【加16套高考模拟卷】福建龙岩一中2020-2021学年高考模拟试卷含解析

福建龙岩一中2020-2021学年高考模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知()21AB =-，
，()1,AC λ=，若10
cos 10
BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1
B ．7
C ．1
D ．1或7
2．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）
A ．12
33AD AB - B ．
21
33AD AB + C ．2133
AD AB -
D ．1233
AD AB +
4．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种
B ．240种
C ．480种
D ．600种
5．已知集合{
}
2
{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（ ）
A ．{2}
B ．{1,0,1}-
C ．{2,2}-
D ．{1,0,1,2}-
6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）
A ．800
B ．1000
C ．1200
D ．1600
7．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
8．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*
,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n
S 取最小值时，n 等于（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）
A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;
② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为
5
6
.
其中，正确命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）
A ．42p +
B ．41p +
C ．64p -
D ．43p +
12．己知全集为实数集R ，集合A={x|x 2 +2x-8>0}，B={x|log 2x<1}，则(
)R
A B ⋂等于（ ）
A ．[-4,2]
B ．[-4,2)
C ．(-4,2)
D ．(0,2)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF=60°，则|FR|等于_____.
14．如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点,E EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
2··AB BE BD AE AC =-
15．数列{}n a 满足递推公式21++=+n n n a a a ，且12201920202020a a a a =⋅=，，则
222122019a a a ++⋯+=___________.
16．()()6
121x x -+的展开式中2x 的系数为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且116,AB AC AB BC =⊥．
（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；
（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的正弦值．
18．（12分）已知直线1x y +=过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点，且交椭圆于A ，B 两点，线段
AB 的中点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l 与线段AB 相交（不含端点）且交椭圆于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.
19．（12分）已知函数2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，其中a R ∈.
（1）函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值； （2）若函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <. ①求实数a 的取值范围； ②求证：()()12100f x f x ++>.
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB AD ⊥，
222AD AB BC ===，PCD ∆是正三角形，PC AC ⊥，E 是PA 的中点.
（1）证明：AC BE ⊥；
（2）求直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值.
21．（12分）唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的篇数，得到下表：
爱情婚姻
咏史怀古
边塞战争
山水田园
交游送别
羁旅思乡
其他
总计
（1）根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率； （2）已知检索关键字的选取规则为：
①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；
②若“某字”被选为“某类别”关键字，则由其对应列联表得到的2K 的观测值越大，排名就越靠前； 设“山”“帘”“花”和“爱情婚姻”对应的2K 观测值分别为1k ，2k ，3k .已知10.516k ≈，231.962k ≈，请完成下面列联表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
22．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，
11
222
AB BC AD PB ==
==，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.
（1）若//EF 平面PAD ，证明：EF ⊥平面PAB . （2）求二面角B PD C --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】 【分析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
2
10cos 51AB AC BAC AB AC
λ⋅∠=
=
=
⋅+. ∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 2、A 【解析】 【分析】
由复数的除法运算可整理得到z ，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限. 【详解】
由2z iz i -=+得：()()()()2121313
111222
i i i i z i i i i ++++=
===+--+，
z ∴对应的点的坐标为13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，位于第一象限.
故选：A . 【点睛】
本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 3、C 【解析】 【分析】
画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进行分解后可得结果． 【详解】
画出图形，如下图．
选取,?AB AD 为基底，则()
211
333AE AO AC AB AD =
==+， ∴()
121
333
ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-． 故选C ． 【点睛】
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 4、B 【解析】 【分析】
首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】
将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：211
532
3
3
10C C C A =种分组方法；
将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4
424A =种分配方法；
由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题. 5、A 【解析】 【分析】
化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解. 【详解】
集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ，
{|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =.
故选:A. 【点睛】
本题考查集合间的运算，属于基础题. 6、B 【解析】 【分析】
由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在
[250,350]内的学生人数.
【详解】
由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题. 7、C 【解析】 【分析】
2
1i
z =
+，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】 由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)
z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题. 8、A 【解析】 【分析】
先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令
,1p n q ==，可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.
