等比数列经典故事
数学故事等比数列的求和
数学故事等比数列的求和一、等比数列求和故事引入。
传说国际象棋是由古印度的宰相西萨·班·达依尔发明的。
当时的国王想要奖赏他，就问他想要什么。
这位聪明的宰相说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3个小格里给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。
请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求很容易满足，就命令给他这些麦粒。
当人们开始计算时，才发现这是一个非常巨大的数量。
二、等比数列的概念回顾（针对初学者）1. 等比数列定义。
- 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)。
- 例如数列1,2,4,8,16,·s就是一个等比数列，公比q = 2。
2. 等比数列的通项公式。
- 等比数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1q^n - 1，其中a_1是首项，n是项数。
三、等比数列求和公式推导。
1. 设等比数列{a_n}的首项为a_1，公比为q，其前n项和为S_n，则S_n=a_1+a_1q + a_1q^2+·s+a_1q^n - 1。
- 当q = 1时，这个等比数列是常数列，a_n=a_1，那么S_n=na_1。
2. 当q≠1时：- 我们给S_n=a_1+a_1q + a_1q^2+·s+a_1q^n - 1两边同时乘以q，得到qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3+·s+a_1q^n。
- 然后用S_n减去qS_n，即S_n-qS_n=a_1-a_1q^n。
- 因为S_n(1 - q)=a_1(1 - q^n)，所以S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。
四、回到故事中的计算。
在国际象棋的故事里，a_1=1，q = 2，n = 64。
根据等比数列求和公式S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}，可得S_64=frac{1×(1 -2^64)}{1 - 2}=2^64-1。
国际象棋与等比数列
实际上，这些麦粒的和是 18446744073709551615，大约140万亿 公升。这么多的麦子，全世界大约两千 年才能生产出来。如果造一个高4米，宽 10米的仓库来放这些麦子，那么仓库的 长度能够从地球修到太阳，再从太阳修 回来
定义： 如果一个数列从第2项起，每 一项与它的前一项的比等于 同一个常数，这个数列就叫 做等比数列等比数列康晓雪2007年12月
传说古代印度有一个国王喜爱象棋，中国智者云 游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者 与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了，我将答应你 的任何要求。”智者心想：我应该治一治国王的傲慢， 当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满 棋盘上的所有空格，第1 格1粒，第2格2粒，第3 格4 粒 ……，以后每格是前一格粒数的2 倍。”国王说 ： “这太简单了。”吩咐手下马上去办。过了好多天， 手惊慌地报告国王：“不好了……”。你猜怎么啦？原 下 来经计算，印度近几十年生产的所有麦子加起来还不 够。
关于等比数列的趣味故事
关于等比数列的趣味故事数学不仅是一门严肃的学科，它也可以成为一种趣味，一种乐趣。
在数学中，等比数列是一种常见且有趣的数列。
让我们一起来听一个关于等比数列的趣味故事。
从前，有一个名叫小明的小男孩。
小明非常聪明，对数学有着浓厚的兴趣。
一天，他在数学课上学习到了等比数列。
老师告诉他，等比数列是一种具有特定规律的数列，每一项都是前一项乘以同一个常数。
小明很感兴趣，决定回家后进一步研究等比数列。
当晚，他打开了电脑，开始搜索与等比数列相关的题目和信息。
然后，他找到了一个有关等比数列的趣味故事，并开始仔细阅读。
故事开始了——从前，有一个国家，名叫数字国。
在这个国家里，数学是最受欢迎的科目。
国家的国王非常热爱数学，并且擅长解决各种数学难题。
有一天，国王发现一个神奇的手表。
这个手表可以计算等比数列的每一项，并将结果显示在屏幕上。
国王非常兴奋，他决定将这个手表分享给国家的小学生们，以增加对等比数列的理解和兴趣。
于是，国王召集了全国各地的小学生来到皇宫。
他向孩子们介绍了这个神奇的手表，并解释了等比数列的概念和特点。
国王告诉孩子们，手表闪闪发光的屏幕上，会显示出一些数字。
