第二章风险不确定性及个人效用函数分析(金融经济学导论,对外经济贸易大学)模板

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期望效用准则 贝努力提出期望效用准则方法：用期望 效用作为最大化的目标，假设投资者关 心的是期末财富的效用，从而成功解决 了圣彼得堡悖论问题。 用期末财富的对数形式或指数形式作为 效用函数，则 alog(w) 或 w1/2表示效用函 数， w 表示财富。 那么通过简单的计算， 可以发现人们的确定等价财富的确在2-3 元之间。
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（一）定义
奈特(1938)对风险与不确定性进行了明确的 区分。根据费兰克· 奈特(Frank· H· Kninght)的观 点，所谓“不确定性”状态，是指那些每个结 果的发生概率尚未不知的事件，如明年是否发 生地震是不确定的。因此，不确定性是指发生 结果尚未不知的所有情形，也即那些决策的结 果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并 且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果 的一类问题。
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是否期望收益最大准则就是一个最优的
决策法则呢？ 圣彼得堡悖论——
18 世纪的一个经典的例子 —— 圣彼得堡悖论， 这个例子说服18世纪的学者期望收益最大化原 则不是最合适的在不确定性下的决策原则。。
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“圣彼德堡悖论”
• 1738 年发表《对机遇性 赌博的分析》提出解决 “圣彼德堡悖论”的 “风险度量新理论”。 指出用“钱的数学期望” 来作为决策函数不妥。 应该用“钱的函数的数 学期望”。 Daniel Bernoulli （17001782)
x1，x2X，x1x2U(x1)U(x2)
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三、期望效用函数
• 给定偏好关系虽然可以用效用函数来表 示，但是当可能状态数目非常巨大时， 证券组合是一个高维的向量或随机变量。 为此， 我们对效用函数进一步限制，经 常用一类更为特殊的、性质更好的效用 函数 — 期望效用函数。下面我们将讨论 在什么情形下，偏好关系不单单 能被效 用函数表示，而且是期望效用函数表示。
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对于证券投资来讲，只追求期望收益最大化的 投资者绝不会选择一个多元化的资产组合。如 果一种证券具有最高的期望收益，这个投资者 会把他的全部资金投资于这种证券。如果几种 证券具有相同的最大化期望收益，对这个投资 者来说，投资于若干这些证券的组合或者只是 其中的某一种证券是无差别的。由此可见，如 果我们认为多元化是投资的基本原则的话，我 们必须否定仅仅最大化期望收益原则的目标假 定。
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（一）不确定性下的选择问题与对象
• 不确定性下的选择问题是其效用最大化 的决定不仅对自己行动的选择，也取决 于自然状态本身的选择或随机变化。 • 因此不确定下的选择对象被人们称为彩 票（Lottery)或未定商品（contingent commodity)
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• 投资者的证券组合选择——抽彩lottery • 投资者的消费计划（或者投资收益）也 可以看成一个彩票，Z中的元素为所有可 能各种奖金数额，不妨设Z={z1,….zn}， 得到奖品的zi的概率为p(zi), i =1,2..n. • (z1,p1;…;zn,pn)表示一次性抽彩p P。
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（二）用概率来描述
• 不确定条件下的决策另一种思考方法。在本质 上它与上面描述的完全相同，但有时更易处理。 • 既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通 过函数f:SAC来描述， 在S上定一个概率测 度： 对任意a A,存在一个C上的概率分布：对 KC, Prob{K}:=Prob{s S|f(s,a) K}
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1. 2. 3.
