物理 电磁学 第16讲 有导体存在时静电场量的计算

S
( 2 3 )DS =0 E dS
0
1 2
A
2 - 3
ˆn e
3 4
B
在 A 中取一 P 点，
1 2 3 4 EP =0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 4 由电荷守恒： q A qB qA 1S 2 S 1 4 2S q B 3 S 4 S - q A - q B 2 3 2S
C
B
qB
插入中性金属板 C 做高斯面 S1， 2 - 3 4 - 5 做高斯面 S2， 在 A 板内取一点 P 1 6
1 2 3 4 5 6
A S1 C B
1 2 3 4 5 6 EP 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 q A qB 1 6 3 - 4 电荷 2 S 守恒 q A ( 1 2 ) S q A - qB qB ( 5 6 ) S 2 - 3 4 - 5 2 S B 接地电荷如何分布? B = 0 qA 1 6 0 (反证法） 2 - 3 4 - 5
Q - Q Q - q (4) 1 0 4π 0 R0 4π 0 R1 4π 0 R2
Q+q q R2 R 0 R1
q 1 1 1 Q - R2 R0 R1 R2
-1
Q - Q Q - q Q - q 2 4π 0 R2 4π 0 R2 4π 0 R2 4 π 0 R2
[例] 金属球 A 与金属球壳 B 同心放置。 已知：球 A 半径为 R0，带电为 q，壳 B 内外半径 B 分别为 R1、R2，带电为 Q。 Qq 求：1) 场强分布； 解：1) 由高斯定理可得： r R0， E0 q ˆ R0 r R1，E e 2 r 4π 0r R1 r R2，E 0 qQ ˆ r R2， E e 2 r 4π 0r
r
此结果也可用电势叠加原理获得。
-q ( 3) 1 4 π 0 R0 4 π 0 R1 q
q R1 R0-q R2
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q，壳带电 Q， 求：(1) 场强分布；(2) 内球电势 1；(3) 外壳接地，1 = ？ (4) 拆开接地线后将内球接地，2 = ？(5) 无上述接地过程， 用导线联接两导体，1 = ？电场分布结果又如何？
DS P qA e ˆn qB
x
1 2 3 4 q A qB 1 4 A B 2S 讨论 q A - qB 2 - 3 2S qA qB 1 4 0 (1) q A - qB 电荷分布在两板内壁 2 - 3 q A S
q P 4 π 0 r0 4 π 0 r
q
(2) 若球接地，导体球心 O 处的电势为零，即 O = 0
O O
R q - q r0
q 4 π 0 r0
q O 4 π 0 R
[例] 如图，求 O 点处感应电荷密度 。 解：取导体板内很邻近 O 点的 O/ 点，直线在 O/ 点产生的电场
S 拆去 B 的接地线，令 A 接地，结果如何？ qA 2 - 3 4 - 5 1 6 0 S
P qA
S2
qB
(2) 如果使 B 板接地，求 AB
1 2 3 4 5 6
间电场强度的大小 E。
A qA
C
B qB
1 6 0
qA 2 - 3 4 - 5 S 2 qA 4 qA E AC ECB ， 0 0S 0 0S
E P 0方向沿 r 指向 q。
q
4 π 0r
2
P R O
r
r0
q
P 点的电势是导体球面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的，于是所求电势等于总电势减去球外点电 荷 q 产生的电势：
q P P 4 π 0 r
导体达到静电平衡后，P 点电势与 O 相等，即 P = O 电势：
(5) 如果用导线将 A 和 B 连接起来， 只有 B 壳外表面带电： Q + q
qQ 1 外球壳 4 π 0 R2
相应的电场分布为：
导线
E1 0，
E2 0，
E3 0， qQ E4 e ˆ 2 r 4 π 0 r B
不变。
R0 A Q+q
R1 R2
E4
[例] 如图所示，半径为 R 的导体球原为中性，现将一带电量 为 (> 0)的点电荷q放在导体球外离球心 O 点距离为 r0 (r0 > R)处，导体球内 P 点离点电荷 q 距离为 r处。试求：(1) 导体球上感应电荷在 P 点处的电场强度和电势； (2) 若导体球接地，导体表面上感应电荷 q 是多少？ 解： (1) P 点总的电场强度为零。该点的电场强度是导体球 面上非均匀分布的电荷及球外点电荷 q 所共同产生的， 于是所求场强等于总场强减去球外点电荷 q 所产生的 场强：
有导体存在时静电场场量的计算
原则: 1. 静电平衡的条件
E内 0
2. 基本性质方程
i S E d S qi
or const.
0
L E dl 0
Qi const.
i
3. 电荷守恒定律
[例] 两金属板 A、B 长宽分别相等，且均远大于板间距， 带电 qA、qB，板面积为 S，求每板的面电荷密度。 解：
E1
d
l dx l 2 4π 0d 4π 0 x
d
O/
导 体 板

+l
直线
O
而 在 O/点产生的电场
x
E2 2 0
由总电场 EO E1 E2 0 得
-
l
2πd
总结
有导体存在时静电场的分析与计算
1. 分析方法： 电荷守恒 三方法结合 静电平衡条件 高斯定理
2. 常见导体组：板状导体组
球状导体组
( 2) q A qB ( 3) qB 0
1 4 q A S 2 3 0
电荷分布在两板外壁
qA 1 2 - 3 4 2S
Leabharlann Baidu
1 2
3 4
B
讨论
A P qA
4 0 (4) B 板接地 A 板上的电荷仍守恒 q A 1 S 2 S
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体 球带电 q，壳带电 Q，求： Q (1) 场强分布； q R1 R0 (2) 内球电势 1； R2 (3) 外壳接地，1 = ？ (4) 拆开接地线后将内球接地，2 = ？ (5) 无上述接地过程，用导线联接两导 体，1 = ？电场分布结果又如何？
由高斯定理仍可得 在 A 中取一 P 点，
qB
2 - 3
1 4 0 联立求解可得： 2 - 3 q A S 电荷分布在两板内壁
1 - 2 - 3 0
[例] 两金属板 A、B 长宽分别相等， A 且均远大于板间距，带电 qA、 qB，其间插入中性金属板 C， qA 三板面积均为 S。 (1) 求每板的面电荷密度。 (2) 如果使 B 板接地，求 AB 间电场强度的大小 E。
1 E dl r Edr q qQ R R R 0 1 2 r 0 dr R dr R 0dr R dr 2 2 0 1 2 4π 0 r 4π 0 r q -q qQ Q+ q 4π 0 R0 4π 0 R1 4π 0 R2
q OR 0 R2 R1
A
E
0 R0 R1R2 r (此结果可由场强叠加原理获得)
[例] 实心导体球被同心导体球壳包围，导体球带电 q， 壳带电 Q Q，求： ，求：( (1 1) ) 场强分布； 场强分布； (( 2 2 ))内球电势 内球电势 1 ； 1； (3) 外壳接地，1 = ？ 解：(2)