这些数字实际上就是等比数列的各项。
国王给每个孩子都分发了一本习题册，里面包含了许多等比数列题目。
孩子们非常兴奋，纷纷翻开习题册，开始计算等比数列的各项。
他们将结果输入到手表上，手表屏幕上显示的数字不断更新，孩子们陷入了热烈的讨论中。
国王看到孩子们如此专注和兴奋，非常高兴。
他知道，通过这样的趣味活动，孩子们将更加深入了解等比数列，并从中体会到数学的乐趣。
随着时间的推移，孩子们逐渐理解了等比数列的规律和特点。
他们在手表上输入的数值越来越准确，解题的速度也越来越快。
最后，国王举行了一次庆祝会，表彰了那些在等比数列活动中表现出色的小学生。
他们获得了勋章和奖品，被全国人民称为“等比数列的勇士”。
故事到此结束了——小明读完这个趣味故事，对等比数列更加感兴趣了。
他意识到，数学可以通过趣味的方式来学习，使人们更加享受数学的乐趣。
等比数列的概念及其通项公式
在
等比数列an
中
，
始
终
有
an1 an
q
例1 判断下列数列是否为等比数列：
（1）1，1，1，1，1；
（2）0，1，2，，4，8；
（3）1, 1 , 1 , 1 , 1 2 4 8 16
例2 求出下列等比数列中的未知项：
(1)2, a,8;
(2) 4,b, c, 1 2
练习：课本 P48 1~3
一、新课引入
1、小故事：国际象棋源于古代印度，国王为奖 励发明者，答应他的任何要求，发明者说：“请 在棋盘的第一个格子放1颗麦粒，在第2个格子放 2颗麦粒，在第3个格子放4颗麦粒，在第4个格子 放8颗麦粒，依此类推，每个格子都是前面格子 的2倍，直到64个格子。请给我足够的粮食实现 上述要求。”你认为国王能满足他的要求吗？
印度国王奖赏国际象棋发明者的实例，得 一个数列：
1,2,22 ,23 ,,263
2、镭的半衰期是1620年如果从现在开始有的 10g镭开始，那么每隔1620年，剩余两依次为：
10,10 1 ,10 ( 1 )2 ,10 ( 1 )3 ,10 ( 1 )4 ,.....
2
2
2
2
3、某人年初投资10000元，如果年收益率是
5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依
次为：
100001.05,100001.052, ,100001.055
思考：与等差数列相比，上面的数列有什 么特点？
二、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一 项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的公比，公比通常用字母q表示。
012
n1
等比数列规律
等比数列规律《等比数列规律：隐藏在数字中的神奇魔法》我想给你讲个特别有趣的事儿，那就是等比数列的规律。
你可别一听数列就觉得头疼，等比数列就像一场数字的神秘之旅。
咱先从简单的说起。
想象一下，你有一颗种子，这颗种子第一天长出了2片叶子，第二天这2片叶子各自又长出2片新叶子，那就是4片叶子，第三天这4片叶子又各自长出2片，就变成8片叶子。
这个2、4、8就是一个等比数列。
这里的2就是这个数列的公比，就像一个小魔法数字，每一项都是前一项乘以这个2得到的。
这是不是很神奇？你看，从小小的种子，就发展出这么一个有规律的数字增长。
等比数列就像一个无限循环的故事。
比如说3、6、12、24……这个数列的公比是2。
每一个数字就像故事里的一个情节，不断按照这个公比的规则发展下去。
要是把这个数列画在纸上，你会发现它就像一个越爬越高的梯子，数字越来越大。
你难道不觉得这很像我们的生活吗？有时候一个小小的开始，通过一个稳定的增长规则，就会变成很大的成果。
再看看1、 -2、4、 -8……这个等比数列的公比是 -2。
这时候就有点像坐过山车了，数字一会儿正一会儿负，一会儿往上一会儿往下。
它不像前面那些数列一直往一个方向增长，而是有正有负地变化着。
这就像我们的情绪一样，有时候高涨，有时候低落，但是也有着自己的规律。
在等比数列里，我们还能发现一些很有趣的计算方法。
假如知道了等比数列的第一项和公比，那后面的数字就像多米诺骨牌一样，很容易就能算出来。
比如说第一项是5，公比是3，那第二项就是5乘以3等于15，第三项就是15乘以3等于45。
这多简单呀，就像按照菜谱做菜一样，一步一步来就好。
那等比数列在生活中有什么用呢？其实用处可大了。
就拿存钱来说，假如你每年把钱按照一定的比例增加存进去，那这个钱数的增长就可能是一个等比数列。
还有细胞分裂，一个细胞每次分裂成几个，随着时间的推移，细胞的数量增长也是一个等比数列。
这就像是大自然在悄悄使用等比数列这个神奇的工具呢。
等比数列求和——棋盘上的麦粒
等⽐数列求和——棋盘上的麦粒根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：请您在棋盘的第⼀个格⼦⾥放1粒麦⼦，第⼆个格⼦⾥放2粒，第三个格⼦⾥放4粒，第四个格⼦⾥放8粒，以此类推，直到最后⼀个格⼦，第64格放满为⽌。
