人教版初三数学(九年级上册)课程讲义 第二十二章：二次函数的概念与解析式-解析版
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数二次函数课件
解得a=-1.
探究新知
知识点 2
根据实际问题确定二次函数解析式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：
①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将
文字语言转化为符号语言；
②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次
函数关系式，并化成一般情势；
③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.
探究新知
素养考点2
素养考点 3
m2 m
是二次函数, 求
2-m=2,m+1≠0
解: 由二次函数的定义得m
解得 m=2.
因此当m=2时，函数为二次函数.
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
巩固练习
变式题2
y (a 1) x
a 1
是二次函数，求常数a的值。
解：根据二次函数的定义，得
a 1 2
a 1 0
②式d是n的一次函数？反比例函数？
③式y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式
表示的,这样的函数是什么函数呢？
探究新知
【分析】认真视察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
问题3
y=20（1+x）2
即y=20x2+40x+20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对
于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.
九年级数学人教版第二十二章二次函数整章知识详解(同步课本知识图文结合例题详解)
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
九年级数学第22章二次函数
问题2： 多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n ＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶点，可作＿（＿n-＿3＿）条对角线.因此，n边形的对角 线总数＿d＿= 12＿n2 ＿ 32＿n 此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系， 对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 y=x2 … 9 4 1 0 1 4
∴y=30x2+10x
九年级数学第22章二次函数
5.（哈尔滨中考）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB 的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方 米）． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值 范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时 AB的长.
为什么a≠0呢?
九年级数学第22章二次函数
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之 间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数 关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2） 与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系式． 【解析】 (1)y=x2
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数与一元二次方程PPT课件
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的
根有什么关系?
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
与x轴的公共点的个数
(a≠0)的根的情况
b2-4ac>0
有两个
有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
P(2,-2)
重复上述过程，不断缩小根的范围，根所在两端的值就越来越
接近根的值.因而可以作为根的近似值。
尝试求出方程y = 2 − 2 − 2两个根的近似值？
课堂练习
1. 抛物线 = 2 + 2 − 3与轴的交点个数有(
. 0个
. 1个
Ｃ．2个
C ).
Ｄ．3个
【分析】解二次函数 = 2 + 2 − 3得1 =
第二十二章 二次函数
2 2 . 2 二次函数与一元二次方程
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.二次函数与一元二次方程之间的联系。
2.二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3.利用二次函数图象求它的实数根。
重点难点
重点：让学生理解二次函数与一元二次方程之间的联系。
难点：让学生理解函数图象交点问题与对应方程间的相互转化，及用图象求方程
x1=x2 =-
x
2
与x轴没有
交点
一元二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
x
没有实数根
新知探究
新人教版九年级数学上册课件《第二十二章二次函数》复习课件部编版PPT
（3）判断抛物线的增减性要结合开口方向及对称轴.
解：（1）由题意得
m 2 0, m2 5m
8
2,
解得
m m
2, 2或m
3,
m
3.
∴满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3. y
解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线
上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d 对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直
线 x x1 x2 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 x (1) 3 1 .
2
2
配套训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的 部分对应值如下表：当xFra bibliotekb 2a
时y随x的增
当 x b 时y随x的增大
2a
大而减小；当 x b 而增大；当 x b 时，
2a
2a
时，y随x的增大而增大. y随x的增大而减小.
y最小值
=
4ac 4a
b
2
y最大值
=
4ac 4a
b
2
专题二 二次函数图象的对称性
例2 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的公共点是（-1，0）， （3，0），则这条抛物线的对称轴为_直__线__x_=_1__.