教学目的及要求 ： 了解什么是风险和不确定性 认识投资者的风险态度 了解在投资者根据风险和收益为自己 的资产组合标定福利或效用的方法 重点内容
掌握在风险和不确定性条件下投资者 消费的效用满足的衡量风险的度量方法和 投资者的风险态度
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第一节 风险与不确定性 第二节* 不确定性条件下的效用函数 第三节* 风险厌恶、公平赌局、风险喜好
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• 在决定行为的过程中，行为人对现实状 态是不确定的，这些状态将共同确定被 选行为的结果。选择行为a就为每一现实 状态决定了一个结果f(s,a). 对A中行为的 选取从而被视为对依赖状态（或偶然状 态 ） 结 果 的 选 取 。
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通过观察函数f可以容易区分确定条件 下和不确定条件下的决策。 1. 若f关于现实状态是不变的，即现实状 态不会影响产生的结果，则可以认为是 确定条件下的决策。 2. 若不同的状态导致不同的结果，则可以 认为是不确定条件下的决策。 一个简单的例子
• 如果二元关系满足；对于任意x,y,z X, x y, y z, 意味着x z, 则称具有传递性。 • 如果二元关系满足；对于任意x,y X, 要 么x y, y x, 则称 具有完全性。 • 如果二元关系满足；对于任意x X, 有x x, 则称 具有自反性。
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定义: 偏好关系(preference relationship)
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• 彼得堡大街悖论告诉我们，最大期望收 益准则在不确定情形下的时候可能导致 不可接受的结果。而贝努力提出的用期 望效用取代期望收益的方案，可能为我 们的不确定情形下的投资选择问题提供 最终的解决方案。
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• 期望效用原则是期望收益原则的一种替代。 根据期望效用，20%的收益不一定和2倍 的10%的收益一样好；20%的损失也不一 定与2倍的10%损失一样糟
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“圣彼德堡悖论”问题
• 考虑一个博弈，掷硬币直到头部出现为 止。当头部出现时，如果投掷次数为x， 则奖励金额为2x-1元。一旦头部出现，博 弈终止。从理论上来说，这一博弈可以 无限进行下去。但为了参加这一博弈， 愿意支付多少金额？
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“圣彼德堡悖论”问题（续）
• 有这样一场赌博：第一次赢得 1 元，第一次输第二次 赢得 2 元，前两次输第三次赢得 4 元，……一般情形 为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n-1 次方元。问：应先 付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？ • 如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！ • 但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏，人 们愿意付出的金额在2-3之间。 • 因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定性 问题 。
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所谓“风险状态”是指那些涉及以已知 概率或可能性形式出现的随机问题，但 排除了未数量化的不确定性问题。 所谓“确定性”指自然状态如何出现已 知，并替换行动所产生的结果已知。
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• 由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在 实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分 布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术 界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同 结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件 同时视为风险。 • 也就是说，风险与不确定性有区别，但在操作 上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念， 其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概 念。
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《风险、不确定性与利润》 (1921) Frank Hyneman Knight (1885-1972)
• Knight 不承认“风险 =不确定性”，提出 “风险”是有概率分 布的随机性，而“不 确定性”是不可能有 概率分布的随机性。 • Knight 的观点并未被 普遍接受。但是这一 观点成为研究方法上 的区别
1. 作为一种在依存状态的结果之间进行的 选择 2. 作为一种在不同结果的概率分布之间进 行的选择
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三、不确定性下的决策原则
（一）确定性下的决策原则——收益最大 准则

收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况 下。按照这一法则，只需选取收益率最高的投 资机会即可。通过正确的选择，可以实现投资 期末的财富最大化。经济学中的生产者理论和 价值理论广泛使用这一准则。
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• 后期望效用理论： 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期 望效用理论，如前景理论、遗憾理论、 加权的期望效用理论、非线性的期望效 用理论等等行为金融学和非线性经济学 对期望效用的新的解释。
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第二节 期望效用理论
一、二元关系与偏好关系 二 、效用函数
三、期望效用函数
四、期望效用准则矛盾
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一、二元关系(binary relations)与偏好 关系（preference relationship）
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这样的一个收益最大准则可以应用于我
们的不确定环境下的投资决策问题吗？ 特别是对于不确定收益的证券的资产组 合的选择问题的应用？下面的例子表明， 收益最大准则仅可以收益确定的环境中， 而在收益不确定的情形，收益最大准则 并不适用。
例子：一个公司的最优生产决策问题
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（二）不确定性下理性决策的三 种原则
• 一个集合上的二元关系是确定这个集合 中两元素之间的一种联系。 • 有的二元关系所涉及的两个元素有相同 的性质，有的二元关系所涉及的两个元 素则属于不同性质的集合。 • 有的二元关系满足一定的性质，如完全 性、传递性、自反性、 （非）对称性。 我们主要考虑前三者。
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一、二元关系(binary relations)与偏好 关系（preference relationship）（续）
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（三）在投机与赌博中的风险
风险：承担风险一定要求风险补偿。 投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。 赌博：是为一个不确定的结果打赌或下注。
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二、不确定性下建立偏好模型的 方法
（一）状态偏好方法 （Arrow,Debreu,Hirshleifer) 用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的 集合，而不是用概率来反映个人所面临的 随机性。
• 数学期望最大化原则 • 期望效用最大原则 • 后期望效用最大原则
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最大期望收益准则——不确定的条件下 最大期望收益准则是指使用投资收益的 预期值比较各种投资方案优劣。这一准 则有其合理性，它可以对各种投资方案 进行准确的优劣比较，同时这一准则还 是收益最大准则在不确定情形下的推广。 例子：一个投资决策问题(沿用上题的例 子)
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不确定性下选择的要素设定： • A:可行行为的集合 • S:可能现实状态的集合 • C: 结果的集合 行为aA和s S结合产生的结果cC 函数f把行为与状态和结果对应起来： (s,a)c=f(s,a)