抛物线的几何性质.
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
抛物线的几何性质
抛物线的几何性质抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值.()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的几何性质
P O
(2b 4)2 4b2 16b 16 0, b 1.
x
∴切线方程为： y x 1.
y2 4 x x 1, ， 得 解方程组 y x 1 y 2.
所以切点为P(1,2).
【2】直线 x+y-3=0 和抛物线 y2=4x 交于 A、 B 两点.在抛物线 AOB 上求一点C,使 △ABC 的 y 面积最大.
(3)以点Q为圆心，QS为半径作圆Q，则线段ST即为圆Q与圆M 的公共弦． 设点Q(－1，t)，则QS2＝QM2－4＝t2＋5，所以圆Q的方程为(x ＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5. 从而直线QS的方程为3x－ty－2＝0.(*) 2 x＝ ， 因为 3 y＝0
一定是方程(*)的解，所以直线QS恒过一个定
【1】在抛物线 y2＝4x 上求一点 P，使点 P 到直线 抛物线的最值问题 y=x+3 的距离最小.
抛物线上到直线l距离最短的点,是和此直线平行的切线的切点.
解:易知直线与抛物线相离, 设与y=x+3平行且与 y2=4x 相切的直线方程为y=x+b.
y
y2 4 x 由 ， 化简得 x 2 (2b 4) x b 2 0 y xb
物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴 1 1 5 的距离为2(|AA1|＋|BB1|)－4＝4. 答案 5 4
涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利 用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．
【训练2】 已知F为抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，M为其上一 点，且MF＝2p，则直线MF的斜率为________． 解析
抛物线的简单几何性质
抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。
本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。
1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。
这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。
这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。
2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。
这条直线称为抛物线的对称轴。
对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。
对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。
对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。
将其代入方程中得到对应的 y坐标。
4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。
焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。
准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。
焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。
5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。
焦距的计算公式为f = 1/(4a)。
由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。
当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。
根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。
当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
抛物线的几何性质
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
例 .斜率为1的直线 l 经过抛物线 y2 = 4x 的焦 点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的 长.
焦点弦的长度 AB p x1 x2
练习: 过抛物线y2 = 8x的焦点,作倾斜角为45°的
直线,则被抛物线截得的弦长为
例 已知抛物线的方程为y2=4x，直线 l 过定点
P(-2,1)，斜率为 k，当 k 为何值时，直线 l 与 抛物线：只有一个公共点；有两个公共点； 没有公共点。
抛物线的几何性质
1.抛物线:为y2=2px的准线方程为x= -5，过 焦点F且垂直 x 轴的直线 l 与抛物线交于点 A、B，求A、B两点的距离。
2.已知抛物线C:为y2=4x的焦点为F，过点F 的直线 l 与抛物线C相交于点A、B。若 |AB|=8，求直线 l 的方程。
3.求抛物线y= -x2上的点到直线4x+3y-8=0的距 离的最小值。
p 2 x0
（0,0） p 2 x0
（0,0） p 2 y0
（0,0）
p 2
y0
p x1 x2 p (x1 x2 ) p y1 y2 p ( y1 y2 )
抛物线的几何性质
y2 = 2px （p＞0）
y
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OF x
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
抛物线的几何性质
抛 物 线（一）知识回顾1.定义：在平面内,与一个定点F 和一条定直线L(L 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.M F M H =，FK p =为焦准距。
2.标准方程：（1）焦点在x 轴正半轴：22y px =（0p >），焦点(,0)2p F ，准线：2p x =-；（2）焦点在x 轴负半轴：22y px =-（0p >），焦点(,0)2p F -，准线：2p x =；（3）焦点在y 轴正半轴：22x py =（0p >），焦点(0,)2p F ，准线：2p y =-；（4）焦点在y 轴负半轴：22x py =-（0p >），焦点(0,)2p F -，准线：2py =；（二）几何性质：以22y px =（0p >）为例 （1）范围：0x ≥，y R ∈； （2）对称性：x 轴；（抛物线的轴） （3）顶点：原点；（4）离心率：1e =抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e 表示.由抛物线定义可知,e =1.说明:①对于其余三种形式的抛物线方程,要求自己得出它们的几何性质,这样,有助于学生掌握抛物线四种标准方程.②根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。
根据焦参数p 的值确定抛物线开口的大小，p 越大，抛物线开口越开阔。
③抛物线没有渐近线.④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p 。
