整理力法对称结构

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(整理)力法求解超静定结构的步骤：.

第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。

二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。

即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。

多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。

多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。

即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。

3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。

精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。

力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。

五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。

结构力学-力法中对称性的利用

对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b）基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1，另一驵为两个成反对称的未知力Y2（图8-23a）。新的未知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0

结构力学对称性应用

对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。

我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。

现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。

结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。

而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。

另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。

在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。

在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。

如下图所示：对称性在求解结构内力中的应用：对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。

因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。

据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。

取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。

简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。

2、将未知力及荷载分组。

3、取半结构进行计算。

对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。

在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。

选取半结构的原则:1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效偶数跨对称结构: £8-15在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。

分析可知，在正对称荷载时用位移法求解只有一个基本未知量；但在反对称荷载时若用位移法求解将有两个基本未知量，而用力法求解则只有一个未知量。

力法(对称结构的计算)(上课)

6m
81 207 103.5 103.5 103.5
kNm kNm 198 198 396
23kN/m
EI
EI EI
M K kN· m 135
等代结构
6m
135
135
198
等代结构的计算
无弯矩状态的判定：
在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。
常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
P2
X1=1
13 31 23 32 0
X2
X3
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 P 0
M1
一般荷载
X2=1 X2 X3=1
M2
M3
部分副系数为0，力法方程降阶
§5-5 对称结构的计算
支座、刚度都对称的结构. 1、结构的对称性：对称结构是几何形状、
EI EI EI 对称轴 EI EI EI2 对称轴
P1
m ↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑ EI1
P
l/2 EI2
q 对称轴
P1
EI1 a/2
l/2
a/2
2、荷载的对称性：对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、同向。反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。
16
在各种节点情形下 c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变
C P 2EI P P C 2EI P
C P P EI 2EI P EI P

结构力学对称性应用

对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。

现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。

结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。

而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。

另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。

在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。

在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。

因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。

据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。

取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。

简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。

2、将未知力及荷载分组。

3、取半结构进行计算。

对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。

反对称正对称在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。

选取半结构的原则：1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效奇数跨对称结构：偶数跨对称结构：在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。

结构力学-力法-对称性应用-去一半计算

例8-5 试计算如图示圆环的内力。EI=常数。 P
R
o
取1/4
基本体系
P 解：这是一个三次超静定。有两个对称轴，故取四分之一结构，
则为一次超静定。
M1 =1，
Mp=-PRsin/2
X1=1
P
R
o M1图
R
PR/2
o
Mp图
PR(-2)/2
PR/
P M图
如图示，则系数和自由项为：
11=M12ds/EI=1/EI0/2Rd=R/2EI 1P=M1Mpds/EI=1/EI/2(-PRsin)rd=-PR2/2EI
转到下一节
M图(a)
1
C
K
B
a/4
A
MK图(d)
若取(d)的基本结构则有：
Ky=-1/EI1(a/2a/4)1/23pa/88=-3pa3/1408EI1 综上所述，计算超静定结构的步骤是：
（1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态。（2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力。（3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。
Ky

1 EI1
1 2
a 2
a 2
5 3 Pa 6 88
1 2EI1
1 2

3 88
Pa
15 Paa 88
a 2
1 2
Pa a 4
a 2
3Pa3 1408EI1
3pa/88
B
C I1
p
15pa/88
2I1
A
于是得：
X1=- 1P/11=PR/
最后弯矩为：M=M1X1+MP=PR/-Prsin=PR(1/-sin/2)

10.6 对称结构计算

11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0 33 X 3 3 p 0
三元方程组自动解耦降阶
计算简化
2.荷载分组与未知力分组
当对称的超静定结构承受非对称荷载时，在有些情况下，虽然选取了对称的基本结构，但未知力关于对称轴却不对称。如右图所示结构,此时可采用如下两种办法来处理。
结论:对称结构在正对称荷载作用
下，内力和位移都是正对称的；在反对荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。
四、利用对称性简化结构计算
依据：对称结构的受力性质。简化计算常用方法
选取对称的基本结构将荷载分组或未知力分组求解取半结构计算
1.选取对称的基本结构
正对称
正对称
反对称
力法的典型方程可简化为
X1
X1
X2
P / 2 X2
求解简化
未知力分组为使力法方程简单，还可采取将未知力分组的方法：将原有在对称位置上的两个多余未知力分解成一组正对称的未知力和一组反对称的未知力。
X1 Y1 Y2
X 2 Y1 Y2
X1 X 2 X1 X 2 Y1 Y2 2 2
23 32
正对称图形反对称图形
M 1M 3 ds 0 EI M 2M3 ds 0 EI
1 p
2 p
M 1M P ds 0 EI M 2MP ds 0 EI
11 X 1 12 X 2 0 力法典型方程变为 21 X 1 22 X 2 0 33 X 3 3 p 0
1 a a 2 a a a 7a 3 EI 11 a 2 2 2 3 2 2 2 24 1 a Pa3 EI 1P Pa a 2 2 4 1P Pa3 24 6 X1 3 P 11 4 7 7a

