人教版九年级下册数学：余弦和正切(1)
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28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版
2 A＝___4___．
感悟新知
知1－练
例 3 如图28.1－3，在等腰三角形ABC 中，AB＝AC，如果 2AB＝3BC，求∠B 的三个三角函数值.
解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定 义的前提是在直角三角形中”这一特 征，用“构造直角三角形法”求解.
感悟新知
解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1－3，
学习目标
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
感悟新知
知识点 1 锐角三角函数
1. 正弦、余弦、正切
名称
定义
符号语言
在Rt△ABC中，∠C＝
90°，∠A的对边与斜 在Rt△ABC
正弦
边的比叫做∠A 的正 中，∠C＝
弦 ，记 作 sin A，即 sin A＝∠A斜的边对边
90°，sin ＝ac
A.
4 3
B.
3 4
C.
3 5
D.
4 5
解题秘方：引入参数，用这个参数表示出三角形的
三边长，再用定义求解.
感悟新知
知1－练
解：由sin A＝BACB＝45，可设BC＝4k(k>0)，则AB＝5k. 根据勾股定理，得AC＝3k， ∴ tan B＝ABCC＝34kk＝34. 答案：B
感悟新知
知1－练
技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角 函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助 元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时要 约去辅助元.
感悟新知
知1－练
2－1. [期中·盐城射阳县]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
sin
A＝13，则cos
22 A＝___3___，tan
人教版九年级下册第28章课时2 余弦与正切(16页)
1.如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)，连接 OP，则
4
OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为_____.
3
α
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
2 13
3 13
3
sinA =_______，cosA
=_______，tanA
=_____，
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均
为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0<
cos A <1，tan A >0.
针对训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则 tan A = 12 ，tan B = 5 ；
.
∟
则 sin A =
A
C
发现
从上述探究和证明过程中还可以得出什么结论？
B
∠A = 90°-∠B
c
a
∟
A
b
C
sin A =
，cos
B=
，
则 sin A = cos B，即 sin A = cos ( 90°-∠A )
两角互余，余弦值=正弦值
如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F =
邻边 b
C
针对训练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则sinA = 13 ，cosA = 13 ；
4
OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值为_____.
3
α
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
2 13
3 13
3
sinA =_______，cosA
=_______，tanA
=_____，
∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的锐角三角函数.
注意：由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均
为正数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0< sin A <1，0<
cos A <1，tan A >0.
针对训练
3.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则 tan A = 12 ，tan B = 5 ；
.
∟
则 sin A =
A
C
发现
从上述探究和证明过程中还可以得出什么结论？
B
∠A = 90°-∠B
c
a
∟
A
b
C
sin A =
，cos
B=
，
则 sin A = cos B，即 sin A = cos ( 90°-∠A )
两角互余，余弦值=正弦值
如图,△ABC 和 △DEF 都是直角三角形, 其中∠A=∠D,∠C = ∠F =
邻边 b
C
针对训练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 13，AC = 12，
5
12
则sinA = 13 ，cosA = 13 ；
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共24张PPT)
本节课你有什么收获呢？
本节课你有什么收获呢？
3.正弦的定义
如图 28-1-2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,
即
sin
A=
A的对边 斜边
a c
.
1
当∠A=30°时,有 sin A=sin 30°= 2 ;
2
当∠A=45°时,有 sin A=sin 45°= 2 .
图 28-1-8
A. 3
B. 3
C. 4 D. 4
4
5
5
3
4.如图 28-1-9,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=2,AC=3,则 sin B 的值是( C )
图 28-1-9
A. 2
B. 3
C. 3
D. 4
3
2
4
3
5.(江苏中考)如图 28-1-10 所示,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,
九年级(下) 人民教育 数学
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
1.理解正弦的含义.(难点) 2.会求某个锐角的正弦值,能根据正弦概念进行计算.(重点)
一、知识回顾 1.如图 28-1-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若 BC=10 m, 则 AB= 20m;若 AB=20 m,则 BC= 10 m.