、赏给我这么多数⽬的麦粒，我就⼗分满⾜了．国王觉得这个要求不⾼，就欣然同意了． 然⽽等到麦⼦成熟时，国王才发现，全印度的麦⼦竟然连棋盘⼀半的格⼦数⽬都填不满． （《第七封印》）现在我们来帮助国王计算⼀下，想要填满64格棋盘，到底需要多少麦粒。
实际上这是⼀个等⽐数列求和问题。
棋盘的第⼀格只需要麦粒a1=1，第⼆个需要麦粒a2=2，第3格a3=4，等等，这些麦粒的数量构成⼀个⾸项a1=1，公⽐q=2的等⽐数列。
那么要求64格棋盘的总麦粒数。
再观察对⽐这两个等式，发现它们有很多相同的指数幂，所以可以把两个等式相减来化简，我们⽤2式减1式，等号左边相减，2S64-S64，等号右边相减，这些相同的指数幂会消掉，最后留下来的，只有264，减去1.所以能得到棋盘上的总麦粒数S64，等于264-1，这是⼀个天⽂数字，相当于全世界2000年的⼩麦产量。
上⾯计算麦粒的⽅法，对任何⼀个q不等于1的等⽐数列求和，都是适⽤的。
等⽐数列的前n项和Sn，=a1+a2+...+an，我们⽤a1和q来表⽰。
错位相减法不仅适合于等⽐数列的求和，更多的时候，如果⼀个数列的通项形式，可以表⽰成，⼀个等差数列与⼀个等⽐数列的乘积时，那么都可以⽤错位相减法来求前n项和。
⾄于等⽐数列想要求和，只要直接套公式就可以。
远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百⼋⼗⼀，请问尖头⼏盏灯？”意思是：⼀座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中，下⼀层灯数是上⼀层灯数的2倍，则塔的顶层共有⼏盏灯？每层塔所挂的灯的数量形成⼀个等⽐数列，公⽐q=2，我们设塔的顶层有a1盏灯。
7层塔⼀共挂了381盏灯，S7=381，按照等⽐求和公式， 那么有a1乘以1-2的7次⽅，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖头必有3盏灯。
关于等比数列的趣味故事
关于等比数列的趣味故事在很久很久以前，有一个叫做小明的少年，他对数学特别感兴趣。
有一天，他在数学课上学习到了等比数列的概念，他觉得十分有趣。
小明回家后就开始思考等比数列的特点，他发现等比数列中每一项与它前一项的比值都是相等的。
他想通过一个趣味故事来解释这个概念。
故事是这样的：从前有一只名叫小乌龟的动物，它每天都在一条弯曲的小路上行走。
小乌龟的步伐非常特别，它每走一步的长度都是前一步的两倍。
比如，小乌龟第一步走了1米，那么第二步就会走2米，第三步就会走4米，依此类推。
小乌龟每天都坚持在这条路上行走，有一天，小乌龟遇到了一只名叫小兔子的快乐动物。
小兔子每天都在小路上奔跑，速度非常快，每分钟跑的距离也是前一分钟的两倍。
小乌龟和小兔子一起在小路上行走，他们发现自己的速度正好符合等比数列的规律。
小兔子每分钟跑的距离与上一分钟相比是等比数列，而小乌龟每步走的距离与上一步的比值也是等比数列。
他们一边行走一边谈论着数学，小兔子告诉小乌龟，等比数列在生活中有很多有趣的应用，比如利滚利这个概念就是等比数列在经济中的应用之一。
小乌龟听得津津有味，他觉得等比数列不仅仅是理论上的概念，更是生活中常见的运用方式。
于是小乌龟和小兔子一直在小路上行走，谈论着数学中的等比数列，它们的友谊也因此更加深厚。
从此以后，他们成为了数学和生活中的好朋友。
通过这个趣味故事，小明深深理解了等比数列的概念，他觉得数学并不枯燥，而是充满了趣味和乐趣。
因为数学不仅仅是一堆数字和符号，更是隐藏着无穷乐趣和智慧的宝藏。
小明从此以后更加热爱数学，他希望通过自己的努力和探索，能够在数学的世界中发现更多有趣的故事，让数学之美真正展现在他的眼前。
正如小乌龟和小兔子一样，小明也愿意坚持不懈地在数学的道路上前行，探索更多有趣和美好的数学世界，让自己的生活充满乐趣和智慧。
等比数列
小结：
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) 1 q , (q 1).
na1 Sn a1 an q 1 q
等比数列的前n项和
q 1 q 1
9．课后作业，分层练习
必做： P58练习1、 选作：思考题(1): 求和 x + 2 x2 + 3 x3 + + nxn .
1 q Sn a1 a1q ,
n
当q≠1时， 当q=1时，
a1 1 q Sn 1 q
n
Sn na1
于是
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) 1 q , (q 1).
na1 , (q 1), S n a1 (1 q n ) , ( q 1 ) . 1 q n 1 又因为 an a1q n n a a q a a q 1 n a1 1 q 1 1 所以 S n 1 q 1 q 1 q
