人教版高中数学必修二《圆的标准方程》课件
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.1 圆的标准方程
第四章 § 4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点一 圆的标准方程思考1 确定一个圆的基本要素是什么？答案 圆心和半径.思考2 在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？答案 能.1.以点(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.知识点二 点与圆的位置关系思考 点A(1,1)，B(4,0)，同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？答案 |OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点M在圆外|CM|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2点M在圆内|CM|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2题型探究 重点难点 个个击破类型一 求圆的标准方程例1 (1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )DA.(x＋1)2＋(y＋2)2＝10B.(x－1)2＋(y－2)2＝100C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25D.(x－1)2＋(y－2)2＝25解析 ∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25___________________.解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.(3)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是________________.跟踪训练1 求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；解 设圆心(0，b)，得b＝0或－8，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)已知圆和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)；解 因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即y＝－6x＋23.即5x＋7y－50＝0上，解得圆心坐标为(3,5)，故所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上.解 线段AB的垂直平分线为y－2＝2(x－3)，令y＝0，则x＝2，∴圆心坐标为(2,0)，∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.类型二 点与圆的位置关系例2 (1)点P (m 2 , 5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定解析 由(m 2)2＋52＝m 4＋25>24，∴点P 在圆外.(2)已知点M (5 ＋1， )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是____.解得0≤a <1.B [0,1)跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围(－∞，－1)∪(1，＋∞)是________________________.解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，2a2－2>0，即a<－1或a>1，类型三 与圆有关的最值问题例3 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，(2)求y－x的最大值和最小值；解设y－x＝b，即y＝x＋b，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，(3)求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，(1)x2＋y2的最值；解 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，(2)x＋y的最值.解 令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，达标检测 41231.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是( )DA.(x－1)2＋(y－1)2＝1B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D.(x－1)2＋(y－1)2＝2圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.A2.若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )A.－1<a<1B.0<a<1C.a>1或a<－1D.a＝±1解析 ∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.1 3.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是____.解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，1234解析答案4.圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为__________________.解析 由题意知圆心坐标为(2，－3)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5规律与方法1.判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小.(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；点P(x0，y0)在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；点P(x0，y0)在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.2.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.(3)圆心与切点的连线长是半径长.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3.求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径.返回。
《圆的标准方程教学》人教版高中数学必修二PPT课件(第4.411课时)
✓ 圆上每个点到圆心的距离为半径
✓ 到圆心的距离为半径的点在圆上
新知探究
解析几何的基本思想
圆在坐标系下有什么样的方程？
新知探究
已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径R,在直角坐标系下如何确定圆的方程？
y
M
R
P={M||MC|=R}
C(a,b)
O
x
新知探究
圆的标准方程
设C(a，b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x，y)．
若圆心在X轴上，则方程为：( − )2 + 2 = 2
若圆心在Y轴上，则方程为： 2 + ( − )2 = 2
可见，圆心用来定位
若半径r=1，就成了单位圆。可见半径用来定形。
C
O
x
新知探究
圆的方程情势有什么特点？
特点：
这是二元二次方程，括号内变数x，y的系数都是1．点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．
讲授人：XXX 时间：202X.6.1
P P T
新知探究
例1:根据下列条件，求圆的方程：
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
⑵圆心在点C(1,3)，并与直线3 − 4 − 6 = 0 相切的圆的方程。
⑶过点（0,1）和点（2,1），半径为 5 。
新知探究
⑴圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。
解：（1）∵点（2，-2）在圆上，∴所求圆的半径为
(5 −
于是൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ⇒
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
=2
ቐ = −3
=5
所求圆的方程为：( − 2)2 +( + 3)2 = 25
人教B版高中数学必修二2.3.1《圆的标准方程》ppt课件
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
高中数学第四章 圆与方程 411 圆的标准方程课件 新人教A版必修2
探究点三 利用圆的定义与标准方程求最值 已知 x，y∈R，且圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2 ＋(y－2)2 的最大值与最小值．
[解] 因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4 表示以 C(1，－2)为圆心，半径 r ＝2 的圆， 所以 （x＋2）2＋（y－2）2表示圆上的动点 M(x，y)与定点 A(－2，2)的距离(如图)．
在本例中，条件不变，求x－y 4的最大值与最小值．
解：法一：(数形结合法) 如图： x－y 4即为圆上的点 M(x，y)与 A(4，0)的连线所在直线的斜率 k， 过 A 的两条切线分别为 AA1，AA2，则 kAA1 圆与方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
第四章 圆与方程
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特 点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3．能准确判断点与圆的位置关系．
1．圆的标准方程 设圆心坐标为(a，b)，半径为 r，则圆的标准方程为
___(x__－__a_)_2＋___(y_－___b_)_2_＝__r2_． 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为__x_2_＋__y_2_＝__r_2_．
2．点与圆的位置关系
设点 P 到圆心的距离为 d，半径为 r.
