坐标系与参数方程--复习教案(教师版)

)
图：
方程： 3．直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 利用：
x
y
2
tan
三、参数方程 1．参数方程的意义
x f (t ) 在平面直角坐标系中，若曲线 C 上的点 P( x, y) 满足 ，该方程叫曲线 C 的参数方程， y f (t ) 变量 t 是参变数，简称参数 2．参数方程与普通方程的互化 （1）参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：
数学选修 4-4
坐标系与参数方程
主干知识 一、坐标系 1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原 点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。 2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三 条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。 3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长 度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个极坐标系。 （其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。 ） ①
x 2 10 cos 得 y 10 sin
( x 2)2 y 2 10
∴曲线 C1 的普通方程为 ( x 2) 2 y 2 10 ∵ 2 cos 6 sin ∴ 2 2 cos 6 sin ∵ 2 x 2 y 2 , x cos , y sin ∴ x 2 y 2 2x 6 y ，即 ( x 1) 2 ( y 3) 2 10 ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为
⑴
x a cos （ 为参数） ； y b sin
⑵
x x0 at (t为参数） y y0 bt
a 1 (t ) 2 t （t 为参数） b 1 (t ) 2 t
x sin [0, 2 ) （3） 2 y cos
考点 2、极坐标与直角坐标方程互化 例题 2、福建省龙岩市 2009 年
已知曲线 C 的极坐标方程是 4sin ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴
2 t x 2 为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 (t为 y 4 2 t 2 参数） ，点 P 是曲线 C 上的动点，点 Q 是直线 l 上的动点，求| PQ |的最小值．
d 2
3 2 2 ) ( 10) 2 2
∴d
22
∴公共弦长为 22 ……………………（10 分） 练习 3.1（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程. 已知曲线 C：
x 3 2 cos ( 为参数，0≤ <2π)， y 1 2 sin

3
) ，求出以 C 为圆心，半径 r=2 的圆的极
（2）P 是以原点为圆心，r=2 的圆上的任意一点， Q(6,0) ，M 是 PQ 中点，当点 P 在圆 上运动时，求点 M 的轨迹的参数方程。
解： （ 1）如图所示，设M为圆上一点，M (, ),
则MOC

3
或

，由余弦定理得4 2 4 cos( ) 4 3 3
表示以射线 OX 为始边， 设 M 是平面上的任一点， 表示 OM 的长度，
射线 OM 为终边所成的角。那么有序数对 ( , ) 称为点 M 的极坐标。其中 称为 极径， 称为极角。 约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。 4．直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中 取相同的单位长度平面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为 （x，y）和 ( , ) ，则
C1 ' ， C2 ' 的参数方程。 C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同？
说明你的理由。 考点 4：利用参数方程求求值域 例题 4、 （2008 年宁夏） 在 曲 线 C1 ：
x 1 cos (为参数） 上 求 一 点 ， 使 它 到 直 线 C 2 ： y sin
( x 1) 2 ( y 3) 2 10 …………………………………（５分）
（2）∵圆 C1 的圆心为 (2,0) ，圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ∴两圆相交 设相交弦长为 d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段 C1C2 ∴( ) (
2
(2 1) 2 (0 3) 2 3 2 2 10
1 x 2 2 t 2 (t为参数） 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 y 1 1 t 2
解：直线 C2 化成普通方程是 x+y-2 2 -1=0……………………………………2 分 设所求的点为 P（1+cos ,sin ),……………………………………………3 分 则 C 到直线 C2 的距离 d=
x x cos 练习 3.2（08 海南）已知曲线 C1： ( 为参数) ，曲线 C2： y sin y
（1）指出 C1，C2 各是什么曲线，并说明 C1 与 C2 公共点的个数； （2）若把 C1，C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C1 ' ， C2 ' 。写出
1 ． 2. （ 宁 夏 09 ） 已 知 圆 C ： ( x 1)2 ( y 3)2 1 ， 则 圆 心 C 的 极 坐 标 为 _______ ( 0, 0 2 ) 答案： （ (2,
2 ) 3
）
练习 1.2（2009 丹东） （1）已知点 c 极坐标为 (2, 坐标方程（写出解题过程） ；
2 2 解：圆 ( x 1) y 1 的极坐标方程为 2cos ……4 分
……………（3
2 4 2
3 2百度文库
……………………（6
………………………… （10
设点 P 的极坐标为 ( 1 ,1 ) ，点 M 的极坐标为 ( , ) ， ∵点 M 为线段 OP 的中点， ∴ 1 2 ， 1 ……7 分 将 1 2 ， 1 代入圆的极坐标方程，得 cos ∴ 点 M 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 cos ， 它 表 示 圆 心 在 点 ( , 0) ， 半 径 为 圆． ……10 分 练习 2.2 考点 3、参数方程与直角坐标方程互化 例题 3： （2009 学年海南省）已知曲线 C1 的参数方程为 曲线 C 2 的极坐标方程为 2 cos 6 sin ．
C
（09 厦门）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 x2 + y 2 - 8 x cos - 6 y sin + 7 cos2 + 8= 0 （ q Î R）的圆心为 P ( x, y ) ，求 2x - y 的取值范围.. ì ï x = 4cos q, 【解】由题设得 ï （ q 为参数， q Î R）. í ï ï î y = 3sin q 于是
2
方程： 2．圆的极坐标方程： 若圆心为 M ( 0 ,0 ) ，半径为 r 的圆方程为：
2 20 cos( 0 ) 02 r 2 0
几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点 （2）当圆心位于 M (r ,0) （3）当圆心位于 M ( r ,