力法的对称性

法2:1)将刚架上的荷载分组
正对称荷载下的计算: 2) 正对称荷载下的计算: δ11=144/EI 1P =1350/EI x1 = - 1P /δ11 = -9.935 δ 左侧受拉) MAB =33.75 kNm (左侧受拉) 右侧受拉) MAB中 =-28.125kNm (右侧受拉)
反对称荷载下的计算: 3) 反对称荷载下的计算: δ22=704/3EI 2P =-2240/EI x2 = - 2P /δ22 = 9.545 δ 上侧受拉) MBC =-1.82 kNm (上侧受拉) 下侧受拉) MBC` = 1.82 kNm (下侧受拉) 右侧受拉) MBA =-3.64 kNm (右侧受拉)
考虑对称性后: 考虑对称性后: δ13= δ31 = δ23= δ32= 0 代入式( ),得代入式(a),得: δ11x1+δ12x2+1P=0 δ δ21x1+δ22x2+2P=0 δ δ33x3+3P=0 (b) 原方程分解成两相互独立的方程. 互独立的方程.
二,荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 荷载具有正或反对称性(考虑荷载情况) 正对称荷载作用下: 正对称荷载作用下:只有正对称的多余力
x`2=x`1+x x1= x`1+x /2 x2= x/2
一,了解力法的基本思路以及力法基本未知量,基了解力法的基本思路以及力法基本未知量, 本体系(基本结构),基本方程的概念. ),基本方程的概念本体系(基本结构),基本方程的概念. 弄清力法的基本原理. 二,弄清力法的基本原理.深刻理解力法典型方程的物理意义. 的物理意义. 熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 三,熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算; 掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法对称性的利用. 对称性的利用. 力法计算步骤: 四,力法计算步骤: 确定结构的力法基本未知量及基本体系, 1)确定结构的力法基本未知量及基本体系,建立力法方程; 力法方程; 作基本结构分别在各因素下的内力( 2)作基本结构分别在各因素下的内力(图); 计算力法方程中的系数和自由项; 3)计算力法方程中的系数和自由项; 解力法方程,求出多余未知力; 4)解力法方程,求出多余未知力; 叠加做结构内力图; 5)叠加做结构内力图; 校核. 6)校核.

结构力学对称性应用

对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。

现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。

结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。

而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。

另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。

在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。

在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。

因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。

据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。

取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。

简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。

2、将未知力及荷载分组。

3、取半结构进行计算。

对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。

反对称正对称在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。

结构力学_力法(二)对称性的利用

P P
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对称荷载均为原荷载值的一半。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。下面这些荷载是对称？反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用下，只产生对称的内力、变形和位移，反对称的内力、变形和位移为零。对称结构在反对称荷载作用下，只产生反称的内力、变形和位移，对称的内力、变形和位移为零。

整理力法对称结构剖析

三、计算系数和自由项
反对称荷载
3kN
3kN
2I
I X1
2I I
半边结构
力法基本体系
4.5 4.5
4.5 X1 1
18 18 36
M1 (m)
MP (kN·m)
10.8 10.8
10.8
10.8
2.4
25.2
7.2 18
18 3 7.2
25.2
5.6
M (kNm)
2.4
3
8
11
1 2EI
1 2
4.5 4.5 4.5
l
M1
P Pl Pl 2Pl
MP
11
1 EI
1 2
ll
l
22 3
l
l
l
5l 3 3 EI
1P
1 EI
(
1 2
l
Pl) l
1 ( 2
l
l)(2Pl
2 3
)
7 Pl 3
6EI
四、解方程
5l 3
7 Pl 3
3EI X1 6EI 0
得 X1 7P /10
五、作M 图
M M1X1 MP
7 Pl 10
10
13 Pl
10 A
M
(ｃ) 2F
F
F
l l l
l l
A
B
l
l
F
F
正对称荷载， A 不产生弯矩 B
l
l
A 反对称荷载 B
2P C
D
P
P
P
P
l
E
F
l
A
B
2l
【解】
对称荷载

