4、第五章：固体力学问题的建立及解法
固 体 力 学
固体力学固体力学是力学中形成较早、理论性较强、应用较广的一个分支，它主要研究可变形固体在外界因素(如载荷、温度、湿度等)作用下，其内部各个质点所产生的位移、运动、应力、应变以及破坏等的规律。
固体力学研究的内容既有弹性问题，又有塑性问题；既有线性问题，又有非线性问题。
在固体力学的早期研究中，一般多假设物体是均匀连续介质，但近年来发展起来的复合材料力学和断裂力学扩大了研究范围，它们分别研究非均匀连续体和含有裂纹的非连续体。
自然界中存在着大至天体，小至粒子的固态物体和各种固体力学问题。
人所共知的山崩地裂、沧海桑田都与固体力学有关。
现代工程中，无论是飞行器、船舶、坦克，还是房屋、桥梁、水坝、原子反应堆以及日用家具，其结构设计和计算都应用了固体力学的原理和计算方法。
由于工程范围的不断扩大和科学技术的迅速发展，固体力学也在发展，一方面要继承传统的有用的经典理论，另一方面为适应各们现代工程的特点而建立新的理论和方法。
固体力学的研究对象按照物体形状可分为杆件、板壳、空间体、薄壁杆件四类。
薄壁杆件是指长宽厚尺寸都不是同量级的固体物件。
在飞行器、船舶和建筑等工程结构中都广泛采用了薄壁杆件。
固体力学的发展历史萌芽时期远在公元前二千多年前，中国和世界其他文明古国就开始建造有力学思想的建筑物、简单的车船和狩猎工具等。
中国在隋开皇中期(公元591～599年)建造的赵州石拱桥，已蕴含了近代杆、板、壳体设计的一些基本思想。
随着实践经验的积累和工艺精度的提高，人类在房屋建筑、桥梁和船舶建造方面都不断取得辉煌的成就，但早期的关于强度计算或经验估算等方面的许多资料并没有流传下来。
尽管如此，这些成就还是为较早发展起来的固体力学理论，特别是为后来划归材料力学和结构力学那些理论奠定了基础。
发展时期实践经验的积累和17世纪物理学的成就，为固体力学理论的发展准备了条件。
在18世纪，制造大型机器、建造大型桥梁和大型厂房这些社会需要，成为固体力学发展的推动力。
材料固体力学答案1-6章
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jtks kt js ist ijke e δδδδ-=[证明]()()()jtks kt js ktjs jtks jtks ktjs jtks kt js itjs jtis ki it ks ktis ji jtks kt js ii ktks ki jtjsjiitis ii ist ijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33习题2 证明若jiij ji ijb b a a -==;，则0=ij ijb a[证明]jiij jiijbb aa-==; jiji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ijb a b a b a b a又因为所有的指标都是哑指标，ijij pq pqb a b a =，所以02=aijbij，即0=ij ijb a习题3 已知某一点的应力分量xxσ，yyσ，zzσ，xyσ不为零，而0==yzxzσσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，iji jσνσν=)(，可求得该面上的应力为ασασσνσνsin cos 11)(xyxxj j +== ασασσνσνsin cos 22)(yyyxjj +== 033==j j v σνσ)(由斜面正应力表达式ji ij nννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sinsin cos 2cosyyxyxxn++=剪应力为ασασσστ2cos 2sin )(2122)()(xyxx yynn n +-=-=-=σσσn习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
固体力学5-1_5609602
固体力学1. 课程概述 2. 张量分析基础 3. 运动与变形 4. 应力与平衡 5. 固体材料的本构关系 6. 弹性力学的基本理论 弹性力学的基本 7. 弹塑性力学问题 8 固体力学专题 8.Zheng Xiaoping 20135. 固体材料的本构关系5.1 引言 5.2 一些经典的材料试验现象 象 5.3 研究本构关系的公理化方法 5.2 线弹性材料的本构关系 5 3 大变形弹性本构关系 5.3Zheng Xiaoping 20135.1 引言 从基本方程谈起Zheng Xiaoping 20135.1 引言 从基本方程谈起 基本方程中独立未知变量个数大于基本方程的个数，所 以必须寻找补充方程。