d 与 r 的大小
点与圆的位置关系
d_<__r
点 P 在圆内
d_＝__r
点 P 在圆上
d_>__r
点 P 在圆外
探究点一 求圆的标准方程 求下列圆的标准方程． (1)圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点(3，－4)； (2)求过点 A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的 圆的标准方程． [解] (1)设圆心为 C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以 b＝0 或 b＝－8， 所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又 r＝5， 所以圆的标准方程为 x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25.
高中数学必修二课件-4.1.1 圆的标准方程14-人教A版
作业:
1、课本 P120 练习1、2、3、4 2、思考题：
展开圆的标准方程，观察其特点； 方程x2+y2-2x+4y+4=0的曲线是什么
图形？方程x2+y2-2x+4y+5=0呢？
4.1.1圆的标准方程
y A(1,1)
OD
x
C
B(2,-2)
圆心：两条 l : x y 1 0
直线的交点
半径长
例3：已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2),且
圆心C在直线上l：x-y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程.
解：∵A(1,1),B(2,-2)，
∴线段AB的中点D的坐标为
3 , 2
1 2
a 3
解得
b
2
r 5
则所求圆的标准方程为 x 32 y 22 25
如何根据不同条件求圆的标准方程？
例2：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),
C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
解：∵A(5,1),B(7,-3)，线段AB的中点D（6，-1）， 直线AB的斜率为-2
a 2,
(7
a)
2
(3 b)2
r2
解得
b 3,
(2 a)2 (8 b)2 r 2
r 5.
则所求圆的标准方程为 (x 2)2 (y 3)2 25
2021/1/22
19
如何根据不同条件求圆的标准方程？
例2：△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3), C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
直线AB的斜率
k AB
2 1 3 2 1
2.4.1 圆的标准方程(PPT)
探究题 2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于 A(1，0)，B(5， 0)两点.
(1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求点 P(x，y)到直线 x－y＋1 ＝0 的距离的最大值和最小值.
探究题 1 26＋2 解析：理解 （x－1）2＋（y－1）2的几何 意义，即为动点 P(x，y)到定点(1，1)的距离．因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此 （x－1）2＋（y－1）2表示点 (1，1)与该圆上点的距离．
小题体验 判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 表示圆．( ) × 解析：当 m＝0 时不表示圆，只表示点(a，b). (2) 若 圆 的 标 准 方 程 是 (x － a)2＋ (y － b)2 ＝ m2(m≠0) ， 则 圆 心 为 (a，b)，半径为 m.( )
解：(1)因为圆心(3，4)，设半径为 r, 又圆过坐标原点，所以 r＝ （3－0）2＋（4－0）2＝5, 所以圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)设圆的半径为 r, 因为圆与 x＋y＝4 相切，所以 r＝|1＋121＋－142|＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
必备知识 深化预习
1．圆的标准方程 (1) 以 C(a ， b) 为 圆 心 ， r(r>0) 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 为 __(x_－__a_)_2_＋__(y_－__b_)_2_＝__r2___. (2)以原点为圆心，r 为半径的圆的标准方程为__x_2＋__y_2_＝__r_2 __．
联立方程组23xx－ －yy＝ －02， ＝0，解得yx＝＝42.， 设圆心为 C，所以圆心坐标为(2，4). 又半径 r＝|CA|＝ 10， 则所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件
径为2的圆的方程.