123 x
顶点坐标 （-1，-2） ．
解析 根据抛物线平移规律可得出y2=-(x-1)2+2,因此可以很快确定 其顶点坐标；阴影部分的面积利用割补方法，进而转化为求平行
2024(人教版)数学九年级上册 第22章 二次函数 教材解读课件
针内对容训分练析
本章学情分析：
“二次函数”这一章是在学习一次函数的基础上,具体研究的第二个函数模型，是应用研 究函数性质的一般方法去研究函数的第二次实践，对学生而言，即学习了新的函数模型，又增 强了对函数研究方法的掌握，为后续研究其他函数积累宝贵经验。二次函数的学习过程充满着 观察、分析、抽象、概括等方法，蕴含着从特殊到一般，数形结合、函数的思想，因此学习二 次函数是学生认识函数的又一次飞跃。
一是让学生体会生活中处处有数学，数学源于生活、又服务于生活的教学 理念，体会数学就在我们身边的道理；
二是从简单的实际问题入手，激发学生学习数学的兴趣。
针内对容训分练析
第二课时二次函数y=ax2的图象和性质内容解析 本节课类比一次函数的研究方法，先通过观察函数图象，认识函数特征，
从而得出函数的性质。对于二次函数y＝ax2的研究分别从a＞0，a＜0两种情况 入手，在具体的研究过程中，始终是从特殊到一般，例如a＞0时，a从具体的 数字1开始，再到12，2等；在每一次具体的函数研究过程中，都是从图象入 手．本节课从形状、开口方向、开口大小、对称性、顶点、增减性对二次函数y ＝ax2（a＞0）的图象特征进行研究，从而得到二次函数y＝ax2（a＞0）的性 质．此外，a＜0的情况又是类比a＞0的学习方法开展研究，最终经历以上探究 过程，得出二次函数y＝ax2的图象特征和性质．
以现实生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等抛物线的探究， 建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数法确定二次函数的表达式是解决此类问 题的关键．
通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，让学生体会运用函数观 点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．
针内对容训分练析
第九 十课时 实际问题与二次函数内容解析 利用二次函数解决销售利润问题的方法：(1)读懂题意；(2)借助销售问题中
二次函数课件
函数,叫做二次函数.x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的
二次项系数,一次项系数和常数项.
2.二次函数的一般情势：y=ax2+bx+c.
3.注意：二次函数自变量的取值范围是： 一般情况是全体实数,实际问题要符合实际意义.
典例精讲
二次函数的概念
知识点一
【例1-1】下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次
∴y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)]，
即y=-10x2+180x+400(其中x是正整数,且1≤x≤10)；
(2)由题意可得：-10x2+180x+400=1120，
解 得：
x1=6，x2=12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
当堂训练
建立二次函数的模型
Hale Waihona Puke 知识点二在如图所示的一张长、宽分别为50cm 和30cm的矩形铁皮的四个
求出y关于x的函数关系式；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
典例精讲
建立二次函数的模型
知识点二
解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件,每件利润6元,每提高一个档
次,每件利润加2元,但一天产量减少5件，
∴第x档次,提高了(x-1)档,利润增加了2(x-1)元．
人教版九年级(上)数学教学课件
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
知识要点
01 二次函数的概念
精讲精练
02 建立二次函数的模型
知识归纳
二次函数的概念
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
人教版九年级上册数学第22章22.1.1 二次函数 课件(共21张PPT)
二、温故知新
小结： 若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的
每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说y是x 的函数，x叫做自变量．
我们之前学过一次函数，它的形式是y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）．
三、合作探究
思考： 如果改变正方体的棱长x，那么 正方体的表面积y也会随之改变， y与x之间有什么关系？
6．某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x m，宽为y m， 面积为S m2（x＞y）． （1）如果用18 m的建筑材料来修建绿地的边缘（即周长）， 求S与x的函数关系式，并求出x的取值范围； （2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18 m2， 在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
B．y=x2－50x
C．y=－x2＋25x
D．y=－2x2＋25
五、练习巩固
3．若函数 y (m 4) xm2 9m22 是二次函数，则m的值是__3___． 4．函数 y (m 2) x2 mx 3 （m为常数）， （1）当 m __≠__2__时，这个函数为二次函数； （2）当 m __=__2__时，这个函数为一次函数．
五、练习巩固
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是( C )
A．y=(m－1)2x2
B．y=(m＋1)2x2
C．y=(m2＋1)x2
D．y=(m2－1)x2
2．把一根长为50 cm的铁丝弯成一个长方形．设这个长方形的一边
长为x cm，面积为y cm2，则y与x之间的函数关系式为( C )
A．y=－x2＋50x
函数，叫做二次函数．其中， x 是自变量，a，b，c 分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
人教版九年级初中数学上册第二十二章二次函数-二次函数的图像和性质PPT课件全文
描点法画函数图像的一般步骤如下：
描点法
第一步，列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平滑的曲线连接起来。
抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.