补充方程从何而来？ 补充方程一定要反映材料的力学行为，我们称反映材料 力学行为的方程为本构关系。
力学行为的方程为本构关系Zheng Xiaoping 20135.1 引言 本构关系的一些直观认识 因为本构关系反映了材料的力学行为，所以一般来讲 不同类型的材料具有不同的本构关系； 本构关系不能理解为仅仅反映材料本身的力学性质， 它还与外部环境 变形过程等因素紧密相关 它还与外部环境、变形过程等因素紧密相关； 在研究本构关系时要注意区分结构的本构行为与材料 的本构行为之间的区别与联系； 相对于变形理论和应力理论而言，关于本构理论的研 究是固体力学领域最为活跃的研究领域之一。
Zheng Xiaoping 20135.1 引言 研究本构关系的主要方法与策略 试验方法：它是研究本构关系最直接、最根本的方法； 公理方法：采用公理化方法为研究本构的研究制定基本 原则； 数值方法：数值仿真方法也是研究本构关系的重要补充 数值方法 数值仿真方法也是研究本构关系的重要补充 手段。
在本构关系的研究中，既不能脱离实验基础，还必须有 基本理论的指导 也要借助数值仿真技术 基本理论的指导，也要借助数值仿真技术。
固体力学概论(07版)PPT课件
第一章 前言
• 固体力学的定义 • 固体力学的基本假设与主要研究内容 • 学科分支 • 研究对象与任务 • 发展史 • 参考资料
4
1. 固体力学的定义
• 研究可变形固体在外界因素(载荷、温度、湿度等内部质点的位 移、运动, 固体的应变和破坏规律的学科. 主要参书:《力学词典》《大百科全书》
（1）固体力学与理论力学之区别：理论力学研究对象是质点、
• 断裂力学(损伤力学)、复合材料力学、电-磁弹性力学，微尺度力学是发 展中的新兴学科。
7
4. 研究对象
研究各种工程结构：常见的如下结构元件（构件）: （1）杆、杆系、梁、柱，（长＞＞宽和高） （2）板(中厚板)、壳，（厚＜＜长与宽） （3）三维体(空间结构如桁架与刚架)， （4）薄壁结构（飞机机翼与机身等）， （5）以及它们的复合体.
、 • 铁木生柯(Timoshenko)专著”Strength of Materials”, “Theory of Elasticity”
“Theory of Elastic Stability” 、“Theory of Plates and Shells”影响极大； 此外，俄国 符拉索夫(薄壁杆件理论)也作出重要贡献。. • 中国东汉(127~200) 玄提出郑线性弹性关系; 宋代李诫《营造法式》；隋代 李春（581~618）赵州桥等等，代表中国古代对固体力学的贡献。
6
3. 学科分支
• 材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、流变学，复合材料力学、 断裂力学(损伤力学)、结构稳定性、振动理论、粘弹(塑)性力学、冲击力 学、固体应力波问题、结构(弹~塑性)动力学;
• 以及许多交叉学科: 气动弹性理论，生物固体力学、岩土力学、有限元(有 限条、有限层、边界元、离散元、无网格法等);
固体力学概论——最新版!
③平截面假设的近似性
由悬臂梁问题可知,截面上最大剪应力在中面上,可见最大剪应变在中 面上,所以剪切转角在中面上有最大值;而在梁的上下表面剪应力(剪 应变）为零.结论很明显,横截面不再是平的（发生翘曲）. 当梁的高长比 h / l 1 / 7 时，平截面假定不再成立，应该考虑横向剪 切。称为Timoshenko梁理论，独立未知变量增加一个，截面转角。 但是,当梁长/高比很大时,平截面所得结果符合工程要求。 Timoshenko梁弯曲（非纯弯）时，须考虑剪切效应，此时横截面仍
• 通过本构关系求变形（位移与应变）， • 最重要的是材料力学中的平截面法，其中尤以梁的平 截面假设最为重要。
截面法
• 截面法:固体力学问题的普适方法,
步骤为： （1）取出构件,画出所有外力(包括约束反力); （2）用平面切开, 并画出内力(广义力), 若是动平衡需用达朗贝尔原理,化惯性力为作用力；外力 与内力平衡来求解内应力; （3）解出内力；算应力; （4）利用物理方程求变形; （ 5） 根据应力强度准则或变形准则进行强度校核; （6）进行优化设计.