Y
解: 依题意得所求圆的方程为
2
-2
Y=X
C(2,2)
(x-2)2+(y-2)2=4
C(-2,-2)
02 -2
X
(x+2)2+(y+2)2=4
解：因为圆心在X轴上，设圆心 P（a , 0),
半径 r。所以圆的方程(x-a)2＋y2＝ r2。
{ (5-a)2＋42＝r2
点M，N在圆上所以: (-2-a)2＋32＝r2 ，
所以 a=2, r2 =25
圆的方程为 (x-2)2＋y2＝25
知识形成
1、圆的标准方程为(x－a)2＋(y－ b)2＝r2 圆心为（a,b）半径为r
的切线方程为x0 x y0 y r 2
(2)求圆x2 y2 1, 斜率为1的切线方程 .
解: 设所求切线方程为 y x b.
则|b| 1 2
b 2
y x 2.
(3)求圆x2 y2 1, 在y轴上的斜距为 2的切线方程 .
解:设所求切线方程为 y kx 2.
则 2 1 k2 1
引申：过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的 切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
练习: (1)写出过圆 x2 y2 10上一点M (2, 6)的切线方程 .
解: 所求切线方程为 2x 6 y 10.
过圆x2 y2 r 2上点M (x0 , y0 )
⑶过点M（5，4）和点N（-2，3）且圆心 在x轴上。
⑴已知点A（-2，-3）和点B （6，3），以AB为直径。
解:由题可知 AB的中点P(2,0)即为圆心 ∣AB∣的一半等于半径 所以 r=5, 圆心P(2,0)
高中数学新人教A版必修2课件：第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程
解:(3)设圆心为 C,AB 的垂直平分线方程为 3x+2y-15=0.
由
3x 3x
2y 15 10y 9
0, 0,
得
x y
7, 3,
所以圆心 C(7,-3),又 CB= 65 ,
故所求圆的方程为(x-7)2+(y+3)2=65.
(4)以A(-1,2),B(5,-6)为直径两端点的圆的方程.
3.圆的标准方程的定义 我们把方程(x-a)2+(y-b)2=r2称为圆心为(a,b),半径长为r(r>0)的圆的方 程,把它叫做圆的标准方程. 特别地,当圆心在坐标原点,即a=b=0时,圆的标准方程为x2+y2=r2;当圆心 在坐标原点,r=1时,圆的标准方程为x2+y2=1,称为单位圆.
4.几种特殊位置的圆的标准方程
4.1.1 圆的标准方程
课标要求:1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征.2. 能根据所给条件求圆的标准方程.3.会判断点与圆的位置关系.
自主学习
知识探究
1.确定圆的几何要素 在平面直角坐标系中,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了.因 此,确定一个圆最基本的要素是圆心和半径,即位置和大小. 2.圆的定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合是圆.其中定点就是圆心,定长 就是半径长.
条件
方程形式
单位圆(圆心在原点,半径长 r=1)
x2+y2=1
过原点(圆心(a,b),半径长 r= a2 b2 ) 圆心在原点(即 a=0,b=0,半径长为 r,r>0)
(x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2=r2
圆心在x轴上(即b=0,半径长为r,r>0) 圆心在y轴上(即a=0,半径长为r,r>0) 圆心在x轴上且过原点(即b=0,半径长r=|a|)
高中数学人教A版必修2第四章4.1.1圆的标准方程课件
求曲线方程的步骤:
1、选系； 2、取动点； 3、列方程； 4、化简.
我们知道，在平面直角坐标系中， 两点确定一条直线，一点和倾斜角也能 确定一条直线.
