有限元发基础总结(国防工业出版社)

1.平面问题三节点三角形单元的位移、应力特征：三节点三角形在单元内位移是线性变化的，应力应变在一个单元内均为常数。因此，用三节点三角形单元求得的弹性力学平面问题近似解，不能反映单元内应力和应变变化，只有当单元划分的很小时才能接近实际解。

2.轴对称问题三节点三角形与平面问题三节点三角形单元的异同：①轴对称问题比平面问题多了一个周向应变，轴对称问题的应力分量不是三个而是四个，即轴向正应力、径向正应力、周向正应力和剪应力②轴对称问题的三角形单元几何矩阵不是常数矩阵，所以其三角形单元不是常应变单元也不是常应力单元。

3.轴对称问题需要满足的三个条件：轴对称物体、轴对称约束、轴对称荷载；周向应变产生的原因：由径向位移引起，因为径向位移会导致周长的改变，从而有了周向应变和周向应力。

4.（1）等参元优点：①计算精度高，可以较好模拟曲线边界的求解问题②需要输入的数据少；缺点：由于要进行等参数变换，是程序编制变得复杂，由于要进行数值积分，使得形成刚度矩阵的时间加长，占用较多的计算机资源（2）等参元变换所需满足的条件①雅克比行列式在整个单元上不为零②在整体坐标系下划分任意四边形单元应该为凸四边形且不能有大于等于180°的内角③任意两边不能通过延伸在单元上出现交点④划分单元尽量使形状与正方形相差不远。

5.矩形单元薄板弯曲的有限元求解中，节点未知量除了挠度w 外，还要选择节点处的转角y x θθ、是因为挠度函数)(y x w w ，=二次差值多项式函数阶次大于等于2，即至少包含自变量x 、y 完全二次多项式才能保证薄板弯曲问题有限元的收敛性，一个关于x 和y 的完全二次多项式有6个待定系数，若只取w 作为节点未知量，每个单元只有4个未知量，即单元自由度为4，不能决定一个完全二次多项式，考虑对称性每个节点还要取y x θθ、作为未知量，所以每节点取3个变量。

6.从求解精度和应力分布特点对平面问题六节点三角形和三节点三角形进行比较：①六节点三角形比三节点三角形精度提高了②三节点三角形在单元内位移是线性变化的，应力应变在一个单元内均为常数，六节点三角形位移是按二次多项式变化的，应力应变按线性变化。

7.泛函与一般函数的区别：①一般函数定义域是一个数集，无论怎么复合实函数的最终定义域都是定义在一个数集上的自变量，而泛函是定义在一个函数集基础上的，它的自变量为满足某一条件的函数集②实函数求微分，泛函求变分。

8.泛函求极值问题与微分方程边值问题比，优点：①对求解区域复杂或边界复杂的工程问题，微分方程无法求解，而泛函可以求解各种复杂问题②边界条件：微分方程边值问题，边界条件必须作为定解条件列出，而泛函求极值问题在求解时自动满足③导数阶次：微分方程含有二阶导数，泛函只含有一阶导数，所以采用泛函求极值问题解稳定温度场问题相对容易些。

9.广义坐标有限元线性结构分析的步骤：①写出单元位移、节点力向量②选择适当的位移函数③求单元任一点位移与节点位移的关系④求单元应变-单元位移-节点位移的关系⑤求应力-应变-节点位移的关系⑥求节点力与节点位移的关系⑦求节点位移与应力的关系。

10.薄板平面应力问题需满足条件：等厚度薄板弹性体，受力方向沿板面方向；薄板弯曲问

题需满足条件：①薄板厚度小于另两个方向尺寸，规定l t 小于

5

1为薄板②荷载垂直于板的中面③小挠度板中面各点沿垂直于中面的横向变形t w 小于等于51。 11.有限元法中选取单元位移函数的原则：①位移插值函数应能反映单元的刚体位移②位移插值函数应能反映-常应变准则③位移插值函数应能保证单元内及相邻单元的连续性-变形协调性（相容性）准则。