(5) 范围:当x 的值增大时,y 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).（三）、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB ；（四）弦长公式与中点弦问题：(1) 弦长公式:若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B的横坐标，则A B＝12x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则A B ＝21211y y k-+，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则A B12y -。
第2课时抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的简单几何性质一、抛物线的性质1．抛物线2y ＝2px(p>0)的简单几何性质(1)对称性：以－y 代y ，方程2y ＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率， (4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p.(5)范围：由y2＝2px ≥0，p>0知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，p 值越大，它开口越开阔． 2．焦半径抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3.p 表示焦点到准线的距离，p >0.p 值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄。
4．焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，抛物线的准线为l .(1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切； (2)|AB |＝2(x 0＋p2)＝x 1＋x 2＋p ；(3)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1·x 2＝42p ，y 1·y 2＝2p.题型一、抛物线的对称性例1、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．[解析] 如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且它们坐标分别为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)则：y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又|OA |＝|OB |，∴x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0. ∵x 1>0，x 2>0,2p >0，∴x 1＝x 2， 由此可得|y 1|＝|y 2|， 即线段AB 关于x 轴对称．由于AB 垂直于x 轴，且∠AOx ＝30°.∴y 1x 1＝tan30°＝33，而y 21＝2px 1，∴ y 1＝23p . 于是|AB |＝2y 1＝43p . 例2、等腰Rt △ABO 内接于抛物线2y ＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△ABO 的面积是()A ．82pB ．42p C ．22pD ．2p[答案] B题型二、抛物线焦点弦的性质例3、斜率为2的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 解∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5. 例4、过抛物线2y ＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|的值为_____________．[答案] 10 题型三、最值问题例5、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．[解析] (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P 点，故最小值为22＋12，即 5. (2)如图把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于P 1.此时，由抛物线定义知： |P 1Q |＝|P 1F |.那么|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q | ＝|BQ |＝3＋1＝4. 即最小值为4. 例6、定点M ⎪⎭⎫⎝⎛310,3与抛物线y 2＝2x 上的点P 之间的距离为d 1，P 到抛物线准线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2取最小值时，P 点坐标为( )A ．(0,0)B ．(1，2)C ．(2,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,81 [答案] C例7、设抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．[正解] (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，当p >0时，|BD |＝2p ，圆F 的半径|F A |＝2p ，由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|F A |＝2p . 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42，解得p ＝2，所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8. 当p <0时，同理可得p ＝－2，∴F (－1,0)， ∴圆F 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝8.(2)因为A 、B 、F 三点在同一直线m 上，所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°，由抛物线定义知|AD |＝|F A |＝12|AB |.所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33. 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0，解得b ＝－p 6.因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3. 当m 的斜率为－33时，由图形的对称性可知，坐标原点到m ，n 的距离的比值为3. 课后作业一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝10，则弦AB 的长度为( )A ．16B ．14C ．12D ．10[答案] C[解析] 设抛物线的焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝10＋2＝12. 2．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA |为( )A.214pB.212pC.136p D.1336p [答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，直线F A 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2px y ＝3(x －p 2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32p y 1＝3p. ∴|OA |＝x 21＋y 21＝94p 2＋3p 2＝212p . 3．