大学物理下册期末复习例题汇总
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2
0 x 30
7 k 7
干涉静止点为: x 1, 3, 5, ,29(m)
当介质中各质点的位移都达到最大值时，驻波上的 质点的全部能量都是势能，且集中在波节附近，在波节 处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小， 势能最小。
当介质中各质点的位移都达到平衡位置时,驻波上的质 点的全部能量都是动能,且集中在波腹附近。
例2 :已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处,其波
形图如(a)所示,有一平面简谐行波,沿x正方向传播,图
(b)所示为该波t 时刻的波形图. (1) 试分别在两图上
注明a,b,c,d 四点此时的运动速度(设横波). (2) 求两
种情况下a-b?
ab
u
ab
0
0
c
dx
c
dx
(a) 驻波
(b) 行波
解:
因此介质在振动中,驻波的动能和势能不断地转换,由 波腹附近不断转换到波节附近,再由波节附近不断转换 到波腹附近。即驻波进行中没有能量的定向传播。
驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊运动状态。
鱼洗之谜
用手摩擦“洗耳”时，“鱼洗”会随着摩擦的频率 产生振动。当摩擦力引起的振动频率和“鱼洗”壁振动 的固有频率相等或接近时，“鱼洗”壁产生共振，振动 幅度急剧增大。但由于“鱼洗”盆的限制，使它所产生 的波动不能向外传播，于是在“鱼洗”壁上入射波与反 射波相互叠加而形成驻波。用手摩擦一个圆盆形的物体， 最容易产生一个数值较低的共振频率，也就是由四个波 腹和四个波节组成的振动形态，“鱼洗壁”上振幅最大 处会立即激荡水面，将附近的水激出而形成水花。当四 个波腹同时作用时，就会出现水花四溅。有意识地在 “鱼洗壁”上的四个振幅最大处铸上四条鱼，水花就像 从鱼口里喷出的一样。
例题4：边长l 0.25、m密度 木 8木00块kg浮 m3
在大水槽的表面上，今把木块完全压入水中，然后放手， 如不计水对木块的阻力，问木块将如何运动？
解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时，木块浮在水 面，木块上Q点与O重合。其顶部至水面距离为a。
木块的运动是平动，所 以可用它上面任一点来描 述，现在我们选Q点来描述 木块的运动。Q不一定是质 心，但整体的平动可用Q 作代表点。
解：用机械能守恒定律 l
取水平面MN为重力零势能面，
k k a
摆在最低位置时:
E1
E p1
Ek1
1 2
mv2max
1 2
m(lmax)2
M
mg
N
摆在最大偏离位置时
E2
Ep2
E p1
mgl(1 cosmax) 2
1 2
mgl
2 m
ax
k
a2m2 ax
1 2
k (a m ax) 2
1 2
m(lmax)2
2
2
1 m(l)2 (1 mgl k a2 ) 2 C
2
2
1 ml2 2 d (1 mgl ka2 )2 d 0
2
dt 2
dt
d 2
dt 2
mgl 2ka2 ml 2
0
例:位于A,B两点的两个波源，振幅相等，频率都是
100Hz,相位差为，若A,B 相距30m,波速为400ms。
求:AB连线之间叠加(干涉）而静止的各点位置
ab
0
c
d
(a) 驻波
x0
u
ab
c
dx
(b) 行波
(1) 对于驻波a,b,c,d 点此 时的运动速度为零.
对于行波a,b,c,d 点此 时的运动方向如图。
(2) 对于驻波a –b = 0 ;
对于行波
a –b
=
2
( xa
xb )
2
x
例2 :已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处,其波
形图如(a)所示,有一平面简谐行波,沿x正方向传播,图
解: 建立坐标
A.
P.