－ －
1 - 264 S64 = = 264 - 1 ≈ 1.84 1019 （粒） 1- 2 约7000亿吨
变式 4：在等比数列{an}中，公比 q＝－2，S5＝22，则 a1 的值 等于( D ) A．－2 C． 1 B．－1 D．2
解析：∵S5＝22，q＝－2， a1[1－－25] ∴ ＝22， 1－－2 ∴a1＝2.
＋ ＋1
＝(1－n)· 2n＋1－2， ∴Sn＝(n－1)· 2n＋1＋2.
2n－1 1 3 5 7 变式 5：求数列2，4，8，16，„， 2n 的前 n 项和．
1 1 1 1 分析:本题中的数列是由数列 1,3,5,7，„与2，4，8，16，„ 的各项对应相乘得到的，前面的数列是等差数列，后面的数列 是等比数列，可用错位相减法求和．
等比数列小故事
等比数列小故事：根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求．这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。
其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。
假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。
等比序列求和故事
看 谁 算 得 最 快
从前有一个财主，为人刻薄吝啬，常常克扣工钱，附近村民 都不愿到他那里打工。有一天，这个财主家来了一位年轻人，要 求打工一个月，同时讲了打工的报酬是：第一天的工钱只要一分 钱，第二天是二分钱，第三天是四分钱，......以后每天的工钱数 是前一天的2倍，直到30天期满。这个财主听了，心想这工钱也 真便宜，就马上与这个年轻人签订了合同。可是一个月后，这个 财主却破产了。这工钱到底有多少呢？ 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 工钱 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576
22 23 24 25 26 27 28 29 30 总数
2097152 4194304 8388608 16777216 33554432 67108864 134217728 268435456 536870912 1073741823
等比数列的故事
等比数列的故事根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的。
据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训，他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏，国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情。
国王对这种新奇的游戏很快就产生了深厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐。
宰相开口说道：请您在棋盘的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子放8粒……即每一个次序在后的格子上放的麦粒必须是前一个格子麦粒数的倍数，直到最后一个格子即第64格放满为止，这样我就十分满足了，“好吧”，国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+22+23+24+263=264－1直接写出数字来就是18446744073709551615粒，这位宰相所要求的，竟是当时全世界在2000年内所产小麦的总和！如果选一个宽4米，高4米的粮仓储存这些粮食，那么这样的粮仓长度就需要3亿千米，它可以绕地球赤道7500圈或在地日之间打个来回。
国王哪有这么多麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学老师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年所产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下，其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了，假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18446744073709551615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）就算宰相大人日夜不停地数，数到他魂归极乐，也只是数出那些麦粒中极小的一部分，这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