过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，若点A 、B 在抛物线准线上的射影分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] C[解析] 设抛物线方为y 2＝2px (p >0)． 如图，∵|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∴∠AA 1F ＝∠AF A 1，∠BFB 1＝∠FB 1B .又AA 1∥Ox ∥B 1B ，∴∠A 1FO ＝∠F A 1A ，∠B 1FO ＝∠FB 1B ，∴∠A 1FB 1＝12∠AFB ＝90°.4．抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，其准线经过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，点M 为这两条曲线的一个交点，且|MF |＝2，则双曲线的离心率为( ) A.102B ．2 C. 5 D.52[答案] A[解析] F (12，0)，l ：x ＝－12，由题意知a ＝12.由抛物线的定义知，x M －(－12)＝2，∴x M ＝32，∴y 2M ＝3，∵点(x M ，y M )在双曲线上，∴9414－3b 2＝1，∴b 2＝38，∴c 2＝a 2＋b 2＝58，∴e 2＝c 2a 2＝58×4＝52，∴e ＝102. 5．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( ) A ．x －p ＝0 B ．4x －3p ＝0 C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝0[答案] C[解析] 如图所示：∵F 为垂心，F 为焦点，OA ＝OB ，∴OF 垂直平分AB . ∴AB 为垂直于x 轴的直线设A 为(2pt 2,2pt )(t >0)，B 为(2pt 2，－2pt )， ∵F 为垂心，∴OB ⊥AF ，∴k OB ·k AF ＝－1， 即－(2pt )2(2pt 2－p 2)·2pt 2＝－1，解得t 2＝54∴AB 的方程为x ＝2pt 2＝52p ，∴选C.二、填空题6．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是__________________．[答案] π4或3π4[解析] 设直线的倾斜角为θ，由题意得12＝2p sin 2θ＝6sin 2θ，∴sin 2θ＝12，∴sin θ＝±22，∵θ∈[0，π)，∴θ＝π4或3π4.7．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝__________________.[答案] 8[解析] 如图，k AF ＝－3，∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43， 即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6， ∴|P A |＝8＝|PF |. 三、解答题8．如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时记为B ′(注：图中EF 为折痕，点F 也可落在CD 边上)．过点B ′作B ′T ∥CD 交EF 于点T ，求点T 的轨迹方程．[解析] 如图，以边AB 的中点O 为原点，AB 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (0，－2)．连结BT ，由折叠知|BT |＝|B ′T |.∵B ′T ∥CD ，CD ⊥AD ，∴B ′T ⊥AD .根据抛物线的定义知，点T 的轨迹是以点B 为焦点，AD 所在直线为准线的抛物线的一部分．设T (x ，y )．∵|AB |＝4.即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线的方程为x 2＝－8y .在折叠中，线段AB ′的长度|AB ′|在区间[0,4]内变化，而x ＝|AB ′|，∴0≤x ≤4，故点T 的轨迹方程为x 2＝－8y (0≤x ≤4)．9．定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线y 2＝x 上移动，求AB 中点到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标．[解析] 如图，设F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，M 点到准线的垂线为MN ，N 为垂足，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)，根据抛物线定义得|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴|MN |＝12(|AF |＋|BF |)≥|AB |2＝32.设M 点的横坐标为x ，则|MN |＝x ＋14，∴x ＝|MN |－14≥32－14＝54，等号成立的条件是弦AB 过点F ， 由于|AB |>2p ＝1，∴AB 过焦点是可能的，此时M 点到y 轴的最短距离是54，即AB 的中点横坐标为54.当F 在AB 上时，设A 、B 的纵坐标分别为y 1、 y 2，则y 1y 2＝－p 2＝－14，从而(y 1＋y 1)2＝y 21＋y 22＋2y 1y 2＝2×54－12＝2，∴y 1＋y 2＝±2， ∴M 点的坐标为(54，±22)时，M 到y 轴距离的最小值为54.。
抛物线的几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px y
P(x,y)
•X 0
o
p F ( ,0 ) 2
x
•y取全体实数
二、抛物线的对称性 y2=2px
y
M(x,y)
以-y代y方程不变，所以抛物线 关于x轴对称．我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴．
o
F(
p ,0 ) 2
x
M1(x,-y)
三、抛物线的顶点 y2=2px
24cm
o
F
P
x
B
10cm
例3已知点A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的 交点为（4，0）。动点p满足 OA OP y 求P点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 分析：设P（ x，y）则A（4，y） OA OP ∴ OA.OP 0
（ 。 ∴ x，y） （4，y）=0 L P A
（4，0） x
请具体说出开口方向，焦点坐标，准线方程。
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
好好学习
Y
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点,只有一个顶 点.
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的 比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、焦半径
|PF|=x0+p/2
y
P
O
பைடு நூலகம்
F
x
例1：已知抛物线以x轴为轴，顶点式坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M 4,2 3 ，求它的标准方程。
分析：根据已知条件，可以设抛 物线的方程为
Y
抛物线的几何性质
p 2 x0
1
2p
p 2
x0
1
2p
p 2
y0
1
2p
p 2
y0
1
2p
归纳:
1 、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也 可以无限延伸，但没有渐近线；
(2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条 准线；
(4)、抛物线的离心率e是确定的为１,
⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张 口越大.