【详解】
解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的
*
11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由1
0,
0n n a a +⎧⎨≥⎩解
得
1113
22
n ，则6n =. 解法二：由赋值法易求得212311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n
S 取最小值. 故选：A 【点睛】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题. 9、D 【解析】 【分析】
计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案. 【详解】
由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误.
故选：D . 【点睛】
本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 10、C 【解析】 【分析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；
连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；
直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：
三棱锥B EFG -的体积为：
由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=
23115
22131=2222
BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 155
1326F EBM
V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56
，④正确； 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题． 11、A 【解析】 【分析】
计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】
由2222244
S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】
本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题. 12、D 【解析】 【分析】
求解一元二次不等式化简A ，求解对数不等式化简B ，然后利用补集与交集的运算得答案. 【详解】
解：由x 2 +2x-8>0，得x ＜-4或x ＞2， ∴A={x|x 2 +2x-8>0}＝{x| x ＜-4或x ＞2}， 由log 2x<1，x ＞0，得0＜x ＜2， ∴B={x|log 2x<1}＝{ x |0＜x ＜2}， 则{}|42R
A x x =-≤≤， ∴
(
)()0,2R
A B =.
故选：D. 【点睛】
本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了对数不等式，二次不等式的求法，是基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 【解析】 【分析】
由题意知：2FH =，PF PQ =，//MN QF ，//PQ OR .由∠NRF=60°，可得PQF △为等边三角形，MF ⊥PQ ，可得F 为HR 的中点，即求FR . 【详解】
不妨设点P 在第一象限，如图所示，连接MF ，QF.
∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点 ∴2FH =，PF PQ =. ∵M ，N 分别为PQ ，PF 的中点， ∴//MN QF ， ∵PQ 垂直l 于点Q ， ∴PQ//OR ，
∵PF PQ =，∠NRF=60°， ∴PQF △为等边三角形， ∴MF ⊥PQ ，
易知四边形MQHF 和四边形MQFR 都是平行四边形， ∴F 为HR 的中点， ∴2FR FH ==， 故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义，属于基础题. 14、证明见解析． 【解析】
试题分析：,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，又△ABC ∽△AEF ，所以
AB AC
AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，得证．
试题解析：
A ．连接AD ，因为A
B 为圆的直径，所以AD BD ⊥， 又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆， 所以BD BE BA BF ⋅=⋅． 又△AB
C ∽△AEF ， 所以
AB AC
AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴()2
BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． 15、2020 【解析】 【分析】
可对12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +得12
121n n n n n a a a a a ++++=-，
依次写出211n n n n n a a a a a +-=-，21121n n n n n a a a a a ----=-，
⋅⋅⋅，2
22312a a a a a =-，累加可得22223112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-，再由12a a =得2222
1231n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，代入2019n =即可求解
【详解】
12n n n a a a ++=-左右两端同乘以1n a +有1
2121n n n n n a a a a a ++++=-，从而211n n n n n a a a a a +-=-，
21121n n n n n a a a a a ----=-，
⋅⋅⋅，222312a a a a a =-，将以上式子累加得222
23112n n n a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-. 由12a a =得222212
31n n n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.令2019n =，有222122019201920202020a a a a a ++⋯+=⋅=. 故答案为：2020 【点睛】
本题考查数列递推式和累加法的应用，属于基础题 16、3 【解析】 【分析】
分别用1和()2x -进行分类讨论即可 【详解】
当第一个因式取1时，第二个因式应取含2x 的项，则对应系数为：22
66115C C ⨯==；
当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含x 的项，则对应系数为：()1
6212C -⨯=-；
故()()6
121x x -+的展开式中2x 的系数为()21
6623C C +-=.