3
图 28-1-5
A.3
B.4
C.5
D.6
6.如图 28-1-6,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,sin A= 3 ,
人教版数学九年级下册《余弦和正切》教学设计1
人教版数学九年级下册《余弦和正切》教学设计1一. 教材分析人教版数学九年级下册《余弦和正切》是中学数学教育的重要内容，属于三角函数学习的基础部分。
本节课的主要内容是余弦和正切的概念、性质及其应用。
通过学习，学生能够理解余弦和正切函数的定义，掌握它们的性质，并能运用到实际问题中。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解余弦和正切的概念，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的代数、几何等基础知识，具备一定的数学思维能力和问题解决能力。
但是，对于余弦和正切这些较为抽象的数学概念，学生可能存在一定的理解难度。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动形象的比喻、具体例题等方式，帮助学生理解和掌握余弦和正切的概念和性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解余弦和正切的概念，掌握它们的性质，并能运用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，学生能够培养解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：余弦和正切的概念、性质及其应用。
2.难点：余弦和正切函数的图像和性质的理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动形象的比喻、具体例题等方式，帮助学生理解和掌握余弦和正切的概念和性质。
2.自主学习法：鼓励学生自主探究、合作交流，培养学生的解决问题能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题的规律，培养学生的数学思维能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟练掌握余弦和正切的相关知识，准备生动形象的比喻和具体例题。
2.学生准备：掌握初中阶段的代数、几何基础知识，准备积极参与课堂讨论和练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的问题或者生活实例，引出余弦和正切的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现余弦和正切的定义和性质，同时给出具体的例题，让学生初步理解和掌握。
人教版九年级下册数学 28.1锐角三角函数(2) 余弦和正切(共22张PPT)
A的邻边 斜边
=
b c
tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sinα＜1，
0＜cosα＜1，
tanα ＞0，
sin A a c
sin B b c
co s A b tan A a
c
互b
为
倒
cos B a c
数
tan B
b
a
公式一 ∠A+∠B=90°时，
A
B
比为25∶24，则其中最小的角的正切
值为
7
。
24
巩固
2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD
= 3 ，sin∠DBC= 12 ，求AB、BC、
5
13
CD的长。
D
C
A
B
巩固
3、如图，为测河两岸相对两电线杆A、
B的距离，在距A点17米的C处(AC⊥
AB)测得∠ACB=50°，则A、B间的
sinABC8k 8, AB 17k 17
tanABC8k 8 AC 15k 15
2.已知锐角α的一边在x轴的正半轴
上(顶点在原点)，另一边上一点P的坐
标为(1，2)，求角α的三个三角函数
值。
解：过点P作PA⊥x轴 ∵P（1，2） ∴OA=1,PA=2,OP= 5
sin 2 2 5 55
cos 1 5 55
y P(1,2)
α
oA
x
tan 2
新知
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一的值与它对应，所以 sinA是A的函数。同样地，cosA、 tanA也是A的函数。
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
最新人教版九年级数学下册第二十八章余弦函数和正切函数
,由此求得 AB= .
5
9
关闭
D
解析 答案
8
快乐预习感知
核心知识概览
1
互动课堂理解
2 3 4
轻松尝试应用
4.已知直角三角形中较长的直角边长为 30,这边所对角的余弦值为
8 ,则此三角形的周长为 17
,面积为
.
关闭
80
240
答案
9
关闭
∵∠C=90° ,AB=3,BC=2, ∴AC= 32 -22 = 5, ∴cos A=
������������
������������
=
5 3
.
关闭
5 3
解析
答案
2
快乐预习感知
快乐预习感知 核心知识概览
互动课堂理解
轻松尝试应用
3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,我们把∠A 的对边与邻边的比叫做∠ ������ ∠������的对边 正切 A的 ,记作 tan A,即 tan A= ∠������的邻边 = ������ . 4 4.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=5,BC=4,则 tan A= . 5 5.∠A 的正弦、余弦、正切都是∠A 的 锐角三角函数 .
