结构力学第四章知识讲解
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位移协调系（位移状态m）：在结构的边界和内部都必须是分段光滑 连续的，在边界上满足位移边界条件且是微小的位移系。
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由wenku.baidu.com位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP, FNk
（3）列表计算 （4）计算
§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图 的纵距 ； （2）面积A与纵距 在杆轴同侧，则乘积 取正号，反之取负号。
解： （1）建立虚力状态
（2）分别作内力图 M p , Mk
（3）用图乘法计算位移
返回
§4-8 支座移动、温度改变时的位移计算
（2）虚设单位位移 ， 得位移状态m；
（3）虚功方程：
2.求截面E的弯矩 ： （1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态； （2）沿 正向给单位虚位移 得m状态； （3）虚功方程
返回
§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当有
任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功
四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析： 微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
第i杆件的虚功： 平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
返回
§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边界 条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
返回
§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
取 ，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
返回
例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2 1 0 0 kN /cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
常见图形的面积和形心位置：
常见图形图乘结果：
例 求图示刚架C点的水平线 。
解：1.建立虚力状态： 2.作 图： 3.图乘：
例 设有一矩阵钢筋混凝土渡槽，如图（a）所示，槽深的计算简图如图
（b）所示，试求槽内最高水位时A、B两点的相对位移。已
知 E I 2 . 1 1 0 7 k N / m 2 2 . 8 1 1 0 3 m 4 5 . 9 。1 （1 0 设4 k N 结. m 构, 自水 重 1 不0 k 计N ，/ m 并3 略去轴 力及剪力对位移的影响）。
结构力学第四章
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
静力平衡系
（虚拟）
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
微段外力满足平衡条件：
位移协调系m： 各点的位移分量：
按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功：
各截面内力虚功总和为零。 显然有：
虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。 （2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。 （3）刚体虚功原理： 或
虚功原理：
设有一变形体系，分布存在两个独立无关的静力平衡系和位移协调 系，则力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功恒等于变形体系 各微段外力在变形位移上虚功和。即：
以平面刚架为例证明虚功原理： 静力平衡力系k： 截面内力分量：
求解步骤：
（1）解除所求约束力的约束，代之以约束力，得k状态。 （2）沿所求约束力的方向给以一位虚位移，得m状态。 （3）由wenku.baidu.com位移原理建立虚功方程，求解约束力。
例 利用单位位移法求两跨静定梁在图示荷载下的支座D的反力和截面E的 弯矩。 解 ： 1.求支座反力 ：
（1）解除D支座，代之一约束力 ，得 静力状态k；
静力状态k的集中力 在位移状态m的位移Δkm 上所作的虚功：
2.力偶虚功： 静力状态k的力偶 在位移状态m的角位移θkm 上所作的虚功：
3.均布力虚功： 静力状态k的均布力在位移状态m 上所作的虚功：
4.等量反向共线的两集中力的虚功：
静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功： 平衡力系在刚体位移上的虚功=？
恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的虚功和。
静力平衡系
位移协调系
（虚拟）