（2）当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.
（3）|a|越大，抛物线的开口越小.
课堂练习
1.填表：
抛物线
y = ax2（a>0）
y = ax2（a＜0）
顶点坐标
你能通过这种方法画出二次函数的图像吗？
新知探究
二次函数=^2 的图像
通过描点法画出 = 的图像？
【列表】
在 = 中，自变量可以取任意实数，列表取几组对应值：
…
-2
-1
0
1
2
…
…
4
1
0
1
2
…
新知探究
二次函数=^2 的图像
y
通过描点法画出 = 的图像？
9
【描点】
事实上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者
3
向上或者向下．一般地，二次函数 y =ax2+bx +c（a≠0）
的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
-3
O
3
x
新知探究
二次函数=^2 的性质
观察 = 2 的图像，它有对称轴在哪里？图像与y轴的交点在哪里？
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 求二次函数的解析式
的学习习惯.
旧知回顾
1.用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么？
①设一次函数的解析式
；②把点的坐标代入求
方法
待定系数；③把所求系
数值代回原解析式
2.二次函数的解析式有几种形式？
一般式；顶点式 ； 交点式
待定系数法
你能根据下列所给图象的特征，设出它对应的函数表达式吗？
【题型四】几种解析式的灵活应用
例5 已知二次函数 = 2 + + 的图象的对称轴为x=2，且
经过点（1,4），（5,0），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)²+k.
+ = ,
把(1,4), (5,0)代入,得 ቊ
解得
+ = ,
所以二次函数的解析式为 =
22.1.4 第2课时 求二次函
数的解析式
1.通过分析已知条件让学生设恰当的函数解析式，达到简便运算、
解决问题的目的，提高学生分析问题的能力.
2.通过类比用待定系数法求一次函数的解析式，掌握用待定系数法
求二次函数的解析式，提高学生的运算能力.
3.通过让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程，使学生掌
如图，某建筑的屋顶设计成截面为抛物线形（曲线AOB）的薄
壳屋顶。它的拱宽AB为4 m，拱高CO为0.8 m，施工前要先制
造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
你知道应该如何设函数表达式吗？哪种方案最简单呢？
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一
定时间后，测试出这种植物高度的增长情况如下表：
方程（组）。
3.解：解得到的方程（组），求待定系数。
人教版数学九年级上册第二十二章《22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k》课件
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2的图象和性质
复习巩固：
y
O
y=ax2和y=ax2+k 的图象和性质
yy==axa2x2+k(k＞0)
重点关注5方面
x
yy==a-axx2+2 k(k＞0)
开口方向 对称轴
顶点坐标
增减性
最值
复习巩固 1、二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象性质.
复习巩固
2、二次函数 y=ax2+k(a≠0)与 y=ax2(a ≠0)
两个函数图象沿什么方向平移，由一个函数得到另一 个？平移规律是什么？
上下平移规律：上加下减.
3、 函数 y=a(x-h)2的图象，能否也可以由函数 y=ax2 平移得到？
学习新知
x
··· -4 -2 0 2 4 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
x
··· -2 0 2 4 6 ···
··· 8 2 0 2 8 ···
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口方 向
对称轴
顶点坐标
向上
y轴
(0,0)
函数
向上 直线x=2 (2,0)
的图象向右平移两个单位得到
的图象 .