快乐预习感知
核心知识பைடு நூலகம்览
互动课堂理解
轻松尝试应用
第2课时
余弦函数和正切函数
1
快乐预习感知
快乐预习感知 核心知识概览
互动课堂理解
轻松尝试应用
1.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,我们把∠ A 的邻边与斜边的比叫做 ∠������的邻边 ������ 余弦 ∠A 的 ,记作 cos A,即 cos A= = ������ . 斜边 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AB=3,BC=2,则 cos A 的值 是 .
数学人教版九年级下册正弦、余弦、正切函数的简单计算.1.2余弦定理课件新人教版必修5
定 理 证 明
定 理 应 用
三角形中的边角关系
a2 b2 c2 2bc cos A b a c 2ac cos B
2 2 2
余弦定理
(1)已知三边，求三个角
c2 a2 b2 2ab cos C
(3)判断三角形形状
(2)已知 两边和 它们的 夹角， 求第 三边和 其它两 个角。
定 理 内 容
2 2 2
c a b 2 ab cos C
2 2 2
回顾正弦定理的证明你还有没有其它的证明 余弦定理的方法？ （1）坐标法
证 明 方 法
（2）直角三角形的边角关系
（3）正弦定理（三角变换）
坐标法证明余弦定理
教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出 坐标法证明．
证明：如图所示，以△ABC的顶点A为原点 ，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系 ，这时顶点B可作角A终边上的一个点，它到 原点的距离r＝c，设点B的坐标为(x，y)，由 三角函数的定义可得：x＝ccos A，y＝csin A ，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是
A 56 2 0 2 2 2 2 2 2 a c b 134 . 6 161 . 7 87 . 8 cos B 0.8398 , 2 ac 2 134 . 6 161 . 7
B 32 5 3
C 180 A B 180 56 2 0 32 5 3 90 4 7
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.2 余弦定理
本节课主要学习余弦定理及推导过程、用余弦定理解三角形、判断 三角形形状。以苏格拉底几何原本由来的故事和高铁隧道招标的事例 作为本节的开始引入新课。本节教学以学生探究为主，利用向量法证 明余弦定理定理，引导学生探究坐标法、直角三角形边角关系法、正 弦定理法等多种方法证明余弦定理，使学生能够灵活应用所学知识， 加深对定理的理解。针对定理所解决的三类问题给出3个例题和变式， 通过解决问题引出三角形的解的不同情况，强调正确应用定理的重要 性。 教学过程中通过例1巩固掌握已知两边及其夹角解三角形的问题，通 过例2 巩固掌握已知三边解三角形的问题，通过例3巩固掌握判断三角 形形状的问题，每种类型都有变式进行巩固。用直角三角形的边角关 系证明余弦定理导，既节省时间又能吸引学生注意力。通过余弦定理 的推导和用余弦定理解决问题两个探究指明本节课的方向。由探究二 余弦定理可以解决的问题引出余弦定理的变形及用余弦定理判断三角 形的形状等知识。
人教版数学九年级下册第28章(教案)：28.1锐角三角函数-余弦、正切
2.教学难点
-函数定义的抽象理解：锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程，这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握：理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式，让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分，我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维，通过组织各类活动，锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈，调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，分析锐角α的正切值等于直角三角形中，角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质：分析余弦、正切函数随角度变化的规律，探讨它们在0°～90°范围内的变化趋势。
4.应用举例：结合实际问题，运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固：通过典型例题和练习题，使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章（教案）：28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节，本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括：
1.余弦函数的定义：通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
-函数定义的抽象理解：锐角三角函数的定义涉及到从具体的直角三角形中抽象出函数概念的过程，这对于学生来说是一个难点。需要通过直观的图形和具体的例子帮助学生理解。