s
max max mean mean
s
相当于用中性轴处的最大剪切应变代表梁轴由于横向剪切产生的倾角，是 很粗燥的，它比平均剪应变大50%。
②用能量原理（单位载荷法）推导了较精确的近似值， s 6 1.2 5 ③弹性力学的精确公式为： s 12 11 当泊松比 0.3 时， 10(1 ) s 1.18
平截面假设：初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于轴线, 并且在垂直轴线方 向上无变形； 下面以梁为例,此假设大大简化了问题. 无穷自由度问题简化为一个自由度问题,只有 一个挠度函数是要求的.这样，用弹性力学理论,有15个基本方程,15个基本未知量. 根据平截面假设大大简化：梁的挠度为 w(x) ， 梁的基本方程（控制方程）为：
第五章 弹性与塑性力学的基本解法
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
对于平面问题（以平面应力为例）
几何方程
u x x
物理方程
将几何方程代入物理方程
E u v x ( ) 2 1 x y E v u y ( ) 2 1 y x
E x ( x y ) 2 1 E y ( y x ) 2 1
d 3 d 2
p
五个方程 一个方程 一个方程
E d m 3k d m d m 1 2
Sij= eij
五个方程 一个方程 一个方程
李田军弹塑性力学课件
eij Sij
m=K
2 3
6
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
4、静力边界条件和位移边界条件： ijlj=Fi (在ST上) ui=ui (在Su上)
纯弹性区
加载区 卸载区
2011年4月13日星期三
在它们的分界面上，应 力和应变应满足一定的 连续条件和间断条件。
李田军弹塑性力学课件 12
第五章 弹性与塑性 力学的基本解法
§5-2
按位移求解弹性力学问题
由于塑性力学问题的复杂性和特殊性，需要专门进行 讨论。鉴于学时所限，这里仅讨论弹性力学问题的基 本求解方法。 弹性力学问题：就是分析各种结构物或其构件在弹性
固体物理学1~6章习题解答
证明：由书可知
在高温时， ，则在整个积分范围内 为小量，因此可将上式中被积函数化简为
将上式代入 的表达式，得
将
代入上式得
3.10设晶格中每个振子的零点振动能为 ，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能
解：由讨论由一个N个原子组成的二维晶格的比热，证明在低温下其比热正比于
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3k。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
《固体物理学》习题解答
第一章
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
（2）晶胞的体积= = =27*10-30(m3)
原胞的体积= = =13.5*10-30(m3)
1.7六方晶胞的基失为： ， ，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为 ， ，
其第一布里渊区如图所示：(略)
答：根据题意，由于OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，那么
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
材料力学重点归纳
材料力学考试重点一、。
课程的性质、任务材料力学是变形体力学的最基础课程。
固体力学（即变形体力学）是研究固体材料的变形、流动和断裂的一门科学。
它是材料科学专业的一门理论性较强的重要的技术基础课程。
本课程的基本任务是为了提高材料工程类专业学生的力学基础素养，使之掌握该专业所必需的固体力学基本概念、基本方法和基础理论，培养学生具备一定的力学分析计算能力和基本的力学实验技能，为学习后续专业课程奠定必要的力学基础。
教学的同时注意结合本课程的特点培养学生的辩证唯物主义观点。
二、课程的基本要求通过本课程的教学，应使学生达到下列基本要求：1．理论力学静力学是系统学习力学课程的必要基础。
因此要求学生理解并掌握理论力学静力学的有关概念和理论。
了解几种常见的约束类型的性质及静力学基本公理。