学习新知
根据所画图象，填写下表：
抛物线
开口 方向
对称轴 顶点坐标
向上 y轴
(0,0)
3.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C ) A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
人教版数学九年级上册 第二十二章《二次函数》章节知识点归纳总结
人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。
（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
人教版九年级数学第22章二次函数二次函数讲义
人教版九年级数学第22章二次函数二次函数讲义 探求点1 二次函数的概念情形激疑我们知道形如b k b kx y ,(+=是常数,k ≠0)的式子是一次函数，那么什么样的函数是二次函数呢?判别二次函数又需求消足哪些条件?知识解说普通地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量,a,b,c 区分是函数解析式的次项系数、一次项系数和常数项，如73,23,32222+-=+=+-=x y x x y x x y 等都是二次函数。
〔1〕c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)叫做二次函数的-般式任何一个二次函数的解析式都可以化为c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)的方式.(2)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中，a 必須不等于O,由于假定a=0的话，此式子那么变为c bx y +=的方式，就不是二次函数了.(3)在二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,a ≠0)中,假定y=0.那么二次函数可以转化为一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 典例剖析例1 以下哪些函数是二次函数?解析 判别一个函数是不是二次函数，先把关系式化简 整理，再分三个步骤来判别:(1)看它的等号两边能否都是整式，假设不都是整式，那么必不是二次函数:(2)当它的等号两边都号林式时，再看它能否含有自变量的二次式，假设含有自变量的二安式，那就能够是二次函数，否那么就不是:(3)看它的二次项系数能否为0,假设不为0，那就是二次函教.只需按上述三步来剖析。
即可作出正确判别.答案 ①③④是二次函数.⑤不一定是二次函数，只要当a ≠0时，才是二次函数②不是整式，故不是二次函数，易错警示二次涵数关系式的等号两边都是整式.类题打破1 以下的数中:①,312+=xy ②,1522+-=x x y 由于x 的次数都是2.所以①和②都是二次函数，这样说对吗?假设不对，说明理由。
第22章 二次函数知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数知识点一 二次函数的定义1.二次函数的定义:一般地，形如)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的函数，叫做二次函数.2.任何一个二次函数的解析式都可化成)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的形式，因此，把)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 叫做二次函数的一般式3.二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 中y x ,是变量，c b a ,,是常量.自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 必须是不等于 0的实数.知识点二 实际问题中的二次函数22.1.2二次函数2ax y =的图像和性质理解 题意 分析问题中的变量和常量及它们之间的关系列函数 关系式22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质第一课时 二次函数k ax y +=2的图像和性质第二课时 二次函数()2h x a y -=的图像和性质第三课时 二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质22.1.4 二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的图象和性质第一课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质知识点一 二次函数c bx ax y ++=2与()k h x a y +-=2之间的关系 利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式:()k h x a y +-=2知识点二 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质 1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，与抛物线2ax y =的形状相同，位置不同，利用配方法可以将c bx ax y ++=2转化成顶点式，即a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= 2. 二次函数c bx ax y ++=2的性质（1）当0>a 时，抛物线开口向上，对称轴为直线a bx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ab 44,22c bx ax y ++=20>a0<a开口方向 向上 向下对称轴 直线ab x 2-= 直线ab x 2-= 顶点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22 增减性当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小当abx 2->时，y 随x 的增大而减小；当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大最值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最小值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最大值知识点三 二次函数c bx ax y ++=2的图象与系数c b a ,,之间的关系 系数 图像的特征 系数的符号a开口向上 0>a 开口向下0<a b对称轴为y 轴 0=b对称轴在y 轴左侧同号b a ,对称轴在y 轴右侧 异号b a ,c经过原点0=c 与y 轴正半轴相交 0>c 与y 轴负半轴相交0<c第二课时 用待定系数法求二次函数的解析式知识点一 用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法，用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题便捷。
