学而思奥数5年级秋季班：第1讲《长方体与正方体》讲义

五年级秋季
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【解析】 ⑴表面积： S表 S长方体 S正方体 S粘贴面积 118 24 4 2 134 （平方 厘米） ； ⑵体积：V V正方体 V长方体 2 2 2 7 5 2 8 70 78 （立方厘米） ．
例7
将表面积分别为 54 平方厘米、96 平方厘米和150 平方厘米 的三个实心铁质正方体熔成一个大正方体（没有损耗） ， 求这个大正方体的体积． 【解析】 4、 根据表面积公式， 可以求出三个正方体的棱长分别是 3 、 5 厘米，因此体积分别是 27 、 64 、125 立方厘米．熔化成 大正方体，体积为原来三个物体之和，所以体积 27 64 125=216 （立方厘米） ．
例5
计算下列图形的体积（单位：厘米）
4 4 4
6 3
4
【解析】 简单的体积计算，直接套用公式： ⑴ 4 4 4 64 （立方厘米） ； ⑵ 6 4 3 72 （立方厘米） ．
例6
下图表示一个不规则的零件， 它是由一个长方体和一个正 方体拼成的，长方体的长宽高分别为 7 厘米、5 厘米和 2 厘 求这个零件的表面积和体积． 米； 正方体的棱长为 2 厘米．
第 1 讲
第一讲
例1
长方体与正方
填一填 1、长方体有______个顶点，______条棱，______个面． 2、 正方体有____个面， 每个面都是____形， 面积都____． 3、长方体的长、宽、高分别为 5 、 3 、 4 厘米．请问它的 棱长总和为________． 4、 一个正方体的棱长是 6 厘米， 它的棱长总和是________． 5、下列图形中不能拼成正方体的是________．
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【解析】 ⑴ (3 2 3 1 2 1) 2 22 平方厘米； ⑵ (2 1 3 1) 3 2 16 平方分米； ⑶ (3 2 3 1) 2 18 平方米．
例3
一段横截面是正方形的长方体木料长1米， 截成 5 段后表面 积增加 32 平方分米． ⑴这段木料的横截面的面积是________平方分米． ⑵这段木料的正方形横截面的边长是________分米． ⑶这段木料原来的表面积是________平方分米． 【解析】 ⑴截成 5 段需要锯四次，每两段间增加了 2 个侧面积，因 此共增加了 8 个侧面积，所以横截面面积为 32 8=4 （平 方分米） ； ⑵ 2 2=4 ，所以正方形截面的边长为 2 分米； ⑶宽和高为 2 分米,长10 分米．套用公式可算得表面积 （ 10 2 10 2 2 2） 2=88 （平方分米） ．
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思考题
下图是一个棱长 4 厘米的正方体，在正方体上面正中向下 挖一个棱长是 2 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正 中再向下挖一个棱长是1厘米的正方体小洞，最后得到的 立方体图形表面积是多少平方厘米？
【解析】 法一：大正方体表面积 4 4 6=96 （平方厘米） ，挖掉中 正方体时表面积少了顶面的 2 2 正方形，但多了 5 个 2 2 的正方形，表面积为 96 2 2 4=112 （平方厘米） ．挖小 ． 正方体时类似有112 1 1 4 116 （平方厘米） 法二：小、中正方体的顶面和大正方体的顶面部分合起来 刚好是一个 4 4 的正方形， 此时可以直接数出 4 4 正方形 6 个， 2 2 正方形 4 个，1 1正方形 4 个． 表面积 =4 4 6 2 2 4 1 1 4 116 （平方厘米） ．
例8
一个长方体水箱长、宽、高分别是 8 、 4 、15 分米，原来 水深 8 分米．若放入一个棱长为 4 分米的正方体铁块，那 么现在水箱中的水深多少分米？ 【解析】 正方体铁块的体积 4 4 4 64 （立方分米） ，再求水面上 （8 4） 2 （分米） ． 升的高度 64 所以水深是 8 2 10 （分米） ．
A
B
C
D
【解析】 1、 8 、12 、 6 ； 2、 6 、正方形、相等； 3、 (5 3 4) 4 48 （厘米） ； 4、 6 12 72 （厘米） ； 5、 C ．
例2
⑴对长、宽、高分别为 3 厘米、 2 厘米、1厘米的长方体木 块喷漆，喷漆的面积是多大？ ⑵制作一个无盖的长方体鱼缸， 长、 宽、 高分别为 3 分米、 2 分米、1分米，需要多少平方分米的玻璃？（不计玻璃之 间粘合的部分） ⑶对左右联通的长方体热水管包一层保护罩，长、宽、高 分别为 3 米、 2 米、1米，需要多少平方米的保护罩？
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例4
有一个长方体形状的零件， 中间挖去一个正方体 （如下图， 单位为厘米） ． ⑴挖掉这个正方体之后这个长方体的表面积是增大了还 是减小了？ ⑵这个挖去一块后得到的图形的表面积为_____平方厘米．
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第 1 讲
【解析】 ⑴这个长方体挖掉一块之后表面积增大了． 挖掉的这个小 正方体的下底面拼在原长方体上表面缺掉的部分恰好可 以拼成完整的长方体， 因此增加的面积可以看成是挖掉的 这个小正方体的四个侧面，它们的面积是 (2 2) 4 16 （平方厘米） ； ⑵原长方体的表面积为： (5 8 5 6 6 8) 2 236 （平 方厘米） ．所以挖掉一块的长方体的表面积为 236+16=252 （平方厘米） ．