较熟练地掌握对物体进行受力分析的方法。
2．了解静力学的基本任务。
理解并掌握力线的平移定理。
熟悉各类平面力系的简化方法和结果。
掌握各类平面力系的平衡条件，并能熟练地应用它们去求解物体（或物体系）的平衡问题。
简单了解空间力系的简化结果、力对轴之矩的概念及重心的概念。
3．理解并掌握固体力学的有关基本概念：对固体力学分析问题、解决问题的基本方法和思路有明确的认识。
4．掌握一维工程构件三种基本变形的内力、应力和变形的分布变化规律、基本分析方法以及计算方法。
5．清楚了解研究测试固体材料力学性质的意义和方法，对常见固体材料（典型的金属材料和岩石）的力学性质和测定方法有基本认识和掌握。
了解电测应力方法的基本原理。
6．对应力、应力状态、应变、应变、应变状态的概念有较明确的认识。
较熟练掌握应力分析理论和应变分析理论。
7．理解和掌握固体材料弹性变形和塑性变形的主要特征，对屈服函数、主应力空间、屈服面、屈服曲线、屈服条件等概念有较明确认识。
熟悉掌握强度理论：最大拉应力理论、最大剪应力理论、形状改变比能理论、莫尔强度理论和库仑-纳维叶剪切强度准则的基本观点、适用范围、表达形式和工程应用。
力学固体力学的教学设计方案
将线上自主学习与线下互动教学相结合，形成优 势互补，提高教学效率和学生的学习效果。
实践环节设计及实施策略
1 2 3
实验教学
开设固体力学实验课程，通过实验操作和数据分 析，培养学生的实验技能和动手能力。
课程设计
布置与固体力学相关的课程设计任务，要求学生 综合运用所学知识解决实际问题，提高学生的综 合实践能力。
础。
本课程主要介绍固体力学的基本 概念、原理和方法，包括弹性力 学、塑性力学、断裂力学等方面
的内容。
通过本课程的学习，学生可以掌 握固体力学的基本理论和方法， 具备分析和解决工程实际问题的
能力。
教学目标与要求
1 2
3
知识目标
掌握固体力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学、塑 性力学、断裂力学等方面的知识。
实施措施
通过招聘、引进高层次人才、鼓励教师深造、加强学术交 流合作等措施，逐步实现专任教师队伍的发展目标。
兼职教师队伍选聘和管理办法制定
选聘标准
明确兼职教师的选聘标 准，包括学术水平、教 学经验、行业背景等方 面，确保选聘到优秀的 兼职教师。
管理办法
制定兼职教师的管理办 法，包括合同签订、工 作职责、考核方式、薪 酬待遇等方面，规范兼 职教师的管理。
仿真教学
采用计算机仿真技术，模拟固体力学实验和工程实例，为学生提供 更加真实的实践体验。
线上线下混合教学模式探讨
线上自主学习
通过在线课程、教学资源库等，引导学生进行课 前预习和课后复习，培养学生的自主学习能力。
线下互动教学
在课堂上采用小组讨论、案例分析等互动教学方 式，鼓励学生积极参与，提高教学效果。
题的能力。
案例法
第五章 有限体积法
（5.2.3）
利用式（5.2-3）可将式（5.2-2）改写成
( dV ) n ( u)dA n ( grad )dA S dV t V A A V
（5.2.4）
这里我们将等号左端第一项中积分和微分的顺序变换了一下， 以方便说明其 物理意义。这一项表明特征变量 的总量在控制容积 V 内随时间的变化量。而 在左端第二项中左端第二项中 n ( u) 意为特征变量 由于对流流动沿控制容 积表面外法线方向 n 的流动率（流出） 。因此方程左端第二项表示在控制容积中 由于边界对流引起的 的净减少量。等式右端第一项是扩散项的积分。扩散流的 正方向应为 的负梯度方向。例如热量是沿着负的温度梯度方向传导的。而 n 为 控制容积表面外法线方向，因此 n ( grad ) 是 向控制容积外的扩散率。所以
5.2 有限体积法的基本思想和特点
5.2.1 通用变量方程
在前面建立的连续方程、运动方程、能量方程、湍动能输运方程、湍动耗散 率方程中，尽管变量不同，但它们都有相似的形式，若我们用一个通用的变量 来表示，以上方程都可以写成统一的形式，即
( ) div( u) div.1b）
式(5.1-1)是用一阶向前差分所表示的一阶导数或二阶导数，类似的可以有一 阶向后差分，或中央差分等，当然也可以用二阶差分（三点差分）来表示差商。 将表示场变量一阶导数和二阶导数的差商近似式代入微分方程， 就可以得到关于 各网格点处的差分方程。求解这一组代数方程，可得各节点处的场变量数值解。 有限差分法形式简单， 对任意复杂的偏微分方程都可以写出其对应的差分方 程。但有限差分方程的获得只是用差商代替微分方程中的微商（导数） ，而微分 方程中各项的物理意义和微分方程所反映的物理定律（守恒定律）在微分方程中 并无体现。 因此差分方程只能认为是对微分方程的数学近似，基本没有反映其物 理特征。差分方程的结果有可能表现出某些不合理现象。 2、有限元法 有限元法是 20 世纪 60 年代出现的一种数值计算方法。 它最初用于固体力学 问题的数值计算，如杆系结构，梁系结构，板、壳、体结构的受力和变形问题。