-函数性质的掌握：理解并记忆余弦和正切函数随角度变化的规律是学生的另一个难点。需要通过图表、动画等多种方式，让学生直观感受函数值的变化。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余弦和正切函数的定义及其性质。对于难点部分，我会通过具体的直角三角形图形和计算例子来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余弦和正切函数相关的实际问题，如测量建筑物的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量并计算一个物体的余弦和正切值。
3.提高学生的表达能力和逻辑思维，通过组织各类活动，锻炼他们的口才和思维。
4.及时关注学生的学习反馈，调整教学策略，确保每位学生都能跟上教学进度。
2.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，分析锐角α的正切值等于直角三角形中，角α的对边与邻边的比值。
3.余弦、正切函数的性质：分析余弦、正切函数随角度变化的规律，探讨它们在0°～90°范围内的变化趋势。
4.应用举例：结合实际问题，运用余弦和正切函数解决一些简单的直角三角形问题。
5.练习与巩固：通过典型例题和练习题，使学生熟练掌握余弦和正切函数的计算及应用。
人教版数学九年级下册第28章（教案）：28.1锐角三角函数-余弦、正切
一、教学内容
人教版数学九年级下册第28章《锐角三角函数》中的28.1节，本节课主要围绕余弦和正切两个锐角三角函数展开。内容包括：
1.余弦函数的定义：通过直角三角形中的边长关邻边和斜边的比值关系。
人教版九年级下册数学28.2.1正弦、余弦、正切函数课件(共15张PPT)
小结
• 1.通过本节课的复习你有那些收获? • 2. 你还有哪些疑惑？
3
3．解直角三角形的依据
三边关系：
；
三角关系：
；
边角关系：sinA＝cosB＝
，cosA＝sinB＝
tanA= ， tanB = 。
┃简单应用┃
► 一 锐角三角函数定义 1 如 图 28 － 2 所 示 ， ∠ BAC 位 于 6×6 的 方 格 纸 中 ， 则
tan∠BAC＝___32_____.
数学·新课标（RJ）
• 7.准备在A、B两地之间修一条2千米的笔直 公路，经测量，在A的北偏东60°方向，B 地的北偏西45°方向的C处有一个半径为0.7 千米的公园，问计划修建的公路会不会穿 过公园？为什么？
C
60°
45°
A B
第28章讲练 ┃ 试卷讲练
8．如图28－10，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼 房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的 仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该 屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测 得 BE ＝ 21 米 ， 请 你 帮 小 刚 求 出 该 屏 幕 上 端 与 下 端 之 间 的 距 离 CD.(结果保留根号)
7千米的公园，问计划修建的公路会不会穿过公园？为什么？
2 3 2 6 3 6 6 1 5 如如图图， ，为为测测楼楼房房BBCC的的高高，，在在距距楼楼房房3300米米的的 AA处处测测得得楼楼顶顶的的仰仰角角为为 αα ，，则则楼楼高高BBCC为为
解：原式＝ 2 2× － ＋ － ＝2－ ＋ － ＝ . 第28章讲练 ┃ 试卷讲练 2 2 4 3 2 2 3 3 ► 一 锐角三角函数定义
人教版九年级数学下28.1余弦和正切(教案)
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，采用直观演示、案例分析、小组讨论等多种教学方法，确保学生能够透彻理解并掌握本节课的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余弦和正切》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量角度或计算高度的情况？”（如太阳高度角测量、建筑物高度估算等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余弦和正切的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尝试以理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式进行讲解。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。但在讲解过程中，我意识到在阐述余弦和正切函数的性质时，可能需要更多的实际例子和图像辅助，以便学生更直观地理解。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，但我发现部分学生在讨论过程中还是显得有些迷茫。为了提高讨论的效率，我考虑在下次教学中，为学生提供更明确的讨论方向和指导，以便他们能更好地展开讨论。
人教版九年级数学下28.1余弦和正切（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册第28.1节“余弦和正切”主要包括以下内容：
1.余弦函数的定义与性质：通过直角三角形的边长关系引出余弦函数的定义，探讨余弦函数在不同象限的符号及其图像特点。
2.余弦函数的应用：结合实际情境，运用余弦函数解决一些与角度有关的计算问题。