故答案为：3 【点睛】
本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）见解析；（2. 【解析】 【分析】
（1）根据菱形的特征和题中条件得到1B C ⊥平面1ABC ，结合线面垂直的定义和判定定理即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，利用向量知识求解即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，
11B C BC ⊥∴，
11,,AB B C AB BC B ⊥⋂=
1B C ∴⊥平面1ABC
AO ⊂平面1ABC ， 1B C AO ∴⊥
又
1,AB AC O =是1BC 的中点，
1AO BC ∴⊥，
又
11B C BC O =
AO ∴⊥平面11BB C C
（2）
11//AB A B
∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角．
AO ⊥平面11BB C C ，
∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角为ABO ∠，即45ABO ∠=︒． 因为16AB AC =
=，则在等腰直角三角形1ABC 中123BC =， 所以1
3,tan301BO CO BO BO ===⋅︒=． 在Rt ABO 中，由45ABO ∠=︒得3AO BO ==，
以O 为原点，分别以1,,OB OB OA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．
则113),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)A B B C - 所以1111(3,0,3),(3,1,0)A B AB BC ==-=-- 设平面111A B C 的一个法向量为1(,,)n x y z =，
则111133030
n A B x z n B C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，可得1(1,3,1)n =-， 取平面11BB C C 的一个法向量为2(0,0,1)n =， 则1212125
cos ,5||||5
n n n n n n ⋅〈〉=
==，
所以二面角111A B C B --25
． （注：问题（2）可以转化为求二面角1A BC B --的正弦值，求出3AO BO ==Rt OBC 中，过点O 作BC 的垂线，垂足为H ，连接AH ，则AHO ∠就是所求二面角平面角的补角，先求出3
OH =
，再求出15
AH =，最后在Rt AOH 中求出2sin 55AHO ∠=） 【点睛】
本题主要考查了线面垂直的判定以及二面角的求解，属于中档题．
18、（1）2212x y +=（2）
43
3
【解析】
【分析】
（1）由直线1x y +=可得椭圆右焦点的坐标为(1,0),由中点M 可得121242
,33
x x y y +=+=,且由斜率公式
可得21211y y x x -=--,由点,A B 在椭圆上,则2222
112222221,1x y x y a b a b
+=+=,二者作差,进而代入整理可得222a b =,
即可求解；
（2）设直线:l y kx =,点,A B 到直线l 的距离为12,d d ,则四边形的面积为
()1212111
222
S CD d CD d CD d d =
⋅+⋅=+,将y kx =代入椭圆方程,再利用弦长公式求得CD ,利用点到直线距离求得12,d d ,根据直线l 与线段AB （不含端点）相交,可得()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,进而整
理换元,由二次函数性质求解最值即可. 【详解】
（1）直线1x y +=与x 轴交于点(1,0),所以椭圆右焦点的坐标为(1,0),故1c =, 因为线段AB 的中点是21,33M ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 设()()1122,,,A x y B x y ,则121242
,33
x x y y +=+=,且
21211y y x x -=--, 又2222112222221,1x y x y a b a b +=+=,作差可得2222
212122
0x x y y a b --+=, 则()()()()2121212122
0x x x x y y y y a b
-+-++=,得222a b = 又222,1a b c c =+=, 所以2
2
2,1a b ==,
因此椭圆的方程为2
212
x y +=.
（2）由（1）联立22121
x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或4313x y ⎧
=
⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
, 不妨令()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
,易知直线l 的斜率存在,
设直线:l y kx =,代入2212
x y +=,得()
22
212k x +=,
解得x =
或
设()()3344,,,C D x y y x ,
则34x x =
-=
,
则34C x D -==,
因为()410,1,,33A B ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
到直线y kx =
的距离分别是12d d =
=
, 由于直线l 与线段AB （不含端点）相交,所以()4
101033k k ⎛⎫⨯-+< ⎪⎝⎭,即14
k >-,
所以(
)12
444
1k k d d +++, 四边形ACBD 的面积(
)1212111222S CD d CD d CD d d =⋅+⋅=+=, 令1k t +=,3
4
t >
,则2221243k t t +=-+,
所以S ==, 当123t =,即12k =时
,min S ==，
因此四边形ACBD
面积的最大值为3
. 【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力. 19、（1）12
；（2）①01a <<；②详见解析. 【解析】 【分析】
（1）由函数()f x 在1x =处的切线与直线210x y -+=垂直，即可得1
(1)12
f '⋅=-，对其求导并表示(1)f '，代入上述方程即可解得答案；
（2）①已知要求等价于2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <，即222(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x ，由二次函数的图象与性质构建不等式组，
解得答案，最后分析此时单调性推及极值说明即可；
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程2
22(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，由韦达定理可表达
根与系数的关系，进而用含的式子表示()()12f x f x +，令()()12()g a f x f x =+，对()g a 求导分析单调性，即可知道存在常数(
)
3
,1t e -∈使()g a 在(0,)t 上单调递减，在(,1)t 上单调递增，进而求最值证明不等式成立. 【详解】
解：（1）依题意，2
()2(3)2ln f x x a x a x =+-+，0x >，
故2()22(3)a
f x x a x
'=+-+
，所以(1)44f a '=-， 据题意可知，1
(44)12a -⋅=-，解得12a =.
