第十章无穷级数

第十章 无穷级数

【考试要求】

1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与

p 级数的敛散性．

4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．

6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．

【考试内容】

一、常数项级数的相关概念

1．常数项级数的定义

一般地，如果给定一个数列

1u ，2u ，L ，n u ，L ，则由这数列构成的表达式

123n u u u u +++++L L

叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为

1

n

n u

∞

=∑，即

1231

n

n n u

u u u u ∞

==+++++∑L L

，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．

2．常数项级数收敛、发散的概念

作常数项级数

1

n

n u

∞

=∑的前n 项和121

n

n

n i

i s u u u u ==+++=∑L ，n s 称为级数

1

n

n u

∞

=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,L 时，它们构成一个新的数列

11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，L

，

12n n s u u u =+++L ，L

．

如果级数

1

n

n u

∞

=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n

n s s →∞

=，则称无穷级数1

n

n u ∞

=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成

123n s u u u u =+++++L L

或者

1

n

n u

s ∞

==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1

n n u ∞

=∑发散．

3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数

1

n

n u

∞

=∑收敛于和s ，则级数

1

n

n ku

∞

=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数

的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数

1

n n u ∞=∑、1

n

n v

∞

=∑分别收敛于和s 、σ，则级数

1

()n

n n u

v ∞

=±∑也收敛，且

其和为s σ±． （3）在级数

1n

n u

∞

=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．

（4）如果级数

1n

n u

∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．

（5）如果级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n

n u →∞

=．

说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n

n u →∞

不为零，则级数

1

n

n u

∞

=∑一定发散．

4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数

级数

2

1

n

n

n q q q q ∞

==++++∑L L

或

20

1n n

n q q q q ∞

==+++++∑L L 称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；

当

1q ≥时级数发散．

（2）调和级数

级数 11111

123n n

n ∞

==+++++∑L L

称为调和级数，此级数是一个发散级数．

（3）

p 级数

级数 11111

123p p p p n n

n ∞

==+++++∑L L

称为

p 级数，其中常数0p >．其

收敛性为：当

1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．

二、正项级数的审敛法

1．比较审敛法

设

1

n n u ∞=∑和1

n

n v

∞

=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥

时有n n u v ≤成立．若

级数

1

n

n v

∞

=∑收敛，则级数

1

n

n u

∞

=∑收敛；如果级数

1

n

n u

∞

=∑发散，则级数

1

n

n v

∞

=∑也发散．

2．比较审敛法的极限形式 设

1

n n u ∞=∑和1

n

n v

∞

=∑都是正项级数．

（1）如果lim n

n n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞

=∑收敛； （2）如果lim n

n n

u l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞

=∑发散． 说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数

1n

n v

∞

=∑收敛，则级数

1

n

n u

∞

=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低

阶的无穷小，而级数

1

n

n v

∞

=∑发散，则级数

1

n

n u

∞

=∑发散．

3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）