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
（0,0） （0,0） （0,0） （0,0）
计算结果：得到
O
x 一元二次方程,需
计算判别式。相
交。
例3、已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定 点P（-2,1）,斜率为k,当k为何值时，直线l与
抛物线：
（1）两个公共点；
（2）没有公共点。
（3）只有一个公共点；
考点四、与弦长、中点有关的问题
例 4 、 顶 点 在 原 点 ， 焦 点 在 x 轴 上 的 抛 物 线 ， 截 直 线 2 x -y 1 0 所 截 得 弦 长 为 1 5 ， 求 抛 物 线 方 程 .
考点三、直线与抛物线位置关系
1、相离；2、相切； 3、相交（一个交点,两个交点）
抛物线的简单几何性质 课件
抛物线性质的综合应用
[探究问题] 1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关 系？ 提示：两条直线的斜率互为相反数．
2．如何求抛物线 y＝－x2 上的点到直线 4x＋3y－8＝0 的最小值？
提示：法一：设 A(t，－t2)为抛物线上的点， 则点 A 到直线 4x＋3y－8＝0 的距离 d＝|4t－35t2－8|＝|3t2－54t＋8|＝15 3t－232－43＋8＝153t－232＋230＝35t－232＋43. ∴当 t＝23时，d 有最小值43.
(2)①设出直线方程，直线方程与抛物线方程联立，根据焦点弦长公式求 解．
②根据(1)求出点 A、B 的坐标，设出点 C 的坐标，由O→C＝O→A＋λO→B，可 用 λ 表示点 C 的坐标，最后根据点 C 在抛物线上求出 λ 值．
[解] (1)法一：设以 Q 为中点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有 y21＝8x1，y22＝8x2，
(2)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.
①求该抛物线的方程； ②O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[思路探究] (1)法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求 kAB；法二： 设直线 AB 的方程，建立方程求解．
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
[答案] y2＝3x或y2＝－3x
(2)由已知得ac＝2，所以a2＋a2b2＝4，解得ab＝ 3， 即渐近线方程为 y＝± 3x. 而抛物线准线方程为 x＝－p2， 于是 A－p2，－ 23p，B－p2， 23p， 从而△AOB 的面积为21· 3p·p2＝ 3，可得 p＝2.因为抛物线开口向右，所 以其标准方程为 y2＝4x.
抛物线的几何性质
M (x, y)
关于x轴 对称
M1(x, y)
由于点(x, y) 也满
足 y2 = 2px ，故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.
y M(x,y)
o F( p ,0) x
2
M1(x,-y)
3、 顶点
y
定义：抛物线
与它的轴的交点叫 做抛物线的顶点。
o F( p ,0) x
2
抛物线y2 = 2px
抛物线的几何性质
（一）回顾
图形
y
l
OF x
焦点
F ( p ,0) 2
yl
FO x
F ( p ,0) 2
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
F (0, p ) 2
F (0, p ) 2
准线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
3.抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条 准线； 4.抛物线的离心率是确定的,为1。
5、抛物线的通径 2p
6、抛物线不是双曲线的一部分。
y
1
O1
x
（三）例题
例1.已知抛物线关于x轴 对称,它的顶点在坐标原点, 并且经过点M(2,2 2),求它 的标准方程。
例2.探照灯反光镜的轴截面是 抛物线的一 部分,光源位于抛物 线的焦点处.已知灯口圆的直径 为60cm,灯深40cm.求抛物线的 标准方程和焦点位置。
得到直线l 的方程为 y 2 p (x 2 p) yA yB
第12讲：抛物线的简单几何性质
第12讲：抛物线的简单几何性质基本知识点1 抛物线的简单几何性质以抛物线22(0)y px p=>①为例探究其性质．(1)范围：因为p>0, 由方程①可知，对于抛物线①上的点M(x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴右侧，开口方向与x轴正向相同；当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：以－y代换y，方程①不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程①中，当y=0时，x=0，因此抛物线①的顶点就是坐标原点．(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由定义可知，e=1．对于抛物线其他三种标准形式也可得到上述类似性质，现将这四种抛物线标准方程的几何性质总结如下表：例 1.已知A ，B 是抛物线22(0)x px p =>上两点，O 为原点．若||||OA OB =,①AOB的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x p =B ．3x p =C ．32x p =D ．52x p =2． 焦半径公式与焦点弦问题 （1）．焦半径公式设抛物线上一点P 的坐标为(x 0，y 0)，焦点为F ．① 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =>=+=+. ② 抛物线2002(0),||||22p py px p PF x x =->=-=-+.③ 抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =>=+=+.④抛物线2002(0),||||22p px py p PF y y =->=-=-+例2. 已知点A ，B 为抛物线214y x =上的动点，且||(AB a a =为常数，且a ≥4)，求AB 的中点P 到x 轴的最小距离．(2)．焦点弦问题如图，AB 是抛物线y 2=2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，过点A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为点111,,,A M B根据抛物线的定义，有11||||,||||,AF AA BF BB == 故11||||||||||AB AF BF AA BB =+=+. 又因为MM 1是梯形AA 1B 1B 的中位线， 所以111||||||2||AB AA BB MM =+=，从而有下列结论： (1)以AB 为直径的圆必与准线l 相切． (2)0||2()2pAB x =+(焦点弦长与中点关系)．以上结论是抛物线特有的性质，要注意灵活运用．你能发现其他性质吗？例3. