1.2弹簧系统有限元分析

则节点平衡方程化为：
将该方程展开为两部分。第2，3个方程变化为：
从而解出了系统的未 知位移和未知反力， 并可以进一步求弹簧 力。
有限元分析基本思想
有限元分析步骤
4.单元水平上，若已知单元的节点位移，可 由刚度方程求出所有单元节点力分量。若已 知节点力，单元节点位移不能确定，单元可 做刚体运动，这也是单元刚度矩阵奇异性的 物理解释。（无可逆矩阵）
整体分析
由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式，分别写出2个 弹簧单元的特性方程如下： （注：右端节点 力分量的下标为 单元节点的局部 编号，上标是单 元编号）
2）扩大后的单元刚度方程采用整体节点位移列阵。
3）扩大后的方程中矩阵元素按对应的整体节点序号排列！
将上述两个方程叠加，得到：
本质是系统中所有节点的力平衡关系，其左边是由节 点位移表示的系统节点力，右边是节点所受外载荷。 不难发现，系统总刚度矩阵可以直接由单元刚度矩阵 扩大后叠加而得到。
系统平衡方程求解
整体分析
系统处于平衡时，考虑节点（1，2，3节点）的平衡条件：
将单元特性受力带入左式：
整体分析
系统节点平衡方程，该方程建立了离散系统的外 载荷与节点位移之间的关系，是求解节点位移的 控制方程。
整体刚度矩阵性质： 由单元刚度方程叠加导出，将单元1，2的刚度方程扩大到 系ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ规模
注意：
1）对单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的力学关系。
弹簧系统
？
单元分析
考虑弹簧单元在系统中变形平衡时的条件： 力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程
单元分析
弹簧单元的刚度方程： 反映了单元的力学特 性，即节点力~节点位 移之间的关系
f 称为单元节点力列阵 k 称为单元节点位移列阵 d 称为单元刚度阵
单元分析
单元刚度矩阵性质： 1.单元刚度矩阵中某列的各元素代表列序号对应节 点有单位位移，其它节点位移为零时，单元各节点 上的节点力；某行的各元素分别是单元各节点的位 移对行序号对应节点的节点力贡献系数。 2.矩阵中任意一个元素k的物理意义是：kij节点的位 移对i节点的节点力贡献系数，或者j节点有单位位 移，其他节点位移为零时，i节点上的节点力 3.单元刚度方程不可以求解，单元刚度方程仅仅表 征一个单元的力学特性，单元水平上无法确定单元 节点位移。只有把系统中所有的单元特性集成后， 在系统水平上才可能求出位置的唯一和反力。