北京市八一学校2021届高三上学期10月月考数学试题+含答案

北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷

一、选择题

1．已知集合{}

24A x x =∈

B ．{}1,2-

C ．{}1,0,1,2-

D ．{}2,1,0,1,2--

2．已知向量(),1a t =，()1,2b =．若//a b ，则实数t 的值为（ ） A ．2-

B ．2

C ．12

-

D ．

12

3．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ） A ．sin y x =

B ．cos y x =

C ．y x x =

D ．ln y x =

4．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

5．要得到函数sin 23y x π⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭的图象，只需要将函数sin2y x =的图象（ ）

A ．向左平移

3π

个单位

B ．向左平移

6π

个单位 C ．向右平移3

π

个单位

D ．向右平移6

π

个单位

6．在ABC △中，5AB =，sin 2sin A C =，4

cos 5

B =，则AB

C △的面积为（ ）

A ．10

B ．15

C ．20

D ．30

7．已知函数()3ln f x x m x =+在区间[]1,2上不是单调函数，则m 的取值范围是（ ） A ．(),3-∞-

B ．[]24,3--

C ．()24,3--

D ．()24,-+∞

8．已知函数()21f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．()1,2

D ．()2,+∞

9．在ABC △中，90BAC ∠=︒，2BC =，点P 在BC 边上，且()

1AP AB AC ⋅+=，则AP 的取值范围是（ ）

A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．⎤

⎥⎝⎦

C ．1,12⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

D ．⎤

⎥⎣⎦

10．已知集合A ，B 满足：（i ）A B ⋃=Q ，A B ⋂=∅； （ii ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；

（iii ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈． 给出以下命题：

①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．③④ D ．②③

二、填空题

11．已知复数2z i =-，则z =______．

12．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为______． 13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=______．

14．已知函数()21

,,x ax x a

f x x x a e -⎧<⎪

=⎨≥⎪⎩（a 为常数）．若()112f -=，则a =______；若函数()f x 存在最大值，则a

的取值范围是______．

15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足5730

02

t

N N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的______；经

过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的

12至3

5

，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间．（参考数据：2log 3 1.6≈，2log 5 2.3≈） 三、解答题

16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，520S =． （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若等比数列{}n b 满足449a b +=，且公比为q ，从①2q =；②1

2

q =；③1q =-这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列{}n n a b -的前n 项和n T ． 17．在ABC △中，1

cos 7

A =

，8BC =，7AC =．

（I ）求B 的大小；

（II ）若D 是BC 的中点，求AD 的长．

18．已知函数()222cos f x x x m =++（m ∈R ）． （I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 的单调递增区间；

（III ）对于任意0,2x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围．

19．设函数()2ln f x x ax x =+-（a ∈R ）． （I ）若1a =，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围． （III ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，求证：切点的横坐标为1． 20．已知函数()ln x

f x x a

=

+（0a >）． （I ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）当1a =时，证明：()1

2

x f x -≤

； （III ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

21．已知无究数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：*n ∀∈N ，1n n n a b c +=-，1n n n b c a +=-，1n n n c a b +=-．记{}max ,,n n n n d a b c =（{}max ,,x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值）．

（I ）若11a =，22b =，33c =，求1b ，1c 的可能值； （II ）若11a =，1b =2，求满足23d d =的1c 的所有值；

（III ）设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，

{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．

答案 1．C 2．D 3．B 4．D 5．D

6．B

7．C

8．B

9．A

10．D

1112．63n - 13．

14．

12；(],0-∞ 15．1

2

；4011 16．解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，