力法习题课及对称性的利用.ppt

4
40 •
21
0.5 40 k
0.25 15 k
51.19
106
2P
1 EI
1 2
6 45 •
21
0.25 40 k
(5 / 12) 15 k
111.43 106
»
50..0053XX11
0.03X 2 51.19 5.7 X 2 111.43
0 0
X1 X2
10.02 19.5
例：绘制图示结构的内力图。
EI
EI
EI 2EI EI
6m
46kN/m
↑↑↑↑↑↑↑
6m
6m
81
81 81 103.5 101320.0537.5 M
kNm kNm K kN·m
135 135
135
198 131999868
23kN/m
EI
6m
↑↑↑↑↑↑↑
EI
EI
等代结构
6m
等代结构的计算 24
无弯矩状态的判定：在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。
（3）绘制弯矩图
M X1M 1 X2 M 2 M P
85.13
X1 85.13 kN
X
2
95.48
kN
66.75
95.48
10.3
9m
12
例6：图示结构支座 B发生支座沉降，已知 c1 0.002 cm2 m 0，.003
杆AC制造时长了 0.001m，杆BCD制造时作成了半径为
解： 200 m的圆弧曲线，试求截面 D的角D位移。

课件：力法-解对称结构

南京工业大学力学部
结构力学教研室
二、非对称结构的简化计算
对于非对称结构，为简化计算，应尽量使 M 图
及MP图局部化，以简化方程系数的计算。所以，取基本结构时应考虑这一因素。
q
A
X1
X2
X3
B
C
D
连续梁基本体系
南京工业大学力学部
结构力学教研室
X7
X3 X5
X8 X9
X1 X2
X6
X4
X1 EA→ ∞
降阶为两组，一组只含
M2
M3
有对称未知力，一组只对称未知力产生的弯矩图和变形曲含有反对称未知力。线是对称的，反对称未知力产生的
弯矩图和变形曲线是反对称的。
南京工业大学力学部
结构力学教研室
11 X1 12 X 2 1P 0
21 X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0
反对称荷载——绕对称轴对折后，对称轴两边的荷载等值、作用点重合、反向。
南京工业大学力学部
q
FP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
FP1
FP1
对称轴对称荷载
结构力学教研室
对称结构的计算
任何荷载都可以分解成对称荷载+反对称荷载。
FP a
FP/2 a a FP/2
FP/2 a a FP/2
FP1
FP2 F
FW
W
➢位于对称轴上的截面的位移 vC 0 ，内力 FNC=0，MC=0
C
FNC MC
FNC
EI
FP EI
FP EI
FP
FP FQC
EI C FP EI
等代结构
南京工业大学力学部

7.6 对称结构的简化计算

FP/2 FP/2 FP/2 X3 X3 MP图（X1=0， X2=0 ）， FP/2
M 1M P ∆1P = ∑ ∫ ds = 0 EI
∆2 P
M 2M P = ∑∫ ds = 0 EI
可知，对称未知力可知，对称未知力X1=0，X2=0，只需用式（c）计算，，只需用式（）反对称未知力X 反对称未知力 3。
M 2图
X3=1
X3=1
δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
M 3图
2、简化自由项计算、
(1)在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。在对称荷载作用下
FP/2 FP/2 FP/2 X1 X1 X2 X2 （X3=0）） MP图 FP/2
3kN
3kN
3kN X1
3kN
X1 反对称荷载
3m
3m
基本体系
选取对称的基本结构，其对应的基本体系如图所示。选取对称的基本结构，其对应的基本体系如图所示。由于荷载是反对称的，故可知正对称的多余未知力皆为零，荷载是反对称的，故可知正对称的多余未知力皆为零，而只有对称的多余未知力X 从而使力法方程大为简化，只有对称的多余未知力 1，从而使力法方程大为简化，仅相当于求解一次超静定的问题。相当于求解一次超静定的问题。
基本体系
δ 11 =
∆1P =
1 1 1 2 108 4 × ( × 3 × 3) × ( × 3) = [2 × ( 3 × 4 ) × ( 3 ) ] + EI EI 2 3 EI
2 EI
30 + 18 1 2 756 (3 × 4) × ( ) + ( × 3 × 3) × ( × 30) = 2 2 3 EI