思考？在平面直角坐标系中，如何确
定一个圆呢？
三、圆的定义：
平面内与定点距离等于定长的点
的集合(轨迹)是圆.
定点就是圆心，
y
定长就是半径.
怎样求出圆心是 A(a，b)，半径是r的 圆的方程?
(3)方法：①待定系数法; ②数形结合法.
练习:
6、圆心在直线y=x上，与两轴同时相切， 半径为2.
Y
Y=X
-2 C(-2,-2)
C(2,2)
02
X
-2
(x-2)2+(y-2)2=4 或 (x+2)2+(y+2)2=4
例4、求以C1，3为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0相切的圆的方程.
课堂小结:
1. 圆的方程的推导步骤：
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别 表示圆心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)定义法； (2)待定系数法:确定a，b，r.
课外作业： P124 习题 A组 1、2、3、4、5、6
练习
1. P.120第1题、P.121第4题；
2. 求下列条件所决定的圆的方程： (1) 圆心为 C(3, －5)，并且与直线
x－7y＋2＝0相切； (2) 过点A(3, 2)，圆心在直线y＝2x上，
且与直线y＝2x＋5相切．
3. 已知：一个圆的直径端点是A(x1, y1)、 B(x2, y2)，证明：圆的方程是 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)=0．
高考数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2ppt版本
解析答案
谢谢
2019/11/13
答案
(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在 圆C上 ⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在 圆C外 ⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在 圆C内 ⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2. 思考 确定点与圆的位置关系的关键是什么？
自主学习
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2
答案
思考 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？ 答 不一定.当m＝0时表示点(a，b)，当m≠0时，表示圆.
答案
知识点二 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与 圆的位置关系有两种方法： (1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较： 若|CM|＝r，则点M在 圆上； 若|CM|>r，则点M在 圆外； 若|CM|<r，则点M在 圆内.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围 是( A ) A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1 C.a＜－1或a＞1 D.－1＜a＜0 解析 直接利用点与圆的位置关系来判断. ∵点(1，1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4. 解得－1＜a＜1.
解析答案
题型二 点与圆的位置关系的判断 例2 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的 取值范围. 解 由题意，得点A在圆C上或圆C的外部， ∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2， ∴2a＋5≥0， ∴a 的取值范围是－52，0∪(0，＋∞). 解 由已知，得 C(3，0)，r＝|A2B|＝2，
人教版高中数学必修二圆的标准方程课件.
练习
4、已知△ABO的顶点坐标分别为A(8,0);B(0,6);O(0,0), 求外接圆的方程.
y B C(4,3) r=5 O A x
(x-4)2+(y-3)2=25
小结：
(1)、牢记: 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。 (2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。 (3)、方法：①待定系数法 ②数形结合法
课本练习
P120 1, 2, 3, 4
课本作业
P124 A组 2, 3, 4
(3 5) (5 6) 5 10
2 2
10
y
A ห้องสมุดไป่ตู้1
C
M2
O B x
则点M 2不满足圆的方程， 即点M 2不在圆C上
想一想，议一议
点M (x0 , y0 )在圆( x a) 2 ( y b) 2 r 2内的条件 是什么？在圆外、圆上 呢？
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r • 0 时，点M在圆外； 0
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的标准方程.
