(优选)初中数学例题习题变式拓展辅导课件
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基本模型
变式2
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段AC上，请判 断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．
基本模型
变式3
4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD与线段CE 的关系，并说明理由．
基本模型
综合拓展
拓展4
4．（2015贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的
直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解
决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量
关系为
；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，
基本结构
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角
形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段AB上，
点E在线段AC上．请直接写出线段BD与线段
CE的关系：
．
基本模型
变式1
2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD与线段CE 的关系，并说明理由．
综合拓展
拓展3
3．（2015黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将 △OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′． （1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中 点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′； （2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．
基本模型
变式6
7．（2014武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4， CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．
基本模型
拓展1
1．（2007南平）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在 AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ． （1）求∠PCQ的度数； （2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小； （3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映 PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
案例1
24．（满分 10 分）
问题：如图①，在 Rt△ABC 中，AB AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），将
线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间
满足的等量关系式为
；
探索：如图②，在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，AB AC，AD AE，将△ADE 绕点 A 旋
综合拓展
拓展2
2．（2015铁岭）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点 （不与点B重合），连接AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90° 得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE． （2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之 间的数量关系，写出结论并说明理由； （3）若BD= CD，直接写出∠BAD的度数．
综合拓展
拓展8
8．（2016达州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D
综合拓展
拓展6
6．（2015威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6， CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长． （2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°， AC=3，AE=8，求AD的长．
综合拓展
拓展7
7．（2015梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB， AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋 转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P． （1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ； （直接填写结果） （2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1； （3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的 距离的最大值为 ．（直接填写结果）
转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并
证明你的结论；
应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC ∠ACB ∠ADC 45°．若 BD 9，CD
3，求 AD 的长．
E
A
A
A
E
D
B
D
CB D
CB
C
图①
图②
图③
（第 24 题图）
来源于八年级下册第29页第14题
请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足PA ︰ PB= 1 ︰ 3，求 的值．（提示：请利用备用图进
行探求）
综Hale Waihona Puke Baidu拓展
拓展5
5．(2016黄石)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能 成立吗？请说明理由．
变式4
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段BC上，请判 断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．
基本模型
变式5
6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段BC上，试探 索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并 证明你的结论．
（优选）初中数学例题习题变式 拓展辅导课件
开头的话
2016年《中国学生发展核心素养》内容的发布， 标志着我国进入了素质教育2.0版。随之，数学核心素 养内容也新鲜出炉，分为数学抽象、逻辑推理、数学 建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。史 宁中先生认为，数学教学的最终目标，是要让学习者 会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考 现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的 眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就 是模型，因此，抽象、推理、模型应该是数学核心素 养的关键。
变式2
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段AC上，请判 断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．
基本模型
变式3
4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD与线段CE 的关系，并说明理由．
基本模型
综合拓展
拓展4
4．（2015贵港）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的
直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解
决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量
关系为
；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，
基本结构
1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角
形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段AB上，
点E在线段AC上．请直接写出线段BD与线段
CE的关系：
．
基本模型
变式1
2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，请判断线段BD与线段CE 的关系，并说明理由．
综合拓展
拓展3
3．（2015黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将 △OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′． （1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中 点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′； （2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与 BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．
基本模型
变式6
7．（2014武汉）如图，在四边形ABCD中，AD＝4， CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．
基本模型
拓展1
1．（2007南平）如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点P在 AC上，将△ABP绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBQ． （1）求∠PCQ的度数； （2）当AB=4，AP：PC=1：3时，求PQ的大小； （3）当点P在线段AC上运动时（P不与A重合），请写出一个反映 PA2，PC2，PB2之间关系的等式，并加以证明．
案例1
24．（满分 10 分）
问题：如图①，在 Rt△ABC 中，AB AC，D 为 BC 边上一点（不与点 B，C 重合），将
线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间
满足的等量关系式为
；
探索：如图②，在 Rt△ABC 与 Rt△ADE 中，AB AC，AD AE，将△ADE 绕点 A 旋
综合拓展
拓展2
2．（2015铁岭）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点 （不与点B重合），连接AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90° 得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE． （2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之 间的数量关系，写出结论并说明理由； （3）若BD= CD，直接写出∠BAD的度数．
综合拓展
拓展8
8．（2016达州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D
综合拓展
拓展6
6．（2015威海）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6， CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长． （2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°， AC=3，AE=8，求AD的长．
综合拓展
拓展7
7．（2015梅州）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB， AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋 转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P． （1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ； （直接填写结果） （2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1； （3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的 距离的最大值为 ．（直接填写结果）
转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并
证明你的结论；
应用：如图③，在四边形 ABCD 中，∠ABC ∠ACB ∠ADC 45°．若 BD 9，CD
3，求 AD 的长．
E
A
A
A
E
D
B
D
CB D
CB
C
图①
图②
图③
（第 24 题图）
来源于八年级下册第29页第14题
请你利用图②给出证明过程；
（3）若动点P满足PA ︰ PB= 1 ︰ 3，求 的值．（提示：请利用备用图进
行探求）
综Hale Waihona Puke Baidu拓展
拓展5
5．(2016黄石)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α． （1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC； （2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2； （3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能 成立吗？请说明理由．
变式4
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段BC上，请判 断线段BD与线段CE的关系，并说明理由．
基本模型
变式5
6．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，点D在线段BC上，试探 索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并 证明你的结论．
（优选）初中数学例题习题变式 拓展辅导课件
开头的话
2016年《中国学生发展核心素养》内容的发布， 标志着我国进入了素质教育2.0版。随之，数学核心素 养内容也新鲜出炉，分为数学抽象、逻辑推理、数学 建模、数学运算、直观想象、数据分析六个方面。史 宁中先生认为，数学教学的最终目标，是要让学习者 会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考 现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的 眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就 是模型，因此，抽象、推理、模型应该是数学核心素 养的关键。