.B x
O
L
A
A c os [2
(
t
x
)
A]
B
Acos[2 (
t
L
x)
B ]
A
B
2
u
(L
2x)
2 100 (L 2x)
400
(L 2x)
2
(L 2x)
2
由干涉静止的条件 (2k 1)
(L 2x) (2k 1)
2 x L 2k 15 2k (k是整数)
Q
QO
b
a bx O
x
由题意：l a 设b木块横截面积为S，
根据阿基米德定律,平衡时： Sl木 g Sb水 g
b l木 0.25 800 0.20m
水
1000
a l b 0.05m
任一时刻 OQ =x，木块受力有重力
和浮力不相等，其合力为做简谐振动的 恢复力，称为准弹性力。
浮 力 重 力 S(b x)水 g Sl木 g
Sb水 g Sx水 g Sl木 g
Sx水 g
Q
bx O x
d2x
m dt 2 S水gx
木块简谐振动的动力学方程：
mx S水 gx
m Sl木
d2 x dt 2
S水 gx
m
S水 gx Sl木
水 g 木l
x
பைடு நூலகம்
g b
x
b 木l 水
x (g / b)x
x ( g / b)x
得木块的运动方程： x(t ) A cos(0t 0 )
1 2
mglm2
ax
k
a
2
2 m
ax
(1)
按题意设小角度摆动为谐振动，以表示其振动频率。
max cos(2 t )
max 2 sin(2 t )
max 2 max (2)
(2)式代入(1)式
1
2
mgl 2ka2 ml 2
或写出系统任意时刻的能量 l
k k a
1 m(l)2 1 mgl 2 ka2 2 C
(b)所示为该波t 时刻的波形图. (1) 试分别在两图上
注明a,b,c,d 四点此时的运动速度(设横波). (2) 求两
种情况下a-b?
ab
u
ab
0
0
c
dx
c
dx
(a) 驻波
(b) 行波
解:
ab
0
c
d
(a) 驻波
x0
u
ab
c
dx
(b) 行波
(1) 对于驻波a,b,c,d 点此 时的运动速度为零.
例5 : 设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，
使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固 定有质量为m的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的 两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆
在小角度摆动时， 角按余弦函数规律随时间变化。试
求摆在小摆角摆动时的固有频率。两根弹簧的劲度系数 均为k。
其中固有角频率： 0
g b
9.8 7.0 s1 0.20
由初始条件：将木块完全压入水中
t 0 ; x0 0.05 m ; v0 0.
所以：A
x02
v
2 0
2 0
0.052 0 0.05 m
x0 Acos0 ; cos 0 1
0 x(t) 0.05cos(7.0t ) m
0 x 30
7 k 7
干涉静止点为: x 1, 3, 5, ,29(m)
当介质中各质点的位移都达到最大值时，驻波上的 质点的全部能量都是势能，且集中在波节附近，在波节 处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小， 势能最小。
当介质中各质点的位移都达到平衡位置时,驻波上的质 点的全部能量都是动能,且集中在波腹附近。
例2 :已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处,其波
形图如(a)所示,有一平面简谐行波,沿x正方向传播,图
(b)所示为该波t 时刻的波形图. (1) 试分别在两图上
注明a,b,c,d 四点此时的运动速度(设横波). (2) 求两
种情况下a-b?
ab
u
ab
0
0
c
dx
c
dx
(a) 驻波
(b) 行波
解:
因此介质在振动中,驻波的动能和势能不断地转换,由 波腹附近不断转换到波节附近,再由波节附近不断转换 到波腹附近。即驻波进行中没有能量的定向传播。
驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊运动状态。
鱼洗之谜
用手摩擦“洗耳”时，“鱼洗”会随着摩擦的频率 产生振动。当摩擦力引起的振动频率和“鱼洗”壁振动 的固有频率相等或接近时，“鱼洗”壁产生共振，振动 幅度急剧增大。但由于“鱼洗”盆的限制，使它所产生 的波动不能向外传播，于是在“鱼洗”壁上入射波与反 射波相互叠加而形成驻波。用手摩擦一个圆盆形的物体， 最容易产生一个数值较低的共振频率，也就是由四个波 腹和四个波节组成的振动形态，“鱼洗壁”上振幅最大 处会立即激荡水面，将附近的水激出而形成水花。当四 个波腹同时作用时，就会出现水花四溅。有意识地在 “鱼洗壁”上的四个振幅最大处铸上四条鱼，水花就像 从鱼口里喷出的一样。
例题4：边长l 0.25、m密度 木 8木00块kg浮 m3
在大水槽的表面上，今把木块完全压入水中，然后放手， 如不计水对木块的阻力，问木块将如何运动？
解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时，木块浮在水 面，木块上Q点与O重合。其顶部至水面距离为a。
木块的运动是平动，所 以可用它上面任一点来描 述，现在我们选Q点来描述 木块的运动。Q不一定是质 心，但整体的平动可用Q 作代表点。
解：用机械能守恒定律 l
取水平面MN为重力零势能面，
k k a
摆在最低位置时:
E1
E p1
Ek1
1 2
mv2max
1 2
m(lmax)2
M
mg
N
摆在最大偏离位置时
E2
Ep2
E p1
mgl(1 cosmax) 2
1 2
mgl
2 m
ax
k
a2m2 ax
1 2
k (a m ax) 2
1 2
m(lmax)2
2
2
1 m(l)2 (1 mgl k a2 ) 2 C
2
2
1 ml2 2 d (1 mgl ka2 )2 d 0
2
dt 2
dt
d 2
dt 2
mgl 2ka2 ml 2
0
例:位于A,B两点的两个波源，振幅相等，频率都是
100Hz,相位差为，若A,B 相距30m,波速为400ms。
求:AB连线之间叠加(干涉）而静止的各点位置
ab
0
c
d
(a) 驻波
x0
u
ab
c
dx
(b) 行波
(1) 对于驻波a,b,c,d 点此 时的运动速度为零.