等比数列故事
在一个遥远的王国，有一个数学爱好者的王子，名叫拉莫。
拉莫的梦想是找到一种特殊的数列，这种数列可以描绘出自然界中许多美丽和奇妙的模式。
有一天，拉莫在森林里散步时，他看到一棵巨大的老橡树，树干上刻着一个神秘的图案。
图案由许多小圆点组成，形成了一个美丽的序列。
拉莫立刻被这个序列吸引住了，他决定研究这个神秘的图案，看看能否从中找到他一直在寻找的数列。
经过仔细的研究和分析，拉莫发现这个序列是一种特殊的数列，他称之为"等比数列"。
在这个数列中，每一个数字都是前一个数字的固定倍数，就像老橡树上的图案一样，每一个圆点的大小都是前一个圆点的固定倍数。
拉莫进一步发现，等比数列在自然界中无处不在。
比如，蜂巢的形状就是一种等比数列的排列，每个蜂房都是前一个蜂房的固定倍数。
此外，等比数列还出现在音乐、艺术、建筑等领域中。
拉莫被等比数列的美丽和普适性所深深吸引，他决定将他的发现分享给王国的人民。
他开始在王国的学校和教育机构中教授等比数列的概念和应用。
通过拉莫的教导，王国的人民开始欣赏数学和自然之间的联系。
他们开始用等比数列来理解和描述自然世界中的各种模式和现象。
王国的人民对数学的热情空前高涨，他们甚至将数学纳入了他们的日常生活中。
(必修5)2.4等比数列
2
2014-11-14
a9 a7 q 9
2
12
3 解：a7 a5 q q 2 2 a9 a7 q 9
2 2
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13
练习：
1.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则 a3=( A )
A 8 B -8 C ±8 D 16 D
an 1 q（q 0, a1 0, n N ) 2014-11-14 a n
5
二.等比数列的通项公式
1.等比数列的通项公式
通项公式：an a1q
n1
a1为首项，q为公比
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6
三.等比数列的性质
1.通项公式得变形： 对于任意的m, n N , 等比数列an , 有 am a1q m 1 an a1q n 1 an a1q n 1 nm 则 q am a1q m 1 an am q n m (m, n N 大小任意）
2）等比中项法:
a n a n 1 a n 1
2
2014-11-14
8
思考: 数列：2，2，2，2，2，2，2 是，d=0 是等差数列吗？ 是,q=1 是等比数列吗？ 数列：2，-2,2，-2,2，-2… 是等比数列，无穷数列，摆动数列
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例题
3.4等比数列
必修5
2014-11-14
1
等比故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文 献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位 印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王 推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王对这种新奇的游 戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相， 作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐． 宰相开口说道： 请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2 粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒 ……即每一个 次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的 倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满 足了． “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个 谦卑的请求． 这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？
关于等比数列的趣味故事
关于等比数列的趣味故事曾经有一个数学老师，他非常喜欢用趣味故事来教授数学知识。
今天，他要给大家讲述一个关于等比数列的趣味故事。
从前，在一个神奇的王国里，每个人的年龄都与古老的守护神有关。
传说中，当人们达到一定年龄后，就能听到守护神的声音，并获得一枚特殊的符号作为奖励。
