4、第五章：固体力学问题的建立及解法

问题的建立
位移和应力解法简介
三个位移：u、v、w； 六个应变：εx、 εy、 εz、 γxy、 γ yz、 γ zx； 六个应力：σx、 σ y、 σ z、 τxy、 τ yz、 τ zx； 剪应变和剪应力中的x、y、z按正序排列。 三个平衡方程（用应力表示）；
六个几何方程（建立应变和位移之间的关系）； 六个本构方程（建立应变和应力之间的关系） ； 求解思路：12个方程解12个未知量。
* 其中几何和本构方程是建立三套基本未知量之间的关系，即知道一 套，另外两套即可得到。通过这个过程几何和本构方程已经满足。
* 而剩下的平衡方程结合边界和初始条件用来求解所选取的一套基本 未知量，即进一步满足平衡方程。
* 最后在利用几何和本构方程反求另外两套基本未知量。
§5.2 求解弹性力学问题的基本方法、 解的唯一性原理
5.2.1 位移法 （直接法） 以位移为基本未知函数，通过几何方程和本构方程， 用位移表示应力，再代入平衡方程，最后得到用位移表示 的平衡方程；求解此方程得到位移，然后反求应变和应力。 适用于：位移边值问题
拉梅-纳维埃方程 :(用位移表示的平衡方程)
三个方程解三个未知的位移分量。 注意： 求解拉梅-纳维埃方程得到的是通解，只有结合边界条 件，才能得到具体问题的解。
有时也可给定位移导数(如转角)的边界值或应变的边界值 。
第三类边值问题：在物体的表面S 的一部分Sσ上给定面 力，在另一部分Su 上给定位移，又称 为混合边值问题。 要求 ：
类似
得到
5.1.2 弹塑性力学边值问题 (P142) 5.1.3 线性粘弹性边、初值问题 (P144)
初始条件
问题的建立
位移和应力解法简介
几何方程
本构方程 解
数值方法
相互支撑
问题的建立
位移和应力解法简介
重点：弹性力学边值问题的建立方法及其直接和间接解法。 了解：弹塑性力学边值问题和线性粘弹性边、初值问题的建立。 定位：基础理论应用部分准备，属课程学习的重点之一。
问题的建立
位移和应力解法简介
§5.1 固体力学问题的建立
5.1.1 弹性力学边值问题 小变形条件（几何线性）下线弹性力学（物理线性） 的基本方程包括：
5.2.1补： 位移法 （间接法） 设定的位移解需满足的方程（对三类边值问题）： (1) 平衡方程： 位移应变应力应力平衡方程。即位移表示的平衡方程。 (2) 边界条件：
第一类：位移应变应力应力边界条件；
第二类：位移边界条件； 第三类： Sσ 上同第一类，Su 上同第二类。
5.2.2补： 应力法（间接法） 设定的应力解需满足的方程（对三类边值问题）： (1) 平衡方程： 应力平衡方程。
§5.4 求解塑性力学问题的基本方法 （搁置）
§5.5 求解线性粘弹性问题的基本方法 （搁置）
问题建立和解法小结（由厚到薄）
1. 思想：看线路图回忆查漏。
2. 需要记忆的概念 2.1.弹性力学边值问题的建立及其三类边值问题； 2.2. 位移和应力的直接和间接解法。
2.2. 解的唯一性原理和叠加原理 。 3. 需要能熟练使用的部分。 暂无。但要求同学们能在以后的工作中开放自己的 思维空间，大胆地使用逆解法！
5.2.2 应力法（直接法） 以应力为基本未知函数，将用应力表示应变的本构方 程代入应变协调方程，得到用应力表示的协调方程；联立 求解这些方程及平衡方程，得到应力，然后求得应变及位 移。由于应力已满足协调方程，故可由应变求出位移。 适用于：应力边值问题 平衡方程： 用应力表示的变形协调方程：
九个方程解六个未知的应力分量。因为协调方程不独立
(11)
(12) (2) 位移边界条件 ：式(5-13、14)
(13)
(14)
弹性力学边值问题可分为三类：
第一类边值问题：在全部边界上给定面力，又称为 应力边值问题。
集中力依据静力等效转换为作用在微小面积上的均布面力
集中力偶依据静力等效转换为作用在微小面积上的非均布面力。
第二类边值问题：在全部边界上给定位移，又称为 位移边值问题。
固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年 7月。
第五章：固体力学问题的建立 及解法
主讲：侯鹏飞 湖南大学工程力学系
静力学
外载约束 力学分析 几何分析 物理关系 引入 平面问题 空间问题 专题 边界条件 平衡方程 几何方程 本构方程 求 解析方法
动力学 边界条件及初始条件 运动方程
(1) 平衡方程：式(5-1、2)
(1)
(2)
(2) 几何方程 ：式(5-3、4)
(3)
(4)
(3) 应变协调方程 ：式(5-5、6)
(5)
(6)
(4) 本构方程 ：式(5-7、8 、9 、10)
(7)
(8)
Βιβλιοθήκη Baidu
(9)
(10)
式中 θ=εkk 。
弹性力学边值问题的边界条件 ： (1) 应力边界条件 ：式(5-11、12)
采用逆解法和半逆解法等试凑方法求解弹性力学问题 。
①
正名可以大胆地、酷一点地用！ –1 x
x
–2
②
③
个人认为： 是一种创新性的、灵感性的思维！
（价值的体现）、（逆向思维，正向描述）！
§5.3 局部性原理、叠加原理
5.3.1 局部性原理 ：圣维南原理 （已经拿下！） 5.3.2 叠加原理 在小变形（几何线性）和线弹性本构（物理线性）条 件下，多种干扰共同作用下的解是各种干扰单独作用时相 应解的代数和。
(2) 协调方程：
应力应变应变协调方程，或应力表示的协调方程。 (3) 边界条件： 第一类：应力边界条件； 第二类：应力应变位移位移边界条件； 第三类： Sσ 上同第一类，Su 上同第二类。
5.2.3 解的唯一性原理
如果弹性体的位移约束足以限制物体的总体刚性位移， 则位移场也是唯一的。 证明可以用，但还有点害羞！
注意： 求解以上方程得到的是通解，只有结合边界条件，才
能得到具体问题的解。
间接法：
逆解法——设定一个解，然后代入基本方程及边界条件， 若该解满足基本方程及边界条件，即为所求 的解。
半逆解法——设定一个解，其中包含一些待定常数或待求 函数，然后代入基本方程及边界条件，以确 定待定常数及待求函数，即得所求的解。 如何设定解：根据材料力学初等理论的解答，或是根据物 体的形状和受力特点，或是根据量纲分析等。 这是一个悟道和积累的过程！