1数学建模概述

第1章数学建模概述 (2)§1.1从现实现象到数学模型 (2)§1.2数学建模方法、步骤、特点与分类 (4)§1.3怎样学习数学建模及组织数学建模竞赛 (8)习题1 (10)第1章数学建模概述随着科学技术的发展，特别是计算机技术的飞速发展，数学建模作为一门用数学方法解决实际问题的学科越来越受到人们的重视。

对于广大科技人员和应用数学工作者来说，建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与他们掌握的数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁.其实，“所谓高科技就是一种数学技术”，几乎所有学科发展到高级阶段都要引入数学，进行量化处理，甚至几乎所有科学理论都可看作数学模型，马克思说过“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。

当今，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，可以从以下几方面来看数学建模在现实世界中的重要意义：（1）在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地，如机械、电机、土木、水利等；（2）在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具，如通信、微电子、航天、自动化等；（3）数学进入一些新领域，诸如经济、人口、生态、地质等。

所谓非物理领域也为数学建模开辟了许多处女地，如计量经济学、人口控制论、数学生态学等。

本章为数学建模概述，主要讨论建立数学模型的意义、方法和步骤，使读者全面的、初步的了解数学建模，最后给出几点数学建模竞赛建议供读者参考。

§1.1从现实现象到数学模型现实世界丰富多彩，变化万千。

人们无时无刻都在运用自己的智慧和力量去认识、利用、改造世界，从而创造出更加多彩的物质文明和精神文明。

博览会是集中展示这些成果的场所之一。

工业展厅上，豪华、舒适的新型汽车令人赞叹不已；农业展厅上，硕大、娇艳的各种水果令人流连忘返；科技展厅上，大型水电站模型雄伟壮观，人造卫星模型高高耸立，讲解员深入浅出的介绍原子结构模型的运行机理，电影演播室里播放着一部现代化炼钢厂自动化生产的影片，其中既有火花四溅的炼钢情形，也有控制的框图、公式和程序。

参加博览会，既有汽车、水果那些原封不动的从现实搬到展厅的实物，也有各种实物模型、照片、图表、公式……，这些模型在短短几个小时给大家的作用，恐怕置身现实世界很多天也无法做到。

与形形色色的模型相对应，它们在现实世界的原始参照物统称为原型，它们是人们现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。

模型是为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、抽象、提炼而构成的原型替代物，也是所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式，也可指根据实验、图样放大或缩小而制作的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。

这里特别强调构造模型的目的性，模型不是原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。

一个原型，为了不同的目的可以有许多模型，如放在展厅里的飞机模型应该在外形上逼真，但不一定会飞，而参加航模竞赛的模型飞机要具有良好的飞行性能。

模型可以分为物质模型和理想模型，前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。

（1）直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常把原型的尺寸按比例放大或缩小，主要追求外观上的逼真。

（2）物理模型主要指科技工作者为了一定目的，根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且还可以用来进行模拟实验，间接研究原型的某些规律。

物理模型可分为实物模型和类比模型。

实物模型是指根据相似性理论制造的按原系统比例缩小（也可以是放大或与原系统尺寸一样）的实物，例如风洞实验中的飞机模型，水力系统实验模型，建筑模型，船舶模型等。

类比模型是指：在不同的物理学领域（力学的、电学的、热学的、流体力学的等）系统中各自的变量有时服从相同的规律，根据这个共同规律可以制出物理意义完全不同的比拟和类推的模型。

（3）思维模型指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存在大脑中，从而可以根据思维或直觉做出相应的决策，如汽车司机对方向盘的操作。

（4）符号模型指在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定的形式组合起来的描述模型，如地图、电路图等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。

（5）数学模型是对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，并做出一些必要假设简化，进而运用适当数学工具得到的一个数学结构。

简单地说就是系统某种特征本质的数学表达式，或是用数学术语对部分现实世界的描述，即用数学式子（如函数、图形、方程等）来描述所研究的客观对象或系统在某一方面存在的规律。

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解．需要强调的是，衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不是采用了多么高深的数学方法。

如果对某个实际问题，我们可以用初等方法和高深方法建立了两个模型，而应用效果相差不多，那么受欢迎的一定是前者，而不是后者。

数学建模与计算机技术的关系密不可分，一方面，像新型飞机设计、石油勘探、天气预报等数据处理中数学模型求解当然离不开巨型计算机，而微型计算机的普及使数学建模更快地进入人们的日常生活中。

另一方面，以数字化为特征的信息正以爆炸之势涌入计算机，去伪存真，归纳整理，分析现象，显示结果，……，计算机需要人们给它以思维的能力，这些当然要求助于数学模型，所以把计算机技术与数学建模在知识经济中的作用比喻为如虎添翼，是恰如其分的。

§1.2数学建模方法、步骤、特点与分类数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题时，就需要用数学的语言、方法去近似刻画该实际问题，这种刻划的数学表述就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程．数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能计算机的出现使数学建模方法如虎添翼似的得到了飞速发展，计算和建模是数学科学技术转化为生产力的主要途径。

数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，可以培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力，那么，怎样才能建立一个理想的数学模型呢？1．数学建模的一般方法（1）机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义．（2）测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型．测试分析方法也叫做系统辩识．（3）将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法．在实际过程中用哪一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定．一般而言，如果对研究对象了解深刻，掌握了一些机理知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，一般可以机理分析方法为主。

而如果对象的内在规律基本上不清楚，模型也不需要反映内在特性，如仅对于输出做预报，那么可以尝试用测试分析。

2．数学建模的一般步骤在实际生活中发现问题，那就需要对问题进行分析，进而解决问题，一种常用的方法就是建立数学模型。

建模经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质、建模目的等有关。

测试分析方法是一套完整的数学方法，以动态系统为主的测试分析称为系统辨识，主要表现为：动态数据对应的分析方法为时间序列分析；横截面数据对应的分析方法为多元统计分析。

本书讲了大量测试分析方法，如回归分析、时间序列分析、聚类分析、主成份分析与因子分析，这也是本书的特色之一。

下面给出的是机理方法建立数学模型的一般过程：图1.2.1机理方法建立数学模型的一般过程（1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集建模必需的各种信息，如现象、数据等，尽量弄清对象的特征，由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.（2）模型假设、构成：根据对象特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化。

用精确的语言做出假设是建模的关键一步，一般来说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，就会导致模型失败或部分失败，这样就应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能会使你很难甚至无法继续下一步工作．通常作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化，经验在这里也常常起着重要模型准备模型假设、构成模型求解、分析模型检验：用实际问题的实测数据等检验该模型模型应用：交付使用，产生经济、社会效益符合实际否则作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样。

根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路，当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.（3）模型求解、分析：可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是利用计算机技术．对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时要根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况都可能要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．（4）模型检验：把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．（5）模型应用：应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面内容不是本书讨论的范围。