结构力学学习心得体会-浅谈对称性在结构力学中的应用

结构力学学习心得体会浅谈对称性在结构力学中的应用摘要：在工程实际问题中,有很多结构都具有对称性。

特别是在求解超静定结构问题中,无论力法还是位移法,都是繁杂的.但对于对称结构，利用结构的对称性，可使结构内力计算大为简化.现在本文章就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。

关键词:结构力学;对称性；内力;变形1.引言所谓对称结构是指几何形状和支承对某一对称轴对称．且杆件截面和材料性质也对此轴对称。

利用结构的对称性可使计算得到简化，这是因为对称结构具有如下特点：在正对称荷载作用下，内力和变形是正对称的;在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的，如下图所示：2.对称性在求解结构内力中的应用对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的,其反对称的内力（剪力）是反对称的;在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力)和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力)是正对称的。

因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。

据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结正对称反对称构进行分析。

取半边结构进行分析,可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。

简化步骤如下:①选取对称的基本结构。

②将未知力及荷载分组。

③取半结构进行计算。

对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组,并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。

在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。

选取半结构的原则:(1)在对称轴的截面或位于对称轴的节点处(2）按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效.奇数跨对称结构：偶数跨对称结构:例如下图（a)所示，此二层刚架为对称结构承受对称荷载，沿对称轴断开,取半结构如图(b）所示．原六个位移基本未知量转为两个基本未知量、并注意半结构粱抗弯刚度相应增大为原二倍即建立结点A、C力矩平衡方程,可解出，M 图如图（c)所示。

(15)对称性的利用

2P
3FP 14
M AB
FP L 11FP L 3FP ( ) 2 14 2 28
（左侧受拉）
M BA
3FP L L 3FP ( ) 2 14 28
（右侧受拉）
弯矩图见图(d)。
B C B ` 3 P /2 FL 8
A 1 FL 8 1 P /2
A `
(d)
力法利用对称性需要且仅需要(1)取对称的基本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反对称性。这两条必须同时满足。而不需要考虑荷载是否具有对称或反对称性。
解：将梁中间改为铰接，
加多余未知力X1得基本体系如图（B）所示。建立力法典型方程： 11 X1 1P 0 求系数和自由项：
11
1 1 2 1 1 2 2L ( 1 L ) ( 1 L ) EI 2 3 EI 2 3 3EI
FP L 1 FP L2 1 1 1 p ( L ) EI 2 4 2 16 EI
q=6kN/m
C x1` x2`
B
C` x1` x2`
A
(b)
计算系数和自由项：
2 1 2 18 11 ( 3 3 3) EI 2 3 EI
2 1 2 1 78 22 ( 3 3 ) (6 4 6) EI 2 3 2 EI EI 1P 1 1 3 243 ( 27 3 3) EI 3 4 4 EI
A`
A L/2 L/2
A`
(a)
(荷载下的内解：力计算：
C C` x1 x1
B
B`
B
C C` x1 x1=1
B`
A
A`
A L

7.6对称结构的简化计算

=− 756 = −7 kN (↑↓) 108
X1 = −
∆1P
δ 11
最后弯矩图如图7-32g所示。所示。最后弯矩图如图所示
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四、简化方法之二——选取等效的半结构简化方法之二选取等效的半结构 1、奇数跨对称结构、
FP
∆CV ∆CH=0 θC=0
二、简化的主要目标力法简化的主要目标是：使典型方程中尽可能多的副系力法简化的主要目标是：使典型方程中尽可能多的副系以及自由项等于零，自由项等于零数以及自由项等于零，从而使典型方程成为独立方程或少元联立方程。其关键都在于选择合理的基本结构，联立方程。其关键都在于选择合理的基本结构，以及设置适当的基本未知量。当的基本未知量。
FP/2 FP/2 FP/2 X1 X1 X2 X2 （X3=0）） MP图 FP/2
因此
∆3P
M 3M P =∑∫ ds = 0 EI
反对称未知力X 只需计算对称未知力X 反对称未知力 3=0 ,只需计算对称未知力 1和X2 。只需计算对称未知力
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M 2图
X3=1
X3=1
M 3图
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆2 P = 0
δ 33 X 3 + ∆3 P = 0
2、简化自由项计算、
(1)在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。在对称荷载作用下，基本结构的荷载弯矩图和变形图是对称的。在对称荷载作用下