最新2015振动理论基础课程总结报告

第一章 机械振动学基础

第一节 引言

机械振动学研究的问题包括以下几个方面的内容： 1..建立物理模型 2.建立数学模型 3.方程的求解 4.结果的阐述

第二节 接卸振动的运动学概念

一. 简谐振动

物体简谐振动位移的三角函数式 22cos(

)sin()x A t A t T T

ππ

ϕϕ=-=+ 物体简谐振动速度和度的三角函数式

cos()sin()2

v x

Aw wt Aw wt π

ϕϕ==+=++ 22sin()sin()a x

Aw wt Aw wt ϕϕπ==-+=++ 二. 周期振动 0

()sin()2

n n a x t A nwt ψ=

+∑+ 三. 简谐振动的合成

（一） 同方向振动的合成

1. 两个同频率振动的合成

111sin()x A wt ψ=+ 和 222sin()x A wt ψ=+

合运动A =

1122

1122

sin sin tan cos cos A A A A ψψϕψψ+=

+

2. 两个不同频率运动的合成

111sin x A wt = 和 222sin x A w t =

合运动

12w w < 121122sin sin x x x A wt A w t =+=+

12w w 对于12A A A == 2121

cos(

)sin()22

w w w w x A t t -+= 对于21A A 1sin x A wt =

式中A A =（二） 两垂直方向振动的合成

1. 同频率真懂得合成

sin x A wt = sin y B wt =

合运动 222222cos sin 0x y xy

A B AB

ϕϕ+-

-= 2. 不同频率振动的合成 1sin x A wt = 2sin()y B w t ϕ=+

合运动 12nw mw = m,n=1,2,3-----

第三节 构成机械振动系统的基本元素

构成机械振动系统的基本元素有惯性、恢复性和阻尼。

惯性22d x

F m dt

= 恢复性s F kx =- 阻尼力 d F cx

=-

第四节 自由度与广义坐标

物体在这些约束条件下运动时，用于确定其位置所需的独立坐标就是该系统的自由度数。 对于n 个质点组成的质点系，各质点的位移可用3n 个直角坐标（ 111n n n x ,y ,z ,,x ,y ,z ）来描述。当有r 个约束条件时，约束方程为

)0= k 111n n n f(x ,y ,z ,,x ,y ,z k=1,2,---,r 为了确定各质点的位置，可选取N=3n-r 个独立的坐标

) j j 111n n n q =q (x ,y ,z ,,x ,y ,z j=1,2,----,N 来代替3n 个直角坐标系。这种坐标叫做广义坐标

第二章 单自由度系统

第一节 概述

任何一个但自由度系统都可以用一个理论模型（图中所示），来描述：

它是由理想的质量m ，理想的弹簧k 和理想的阻尼三个基本的元件组成的系统。系统的运动方向只有一个方向。

研究单自由度系统振动的意义：

从物理的角度看，一个系统受到一个外界的激励（或输入）F1（t ）时，可测得其响应（输出）为X1（t ）。而受到输入F2(t)时，测得的响应为X2(t)。他们可表示为：

1122F (t)t F (t)()

x x t →→（）

如果受到的输入是F （t ）=a1F1（t ）+a2F2(t)，对于线性系统，可以预测系统的响应为： X （t ）=a1x1（t ）=a2x2（t ）。其中a1，a2为任意常数。

上述的公式中表示，几个激励函数共同作用的总响应时各个响应函数的总和。 这一结果叫做叠加原理，是一个系统成为线性系统的必要条件。 从数学角度看，线性系统由线性方程描述。对于时不变、集中参数的机构振动系统，由常数、线性常微分方程描述，即表示为：

21

10112t d x dx a a x F dt dt

++=（） （2.1-3） 式中a0和a1是决定系统的系数。如果有激励F1(t)和F2（t ）分别输出响应x1（t ）和x2（t ），则有：

211

10112

t d x dx a a x F dt dt ++=（） （2。1-4） 222

10222t d x dx a a x F dt dt

++=（） （2.1-5） 将上述两式相加得：

212112012122()()d d a a F F dt dt

++=（x +x ）x +x x +x (t)+(t) （2.1-6） 表明，系统对激励的响应等于两个单激励响应之和。

所以说:d 对于线性方程。叠加原理成立；对于非线性方程，不成立。

小结：线性系统是在一定条件下对非线性系统的近似。微幅运动则是线性化的重要前提 。

第二节 无阻尼自由振动

阻尼是一个很复杂的因素，有些系统阻尼的性质、大小很难确定。阻尼对抑制系统共振频率的运动影响不大。为了大致确定系统的共振频率和分析系统在共振频率的运动，不考虑阻尼，使C=0，作为无阻尼系统研究是很有效的。

如上图所示的系统。由静平衡条件得：

W=mg st k δ=

若给予系统某种扰动，比如把弹簧再往下压x 距离，弹簧的恢复力就要增大kx ，有

()st k x W mg δ+>=

系统的静平衡状态遭到破坏。

所以，为了对系统进行研究，就要建立坐标（按照图示，简单建立），若在某一时刻t ，系统的位移为x （t ）。由牛顿定理：

()st W k x mx

δ-+= 于是有 0mx

kx += 这就是系统的无阻尼时的运动方程。 线性系统自由振动的频率

/n k m ϖ=

只决定于系统本身参数，与初始条件无关，因而叫做系统的固有频率或无阻尼固有频率。

第三节 能量法

当一个无阻尼弹簧-----质量系统中。如下图