有一天，一个叫小明的男孩迫不及待地想要获得守护神的奖励。
他听说只要找到一系列等比数列，就能得到自己年龄所对应的符号。
于是，他开始了寻找等比数列的冒险旅程。
小明踏上了去寻找守护神的旅程，他来到了一个巨大的迷宫里。
迷宫里有无数的房间，每个房间里都埋藏着一个等比数列。
小明决定从第一个房间开始，慢慢寻找下一个等比数列。
他进入了第一个房间，房间里有一张桌子和几个数字。
小明看到桌子上写着：2, 4, 8, ...小明兴奋地想到，这是一个等比数列！他知道等比数列是指每个数与前一个数的比值都相等。
他算了一下，每个数字都是前一个数字的两倍。
小明高兴地拿起了这个数列，并继续了他的冒险之旅。
接下来，小明来到了第二个房间。
房间里的桌子上写着：1, 3, 9, ...小明仔细观察，发现这也是一个等比数列！每个数字都是前一个数字的三倍。
他高兴地将这个数列放进口袋，并继续前行。
小明继续在迷宫中寻找下一个等比数列。
他来到了第三个房间，桌子上写着：4, 2, 1, ...小明有些困惑，这个数列看起来并不像等比数列。
他思考了一会儿，突然灵光一现，意识到这是一个倒数的等比数列！每个数字都是前一个数字的倒数。
他欣喜若狂地将这个数列也放入口袋。
随着时间的推移，小明找到了越来越多的等比数列，并在每个等比数列中留下了他的痕迹。
他的口袋里装满了彩色的符号，代表着他找到的数列。
最终，小明成功地找到了最后一个数列。
在最后一个房间中，桌子上写着：3, 6, 12, ...小明仔细观察后发现，这也是一个等比数列！每个数字都是前一个数字的两倍。
他激动地将这个数列和所有其他的数列都整理好，准备回去见守护神。
与等比数列求和相关的故事
与等比数列求和相关的故事
话说阿基米德有个聪明的小徒弟，这小徒弟啊，特别爱琢磨数字的奥秘。
有一天，小徒弟跑到阿基米德面前，兴奋地说：“老师呀，我发现了一个超级有趣的事儿！您看啊，有这么一个棋盘，棋盘有64个格子。
我在第一个格子里放1粒小麦，第二个格子里放2粒小麦，第三个格子放4粒，第四个格子放8粒，就这么每次放的麦粒数都是前一个格子的2倍，您说这棋盘上一共得放多少麦粒呀？”
阿基米德一听，哟，这小子还真能想出这么个有趣的问题呢。
这其实就是一个等比数列啊，首项是1，公比是2，一共64项。
阿基米德就开始琢磨怎么求这个和。
他想啊，要是一个一个加起来，那可太费劲了。
他先假设这个等比数列的和是S，那S就等于1 + 2 + 4 + 8 + … + 2的63次方。
然后他灵机一动，把这个式子两边同时乘以公比2，得到2S = 2 + 4 + 8 +
16+ … + 2的64次方。
接着，他用2S减去S，也就是（2 + 4 + 8 + 16+ … + 2的64次方）-（1 + 2 + 4 + 8 + … + 2的63次方）。
这么一减啊，很多项就都抵消掉了，最后就得到S = 2的64次方 1。
阿基米德算出这个数字后，吓了一跳，这可是个超级大的数字啊！他告诉小徒弟：“你这个想法可不得了，这棋盘上要放的麦粒数量简直比咱们王国的麦粒总数还要多得多呢！”
小徒弟听了，眼睛瞪得大大的，他这才意识到这个看似简单的数字规律背后，有着如此惊人的结果。
从那以后，小徒弟更加痴迷于数学的奇妙世界啦。
等比数列小故事
等比数列小故事：根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求．这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。
其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。
假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。
等比数列
判断下面的数列是否是等比数列？
1\2 1\4 1\8 1\16 1\32
3 9 27 81 243 3 5 8 13 21 34 10 25 30 55 66
√
√ × ×
之前一节课我们学的是等差数列，我们知 道等差数列的通项公式是：那么同学们能 不能推出棋盘故事里数列的通项公式呢？
11 2 2 1 4 2 2 4 1 8 2 4 4 2 8 1 16 2 8 4 4 8 2 16 1
古希腊一个国王要奖励一个智者问他想要什 么？智者知道国王很吝啬，但他又想给国王 一个教训，于是他就拿出了一个国际象棋的 棋盘，对国王说：我只要您在我第一个格子 放一个金币，第二个格子放两个，第三个格 子放四个，以此类推放满就行。国王一看， 才64个格子于是很爽快的答应了。但当他实 践的时候却发现自己办不到。大家思考一下 最后第64个格子里面，国王要放多少个金币 呢？
课后练习， 配套练习册。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1、2、4、8、16、32、64…….