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第4讲 二次函数的概念与解析式 知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初三，基础一般B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习一类新函数——二次函数，重点掌握二次函数的概念以及三种解析式，能够准确判断函数的类型，能够根据点的坐标求出二次函数的解析式，本节课的难点在于三种解析式之间的区分，需要学生能够根据点的坐标特点准确选择合适的解析式形式进行求解。
知识梳理讲解用时：20分钟课堂精讲精练 【例题1】 下列函数中，二次函数是（ ）。
c bx +（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项，a ≠0，b 或c 可以为0。
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0（2）定义域 （1）一般式)0(2≠++=a cbx ax y 形如)0(2≠++=a c bx ax y 的式子叫做二次函数的一般式。
如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式。
（2）顶点式)0()(2≠++=a k m x a y形如)0()(2≠++=a k m x a y ，k ）称为抛物线的顶点坐标，直线x=-m 称为抛物线的对称轴。
如果已知二次函②根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x 1，a ）、（x 2，a ），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为122x x x +=； ②对于任意二次函数2y ax bx c =++，当0x =时，即20ax bx c ++=，根据一元二次方程的求根公式可得：1x =2x =A ．y=﹣4x+5B ．y=x （2x ﹣3）C ．y=（x+4）2﹣x 2D ．21x y =【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A 、y=﹣4x+5为一次函数；B 、y=x （2x ﹣3）=2x 2﹣3x 为二次函数；C 、y=（x+4）2﹣x 2=8x+16为一次函数；D 、21xy =不是二次函数，故选：B ． 讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。
教学建议：牢记二次函数的定义即可。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：资中县一模 年份：2019【练习1】下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）。
A ．y=ax 2+bx+cB ．y=x （x ﹣1）C ．21x y =D ．y=（x ﹣1）2﹣x 2【答案】B【解析】本题考查了二次函数的定义，A 、当a=0时，y=bx+c 不是二次函数；B 、y=x （x ﹣1）=x 2﹣x 是二次函数；C 、21xy =不是二次函数； D 、y=（x ﹣1）2﹣x 2=﹣2x+1为一次函数，故选：B ．讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论。
教学建议：牢记二次函数的定义即可。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：普陀区一模 年份：2019【例题2】若y=m m x m m +-2)(2是二次函数，则m 等于（ ）。
A ．﹣2B ．2C ．1D ．1或﹣2 【答案】A【解析】本题考查了二次函数的定义，由题意得，m 2+m=2且m 2﹣m≠0，解得m 1=1，m 2=﹣2且m≠0，m≠1，②m=﹣2．故选：A ．讲解用时：3分钟解题思路：根据二次函数的定义，指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可。
教学建议：注意二次项系数不能等于0难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：虎林市校级期中 年份：2019秋【练习2】若y=1222)(--+m m x m m 是关于x 的二次函数，则m= 。
【答案】3【解析】本题考查了二次函数的定义，由题意，得m 2﹣2m ﹣1=2，且m 2+m≠0，解得m=3。
讲解用时：2分钟解题思路：根据二次函数的定义求解即可。
教学建议：注意二次项的系数不等于零。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：长汀县月考 年份：2019秋【例题3】已知二次函数的图像经过点（0，2）、（1，1）、（3，5），求这个函数关系式。
【答案】222y x x =-+【解析】本题考查了待定系数法求二次函数一般式，设函数解析式为()20y ax bx c a =++≠，函数经过点（0，2），（1，1），（3，5），依题意可得：93512a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即得二次函数解析式为222y x x =-+． 讲解用时：3分钟解题思路：通过设出二次函数一般式，利用待定系数法转化为求三元一次方程组。
教学建议：设出二次函数一般式。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习3】已知一个二次函数的图象经过A （0，-3），B （1，0），C （m ，2m+3），D （-1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C 的坐标。
【答案】y=2x 2+x ﹣3，C （23-，0）或（2，7）。
