2017高考数学三角函数大题综合训练

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2017年全国高考文科数学试题分类汇编之三角函数

2017年全国高考文科数学试题分类汇编之三角函数一、选择题：1.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为（B）2π2.已知cosx=π/3，则cos2x=（D）-1/23.已知sinα-cosα=4/√2，则sin2α=（C）9/74.函数y=3sin2x+cos2x最小正周期为（B）π5.函数f(x)=5sin(x+π/11)+6的最大值为（A）5/36.设函数f(x)=cos(x+π/3)，则下列结论错误的是（D）f(x)的一个零点为x=8π/37.设函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)，x∈R，其中ω>0，|ϕ|<π，若f(x)的最小正周期大于2π，则（C）ω=2π/3，ϕ=-π/38.函数y=sin2x/(1-cosx)的部分图像大致为（B）V形二、填空题：9.若XXX(α-π/4)=1/6，则tanα=（5/6）10.已知α∈(0,π/2)，tanα=2，则cos(α-π/4)=（1/√10）11.函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为（2√5）12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα=1/3，则sinβ=（-1/3）三、解答题：13.已知函数f(x)=3cos(2x-π/4)。

1）f(x)的最小正周期为π/2；2）当x∈[-π/3,π/2]时，f(x)≥-2√2/3.14.已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，x∈[0,π]。

1）若a//b，则x=π/4或5π/4；2）记f(x)=a·b，当x=π/4时，f(x)取最大值6√2；当x=5π/4时，f(x)取最小值-6√2.15.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2/3sinxcosx（x∈R）。

1）f(2π)的值为-8/3；2）f(x)的最大值为1，当x=π/4或5π/4时取到；f(x)的最小值为-5/3，当x=3π/4或7π/4时取到.求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间。

2017-2018高考三角函数大题(可编辑修改word版)

2017-2018 高考三角函数大题一．解答题（共14 小题）2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．3．（2018•北京）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC 边上的高．4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m 的最小值．5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若f（）= +1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．6．（2018•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求 b 和sin（2A﹣B）的值．7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b．9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．10．（2017•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求 b 和sinA 的值；（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．11．（2017•北京）在△ABC 中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x 的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC 的面积．2017-2018 高考三角函数大题参考答案与试题解析一．解答题（共14 小题）1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+ =﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0 时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤2 时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0 恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x （0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2 时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+ ，则问题转为证明＜1 即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2 成立．2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB= =，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB= =．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，∵DC=2 ，∴BC===5．3．（2018•北京）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即 A 是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB= ==，由正弦定理得= 得sinA= == ，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3 或c=﹣5（舍），则AC 边上的高h=csinA=3×=．4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m 的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+ sinxcosx= +sin2x =sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T==π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m 的最小值为．5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求 a 的值；（2）若f（）= +1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）= +1，∴asin +2cos2（）=a+1= +1，∴a=，∴f（x）= sin2x+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin（2x+ ）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（2x+ ）+1=1﹣，∴sin（2x+ ）=﹣，∴2x+ =﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x= 或x=或x=﹣或x=﹣6．（2018•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求 b 和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB= ，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC 中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b= = ，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=2cos2A﹣1= ，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB= =．7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S=acsinB= ，△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC= ；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC= ，∴cosBcosC﹣sinBsinC==﹣，﹣∴cos（B+C）=﹣，∴cosA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，∵===2R= =2 ，∴sinBsinC= •===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC 的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB= ；（2）由（1）可知sinB=，= ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．（1）求c；（2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，∴tanA= ，∵0＜A＜π，∴A= ，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，故c=4．（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC，∴cosC= ，∴CD= = =∴CD= BC∵S= AB•AC•sin∠BAC= ×4×2×=2 ，△ABC∴S△ABD= S△ABC=10．（2017•天津）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB= ．（Ⅰ）求 b 和sinA 的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵a＞b，故由sinB=，可得cosB=．由已知及余弦定理，有=13，∴b= ．由正弦定理，得sinA=．∴b= ，sinA= ；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=1﹣2sin2A=﹣．故sin（2A+）= =．11．（2017•北京）在△ABC 中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC 的值；（2）若a=7，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA= ×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= ×+×=，= acsinB= ×7×3×=6 ．∴S△ABC12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x 的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x= ，（2）f（x）= =3cosx﹣sinx=2 （cosx﹣sinx）=2 cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+ ∈[ ，]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤，当x=0 时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2 ．13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值．（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin =2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，即f（x）的最小正周期为π，由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z 得：x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+ ，kπ+ ]，k∈Z．14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1 时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a=，角B 所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2 或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B 为钝角，c=2 不成立，则c=3，△ABC 的面积为S= bcsinA= ×5×3×= ．。