我们观察一下上面的数列有什么特点？我们 不难发现数列中的数，从第二个开始，除以 前一个数都等于2而这样的数列就是我们今天 要学的等比数列。
判断下面的数列是否是等比数列？
1\2 1\4 1\8 1\16 1\32 3 9 27 81 243 3 5 8 13 21 34 10 25 30 55 66
an 2
n1
1
如果把1看成呢？
a1 a1 a2 2a1 a3 2a2 4a1 a4 2a3 4a2 8a1
an ? a1
an 2 a1
n 1
如果当后一项除以前一项的商不是2是q的时候 通项公式呢？
高一数学-历史上的等差数列与等比数列 精品
历史上的等差数列与等比数列人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识．在世界数学史上，对级数(数列)的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等，对等差级数ａ+(a+b )+(a+2b )+(a+3b )+…＋［ａ＋（ｎ－１）ｂ］和等比级数ａ＋ａｑ＋ａｑ２＋ａｑ３＋…＋ａｑｎ－１都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献．古老的《易经》一书中写道：“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想．著于东汉(25年～220年)初年的中国古代数学名著《九章算术》均输章中，第19题：“今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升．问中间两节欲均容，各多少．”解得各节的容量是6639,6646,6653,6660,6611,6681,66151,66221,66291 (单位是升)还记有这样一个问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”这是一个等比级数问题，即已知等比为2，项数为5，S ５为5，求首项ａ１，答案是.315 在南北朝时，于４６６年～484年，张邱建写了一部算经，世人称《张邱建算经》，在这本算经中，张邱建把等差数列的研究向前推进了一步．例(卷上第十八题)“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出.下四人后入得金三斤，持出.中间三人未到者，亦依等次更给.问各得金几何，及未到三人复应得金几何.”按照术文，本题解法分三步：第一步，求出公差d ：“以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分别持金数为下率．二率相减，余为差实.并先后入人数而半之，以减凡人数，余为差法．实如法而一，得差数．”用现代符号，记后入人数为n １，后得金数为S １，先入人数为ｎ３，先得金数为S m ，则上面的术文即213113n n n n S n S d m +--=，亦即3113131)2(n n n n n S n S n d m +--=．若记未到人数为ｎ２则有31231131)2(n n n n n S n S n d m ++-=． 第二步，把后入四人每人所得金数视为一等差数列，问最下等人所得金数，这相当于已知d,S n ，ｎ，求ａ１，术文给出n d n n S a n 2)1(1--=． 第三步，把十人各得金数视为一等差数列，求每人的金数，这相当于已知ａ１，ｄ，ｎ，求ａｎ，术文给出ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ．张邱建提出的问题及解法，有的是继承了以往的成果，更多的则是创新.这说明至迟在五世纪，中国数学已具备了系统的等差数列的理论，同类结果一直到七世纪初才在印度梵藏的著作中出现．在外国，公元前约2000年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识.其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为：5，10，20，40；20，36，52．可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列.还记有一个与分配有关的问题：兄弟10人分321米那①的银子，要求每人所得的数量构成等差数列，其中第8个人的银子数量是6赛尔．他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和，其中有１＋２＋４＋…+２９＝２９＋（２９－１）＝２１０－１．公元前2000～1800年，古代埃及在草纸卷上记载了一些数学知识，其中，记有这样一个问题：5个人分100个面包，要求每个人所得的份数构成一个等差数列．解得3138,6129,20,6510,321． 还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒问麦粒升数总数是多少?这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为16807升，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的．公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展，他们用石子、沙子记数和计算.毕达哥拉斯派，曾得到如下关系：22)12(1)12(5312121n n n n n n n =-+=-+++++=+++ 并称满足前者关系的数为三角形数，见图(甲)满足后者关系的数为正方形数，见图(乙)该学派还给出了一个定理：两个相继三角形数之和是正方形数．