【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ， 把A （0，﹣3），B （1，0），D （﹣1，﹣2）代入得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=203c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-===312c b a ，②抛物线的解析式为y=2x 2+x ﹣3，把C （m ，2m+3）代入得2m 2+m ﹣3=2m+3，解得m 1=23-，m 2=2， ②C 点坐标为（23-，0）或（2，7）。
讲解用时：8分钟解题思路：设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入，然后解三元一次方程组即可得到抛物线的解析式，再把C（m，2m+3）代入解析式得到关于m 的方程，解关于m的方程可确定C点坐标。
教学建议：根据给出的各点坐标设出一般式，代点求参数即可。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：普陀区一模年份：2019【例题4】将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（）。
A．y=（x﹣6）2+5B．y=（x﹣3）2+5C．y=（x﹣3）2﹣4D．y=（x+3）2﹣9【答案】C【解析】本题考查的配方法将一般式化成顶点式，y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣4=（x﹣3）2﹣4，故选：C．讲解用时：3分钟解题思路：运用配方法把一般式化为顶点式即可。
教学建议：熟练掌握一般式配方成顶点式的过程。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：资中县一模年份：2019【练习4】抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是。
【答案】y=﹣2x2+8x﹣5【解析】本题考查了待定系数法求二次函数顶点式，②抛物线的顶点为（2，3），②设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，②经过点（3，1），②代入得：1=a（3﹣2）2+3，解得：a=﹣2，即y=﹣2（x﹣2）2+3=﹣2x2+8x﹣5．讲解用时：3分钟解题思路：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，把点（3，1）代入得出1=a （3﹣2）2+3，求出a即可。
教学建议：注意抛物线顶点式的设法。
难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：凉州区校级月考年份：2019秋【例题5】已知二次函数2-）=++的图像经过点M（1-，0）、N（4，0）、P（1，12y ax bx c三点，求这个二次函数的解析式。
【答案】2268y x x=--【解析】本题考查了根据二次函数交点式求二次函数解析式，②二次函数的图像经过点M （1-，0）、N （4，0），∴设二次函数解析式为(1)(4)y a x x =+-，把P （1，12-）代入，可得2a =， ∴这个二次函数的解析式为：2268y x x =--．讲解用时：3分钟解题思路：根据M 、N 两点坐标特征设出)4)(1(-+=x x a y ，代入P 点坐标求出a 的值即可。
教学建议：注意抛物线交点式的设法。
难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：无 年份：2019【练习5】抛物线图像经过（0，3）、（12，3），其顶点的纵坐标为6，求这抛物线的解析式。
【答案】21312y x x =-++【解析】本题考查了根据坐标特征求二次函数解析式，②抛物线2y ax bx c =++经过（0，3）、（12，3），②对称轴为直线6x =， ②顶点的纵坐标为6，②顶点坐标为(6,6)，②设二次函数解析式为2(6)6y a x =-+， ②把（0，3）代入，可得112a =-，所以抛物线的解析式为：21312y x x =-++． 讲解用时：5分钟解题思路：抛物线经过（0，3）、（12，3），得出对称轴为直线x=6，则顶点坐标（6，6），因而可以设出顶点式，代入其他坐标求出a即可。
教学建议：本题的关键在于顶点坐标的表示，可根据学生基础选讲。
难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2019【例题6】已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1，（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【答案】（1）m=0；（2）当m≠0且m≠1【解析】本题考查了一次函数与二次函数的定义，（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0，解得m=0或m=1，又②m﹣1≠0即m≠1；②当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0，解得m1≠0，m2≠1，②当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．讲解用时：5分钟解题思路：根据一次函数与二次函数的定义求解教学建议：熟练掌握一次函数与二次函数的定义。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：夏津县校级自主招生年份：2019【练习6】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是x 的二次函数，求出它的解析式。
【答案】y=6x 2+9或y=2x 2﹣4x+1【解析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得：m 2﹣2m ﹣1=2，且m 2﹣m≠0， 解得，m=3或m=﹣1，当m=3时，y=6x 2+9；当m=﹣1时，y=2x 2﹣4x+1；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x 2+9或y=2x 2﹣4x+1． 讲解用时：5分钟解题思路：根据二次函数的定义列出等式求解即可。
教学建议：注意二次项系数不为0。
难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：南江县校级期中年份：2019秋 【例题7】已知二次函数y=2x 2﹣8x+6，（1）把它化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为： ；（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ；（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标。