2
（Ⅰ）将曲线化为普通方程； （Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐 标方程． （Ⅰ） x 2 y 2 2 3x 2 y 0 … 5分
（Ⅱ） 2 3 cos sin


… 10 分
2 t 2 2 (t为参数) 。 2 t 2
x2 y 2 1(a b 0) 的参数方程。 a 2 b2 2 4、抛物线 y 2 px( p 0)
3、椭圆 普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样。 二、考点阐述 考点 1、极坐标与直角坐标互化 例题 1、在极坐标中，求两点 P(2, 程。
解：曲线 C 的极坐标方程 4sin 可化为 2 4 sin , 其直角坐标方程为 x2 y 2 4 y 0 ，即 x2 ( y 2)2 4 . 分） 直线 l 的方程为 x y 4 0 . 所以，圆心到直线 l 的距离 d 分） 所以， PQ 的最小值为 3 2 2 . 分） 练习 2.1、 （沈阳二中 2009）设过原点 O 的直线与圆 C ： ( x 1)2 y 2 1 的一个交点为 P ， 点 M 为线段 OP 的中点。 (1) 求圆 C 的极坐标方程； (2) 求点 M 轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
（5）
x （4） y
x a r cos （ 为参数） y b r sin
☆参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！ （2）普通方程化为参数方程 常见化普通方程为参数方程， 1、圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 的参数方程。 2、经过点 P ( x0，y0 )倾斜角为的参数方程 。
1 2
1 的 2
x 2 10 cos （ 为参数） ， y 10 sin
（1）将曲线 C1 的参数方程化为普通方程，将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线 C1 ， C 2 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由． 解： （1）由

极坐标方程为 = 4 cos( )。 3
（2）依题意 o的参数方程为

x 2cos 设M（x,y),点P（2cos ,2sin ). y=2sin
M为PQ中点，Q（6， 0）， M的参数方程为
6 2sin x x 3 cos 2 即 y=sin y 2sin 2
x
y
二、曲线的极坐标方程
2
tan
1．直线的极坐标方程：若直线过点 M ( 0 ,0 ) ，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为：
sin( ) 0 sin(0 )
几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点 （2）直线过点 M(a,0) 且垂直于极轴 （3）直线过 M (b, ) 且平行于极轴 图：
| 1 cos sin 2 2 1 | 2
…………………………5 分
=|sin( + 当
)+2|……………………………………7 分 4

4

3 5 时，即 = 时，d 取最小值 1………………………………9 分 2 4
此时，点 P 的坐标是（1练习 4.1
2 2 ，）……………………………………10 分 2 2

), Q(2, ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 4 4

练 习
1.1 、 已 知 曲 线 C1，C2 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 cos 3 ，
4cos ≥ 0， 0 ≤ ，则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 2


π
．
2 3 cos 3 【解析】我们通过联立解方程组 ( 0,0 ) 解得 ,即两曲线的交 4cos 2 6 点为 (2 3, ) 。 6