固体力学_
应力应变关系:
逐项展开
, 主应力与主应变关系(便于应用于单轴应力和单轴应变):
1. 单轴应力
新的各边长度
由: 得到:
或者:
典型的板块中应力大小为 ~10 Mpa (深度?) 典型的岩石的杨氏模量为 ~70 Gpa 得到典型的板块中应变大小为 ~10^(-4)
其中： 或者：
傅立叶展开：
周期加载解的特征与加载地形的波长有关：
定义：
则C 随地 形波长的 分布如图 均衡状态的条件
地壳均衡状态
使用弹性厚度 Te作为一个度量（可得大致的关系）
在大尺度上考虑，地壳满足均衡状态 （isostacy）
4.7 大洋岛链造成的弹性板块弯曲
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
问题抽象为：
其中： 公式为： 该四阶常微分方程存在通解：
参考文献：
给定杨氏模量70GPa，波松比0.25，玄武岩密度 2700 kg/m3, 地壳密度 2900 kg/m3，地壳的弹性 厚度为50 km
求：在距喷发中心150，300和450公里处地形随 时间的变化。讨论当弹性厚度改变时对结果的 影响。
步骤： 1。阅读参考文献，得到一个圆盘的加载导致的板 块变形的解，（需要用到Kelvin function)。 2。将圆锥的底部转化为多个圆盘的叠加，得到给 定形状的圆锥底部对地壳的加载导致的变形。 3。计算得到喷发过程中不同时间得到的圆锥底部 对地壳形状的影响，讨论不同位置处及不同弹性厚 度下的结果变化。
或 物理意义
屈曲（buckling）
n=1, 基本模式 (Fundamental mode)
跳变
4.4 作用于地球的岩石圈
海洋岩石圈
固体力学SMF05
对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界 条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就
1
4
线弹性理论基本问题和一般解
有严格的要求。即要求：
S ui U S ti = S
σij = λε kk δij + 2Gεij ε ij =
3
4
线弹性理论基本问题和一般解
离心力等），因此非齐次方程的特解比较容易求得，整个求解问题就主要归结为求解齐 次方程解的问题。 任何非线性问题，叠加原理就不再成立。因此，叠加原理是线性问题所特有的性质。 l 解的唯一性定理 因为物理上对弹性体施加载荷就会产生变形， 数学上已经证明对于线弹性问题的适 定提法解一定是存在的。本课程的重点不在数学弹性理论，因此对于解的存在性就不加 证明了。 对于解的唯一性，即 Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ 唯一性定理的证明可用反证法。 假如在一组载荷 f i , t i 作用下产生了两组变形状态： ui , εij , σ ij ; ui , εij , σ ij 。则 利用叠加原理可知： ui = ui 程，其中包括
1)
位移解法
对于弹性理论问题以位移作为基本未知量，在基本方程中如下消去应变和应力，可
以得到位移基本方程。通过求解位移基本方程首先求得位移，然后再按要求确定变形状 态其它变量的解法，称为弹性理论的位移解法。 由平衡方程出发
∇⋅ σ + f = 0
代入应力应变关系，得
∇ ⋅ [λ ( ε: I ) I + 2Gε ] + f = 0
《固体力学基础》
4
l
线弹性理论基本问题和一般解
前面三章分别讨论了运动与变形、应力与平衡，以及固体材料的本构关系，对于 线性弹性理论，它们分别归结为线性的几何方程、平衡方程，以及广义胡克定律。 本章把这些方程综合起来讨论线弹性理论的定解问题。
土木工程中的固体力学理论与应用
土木工程中的固体力学理论与应用第一章：引言固体力学是土木工程领域中的重要理论基础，它研究物质受力时的变形和破坏规律，是土木工程设计与施工中不可或缺的一门学科。
本文将介绍土木工程中固体力学的基本理论以及在工程实践中的应用。
