南京市南京市第九中学数学三角形解答题易错题(Word版 含答案)

南京市南京市第九中学数学三角形解答题易错题（Word 版 含答案） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究一：如图1．在△ABC 中，已知O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过

分析发现1902

BOC A ︒

∠=+∠．理由如下： ∵BO 和CO 分别是∠ABC 与∠ACB 的平分线，

∴112ABC ∠=∠，122

ACB ∠=∠； ∴()0011112()18090222ABC ACB A A ∠+∠=∠+∠=-∠=-∠， ∴11180(12)180909022BOC A A ︒︒︒︒⎛

⎫∠=-∠+∠=--∠=+∠ ⎪⎝⎭

（1）探究二：如图2中，已知O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？并说明理由．

（2）探究二：如图3中，已知O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？

【答案】（1）12BOC A ∠=

∠，理由见解析；（2）1902BOC A ︒∠=-∠． 【解析】

【分析】

（1）根据角平分线的定义可得∠OBC =12∠ABC ，∠OCD =12

∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得

∠OCD =12∠ACD =12

∠A +∠OBD ，∠BOC =∠OCD -∠OBC ，然后整理即可得解；

（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB ，再根据三角形的内角和定理解答；

【详解】

（1）12BOC A ∠=∠，理由如下： ∵BO 和CO 分别是ABC ∠与ACD ∠的平分线，

∴12OBD ABC ∠=∠，12

OCD ACD ∠=∠， 又∵ACD ∠是ABC 的一个外角，

∴1122

OCD ACD A OBD ∠=∠=∠+∠， ∵OCD ∠是BOC 的一个外角， ∴1122BOC OCD OBD A OBD OBD A ∠=∠-∠=

∠+∠-∠=∠ 即12

BOC A ∠=∠ （2）∵BO 与CO 分别是∠CBD 与∠BCE 的平分线，

∴∠OBC =12∠CBD ，∠OCB =12

∠BCE 又∵∠CBD 与∠BCE 都是△ABC 的外角，

∴∠CBD =∠A +∠ACB ，∠BCE =∠A +∠ABC ，

∴∠OBC =12∠CBD =12（∠A +∠ACB ），∠OCB =12∠BCE =12

（∠A +∠ABC ）， ∴∠BOC =180°-（∠OBC +∠OCB ）

∴1902

BOC A ︒∠=-

∠ 【点睛】

本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键．

2．（问题探究）

将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.

（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；

（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；

（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；

（拓展延伸）

（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.

【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.

【解析】

【分析】

（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，

（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，

（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，

（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】

解：（1）如图，∠1=2∠A ．

理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ；

∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，

由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，

∴∠A′+∠A=∠1+∠2，

由折叠知识可得∠A=∠A′，

∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如图，∠1=2∠A+∠2

理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2，

∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如图，

根据翻折的性质，()3181201∠=

-∠，()41812

02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒， ∴()()180118023601122

A D ∠+∠+-∠+-∠=︒， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

3．如图, A 为x 轴负半轴上一点, B 为x 轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2).

(1)求△BCD 的面积；

(2)若AC ⊥BC,作∠CBA 的平分线交CO 于P ,交CA 于Q,判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系, 并证明你的结论.