总体来说，今天的课堂教学还是取得了一定的效果，但同时也暴露出了一些问题。在今后的教学中，我会针对这些问题进行调整，努力提高教学效果，让学生们在轻松愉快的氛围中掌握余弦和正切的知识。同时，我也将不断学习，提升自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
此外，学生小组讨论环节，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有部分学生表现较为沉默。针对这一问题，我计划在今后的教学中，加强对这些学生的关注和引导，鼓励他们大胆发表自己的观点，提高课堂参与度。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《余弦和正切》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量角度或计算高度的情况？”（如太阳高度角测量、建筑物高度估算等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余弦和正切的奥秘。
其次，在新课讲授环节，我尝试以理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式进行讲解。从学生的反馈来看，这种方法还是有效的。但在讲解过程中，我意识到在阐述余弦和正切函数的性质时，可能需要更多的实际例子和图像辅助，以便学生更直观地理解。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，但我发现部分学生在讨论过程中还是显得有些迷茫。为了提高讨论的效率，我考虑在下次教学中，为学生提供更明确的讨论方向和指导，以便他们能更好地展开讨论。
人教版九年级数学下28.1余弦和正切（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学下册第28.1节“余弦和正切”主要包括以下内容：
1.余弦函数的定义与性质：通过直角三角形的边长关系引出余弦函数的定义，探讨余弦函数在不同象限的符号及其图像特点。
2.余弦函数的应用：结合实际情境，运用余弦函数解决一些与角度有关的计算问题。
总体来说，今天的课堂教学还是取得了一定的效果，但同时也暴露出了一些问题。在今后的教学中，我会针对这些问题进行调整，努力提高教学效果，让学生们在轻松愉快的氛围中掌握余弦和正切的知识。同时，我也将不断学习，提升自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
此外，学生小组讨论环节，虽然大部分学生能够积极参与，但仍有部分学生表现较为沉默。针对这一问题，我计划在今后的教学中，加强对这些学生的关注和引导，鼓励他们大胆发表自己的观点，提高课堂参与度。
人教版数学九年级下册《 余弦函数和正切函数》PPT课件
A
O
B
C
课堂检测
3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA = cosB; (2) 若 tanA = tanB，则∠A = ∠B; (3) 若 tanA ·tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为：
∠A +∠B = 90° .
课堂检测
能力提升题
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
问题引入 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确
定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ B
A
C
合作探究
余弦
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 AC DF 成立吗？
探究新知
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的 正切，记作 tanA.
斜边c
B ∠A的对边a
A ∠A的邻边b C
探究新知
【想一想】 1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
B
BC EF AC DF
E
A
C
D
F
探究新知
B
A
CD
证明：∵∠C=∠F=90°，
E
∠A=∠D，
∴Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
O
B
C
课堂检测
3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA = cosB; (2) 若 tanA = tanB，则∠A = ∠B; (3) 若 tanA ·tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为：
∠A +∠B = 90° .
课堂检测
能力提升题
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
问题引入 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确
定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ B
A
C
合作探究
余弦
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 AC DF 成立吗？
探究新知
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值.
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的 正切，记作 tanA.