即2)1()2(21)1(2+=++++n n n n n他们在研究算术级数(等差数列)与几何级数(等比数列)时得到算术平均数与几何平均数 .,2pq G q p A =+= 在研究音乐理论中得到了调和平均数.2q p pq H +=他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音.例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是３∶２，则发出另一谐音，两音相差5度．若有三根弦，它们的长分别为ｌ１、ｌ２、ｌ３，其中ｌ１∶ｌ３＝２∶１，ｌ１∶ｌ２＝３∶２，因此，ｌ１、ｌ２、ｌ３能发出谐音，且ｌ３比ｌ１的音高8度，ｌ２比ｌ１的音高5度，求弦长的连比，它们得到34212122=+⋅⋅=l ，即ｌ１∶ｌ２∶ｌ３＝２∶34∶１＝６∶４∶３，ｌ２叫ｌ１与ｌ３的调和平均数，31313121122l l l l l l l +=+=，调和平均数是3111l l 和的算术平均数的倒数，它与后来发现的调和级数相联系．约公元前300年，欧几里得(Euclid ，约公元前330年～公元前275年)的名著《几何原本》(共13篇)第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.命题6给出了关于完全数的一个著名定理，即：若几何级数(从1开始)一些项之和１＋2+２２＋…＋２ｎ－１是质数，那么这个和同最末一项的乘积是完全数，就是说（１＋２＋…＋２ｎ－１）２ｎ－１或（２ｎ－１）２ｎ－１是完全数(等于其小于本身的因数之和的数称为完全数).头4个完全数是6(６＝１＋２＋３)，28（２８＝１＋２＋４＋１４），４９６，８１２８，也许第五个完全数是希腊人已经知道了的．5～12世纪，欧洲处于中世纪黑暗时期，数学研究衰退，这时的印度却是数学的高潮时期．印度人偏爱计算并喜欢把它们简化成一些经验公式，这一特点使他们在级数求和方面取得一些可喜成果.在阿耶波多(Aryabata ，476年～550年)的著作中，记载着许多重要的数列求和公式．如：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝)12)(1(61++n n n ． １３＋２３＋３３＋…＋ｎ３＝（１＋２＋３＋…＋ｎ）２＝22)1(41+n n )2)(1(61)21()321()21(1++=++++++++++n n n n 至于他是如何推导这些公式的，我们还不清楚．波罗摩芨多(Brahmagupta,598年～665年)是印度数学家处理级数问题最杰出的一位．他提出的确定等差数列的末项和一个给定级数之和的法则是：“项数(n)减1，乘以公差(d)，加上首项(a )就是末项(l )”即l =a +(n -1)d ；“末项与首项之和的一半是中项的值，它乘以项数，便是整个数列的和(S ).”即Ｓ＝n l a 2+．如果已知首项、公差和数列的和，求项数时，他给出：“把首项的两倍与公差之差的平方加到数列的和与公差的8倍之乘积上，取其平方根，减去首项的两倍与公差的差，再除以公差的2倍，就是项数”即n =.2)2(8)2(2dd a dS b a --+- 由等差数列、等比数列的研究，引起了更复杂的数列的研究意大利数学家裴波那契(Fibonacci,Leonardo,约1170年～1250年)的名著《算盘书》中，提出了一个有趣的问题：由一对兔子开始，假定每对大兔每月能生一对小兔子，而每对小兔生长两个月就成大兔，问一年后可以繁殖成多少对兔子?这导致著名的斐波那契数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，…这个数列的特征是：ｕ１＝ｕ２＝１，ｕｎ＝ｕｎ－１＋ｕｎ－２（ｎ≥３）其通项为.)251(51)251(51n n n F --+= 斐波那契数列有许多重要的性质和应用．特别，因为)15(21:1-→-n n u u ，便与黄金分割联系起来了．更重要的是它引起了对递归数列的研究.直到今天研究该数列的兴致不衰，美国有《斐波那契季刊》，专登有关这个数列性质的新发现．。
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等比数列经典故事
根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宗师，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宗师开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18、446、744、073、709、551、615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下。
其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了。
假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18、446、744、073、709、551、615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）。
就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。
这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。
”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）。