所以实数a 的值为1
2
.
（2）①因为函数()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，且12x x <， 所以2()22(3)0a
f x x a x
'=+-+
=在(0,)+∞上有两个根12,x x ，且12x x <， 即2
22(3)20x a x a +-+=在(0,)+∞上有两个不相等的根12,x x .
所以2
2(3)0,224(3)160,20,a a a -⎧->⎪⨯⎪∆=-->⎨⎪>⎪⎩
解得01a <<.
当01a <<时，若10x x <<或2x x >，2
22(3)20x a x a +-+>，()0f x '>，函数()f x 在()10,x 和
()1,x +∞上单调递增；若1
2x
x x <<，222(3)20x a x a +-+<，()0f x '<，函数()f x 在()12,x x 上单调
递减，故函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且12x x <. 所以，实数a 的取值范围是01a <<.
②由①可知，()1212,0x x x x <<是方程222(3)20x a x a +-+=的两个不等的实根，
所以1212
3,,x x a x x a +=-⎧⎨=⎩其中01a <<.
故()()2
2
121112222(3)2ln 2(3)2ln f x f x x a x a x x a x a x +=+-+++-+
()()2
1212121222(3)2ln x x x x a x x a x x =+-+-++
22(3)22(3)(3)2ln 2ln 49a a a a a a a a a a =--+--+=-+-，
令2
()2ln 49g a a a a a =-+-，其中01a <<.故()2ln 26g a a a '=-+，
令()()2ln 26h a g a a a '==-+，2
()20h a a
'=
->，()()h a g a '=在(0,1)上单调递增.
由于()3
3
20h e
e
--=-<，(1)40h =>，
所以存在常数(
)
3
,1t e -∈，使得()0h t =，即ln 30t t -+=，ln 3t t =-， 且当(0,)a t ∈时，()()0h a g a '=<，()g a 在(0,)t 上单调递减； 当(,1)a t ∈时，()()0h a g a '=>，()g a 在(,1)t 上单调递增，
所以当01a <<时，2
2
2
()()2ln 492(3)4929g a g t t t t t t t t t t t =-+-=--+-=--，
又(
)
3
,1t e -∈，22
29(1)1010t t t --=-->-，
所以()10g a >-，即()100g a +>， 故()()12100f x f x ++>得证. 【点睛】
本题考查导数的几何意义、两直线的位置关系、由极值点个数求参数范围问题，还考查了利用导数证明不等式成立，属于难题.
20、（1）见证明；（2）13
【解析】 【分析】
（1）设F 是PD 的中点，连接EF 、CF ，先证明BCFE 是平行四边形，再证明AC ⊥平面PCD ，即
AC BE ⊥
（2）以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面BDE 法向量，利用向量的夹角公式得到直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值. 【详解】
（1）证明：设F 是PD 的中点，连接EF 、CF ，
E 是PA 的中点，//E
F AD ∴，1
2
EF AD =
， //AD BC ，2AD BC =，//EF BC ∴，EF BC = ， BCFE ∴是平行四边形，//BE CF ∴，
//AD BC ，AB AD ⊥，90ABC BAD ∴∠=∠=︒，
AB BC =，45CAD ∠=︒，AC =
由余弦定理得2222cos 2CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠=，
2224AC CD AD ∴+==，AC CD ∴⊥，
PD AC ⊥，AC ∴⊥平面PCD ，AC CF ∴⊥，
AC BE ∴⊥；
（2）由（1）得AC ⊥平面PCD ，2CD =∴平面ABCD ⊥平面PCD ，
过点P 作PO CD ⊥，垂足为O ，OP ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，
则60,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,2B ⎫-⎪⎪⎭，226424E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
262,2BP ⎛∴=- ⎝⎭
， 设(),,m x y z =是平面BDE 的一个法向量，则00m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，32
2
02
2
326
0x y x z ⎧-+=⎪⎪∴⎨
⎪+
=⎪⎩，
令1x =，则3
3
y z =⎧⎪⎨=⎪⎩(1,3,3m ∴=，
26cos ,13
m BP m BP m BP
⋅∴=
=
， ∴直线BP 与平面BDE 所成角的正弦值为26.