（真实）
单位荷载法：
在应用虚力原理时，特别的假设单位荷载。
求解步骤：
（1）沿所求位移的方向加上对应的单位虚力，得静力状态k。 （2）实际位移状态m，建立虚功方程。
例 试用单位荷载法求图示两跨静定梁，由于中间支座B向下移动 ， 中间铰C的竖向位移 。 解： 1.建立静力状态k： 2.建立虚功方程：
解：（1）桁架各杆的剪力和弯矩为零，轴力为常数，建立虚力方程，位移公式简 化为
式中，l为杆件长度 （2）求 FNP, FNk
（3）列表计算 （4）计算
§4-7 图乘法
使用条件：均质、常截面直杆； 至少一个内力图按直线变化。
位移计算公式中的积分可以用图乘法：
（1）用一内力图的面积A乘以该内力图面积的形心所对应的直线内力图 的纵距 ； （2）面积A与纵距 在杆轴同侧，则乘积 取正号，反之取负号。
解： （1）建立虚力状态
（2）分别作内力图 M p , Mk
（3）用图乘法计算位移
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§4-8 支座移动、温度改变时的位移计算
（2）虚设单位位移 ， 得位移状态m；
（3）虚功方程：
2.求截面E的弯矩 ： （1）将截面E换成铰，并加上 ， 得k状态； （2）沿 正向给单位虚位移 得m状态； （3）虚功方程
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§4-5 虚力原理、单位荷载法
虚力原理：
变形体系在任意外来因素作用下的位移系协调的充分必要条件是，当有
任意虚拟的静力平衡系时，力系中的外力经位移系中的位移所作的虚功
四、结构各微段外力在变形位移上的虚功和。
取微段进行分析： 微段静力状态k的力在位移状态m 上所作的虚功：
第i杆件的虚功： 平面杆件结构各微段外力在变形位移上的虚功和（虚变形功）：
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§4-3 虚功原理
静力平衡系（静力状态k）：满足结构整体和局部平衡条件以静力边界 条件，并遵循作用和反作用定律的力系。
返回
§4-6 杆件结构的位移计算公式及荷载作用 下的位移计算
一、位移公式
单位荷载法：
二、荷载作用下的位移计算公式
荷载作用下:
例 求简支梁AB，受均布荷载q时跨度中点的挠度。已知E、I。
解：1. 建立虚力状态： 2. 内力公式：
取 ，设矩形截面
一般地：
在梁的计算中可略去轴力、剪力的影响； 在深梁的计算中必须考虑剪力的影响。
1.位移是作功的力引起的。 实功：
Δp相对于Fp而言为实位移。
2.位移不是作功的力引起的 虚功：
3.实功计算不满足叠加原理；虚功计算满足叠加原理。
三、结构的外力虚功
静力状态：结构在k处所方向受广义力 作用处于平衡状态。 位移状态：结构由于其它原因而产生位移。其中k处所方向的广义位移 为Δkm k状态的外力在m状态的虚位移上所作的虚功： 1、集中力的虚功
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例 求图示四分之一圆弧的曲梁的自由端的角位移与线位移
解：1. 角位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 竖向位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
2. 水平位移 （1）虚力状态 （2）列内力方程
（3）
例 求图示对称桁架在荷载作用下结点4的竖向位移，设 E 2 1 0 0 kN /cm 2，图 中括弧内的数值为杆件截面面积A（ c m 2 ）。
常见图形的面积和形心位置：
常见图形图乘结果：
例 求图示刚架C点的水平线 。
解：1.建立虚力状态： 2.作 图： 3.图乘：
例 设有一矩阵钢筋混凝土渡槽，如图（a）所示，槽深的计算简图如图
（b）所示，试求槽内最高水位时A、B两点的相对位移。已
知 E I 2 . 1 1 0 7 k N / m 2 2 . 8 1 1 0 3 m 4 5 . 9 。1 （1 0 设4 k N 结. m 构, 自水 重 1 不0 k 计N ，/ m 并3 略去轴 力及剪力对位移的影响）。
结构力学第四章
二、结构位移计算的目的
（1） 结构设计必须经过刚度校核。 （2）结构施工阶段常常需要估算结构可能变更位置以便作出相应的工 程措施。 （3）结构位移计算是分析超静定结构以及结构动力分析，稳定分析等 的基础。
三、虚功原理是结构位移计算的基础。
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§4-2 外力虚功与虚变形功
一、功
二、实功与虚功
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§4-4 虚位移原理与单位位移法
虚位移原理：
变形体系在力系作用下成平衡的必要与充分条件是，当有任意
虚拟的位移协调系（即虚位移）时，力系中的外力经位移系中
的位移所作的虚功恒等于变形体系各微段外力在变形位移上的
虚功和。
位移协调系
静力平衡系
（虚拟）
（真实）
单位位移法：
在应用虚位移原理时，特别的假设发生单位位移。
微段外力满足平衡条件：
位移协调系m： 各点的位移分量：
按微段计算k状态的力在m状态的位移所作虚功：
按结构整体计算k状态的力在m状态的位移所作虚功： 外力虚功：
各截面内力虚功总和为零。 显然有：
虚功原理的讨论：
（1）试用线性、非线性、小变形问题。 （2）利用虚功原理解决平衡问题、几何问题。 （3）刚体虚功原理： 或