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果221224y y +=，那么||AB = .3． 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点)；下面对抛物线22(0)y px p =>与直线的位置关系进行讨论： (1)直线的斜率k 不存在．设直线方程为x a =.若0a >，直线与抛物线有两个交点；若0a =，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若0a <，直线与抛物线没有交点． (2)直线的斜率k 存在．设直线:l y kx b =+，抛物线22(0)y px p => ，直线与抛物线的交点的个数等于方程组22y kx by px=+⎧⎨=⎩的解的个数. 也等于方程2222()0k x kb p x b +-+=(或2220ky py bp -+=)的解的个数．① 若k≠0，则当∆>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当∆=0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当∆＜0时，直线与抛物线相离，无公共点．② 若0k =，则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交，有一个公共点．例4 过抛物线24y x =的焦点F ，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A ，B 两点，AB 的中点为M ，求FM ． 综合应用应用点一 由抛物线的几何性质求标准方程例5. (1)已知抛物线的对称轴为坐标轴，以原点为顶点，且经过点M(1，－2)，求抛物线的方程．(2)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．应用点二 直线与抛物线的位置关系的判断例6. 设直线:1l y kx =+，抛物线2:4C y x =，当k 为何值时，l 与C 相切?相交?相离?应用点三 弦长问题例7.（1） 设直线y =2x +b 与抛物线24y x =交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为b 的值．（2）. 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A (11,x y )，B (22,x y )两点，请判断： ①12,x x 是否为定值?②11FA FB+是否为定值?应用点四 弦中点问题例8．已知抛物线22y x =，过点(2,1)Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，（1）弦AB 恰被点Q 所平分，求AB 所在直线的方程． (2)试求弦AB 的中点的轨迹方程． 应用点五 抛物线有关的最值 例9. 已知抛物线22.y x =(1)设点A 的坐标为(23，0)，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离||PA ；(2)设点A 的坐标为(a ，0)，求抛物线上的点到点A 的距离的最小值d ，并写出()d f a =的函数表达式．课后练习1．若抛物线24(0)y px p =->的焦点为F ，准线为l ，则P 表示 ( )A．点F到y轴的距离B．点F到准线l的距离C．点F的横坐标D．点F到抛物线上一点的距离2．过点(2，4)作直线与抛物线28y x=只有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知直线(y kx k k=-为实数)及抛物线22(0)y px p=>，则A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点4．过抛物线24y x=的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在5．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30︒的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则①OAB的面积为( )A B C. 6332D. 946．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(,2)M m-到焦点的距离为4，则m=( )A．4 B．－2 C．4或－4 D．2或－27．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线1x =-的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1，0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是 ．8．抛物线的顶点在原点，以y 轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为 ． 9．抛物线22(0)xpy p => 的焦点为F ，其准线与双曲线22133x y -=相交于A ，B 两点．若①ABF 为等边三角形，则P = ．10．已知点A (－2，3)在抛物线C 2:2y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ．11．如图，已知抛物线211:4C y x =，圆222:(1)1C x y +-=，过点(,0)(0)P t t >作不过原点O 的直线P A ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求①P AB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．12．如图，已知λ>0，点A 的坐标为(1，1)，点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=，求点P 的轨迹方程．。
抛物线的几何性质
抛物线的标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F( p ,0) 2
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0, b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
e c , (0 e 1) a
Py A
解：过A，B点作准线的垂线，垂足 为P,Q
P(
p 2
,
y1),Q(
p 2
,
y2
),
F
(
p 2
,0)
PF QF
O •F
x
Q
B
PF QF 0 即( p, y1) ( p, y2 ) 0
p2 y1 y2 0
即y1 y2 p2
易得： x1 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
p2 4
过抛物线焦点的直线的弦：
抛物线的定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛物线 .
y
定点是抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的 l d .M
准线，常数e＝1是抛物线的离心率.
