密度矢量，保证电器能正常工作，又不会因为电流过大而出现危险。
学习电流密度矢量这个概念，就像是给我们打开了一扇通往电学世界更深处的门。
大学物理8-8电流稳恒电场电动势8-9电场的能量解读
Ek dl
+ –
方向：自负极经电源内部到正极的方向为正方向。
电源外部Ek为零，
Ek dl Ek dl
L
单位正电荷绕闭合回路一周时，电源中非静电力所 做的功。 电动势描述电路中非静电力做功本领 电势差描述电路中静电力做功
8-9 电场的能量
例： 计算球形电容器的能量 已知RA、RB、q 解：场强分布 E 取体积元
q
RA
q
q 4 0 r
2
RB
r
dV 4r 2dr
1 1 q 2 2 2 dW wdV 0 E dV 0 ( ) 4 r dr 2 2 4 0 r 2
q2 1 1 能量 W dW ( ) dr 2 8 0 r 8 0 RA RB V RA
8-8 电流 稳恒电场 电动势
一、电流 电流密度
电流—— 大量电荷有规则的定向运动形成电流。
电流强度—— 单位时间内通过某截面的电量。
dq 大小： I dt
单位（SI）：安培（A）
方向：规定为正电荷运动方向。 电流强度只能从整体上反映导体内电流的大小。 当遇到电流在粗细不均匀的导线或大块导体中流动的 情况时，导体的不同部分电流的大小和方向都可能不 一样。有必要引入电流密度矢量。
dq j dSdt
S
即
S
dq j dS dt
en
S
dS
j
上式是电荷守恒定律的数学 表述，又称电流连续性方程。
电流连续性方程的物理意义： 如果闭合曲面S内有正电荷积累起来，则 流入S面内的电荷量多于流出的电荷量；反之， 如果S面内的正电荷减少，则流出的电荷量多 于流入的电荷量。
电流密度矢量
电流密度矢量电流密度矢量电流密度矢量是指单位面积或单位截面积内通过的电流量。
在物理学中，电流密度矢量常用符号为J。
它是一个向量，其大小和方向表示电荷在某一点的流动情况。
一、定义电流密度矢量可以用以下公式表示：J = I / A其中，J表示电流密度矢量，I表示通过某一区域的总电流，A表示该区域的横截面积。
二、计算方法1. 通过导线的电流密度当电流通过导线时，可以使用以下公式计算其电流密度：J = I / S其中，S为导线横截面积。
2. 通过平面的电流密度当电流通过平面时，可以使用以下公式计算其电流密度：J = I / A其中，A为平面横截面积。
3. 通过圆柱体表面的电流密度当电流通过圆柱体表面时，可以使用以下公式计算其电流密度：J = I / (2πrL)其中，r为圆柱体半径，L为圆柱体长度。
三、单位国际单位制中，J的单位为安培/米²（A/m²）。
四、应用领域1. 金属加工在金属加工中，电流密度矢量可以用于计算电解加工过程中的电极材料的消耗量。
2. 电化学在电化学中，电流密度矢量可以用于计算电解过程中的反应速率。
3. 电力系统在电力系统中，电流密度矢量可以用于计算输电线路上的功率损耗和热损耗。
4. 材料科学在材料科学中，电流密度矢量可以用于计算导体内部的能流分布和温度分布。
五、总结综上所述，电流密度矢量是一个重要的物理概念，在多个领域具有广泛的应用。
通过对其定义、计算方法、单位和应用领域的介绍，我们可以更好地了解这一概念，并将其应用于实际问题中。
电流密度矢量.
dI
jdS
jdS cos
j dS
I S j dS
通过某截面的电流强度即电流密度 矢量 j 通过该面的通量。
4
二 电流的连续性方程 恒定电流条件
单位时间内通过闭合曲面向外流出的 电荷，等于此时间内闭合曲面里电荷
dS
的减少量 .
j
S
dI
j
dS
jdS
cos
I s j dSjdSFra bibliotekdQi
dS
j
恒定电场
S
（1）在恒定电流情况下，导体中电荷分 布不随时间变化形成恒定电场；
（2）恒定电场与静电场具有相似性质 （高斯定理和环路定理），恒定电场可引 入电势的概念；
（3）恒定电场的存在伴随能量的转换.