斜边c
B ∠A的对边a
A ∠A的邻边b C
探究新知
【想一想】 1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？
B
BC EF AC DF
E
A
C
D
F
探究新知
B
A
CD
证明：∵∠C=∠F=90°，
E
∠A=∠D，
∴Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
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C. 5 D. 25
4、直角三角形的斜边和一条直角边的
比为25∶24，则其中最小的角的正切
值为
7
。
24
巩固
2、如图，在四边形ABCD中，∠BAD = ∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD
= 3 ，sin∠DBC= 12 ，求AB、BC、
5
13
CD的长。
D
C
A
B
巩固
3、如图，为测河两岸相对两电线杆A、
sin A BC 8k 8 , AB 17k 17
tan A BC 8k 8 AC 15k 15
2.已知锐角α的一边在x轴的正半轴
上(顶点在原点)，另一边上一点P的坐
标为(1，2)，求角α的三个三角函数
值。
解：过点P作PA⊥x轴
∵P（1，2） ∴OA=1,PA=2,OP= 5
sina = 2 = 2 5 55
巩固
2、如图，在Rt△ABC中，如果各边长 都扩大2倍，那么锐角A的余弦值和正 切值有什么变化？为什么？
B
B′
A
C A′
C′
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=10，BC=6,求sinA,cosA,tanA的值。
解：勾股定理得
B
AC= AB2 BC2 = 102 62 =8
6
因此sinA= BACB
28.1锐角三角函数(2) 余弦和正切
齐市富区长青乡第二中学校 朱相振
知识链接
正弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们
把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的
正弦。记作sinA，即
斜边c
B
对边a
A
C
sin
A
A的对边 斜边
a c
探究
一、如图，在Rt△ABC中，∠C=90° B
斜边c
对边a
A
C
邻边b
当∠A确定时，∠A的对边与斜边的
比就确定。此时，其他边之间的比
是否也确定呢？
探究 二、如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=α，那么
AC 与 AC 有什么关系？
AB AB
B′
B
Aα
C A′ α
C′
探究
三、如图，Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′ =α，那么
斜边
c
cosA= A的邻边 = b
斜边
c
tanA= A的对边 = a
A的邻边 b
所以，对于任何一个锐角α ，有
0＜sinα＜1，
0＜cosα＜1，
tanα ＞0，
sin A a cos A b tan A = a
c
c
互b
为
倒
B
sin B b c
cos B a c
数b tan B =
a
c
a ┌
6
=10
3
=5
A
C
AC 8 4
cosA= AB=10 = 5
BC
tanA=AC
=
6 8
=
3 4
1练、如习图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝15 ，
17 求sinA、tanA的值．
B
解：如图在Rt△ABC中，
∵ cos A AC 15 AB 17
设AC=15k，则AB=17k
A
C
所以 BC AB2 AC2 (17k)2 (15k)2 8k
cosa = 1 = 5 55
y P(1,2)
α
oA
x
tana = 2
新知
对于锐角A的每一个确定的值， sinA有唯一的值与它对应，所以 sinA是A的函数。同样地，cosA、 tanA也是A的函数。
三角函数的定义： 锐角A的正弦、余弦、正切统称为
锐角中
sinA= A的对边 = a
公式一 ∠A+∠B=90°时，
A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA ·ta·nB=1
公式二 sin2 A cos2 A 1
公式三 tan A sin A cos A
巩固
1、如果α是锐角，且cosα= 3 ，那么
sin(90°-α)的值等于( C 5)
9
A. 25
B. 4
5
3
16
B的距离，在距A点17米的C处(AC⊥
AB)测得∠ACB=50°，则A、B间的
距离为( c )
A. 17sin50°米
B. 17cos50°米 A
B
C. 17tan50°米
D. 34sin50°米
C
小结
1.余弦的定义：
cosA
A的邻边 斜边
b c
2.正切的定义：
tan A
A的对边 A的邻边
b a
tan A
A的对边 A的邻边
a b
巩固
1、如图，分别求出下列两个直角三角
形两个锐角的余弦值和正切值。
C
B
5
12
B
13
（1）
cosA= 12
13
5
tanA= 12
5
cosB= 13
12
tanB= 5
13
2
A
C 3
A
（2）
3 13
cosA= 13
2 13
cosB= 13
2 tanA= 3
3
tanB= 2
BC 与 BC 有什么关系？
AC AC
B′
B
Aα
C A′ α
C′
新知
余弦的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们 把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的 余弦。记作cosA，即
cosA
A的邻边 斜边
b c
新知
正切的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们 把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切。记作tanA，即
3.三角函数的定义
作业: 1、完成教材68-69页 2、6题。 2、预习66—67页内容。
拓展：
1、 若 tan 2, 求 5cos 2sin 的值
3cos sin
2、tan270 tan630 2 sin2 150 cos2 150
同学们，再见！