抛物线的简单几何性质(综合)
外切
总结词
当抛物线的焦点在圆外，且圆心在抛物线上 时，抛物线与圆相切于两点，即外切。
详细描述
外切的情况发生在抛物线的焦点位于圆心所 在直线的另一侧时。此时，圆心到抛物线准 线的距离等于圆的半径，因此抛物线与圆相 切于两点。
相交
总结词
当抛物线的焦点在圆内或圆在抛物线上时， 抛物线与圆有两个交点，即相交。
抛物线的简单几何性质(综合)
目 录
• 抛物线的定义与基本性质 • 抛物线的对称性 • 抛物线的几何变换 • 抛物线与直线的交点 • 抛物线与圆的位置关系 • 抛物线的实际应用
01 抛物线的定义与Байду номын сангаас本性质
定义
01
抛物线是一种二次曲线，其方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a neq 0$。
关于原点的对称性
总结词
抛物线关于原点的对称性表现为，将抛物线绕原点旋转180度，其形状和位置 保持不变。
详细描述
当抛物线绕原点旋转180度时，抛物线的开口方向发生改变，顶点的位置也发生 改变，但抛物线的形状和位置保持不变，即关于原点对称。
03 抛物线的几何变换
平移
总结词
平移不改变抛物线的形状和开口方向，只是沿垂直或水平方向移动抛物线。
联立方程法
将抛物线的方程与直线的 方程联立，解出交点的坐 标。
判别式法
利用二次方程的判别式来 判断直线与抛物线是否有 交点，以及交点的个数。
参数方程法
利用抛物线的参数方程， 将参数表示为交点的坐标。
交点与弦长
弦长公式
根据抛物线与直线的交点坐标，利用弦长公式计算弦长。
课件6：2.3.2抛物线的几何性质
(3)顶点． 抛物线和_____坐__标_____的交点叫做抛物线的顶点，这 条抛物线的顶点为___原__点___．
(4)离心率．
抛物线上的点到__焦__点____与___准__线___的距离的比，叫 做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义知e＝ ____1__ 的坐标为(x，y)，则由已知得 A 点坐标为 (4，y)，所以O→A＝(4，y)，O→P＝(x，y). 因为O→A⊥O→P，所以O→A·O→P＝0，
因此4x＋y2＝0，即P的轨迹方程为4x＋y2＝0. 轨迹的形状为抛物线.
跟踪练习
1.分别求适合下列条件的抛物线方程． (1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2,3)； (2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的 距离为.
D．x2＝28y
【答案】 B
【解析】∵p2＝7，∴p＝14，∵焦点在 x 轴上， ∴方程为 y2＝28x.
2．抛物线 y＝－x2 的焦点坐标为( )
A．(0，14)
B．(0，－14)
C．(41，0)
D．(－14，0)
【答案】 B 【解析】y＝－x2 化为标准方程为 x2＝－y，∴p＝12. ∴焦点坐标为 F(0，－41)．故选 B.
2.3.2 抛物线的几何性质
情景导入
如果让抛物线绕其对称轴旋转，就得到一个旋转形的 抛物面曲面，旋转抛物面的轴上，有一个焦点，任何 一条平行于抛物面轴的光(射)线由抛物面上反射出来 之后，其反射光(射)线都通过该点，应用抛物面的这 个几何性质，人们设计了很多非常有用的东西，如太 阳灶、卫星电视天线、雷达等．当然这条性质本身也 是抛物线的一条性质，今天我们就来具体研究一下构 成抛物面的线——抛物线的几何性质.