7
例（1）若每个铜原子贡献一个自由电子 ，
问铜导线中自由电子数密度为多少？
1mol的质量为
dQi / dt 0
dS
j
恒定电流 s j dS 0
S
I I1 I2 0 I
在导体中做任意封闭面（无论形状、
也无论大小，可以很大，也可以无限
小封闭面），总满足s j dS 0，这样
的电流就是恒定电流。
I1 I2
S
6
恒定电流会在周围空间激发恒定电场。
恒定电流 s j dS 0
传导电流
电场
电子—空穴对、库柏对、 孤子…
运流电流：带电物体作机械运动时形成的电流
位移电流
金属导电的经典解释：
电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动。
频繁碰撞使加速运动间断进行， 其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动。
1
比较
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2. 电流密度矢量
j
dI dS
n0
qnu
电流密度比电流强 度更能精确反映电 流在导体中的流动 分布情况。
j
分布：电流线
其切向即 j 方向
其疏密 j 大小
如图，各个截面上的电 流强度相等，但各个截 面的j显然不3 同。
I 与 j 的关系：
dS
dS dI j
dS是dS在垂直与电流方向上的 投影，因此：通过dS和dS的电 流是一样的，但dS不垂直于电
8
（3）铜导线中电流密度均匀，电流密度 值多少？
解
j
I S
15 π (8.10 10 4）2
A m2
7.28 10 6 A m2
9
二. 电源电动势 ——— 稳恒电场的能量来源
+
Fe
-
Fe
Fe
Fk
Fe
Fe
R KR
电源作用：
提供非静电力 Fk ，将 q由负极板移向正极，
保持极板间电势差， 以形成持续的电流。
1mol的质量为
M，数量为
N
，一立方米质量为
A
，所以一立方米共有
M
mol，故1立方米的原子数（即原
子数密度）为：
M
N
。
A
解 n NA 8.481028个/ m3
M
（2）家用线路电流最大值 15A， 铜 导 线半径0.81mm此时电子漂移速率多少？
解
vd
I nSe
5.36104 m s-1 2m h-1
漂移速率：
104 103 m s1 （很小）
热运动平均速率： 102 103 电场传播速率： 3108
m s1 m s1
由金属导电的经典解释（电子的漂移运动）表示
通过垂直于电流方向的截面 S的电流强度dI：
ut
dI
dS
q
n
dI
Q t
qn dSut t
qnu dS
dI qnu dS
2
dS
流方向，按照j的定义，显然
dI jdS。
dI
jdS
jdS cos
j dS
I S j dS
通过某截面的电流强度即电流密度 矢量 j 通过该面的通量。
4
二 电流的连续性方程 恒定电流条件
单位时间内通过闭合曲面向外流出的 电荷，等于此时间内闭合曲面里电荷
dS
的减少量 .
j
S
dI
j
dS
一. 电流密度矢量
1. 电流的形成
电流
载流子：自由电子、正负离子、
传导电流
电场
电子—空穴对、库柏对、 孤子…
运流电流：带电物体作机械运动时形成的电流
位移电流
金属导电的经典解释：
电场中，自由电子除热运动外，叠加定向加速运动。
频繁碰撞使加速运动间断进行， 其平均效果为定向匀速运动 —— 漂移运动。
1
比较
Fe
内电路：
Fe dl
0
Fe
Fk
Fe
Fe
Fe dl 0
L Fk : 做功如何 ？
KR
非静电场强：
Ek
Fk q0
非静电力搬运单位正电荷绕闭合回路一周做功：
A L Ek dl 0
非静电力为非保守力
12
L Ek dl
：可量度电源将其他形式能
转变为电能的能力大小
在某些问题中，Fk只存 在于内电路中；在有些
jdS
cos
I s j dS
j
dS
dQi
s
dt
I1
I
I2
S
其中的Qi是闭合面内的净电荷量，由于电荷的流动，闭合面 内的净电量在改变。以电荷流出更多为例：流出的净电荷与
面内减少的净电荷在数量上相等，但随着时间流出的净电荷
是越来越多（增加），而面内净电荷越来越少，故变化趋势 5
相反— —负号的原因。
10
FeΒιβλιοθήκη FkFeFe
作用机理：
Fk 反抗 Fe 做功，
将其他形式能转变为电能
K R
断路： Fk Fe 时平衡
外电路： Fe
作用，将 q由正极
负极
通路 内电路： Fk Fe 将 q 由负极 正极
Fk , Fe 共同作用形成持续电流。
11
能量转换
外电路： Fe dl 0
定义：电源电动势
L Ek dl
问题中Fk可能作用于整
个闭合回路。但无论如
若 Ek 只在内电路存在：
何，当电源提供电能时，
Ek dl
Fk总是作正功，将其他 形式的能量转化为电路
（经内电路）
所需要的电能。除非电
荷回流回电源，那时Fk
规定指向：
会作负功。所以让电流 倒流是需要外界注入额 外能量的。电源自身不
恒定电流 s j dS 0
dS
j
恒定电场
S
（1）在恒定电流情况下，导体中电荷分 布不随时间变化形成恒定电场；
（2）恒定电场与静电场具有相似性质 （高斯定理和环路定理），恒定电场可引 入电势的概念；
（3）恒定电场的存在伴随能量的转换.
7
例（1）若每个铜原子贡献一个自由电子 ，
问铜导线中自由电子数密度为多少？
会让电流倒流。13
14
若闭合曲面 S 内的电荷 不随时间而变化，有
dQi / dt 0
dS
j
恒定电流 s j dS 0
S
I I1 I2 0 I
在导体中做任意封闭面（无论形状、
也无论大小，可以很大，也可以无限
小封闭面），总满足s j dS 0，这样
的电流就是恒定电流。
I1 I2
S
6
恒定电流会在周围空间激发恒定电场。