第二章：应力和应变土木工程中的固体力学理论建立在应力和应变的基础上。
应力是指单位面积上的力的分布情况，主要有正应力和剪应力。
应变是指物体在受到应力作用下发生的变形程度，主要有线性应变和剪切应变。
理解和计算应力和应变对于土木工程中结构的稳定性和安全性至关重要。
第三章：弹性力学理论弹性力学是土木工程中固体力学的重要分支，研究材料在受力后恢复原状的能力。
弹性力学理论包括胡克定律和杨氏模量等基本概念。
通过分析材料的弹性特性，可以有效预测结构在受力后的变形情况，从而保证结构的稳定性和安全性。
第四章：塑性力学理论塑性力学是研究材料在超过其弹性范围时的变形和破坏行为的学科。
土木工程中的结构往往需要承受超过材料弹性极限的载荷，因此塑性力学在土木工程中具有重要应用价值。
该理论主要包括流变、后效应和材料的本构关系等概念，通过分析材料的塑性行为，可以预测结构在超载情况下的变形和破坏形态，为设计和改进结构提供依据。
第五章：破坏理论破坏理论是土木工程中固体力学理论的重要内容，用于预测结构在受到临界载荷时的破坏行为。
常用的破坏理论包括莫尔-库伦破坏准则、最大剪应力破坏准则和最大应变能破坏准则等。
通过研究结构的破坏准则，可以提前发现和预防结构的破坏，确保结构的安全性和可靠性。
第六章：应用案例分析本章将结合实际工程案例，介绍固体力学理论在土木工程中的应用。
以大跨度桥梁的设计为例，分析结构在自重、风荷载和施工荷载等复杂作用下的受力和变形情况，通过固体力学理论进行合理设计，保证结构的安全性和稳定性。
第七章：总结与展望通过本文的介绍，我们了解了土木工程中固体力学理论的基本概念和应用价值。
固体力学理论对于土木工程设计、施工和维护具有重要影响，它不仅能提供结构稳定性和安全性的评估手段，还可以指导工程实践中的结构优化设计。
计算固体力学第四章
Ο (h
P +1
)
建立形函数的第一方法是直接写出坐标的多项式形式。 建立形函数的第一方法是直接写出坐标的多项式形式。 另一种方法就是利用各种对坐标的插值公式， 另一种方法就是利用各种对坐标的插值公式，直接写出形 函数的形式， 插值法， 插值法等。 函数的形式，例如 Lagrange 插值法，Herimiter 插值法等。
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
把与基本单元有某种联系的，以为点、 把与基本单元有某种联系的，以为点、曲线或者曲面为边 界的不规则形状的单元称为“实际单元” 界的不规则形状的单元称为“实际单元”。将固定笛卡儿 坐标系为基本坐标系， 坐标系为基本坐标系，实际单元就是在基准坐标系内定义 的。 基本单元和实际单元之间建立起相互映射 通过 形函数 在基本单元和实际单元之间建立起相互映射 的关系。 的关系。 书Page 134 基本单元和局部坐标系, 基本单元和局部坐标系, 实际单元和基准坐标系. 实际单元和基准坐标系.
N i = 1,
Nj =0
( j ≠ i)
TSINGHUA UNIVERSITY TSINGHUA UNIVERSITY
（2）能保证用它定义的位移在相邻单元之间的连续性； 能保证用它定义的位移在相邻单元之间的连续性； 从数学上来说，就是单值和连续。 从数学上来说，就是单值和连续。 （3）形函数应包含有足够的坐标的一次项。 形函数应包含有足够的坐标的一次项。 （4）某个单元的形函数，应满足于等式 某个单元的形函数，
i = 5 ,6;
2 5 二次单元
i = 7 ,8 ;
二次 Serendipity 单元： 单元： 4 7 1 η ξ 8 o 2 5 二次单元 6 3
计算固体计算力学-内容简介
03
非线性固体计算力学，宋天霞 等编，华中科技大学出版社
ห้องสมุดไป่ตู้
01
第一章 引言
02
03
第三章 材料非线性 问题及其有限元求解
04
05
第五章 接触和碰撞 问题及其有限元求解
授课内容简介
1
第二章 非线性方程(组) 的解法
2
直接迭代法
○ Newton-Raphson法(简 称N-R法)
○ 改进的NewtonRaphson法(简称M-N-R 法)
○ 增量法
授课内容简介
授课内容简介
01
第五章 接触和 碰撞问题及其有 限元求解
02
接触问题的界面 条件
03
接触问题的求解 方案
04
接触问题的有限 元方程
05
接触问题的有限 元求解
06
接触分析中的若 干问题
参考书籍
01 02 03
01
有限元法中的变分原理基础， 王生楠编，西工大出版社
02
航天器计算结构力学，竺润祥 主编，宇航出版社
01.