y
A
r o D
m
x
B C n
解法二：设外接圆圆心为D,半径为r；弦AB的中垂 线为m;弦AC的中垂线为n. 1 弦AB的中点为（6,1）, k AB 2, k m 2 则，m: x 2 y 8 0 ①
7 7 弦AC的中点为（ 2 , 2 ）,
k AC
则，n: 2 x 6 y 14 0 联立① ② 解得x=2, y=-3 则，D（2，-3）半径r=|DA|=5 所以圆D的标准方程是 ( x 2)2 ( y 3)2 25．
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问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
M(x,y) O
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， 它们到圆心距离等于定长|MC|=r， 确定了圆的因素是圆心和半径。
(a 1) 2 ( a 1 1) 2 ( a 2) 2 ( a 1 2) 2
'
2 1 3 2 1
2
2
圆心为C的圆的半径长
C
B(2,-2)
r CB (3 2) 2 (2 2) 2 5 所以，圆心为C的圆的标准方程是
数形结合
( x 3) 2 ( y 2) 2 25
例 2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线
(2)
变式：
智 力 抢 答
C (0, 0), r 2
( x 1)2 y 2 32
C (1,0), r 3
( x 2)2 ( y 5)2 a2 (a 0) C(2,5), r a
三、知识应用与解题研究
例1:(1)写出圆心在坐标原点，半径长为 3 的圆的方程。 (2)写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方程， 并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5,1) 是否在这个圆上。
解得
b 2 r 5
2
所以,圆心为C的圆的标准方程是( x 3) ( y 2) 25
2
例 2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线
l : x y 1 0
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法3：因为圆心C在直线l上,所以可设C(a,a+1),则 由|CA|=|CB| 得
是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
( x 2) 2 ( y 3) 2 25. 把点 M1 (5,7), 的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
点 M 1 的坐标适合圆的方程， 所以点 M 1在这个圆上； y 把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入上方程， 左右两边不相等，点 M 2 的坐标 O 不适合圆的方程， M2 所以点 M 2 不在这个圆上. A
x
那么 M 2 到底在圆内还是圆外呢？
AM 2 r
M1
请判断A(2,3)、B(3,1)、C(1,0)与圆(x-1)2+(y-1)2=4
的位置关系。
A在圆外 答案：
B在圆上 C在圆内
例 2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线
l : x y 1 0
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法1分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。 圆心 C到B的距离 半径
y
圆心在直线 l上
圆心在弦AB的 垂直平分线上
O D
l
A(1,1)
l'
x
圆心到A、B 的距离相等 A、B在圆上
C
B(2,-2)
3 1 A ( 1 , 1 ) B ( 2 ， 2 ) 解：因为 ， ，所以线段AB的中点D坐标为( , ) ，
当圆心在坐标原点、半径长为r时，圆的方程是什么？ 结论：左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方， 括号内是差的形式，点 分别表示圆 (a, b), r 心的坐标和圆的半径. 当圆心在坐标原点即C（0,0），半径长为r 时圆的方程为： x2 y 2 r 2
求下列圆的圆心及半径: (1) x 2 y 2 4
点 M 1 的坐标适合圆的方程， 所以点 M 1在这个圆上； y 把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入上方程， 左右两边不相等，点 M 2 的坐标 O 不适合圆的方程， 所以点 M 2 不在这个圆上. ,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点
M1 (5,7) M 2 ( 5,1)
直线AB的斜率 k AB
1 1 3 y ( x ) 因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 2 3 2 x 3y 3 0 即 弦AB的垂 x 3 y 3 0, 直平分线 的解 圆心C的坐标是方程组 y l x y 1 0 x 3, ' 解此方程组，得 A(1,1) l y 2. O D x ( 3 , 2 ) 所以圆心C的坐标是
l : x y 1 0
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法2：设所求圆的方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2，则 由A、B在圆上和圆心C在直线l上，得 (1 a)2 (1 b)2 r 2 a 3
(2 a)2 (2 b)2 r 2 a b 1 0
y
例 1 （ 1）
x y 3
2 2
O
3
x
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点
M1 (5,7) M 2 ( 5,1)
是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
( x 2) 2 ( y 3) 2 25. 把点 M1 (5,7), 的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
M C
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， 它们到圆心距离等于定长|MC|=r， 确定了圆的因素是圆心和半径。
M C
思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？
二、探索研究：
探讨圆心在C(a,b),半径长为r的圆的方程。
解：设M( c, y )是圆上任意一点，
y M
根据圆的定义|MC|=r
由两点间距离公式，得
．
r C O x
x a y b
2
2
r
①
把①式两边平方，得
( x - a) ( y - b) r
2 2
2
②
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 圆的方程 具有什么特点？