空间曲线及其方程

（ 3）消去 x ，得 C
在 yOz 面上的投影：
y2 z 2 2 y z 0 . x 0
例8 设一个立体 ,由上半球面 z 4 x 2 y 2
3( x 2 y 2 )锥面所围成 , 求它在 xoy z 面上的投影 . 和z
解
半球面和锥面的交线为 z C : z
(3) 向量值函数 r ( t )在 t0可导的充要条件是
x(t ), y(t ), z(t )均在t0处可导，且
r ( t 0 ) x ( t 0 )i y ( t 0 ) j z ( t 0 )k .
3. 导向量的几何意义
若向量值函数 r ( t )在 t0可导，且 r (t0 ) 0，则
曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程 .
x
C
o y
(二) 空间曲线的参数方程 x x(t ) y y(t ) z z(t )
t I —区间 空间曲线的参数方程
当 给 定 t t1 时 ， 就 得 到 曲 线 上 的 一 个 点
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点.
(三) 空间曲线在坐标面上的投影 1.定义 设空间曲线C的一般方程： z
F( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
以C为准线，作母线平行于z 轴的柱面，则称与xOy 面 x
C
O
y
的交线Cxoy为曲线C在 xOy 面上的投影(曲线), 且称为
曲线C关于xOy面的投影柱面.
曲线C关于xOy的投影柱面 .
H ( x , y ) 0 若设 C xoy： z 0
则有 C xoy C xoy .
特别地，当Cxoy为闭曲线时，
Cxoy C xoy .
如图: 投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
类似地，可求C在yOz 面上的投影Cyoz: F ( x, y, z ) 0 消去x F( x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 R( y, z) 0 x 0 则 C yoz C yoz : R ( y , z ) 0 C在zOx 面上的投影 Czox: F( x, y, z) 0 消去y T( x, z) 0 G(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0 T ( x, z ) 0 则 C zox Czox : y 0
所以在 zOx 面上的投影Czox为线段：
z 1 2, y 0 3 | x | 2
（3）同理在 yOz 面上的投影Cyoz也为线段:
z 1 2, x 0 3 | y | . 2
2 y2 z 2 x 例6 求曲线C ： z 1 在各坐标面上的投影.
y 2 z 2 x x 2 y z 0
如图 ,
y
x
（1）消去z ，得 C 在 xOy 面上的投影：
x 2 5 y2 4 xy x 0 , z 0
（2）消去 y ，得 C 在 zOx 面上的投影：
x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 , y 0
z
M( x, y, z ) y M A( a, 0, 0 )
O
螺旋线的参数方程
x a cos t y a sin t z vt
或
x a cos y a sin z b
( t ,
螺旋线的重要性质：
b

v
)
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上升的高度与转过的角度成正比，即
: 0 0 , z : b0 b0 b ,
三、同步练习
求椭圆抛物面2 y 2 x 2 z 与抛物柱面
2 x 2 z 的交线关于xoy面的投影柱面和
在 xoy面上的投影曲线方程 .
四、同步练习解答
2 y2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
(3) 向量值函数在一点连续
若
t t0
lim r (t ) r (t0 )，则称向量值函数 r (t )在t0连续.
(4) 向量值函数在一点可导
r (t ) r (t0 ) r ( t0 t ) r ( t0 ) lim 若 lim t t0 t t t0 t 0 存在，则称向量值函数 r (t )在t0可导，并称这个极限
r (t ) 的 矢端曲线 C 在 r ( t 0 )的终点处存在切线 .
r ( t 0 ) : 曲线C在r (t0 )的终点处切线的方向向 量 r ( t ) 其指向与参数 t 增大 0 z r (t0 t ) 时曲线C上的点移动 r ( t0 ) C 的方向一致. r 4. 导向量的物理意义
(四) 空间立体或曲面在坐标面上的投影
空 间 立 体
曲 面
1. 空间立体 (或曲面) 在坐标面 上的投影(区域): ( 或)上的所有点在该坐
标面上的投影点的集合.
2. 简单曲面：若过曲面在xOy面上的投影区 域Dxy内任一点，作平行于z轴的
直线，该直线与只有一个交点 ，则称曲面是关于xOy 面的简 单曲面. 如：曲面 z 2 x2 y2 关于xOy面是简单曲面，
为 r (t )在t0的导向量，记作 r (t0 ), 即
r ( t 0 t ) r ( t0 rr(t0) lim ) t 0 . t
2. 重要结论
设 r ( t ) x ( t )i y ( t ) j z ( t )k ,
r0 x0 i y0 j z0 k .
则 (1) 当 t t0时，r (t )的极限存在且为 r0 lim x(t ) x 0 t t0 的充要条件是 lim y( t ) y0 t t0 lim z(t ) z0 t t0
(2) 向量值函数 r (t )在 t0连续的充要条件是
x(t ), y(t ), z(t )均在t0处连续.
平行于x轴的柱面
投影柱面
z 1 : C yoz C yoz x 0
所以在yOz 面上的投影Cyoz为线段： z | y | 1 1 x, 0 （3）同理在zOx面上的投影Czox也为线段: z | x | 1. 1 y, 0
例7 求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z 解 截线C 的方程为:
(五) 一元向量值函数
1. 基本概念 (1) 一元向量值函数 r r (t ), t I
I为区间. r r (t ), t I 确定了从 I R R 3
空间曲线的向量形式
z
其中r xi yj zk , r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k ,
面， 解（1）在xoy
2 2 2 x y z 1 消去z 1 z 2
在 xoy面上的投影为 x 2 y 2 3 4 z 0
x2 y2 3 4 1 z 2
（2）在zOx面上
x 2 y 2 z 2 1 1 Q在 1 中 z (不含y)是母线 2 z 2 平行于 y 轴的柱面 投影柱面 z 2 C zox C zox : 1 y 0
Cxoy