对于行波a,b,c,d 点此 时的运动方向如图。
(2) 对于驻波a –b = 0 ;
对于行波
a –b
=
2
( xa
xb )
2
x
例2 :已知一驻波在t时刻各点振动到最大位移处,其波
形图如(a)所示,有一平面简谐行波,沿x正方向传播,图
解: 建立坐标
A.
P.
.B x
O
L
A
A c os [2
(
t
x
)
A]
B
Acos[2 (
t
L
x)
B ]
A
B
2
u
(L
2x)
2 100 (L 2x)
400
(L 2x)
2
(L 2x)
2
由干涉静止的条件 (2k 1)
(L 2x) (2k 1)
2 x L 2k 15 2k (k是整数)
Q
QO
b
a bx O
x
由题意：l a 设b木块横截面积为S，
根据阿基米德定律,平衡时： Sl木 g Sb水 g
b l木 0.25 800 0.20m
水
1000
a l b 0.05m
任一时刻 OQ =x，木块受力有重力
和浮力不相等，其合力为做简谐振动的 恢复力，称为准弹性力。
浮 力 重 力 S(b x)水 g Sl木 g
Sb水 g Sx水 g Sl木 g
Sx水 g
Q
bx O x
d2x
m dt 2 S水gx
木块简谐振动的动力学方程：
mx S水 gx
m Sl木
d2 x dt 2
S水 gx
m
S水 gx Sl木
水 g 木l
x
பைடு நூலகம்
g b
x
b 木l 水
x (g / b)x
x ( g / b)x
得木块的运动方程： x(t ) A cos(0t 0 )
1 2
mglm2
ax
k
a
2
2 m
ax
(1)
按题意设小角度摆动为谐振动，以表示其振动频率。
max cos(2 t )
max 2 sin(2 t )
max 2 max (2)
(2)式代入(1)式
1
2
mgl 2ka2 ml 2
或写出系统任意时刻的能量 l
k k a
1 m(l)2 1 mgl 2 ka2 2 C
(b)所示为该波t 时刻的波形图. (1) 试分别在两图上
注明a,b,c,d 四点此时的运动速度(设横波). (2) 求两
种情况下a-b?
ab
u
ab
0
0
c
dx
c
dx
(a) 驻波
(b) 行波
解:
ab
0
c
d
(a) 驻波
x0
u
ab
c
dx
(b) 行波
(1) 对于驻波a,b,c,d 点此 时的运动速度为零.
例5 : 设杆的质量可忽略不计，杆的一端用铰链连接，
使杆可绕垂直纸面的轴在铅垂面内摆动，杆的另一端固 定有质量为m的摆球。当摆在铅垂位置时，与摆连接的 两根水平放置的轻弹簧都处于没有变形的状态，假定摆
在小角度摆动时， 角按余弦函数规律随时间变化。试
求摆在小摆角摆动时的固有频率。两根弹簧的劲度系数 均为k。
其中固有角频率： 0
g b
9.8 7.0 s1 0.20
由初始条件：将木块完全压入水中
t 0 ; x0 0.05 m ; v0 0.
所以：A
x02
v
2 0
2 0
0.052 0 0.05 m
x0 Acos0 ; cos 0 1
0 x(t) 0.05cos(7.0t ) m