博士研究生课程 单击此处添加正文
03.
课程编号：017090
单击此处添加正文
05.
西北工业大学 航空学院
单击此处添加正文
02.
计算固体力学 单击此处添加正文
04.
王生楠，谢伟 单击此处添加正文
计算固体力学课程体系
授课内容简介
第二章 非线性方程 (组)的常用解法
第四章 几何非线性 问题及其有限元求解
第三章 材料非线性问题及其有限元求解
材料弹塑性本 构关系
塑性力学中的 变分原理
弹塑性增量有 限元分析
材料固体力学1-6章
第一章习题1 证明δ-e 恒等式jt ks kt js ist ijk e e δδδδ-= [证明]()()()jtks kt js ktjs jtks jtks kt js jtks kt js it js jt is ki it ks kt is ji jtks kt js ii ktks ki jtjs ji it is ii istijk e e δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ-=-++--=-+---==33习题2 证明若ji ij ji ij b b a a -==;，则0=ij ij b a[证明] ji ij ji ij b b a a -==; ji ji ij ij b a b a -=∴，0=+=+∴pq pq ij ij ji ji ij ij b a b a b a b a又因为所有的指标都是哑指标，ij ij pq pq b a b a =，所以02=aijbij ，即0=ij ij b a习题3 已知某一点的应力分量xx σ，yy σ，zz σ，xy σ不为零，而0==yz xz σσ，试求过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面上的正应力和剪应力。
[解] 如图1.1，过该点和z 轴，与x 轴夹角为α的面的法线，其与x 轴，y 轴和z 轴的方向余弦分别为cos α，sin α，0，则由斜面应力公式的分量表达式，ij i j σνσν=)(，可求得该面上的应力为ασασσνσνsin cos 11)(xy xx j j +==ασασσνσνsin cos 22)(yy yx j j +== 033==j j v σνσ)(由斜面正应力表达式j i ij n ννσσ=，可求得正应力为ασαασασσ22sin sin cos 2cos yy xy xx n ++= 剪应力为ασασσστ2cos 2sin )(2122)()(xy xx yy n n n +-=-=-=σσσn 习题4 如已知物体的表面由0),,(=z y x f 确定，沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷()z y x p ,,。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
* 而剩下的平衡方程结合边界和初始条件用来求解所选取的一套基本 未知量，即进一步满足平衡方程。
* 最后在利用几何和本构方程反求另外两套基本未知量。
§5.2 求解弹性力学问题的基本方法、 解的唯一性原理
(11)
(12) (2) 位移边界条件 ：式(5-13、14)
(13)
(14)
弹性力学边值问题可分为三类：
第一类边值问题：在全部边界上给定面力，又称为 应力边值问题。
集中力依据静力等效转换为作用在微小面积上的均布面力
集中力偶依据静力等效转换为作用在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题：在全部边界上给定位移，又称为 位移边值问题。
5.2.1补： 位移法 （间接法） 设定的位移解需满足的方程（对三类边值问题）： (1) 平衡方程： 位移应变应力应力平衡方程。即位移表示的平衡方程。 (2) 边界条件：
第一类：位移应变应力应力边界条件；
第二类：位移边界条件； 第三类： Sσ 上同第一类，Su 上同第二类。
5.2.2补： 应力法（间接法） 设定的应力解需满足的方程（对三类边值问题）： (1) 平衡方程： 应力平衡方程。
几何方程本构方程 解Fra bibliotek数值方法
相互支撑
问题的建立
位移和应力解法简介
重点：弹性力学边值问题的建立方法及其直接和间接解法。 了解：弹塑性力学边值问题和线性粘弹性边、初值问题的建立。 定位：基础理论应用部分准备，属课程学习的重点之一。
问题的建立
位移和应力解法简介