【点睛】
本题考查了线面垂直，线线垂直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21、（1）该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小；属于“山水田园”类别的概率约为
69271；属于“其他”类别的概率约为4
271
（2）填表见解析；选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘” 【解析】 【分析】
（1）根据统计图表算出频率，比较大小即可判断；
（2）根据统计图表完成列联表，算出2K 观测值，查表判断. 【详解】
（1）由上表可知，
该唐诗属于“山水田园”类别的可能性最大，属于“其他”类别的可能性最小 属于“山水田园”类别的概率约为69271；属于“其他”类别的概率约为4271
； （2）列联表如下：
计算得：2
35001400045.037100400340160
k ⨯=≈⨯⨯⨯；
因为23, 3.841k k >，1 3.841k <，所以有超过95%的把握判断“花”字和“帘”字均与“爱情婚姻”有关系，故“花”和“帘”是“爱情婚姻”的关键字，而“山”不是；
又因为23k k >，故选择“花”，“帘”作为“爱情婚姻”类别的关键字，且排序为“花”，“帘”. 【点睛】
本题主要考查统计图表、频率与概率的关系、用样本估计总体、独立性检验等知识点.考查了学生对统计图表的识读与计算能力，考查了学生的数据分析、数学运算等核心素养.
22、（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】
（1）因为//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证出//BC 平面PAD ，利用点线面的位置关系，得出
//BC PM 和//EF BC ，由于PA ⊥底面ABCD ，利用线面垂直的性质，得出
PA BC ⊥，
且AB BC ⊥，最后结合线面垂直的判定定理得出BC ⊥平面PAB ，即可证出EF ⊥平面PAB . （2）由（1）可知AB ，AD ，AP 两两垂直，建立空间直角坐标系A xyz -，标出点坐标，运用空间向量坐标运算求出所需向量，分别求出平面BDP 和平面CDP 的法向量，最后利用空间二面角公式，即可求出B PD C --的余弦值. 【详解】
（1）证明：因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，
所以//BC 平面PAD ，
因为P ∈平面PBC ，P ∈平面PAD ，所以可设平面PBC 平面PAD PM =，
又因为BC ⊂平面PBC ，所以//BC PM . 因为//EF 平面PAD ，EF ⊂平面PBC ， 所以//EF PM ，从而得//EF BC . 因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA BC ⊥. 因为90ABC ∠=︒，所以AB BC ⊥. 因为PA
AB A =，所以BC ⊥平面PAB .
综上，EF ⊥平面PAB .
（2）解：由（1）可得AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在 直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -. 因为11
222
AB
BC AD PB ==
==，所以2223PA PB AB =-=， 则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,23)P ，
所以(2,4,0)BD =-，(2,0,23)BP =-，(2,2,0)CD =-，(2,2,23)CP =--.
设()111,,m x y z =是平面BDP 的法向量，
由0,0,m BD m BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩取1111240,2230,
x y x z -+=⎧⎪
⎨
-+=⎪⎩ 取123x =，得(23,3,2)m =. 设()222,,n x y z =是平面CDP 的法向量，
由0,0,n CD n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22222220,
22230,
x y x y z -+=⎧⎪⎨
--+=⎪⎩ 取23x =，得(3,3,2)n =， 所以13190
cos ,190
m n m n m n
⋅=
=
即B PD C --的余弦值为190
. 【点睛】
本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算，还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.
