人教版高中数学必修二《圆的标准方程》课件

x
那么 M 2 到底在圆内还是圆外呢？
AM 2 r
M1
请判断A(2,3)、B(3,1)、C(1,0)与圆(x-1)2+(y-1)2=4
的位置关系。
A在圆外 答案：
B在圆上 C在圆内
例 2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线
l : x y 1 0
上，求圆心为C的圆的标准方程。
(a 1) 2 ( a 1 1) 2 ( a 2) 2 ( a 1 2) 2
(2)
变式：
智 力 抢 答
C (0, 0), r 2
( x 1)2 y 2 32
C (1,0), r 3
( x 2)2 ( y 5)2 a2 (a 0) C(2,5), r a
三、知识应用与解题研究
例1:(1)写出圆心在坐标原点，半径长为 3 的圆的方程。 (2)写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方程， 并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5,1) 是否在这个圆上。
l : x y 1 0
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法2：设所求圆的方程是 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2，则 由A、B在圆上和圆心C在直线l上，得 (1 a)2 (1 b)2 r 2 a 3
(2 a)2 (2 b)2 r 2 a b 1 0
解法1分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。 圆心 C到B的距离 半径
y
圆心在直线 l上
圆心在弦AB的 垂直平分线上
O D
l
A(1,1)
l'
x
圆心到A、B 的距离相等 A、B在圆上
C
B(2,-2)
3 1 A ( 1 , 1 ) B ( 2 ， 2 ) 解：因为 ， ，所以线段AB的中点D坐标为( , ) ，
是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
( x 2) 2 ( y 3) 2 25. 把点 M1 (5,7), 的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
点 M 1 的坐标适合圆的方程， 所以点 M 1在这个圆上； y 把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入上方程， 左右两边不相等，点 M 2 的坐标 O 不适合圆的方程， M2 所以点 M 2 不在这个圆上. A
M C
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， 它们到圆心距离等于定长|MC|=r， 确定了圆的因素是圆心和半径。
M C
思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？
二、探索研究：
探讨圆心在C(a,b),半径长为r的圆的方程。
y
例 1 （ 1）
x y 3
2 2
O
3
x
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点
M1 (5,7) M 2 ( 5,1)
是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
( x 2) 2 ( y 3) 2 25. 把点 M1 (5,7), 的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
当圆心在坐标原点、半径长为r时，圆的方程是什么？ 结论：左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方， 括号内是差的形式，点 分别表示圆 (a, b), r 心的坐标和圆的半径. 当圆心在坐标原点即C（0,0），半径长为r 时圆的方程为： x2 y 2 r 2
求下列圆的圆心及半径: (1) x 2 y 2 4
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
M(x,y) O
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， 它们到圆心距离等于定长|MC|=r， 确定了圆的因素是圆心和半径。
'
2 1 3 2 1
2
2
圆心为C的圆的半径长
C
B(2,-2)
r CB (3 2) 2 (2 2) 2 5 所以，圆心为C的圆的标准方程是
数形结合
( x 3) 2 ( y 2) 2 25
例 2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线
解得
b 2 r 5
2
所以,圆心为C的圆的标准方程是(Baidu Nhomakorabeax 3) ( y 2) 25
2
例 2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C 在直线
l : x y 1 0
上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法3：因为圆心C在直线l上,所以可设C(a,a+1),则 由|CA|=|CB| 得
直线AB的斜率 k AB
1 1 3 y ( x ) 因此线段AB的垂直平分线 l 的方程是 2 3 2 x 3y 3 0 即 弦AB的垂 x 3 y 3 0, 直平分线 的解 圆心C的坐标是方程组 y l x y 1 0 x 3, ' 解此方程组，得 A(1,1) l y 2. O D x ( 3 , 2 ) 所以圆心C的坐标是
点 M 1 的坐标适合圆的方程， 所以点 M 1在这个圆上； y 把点 M 2 ( 5,1) 的坐标代入上方程， 左右两边不相等，点 M 2 的坐标 O 不适合圆的方程， 所以点 M 2 不在这个圆上. A M1
x
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点
M1 (5,7) M 2 ( 5,1)
解：设M( c, y )是圆上任意一点，
y M
根据圆的定义|MC|=r
由两点间距离公式，得
．
r C O x
x a y b
2
2
r
①
把①式两边平方，得
( x - a) ( y - b) r
2 2
2
②
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 圆的方程 具有什么特点？