抛物线与圆的综合

抛物线与圆的综合

一、基本模型构建

常见模

型

思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的

解析式可求交点坐标，根据交点可求三角

形的边长，由于圆的位置不同，三角形的

形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其

它问题。

二、拔高精讲精练

探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题

例1: （2018•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M 与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．

（1）则点A，B，C的坐标分别是A （2，0），B （8，0），C （0，4）；

（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=1

4

直线EA与⊙M相切；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

（1）解：连接MC 、MA ，如图1所示：∵⊙M 与y 轴相切于点C ，∴MC ⊥y 轴，∵M （5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，

∴C （0，4），∵MD ⊥AB ，∴DA=DB ，∠MDA=90°，∴AD=22

54-=3，∴BD=3，

∴OA=5-3=2，OB=5+3=8， ∴A （2，0），B （8，0）；

（2）证明：把点A （2，0）代入抛物线y=14

（x-5）2+k ，得：k=-94

，∴E （5，-94

）， ∴DE=

9

4

，∴ME=MD+DE=4+

94

=

254

，EA 2=32+（

94

）2=

22516

，∵

MA 2+EA 2=52+22516

=22516

，ME 2=22516

，

∴MA 2+EA 2=ME 2，∴∠MAE=90°，即EA ⊥MA ，∴EA 与⊙M 相切； （3）解：存在；点P 坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）；理由如

下：

由勾股定理得：BC=

22

OC OB +=

22

48+=45，分三种情况：①当PB=PC 时，点P

在BC 的垂直平分线上，点P 与M 重合， ∴P （5，4）； ②当BP=BC=45时，如图2所示：∵PD=

22

BP BD -=2803-=71，∴P （5，71）；

③当PC=BC=45时，连接

MC ，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：

PM=

22

PC MC -=2805-=55，∴PD=4+55，

∴P （5，4+55）；综上所述：存在点P ，且点P 在x 轴的上方，使△PBC 是等腰三

角形，

点P 的坐标为（5，4），或（5，71），或（5，4+55）．

【变式训练】（2018•柳州）如图，已知抛物线y=-12

（x 2-7x+6）的顶点坐标为M ，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ．

（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0），并指出顶点M 的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR+AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标；

（3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．

（1）解：∵y=-12

（x 2-7x+6）=-12

（x 2-7x ）-3=-12

（x-72

）2+258

，∴抛物线的解析

式化为顶点式为：y=-12

（x-72

）2+258

，顶点M 的坐标是（72

，258

）；

（2）解：∵y=-12

（x 2-7x+6），∴当y=0时，-12

（x 2-7x+6）=0，解得x=1或6，

∴A （1，0），B （6，0），∵x=0时，y=-3，∴C （0，-3）．连接BC ，则BC 与对称轴x=72

的交点为R ，连接AR ，则CR+AR=CR+BR=BC ，根据两点之间线段最短

可知此时CR+AR 的值最小，最小值为BC=

22

63+=35．设直线BC 的解析式为y=kx+b ，∵B （6，0），C （0，-3），∴603k b b ⎨⎩+-⎧＝＝，解得23

1k b -⎧

⎪⎨⎪⎩＝

＝，∴直线

BC 的解析式

为：y=12

x-3，令x=72

，得y=12

×72

-3=-54

，∴R 点坐标为（72

，-54

）；

（3）证明：设点P 坐标为（x ，-12

x 2+72

x-3）．∵A （1，0），B （6，0），∴N （72

，

0），∴以AB 为直径的⊙N 的半径为12

AB=52

，∴NP=52

，即（x-72

）2+（-12

x 2+72

x-3）

2=（5

2

）2，化简整理得，x 4-14x 3+65x 2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）

=0，解得x 1=1（与A 重合，舍去），x 2=2，x 3=5（在对称轴的右侧，舍去），x 4=6（与B 重合，舍去），∴点P 坐标为（2，2）．∵M （72

，258

），N （72

，0），∴PM 2=

（2-72

）2+（2-258

）2=22564

，PN 2=（2-72）2+22=254=40064

，

MN 2=（258

）2=62564

，∴PM 2+PN 2=MN 2，∴∠MPN=90°，∵点P 在⊙N 上，∴直线

MP 是⊙N 的切线．

【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函