2020-2021高考数学模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A ．若,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则 m n ⊥ B ．若,m n αα⊂⊂，且//,//m n ββ，则//αβ C ．若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则 m n ⊥ D ．若,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥
2．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=，则“//a α”是“//a b ”
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
53
π
B ．
43
π C ．223
π+
D ．243
π+
4．如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，且PA AD =，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
26
B ．
33
C ．
3 D ．
23
5．要得到函数3cos 2sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 23cos 2y x x =-的图像（ ）
A ．向左平移2
π
个单位 B ．向左平移712
π
个单位 C ．向右平移
12
π
个单位
D ．向右平移
3
π
个单位 6．函数52sin ()([,0)(0,])33
x x
x x
f x x -+=
∈-ππ-的大致图象为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=<
D ．{|12}A
B x x =-<<
8．已知3
1(2)(1)mx x
--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．-3
D ．3
9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//
β，则m //β或m β⊂
B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //α
C ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥
D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α
10．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（
） A ．13i + B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
11．复数
12i
i
--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
12．已知数列{}n a 满足(
)*
331log 1log n n a a n N ++=∈,且2
469a
a a ++=,则()13573
log a a a ++的值是
( ) A ．5
B ．3-
C ．4
D ．
991
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =，则向量OC 的坐标为___________.
14．已知向量,a b 满足1a b ⋅=-，()
23a a b -=，则a =______________.
15．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E ，F 分别为BC ，CD 边上动点，且满足1EF =，则AE AF ⋅的最大值为________.
16．设函数()21722,04,0
k x x f x x x ⎧+⎛⎫
-+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩
，()43g x k x ⎛⎫
⎪⎝⎭＝-，其中0k >．若存在唯一的整数,x 使
得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有A B ，两种，且这两种的个体数量大致相等，记A 种蜻蜓和B 种蜻蜓的翼长（单位：mm ）分别为随机变量X Y ，，其中X 服从正态分布()45,25N ，Y 服从正态分布()55,25N .
（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间[]45,55的概率；
（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量Z ，若用正态分布()
2
00,N μσ来近似描述Z 的分布，请你根据（Ⅰ）
中的结果，求参数0μ和0σ的值（精确到0.1）；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间[]42.2,57.8的个数为W ，求W 的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）. 注:若(
)2
~,X N μσ
，则0.640.640.473(7)P X μσμσ-≤≤+≈，0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，
2205().946P X μμμσ-≤≤+≈.
18．（12分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元
（1）求发酵池AD 边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 19．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xOy ，已知曲线3:sin x a
C y a
⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以O 原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为
2cos()124
π
ρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 的距离之积． 20．（12分）设函数()2x
f x e ax e =+-，()ln
g x x ax a =-++.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）对任意1x ≥，都有()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.
21．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆与1A BC ∆均为等腰直角三角形，
1
90BAC BAC ∠=∠=︒，侧面11BAA B 是菱形.
（1）证明：平面ABC ⊥平面1A BC ； （2）求二面角1A BC C --的余弦值.
22．（10分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BCC 1B 1是菱形，AC=BC=2，∠CBB 1=3
π
，点A 在平面BCC 1B 1上的投影为棱BB 1的中点E ．
（1）求证：四边形ACC 1A 1为矩形； （2）求二面角E-B 1C-A 1的平面角的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】 【分析】
利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除. 【详解】
解：对于A ，当,m n αβ⊂⊂，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错； 对于B ，当//m n 时，不能判定//αβ，故错；
对于C ，若,//m n αβ⊥，且αβ⊥，则m 与n 的位置关系不定，故错；
对于D ，由,//m βαα⊥可得m β⊥，又//n β，则m n ⊥故正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断． 2、C 【解析】 【分析】
根据线面平行的性质定理和判定定理判断//a α与//b α的关系即可得到答案. 【详解】
若//a α，根据线面平行的性质定理，可得//a b ； 若//a b ，根据线面平行的判定定理，可得//a α. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题. 3、A 【解析】 【分析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。

【详解】
设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为
231214*********
V V V π
ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A 。

【点睛】
本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

4、C 【解析】 【分析】
分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -,再利用向量法求异面直线EF 与BD 所成角的余弦值. 【详解】
由题可知，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.。