§5.1 固体力学问题的建立
5.1.1 弹性力学边值问题 小变形条件（几何线性）下线弹性力学（物理线性） 的基本方程包括：
三个位移：u、v、w； 六个应变：εx、 εy、 εz、 γxy、 γ yz、 γ zx； 六个应力：σx、 σ y、 σ z、 τxy、 τ yz、 τ zx； 剪应变和剪应力中的x、y、z按正序排列。 三个平衡方程（用应力表示）；
六个几何方程（建立应变和位移之间的关系）； 六个本构方程（建立应变和应力之间的关系） ； 求解思路：12个方程解12个未知量。
(2) 协调方程：
应力应变应变协调方程，或应力表示的协调方程。 (3) 边界条件： 第一类：应力边界条件； 第二类：应力应变位移位移边界条件； 第三类： Sσ 上同第一类，Su 上同第二类。
5.2.3 解的唯一性原理
如果弹性体的位移约束足以限制物体的总体刚性位移， 则位移场也是唯一的。 证明可以用，但还有点害羞！
固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。
第五章：固体力学问题的建立 及解法
主讲：侯鹏飞 湖南大学工程力学系
静力学
外载约束 力学分析 几何分析 物理关系 引入 平面问题 空间问题 专题 边界条件 平衡方程 几何方程 本构方程 求 解析方法
动力学 边界条件及初始条件 运动方程
有时也可给定位移导数(如转角)的边界值或应变的边界值 。
第三类边值问题：在物体的表面S 的一部分Sσ上给定面 力，在另一部分Su 上给定位移，又称 为混合边值问题。 要求 ：
类似
得到
5.1.2 弹塑性力学边值问题 (P142) 5.1.3 线性粘弹性边、初值问题 (P144)
初始条件
问题的建立
位移和应力解法简介
§5.4 求解塑性力学问题的基本方法 （搁置）
§5.5 求解线性粘弹性问题的基本方法 （搁置）
问题建立和解法小结（由厚到薄）
1. 思想：看线路图回忆查漏。
2. 需要记忆的概念 2.1.弹性力学边值问题的建立及其三类边值问题； 2.2. 位移和应力的直接和间接解法。
2.2. 解的唯一性原理和叠加原理 。 3. 需要能熟练使用的部分。 暂无。但要求同学们能在以后的工作中开放自己的 思维空间，大胆地使用逆解法！
问题的建立
位移和应力解法简介
5.2.1 位移法 （直接法） 以位移为基本未知函数，通过几何方程和本构方程， 用位移表示应力，再代入平衡方程，最后得到用位移表示 的平衡方程；求解此方程得到位移，然后反求应变和应力。 适用于：位移边值问题
拉梅-纳维埃方程 :(用位移表示的平衡方程)
三个方程解三个未知的位移分量。 注意： 求解拉梅-纳维埃方程得到的是通解，只有结合边界条 件，才能得到具体问题的解。
5.2.2 应力法（直接法） 以应力为基本未知函数，将用应力表示应变的本构方 程代入应变协调方程，得到用应力表示的协调方程；联立 求解这些方程及平衡方程，得到应力，然后求得应变及位 移。由于应力已满足协调方程，故可由应变求出位移。 适用于：应力边值问题 平衡方程： 用应力表示的变形协调方程：
九个方程解六个未知的应力分量。因为协调方程不独立
(1) 平衡方程：式(5-1、2)
(1)
(2)
(2) 几何方程 ：式(5-3、4)
(3)
(4)
(3) 应变协调方程 ：式(5-5、6)
(5)
(6)
(4) 本构方程 ：式(5-7、8 、9 、10)
(7)
(8)
(9)
(10)
式中 θ=εkk 。
弹性力学边值问题的边界条件 ： (1) 应力边界条件 ：式(5-11、12)
注意： 求解以上方程得到的是通解，只有结合边界条件，才
能得到具体问题的解。
间接法：
逆解法——设定一个解，然后代入基本方程及边界条件， 若该解满足基本方程及边界条件，即为所求 的解。
半逆解法——设定一个解，其中包含一些待定常数或待求 函数，然后代入基本方程及边界条件，以确 定待定常数及待求函数，即得所求的解。 如何设定解：根据材料力学初等理论的解答，或是根据物 体的形状和受力特点，或是根据量纲分析等。 这是一个悟道和积累的过程！
采用逆解法和半逆解法等试凑方法求解弹性力学问题 。
①
正名可以大胆地、酷一点地用！ –1 x
x
–2
②
③
个人认为： 是一种创新性的、灵感性的思维！
（价值的体现）、（逆向思维，正向描述）！
§5.3 局部性原理、叠加原理
5.3.1 局部性原理 ：圣维南原理 （已经拿下！） 5.3.2 叠加原理 在小变形（几何线性）和线弹性本构（物理线性）条 件下，多种干扰共同作用下的解是各种干扰单独作用时相 应解的代数和。