【答案】y2＝6x (32，0) x＝－32
(完整版)抛物线的几何性质
抛 物 线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？ 分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数 故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。
抛物线的几何性质
一、抛物线的范围: 一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X ≥ 0
X
•y取全体实数
二、抛物线的对称性
Y
y2=2px
关于X 关于X轴对称 没有对称中心
X
三、抛物线的顶点
Y
y2=2px
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点 只有一个顶点
四、抛物线的离心率
例 5、已知抛物线顶点在原点，以 x 轴为 、已知抛物线顶点在原点， 2 2 对称轴且与圆 x ＋y ＝4 相交的公共弦长 求抛物线的方程。 为 2 3 ，求抛物线的方程。
y A O B x
抛物线的几何性质特点
（1）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， ）只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸， 但没有渐进线。 但没有渐进线。 （2）只有一条对称轴，没有对称中心。 ）只有一条对称轴，没有对称中心。 （3）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。 ）只有一个顶点，一个焦点，一条准线。 是确定的， （4）离心率 是确定的，即e =1 ）离心率e是确定的 （5）一次项系数的绝对值越大，开口越大 ）一次项系数的绝对值越大，
2
抛物线相交于A, B两点，求线段AB的长。
由已知得抛物线的焦点为F (1,0), 所以直线AB的方程为y = x − 1
y
A’ O B’
A F B
x
代入方程y = 4 x, 得( x − 1) = 4 x,
2 2
化简得 x 2 − 6 x + 1 = 0 .
∴ ∴ x1 + x2 = 6 AB = x1 + x2 + 2 = 8
30由∆ < 0，即2k 2 + k − 1 < 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
略证：过F作FN丄AB交准线I于N，连结AN、BN,
贝U Rt△APM也Rt△AMF, •••|PN|=|FN|,同理，|QN|=|FN|,从而|QN|=|PN|,于是有，M与N重合， 说明：F点在以PQ为直径的圆上，故/
过点M(2,-2J2),所以可设它的标准方程为
2
y2px（p 0）.2源自P2,因此所求方程是y 4x.
F面列表、描点、作图:
x
0
1
2
3
4
•…
y
0
2
2.8
3.5
4
说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤;
②抛物线没有渐近线；
2
③抛物线的标准方程y2px( p 0)中2 p的几何意义：抛物线的通径,
过焦点而垂直于x轴直线与抛物线两交点的线段.
课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握抛物线的几何性质，并在具体应用时注意区分抛物线标 准方程的四种形式及求解抛物线标准方程的方法，进一步掌握坐标法的应用，并了解抛物
线知识在生产生活实际中的应用.
课后作业：习题8.61,2,3,4, 5,6.
2p(X 2p)•••直线AB过定点(2p,0).yiy2
③
即(yiy2)2 2yiy22P(xix?)，设m(x,y)则yi
抛物线的几何性质
教学目标：
1.掌握抛物线的几何性质；能根据几何性质确定抛物线的标准方程
2.能利用工具作出抛物线的图形.提高综合解题能力 教学重点及难点：
1.抛物线的几何性质，抛物线定义，性质应用
2.几何性质的应用，解题思路分析 教学过程：
第一课时抛物线的几何性质
I.复习回顾
简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)
设抛物线的标准方程是y22px( p 0).由已知条件可得
点A的坐标是(40,30)，代入方程得：
30
说明:这个题目对学生来说，求边长不困难，但是他们往往直观上承认抛物线与三角形 的对称轴是公共的，而忽略了它的证明.教学时，要提醒学生注意这一点，通过这一例题，可 以帮助学生进一步掌握坐标法.
川.课堂练习：课本Pi231,2. 3,4.
3抛物线没有渐近线.④垂直于对称轴的焦点弦叫抛物线的通径，其长为2p。
下面，大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质.
例1.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点
方程,并用描点法画出图形.
由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知
条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数P解:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经
例2.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处
圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置
分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程，关键是选择
建立恰当的坐标系，并由此使学生进一步认识坐标法.
解:如图8—25,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标 系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合,x轴垂直于灯口 直径.
动，|PM|=di,p到准线的距离为d2，求当 注：连MF，与抛物线交点即为所求。
究它的几何性质
n•讲授新课
1.范围
当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸
意与双曲线一支的区别，无渐近线).
2.对称性
抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点
抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫抛物线的离心率，用e表示.
由抛物线定义可知，e=1.
说明：①对于其余三种形式的抛物线方程要求自己得出它们的几何性质，这样,有助于
学生掌握抛物线四种标准方程.
2根据一次项的变量确定对称轴和焦点位置，根据一次项系数的符号确定开口方向。
根据焦参数P的值确定抛物线开口的大小，P越大，抛物线开口越开阔。