2. 确定投影曲线Cxoy的方法
F( x, y, z) 0 C： G(x, y, z) 0 消去z F(x, y, z) 0 H( x, y) 0
z C

x
o O
y
H( x, y) = 0上， 曲线C在曲面 ：
Cxoy

而 正是母线平行 z 轴的柱面
4 x2 y2 ,
3( x 2 y2 ), x
O
y
消去 z 得投影柱面 x 2 y 2 1,
z
则交线 C 在 xOy 面上的投影为
x 2 y2 1, 一个圆 , z 0 .
O
y
x
所求立体在 xOy 面上的投影 D xy 为 :
x 2 y 2 1.
x
z(t )
r (t )
O
M
y
y(t )
(2) 向量值函数的极限 设向量值函数 r (t ) 在点t0的某邻域内有定义， 若存在常向量 r0，使
t t0
lim r (t ) r0 0,
则称当t t0时，向量值函数 r (t )的极限为r0,
记作
t t0
lim r (t ) r0.
但关于yOz面，zOx 面均不是简单曲面.
3. 确定空间立体 在坐标面上投影区域的方法： 以xoy 面为例 . 将 看成由一些关于
xOy面的简单曲面及母线平行于z 轴的柱面
所围成的立体，则这些简单曲面的交线在
xOy面上的投影曲线与柱面和xOy面的交线 所围成的区域，便是所求的投影区域Dxy .
M z(t ) M M M C r ( t ) C r ( t ) r (tr)(t )
o O
的一个映射，称此映射为 x(t ) 一元向量值函数. x
y
y(t )
注
1 ° 又称曲线 C 为向量
z
值函数 r (t ) 的 矢端曲线. 2° 在平面坐标系中， 向量值函数 r ( t ) x ( t )i y ( t ) j , t I 表示一条平面曲线. C x(t )
z
解（1）在xoy面，
z 2 x2 y2 z 1
消去z
x2 y2 1 z 1
o
y
x
在 xOy面上的投影为
x 2 y 2 1 z 0
（2）在yOz面上
z 2 x2 y2 中 Q在 z 1
z 1 ( 不含x)是母线
x o y
设质点 M 的运动方程为 r r (t )，其中 t为时间，则
r (t0 ) v (t0 )
即为质点在 t0时刻运动的速度向量 .
二、典型例题
x 2 y 2 1 表示怎样的曲线？ 例1 方程组 2 x 3 y 3z 6
解
x 2 y 2 1 表示圆柱面，
2 x 3 y 3 z 6 表示平面，
x 2 y 2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆 .
z a 2 x 2 y 2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a a 2 2 (x ) y 2 4 2 解 z a x2 y2
上半球面,
a 2 2 a2 圆柱面, (x ) y 2 4
交线如图.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x 2+ y2 = a2上以 角速度 绕z 轴旋转，同时又以线速度v沿平行 于z轴的正方向上升(其中 ，v 都是常数)，那 么点M的几何轨迹称为圆柱螺旋线，试建立其
参数方程.
解 取时间t 为参数， 动点从A点出发， 经过 t 时间，运动到M点. M在xOy面上的投影 为M' (x, y, 0). x
2 ,
上升的高度
h 2b 螺距
x 2 y2 z2 1 例4 C : 2 2 2 x ( y 1) ( z 1) 1 在xOy 面上的投影曲线方程为 x 2 2 y2 2 y 0 z0
z
C
o x
1
y
x 2 y2 z 2 1 例5 求曲线 1 在坐标面上的投影. z 2
第六节 空间曲线及其方程
一、主要内容
第七章
二、典型例题
三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容
(一) 空间曲线的一般方程
空间曲线 C 可看作空间两曲面的交线.
F( x, y, z ) 0 G( x, y, z ) 0
空间曲线的一般方程
z
S1
S2
特点：曲线上的点都满足 方程，满足方程的点都在