2017年高考三角函数试题

2017年高考三角函数试题D5：答案：25解析：∵f (x )＝sin x －2cos x 5x －φ)，其中sin φ＝55，cos φ＝55.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝55-.6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cosx |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确． 7：（16年新课标3，文7）若tanθ=31，则cos2θ=( D ) （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）458：(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.8：答案：5π6解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位得，πcos 22y x ϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos(2x －π＋φ)＝ππsin 2π++=sin 222x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而它与函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ，得5π+2π6k ϕ=，k ∈Z. 又－π≤φ＜π，∴5π6ϕ=.9：（16年新课标3，文科14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移___3π___个单位长度得到. 9：答案：5π610：（16年新课标2，文科3）函数的部分图像如图所示，则 ( A )=sin()y A x ωϕ+（A ）（B ）（C ）（D ） 11：(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．11：答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.2sin(2)6y x π=-2sin(2)3y x π=-2sin(2+)6y x π=2sin(2+)3y x π=令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 12：（16年新课标1：文科6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( B ) （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) 两角和与差的正弦、余弦、正切1：（2014·新课标2，文科14）函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．[解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.2：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科2）若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos2α＞0答案：C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 3：(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )．A ．16B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++- ⎪-⎝⎭===.4：（16年新课标3，文科11）函数的最大值为( B )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75：(16年新课标1，文科14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. 5：答案：54-解三角形17．(2012课标全国1，文17) 中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边满足，求．【命题意图】：本试题主要考查了解三角形的运用。

2017年三角函数高考真题

（1）求 cos B ；（2）若 a c 6 , ABC 面积为 2，求 b.
8【. 2017年新课标Ⅲ卷，17】ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin A a 2 7 ，b2．
（1）求c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 △ABD 的面积．
3 cos A 0 ，
A． f (x) 的一个周期为 2π
B． y f (x) 的图像关于直线 x 8π 对称 3
C．
f
(x
)
的一个零点为
x
π 6
D．
f
(x)
在
(π 2
,
π)
单调递减
3.【2017 年新课标Ⅱ卷，14】函数 f x sin2 x
3
cos
x
3 4
（
x
0,
2
）的最大值
是
．
4. 【2017 年新课标Ⅱ卷，文 13】函数 f (x) 2 cos x sin x 的最大值为
.
5. （【 2017 年新课标 Ⅱ 卷，文 16 】 △ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B= 6.【2017 年新课标Ⅰ卷，17】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC
2017 年高考真题（三角）
2π
1.【2017 年新课标Ⅰ卷，9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结正确的
3
是（）
π A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6

三角函数的图象与性质-2017年高考数学(理)母题题源系列(新课标2专版)含解析

【母题原题1】【2017新课标卷II ，理14】函数23()sin 34f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是 ____________．【答案】1 【解析】化简得()22311cos 3cos 344f x x x x x =-+-=-+=23(cos 12x --+,由 [0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当3cos x =时,函数()f x 取得最大值1．【考点】三角变换、复合型二次函数的最值【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置;③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．【母题原题2】【2016新课标卷II,理7】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图像的对称轴为(A ）x =26k ππ-（k ∈Z ) （B ）x =26k ππ+（k ∈Z )（C ）x =212k ππ-（k ∈Z ）（D)x =212k ππ+(k ∈Z ）【答案】B【考点】三角函数图像的变换与对称性【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值．【命题意图】三角函数的图象与性质,高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想.【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等以下，热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定，且常常与三角变换结合在一起考查.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：把所给函数化为最简化简的思路一般是化分式为整式,化高次为低次，且是项数尽可能的少,配方与辅助角公式是常用的2种方法。

高考数学三角函数题型训练(含答案)

高考数学三角函数题型训练（含答案）高考第二轮复习是进行专题训练，分模块掌握高中所学知识。

在高考数学三角函数题型训练中，大家首先要把基本概念理解到位，然后配合题型训练更好地掌握模块精髓。

下面是小编整理的《2017高考数学三角函数题型训练（含答案）历年数学三角函数真题》，供参考。

1高考数学三角函数题型训练真题及答案12017高考数学三角函数题型训练技巧三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

1.三角函数恒等变形的基本策略。

(1)常值代换:特别是用”1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。

(2)项的分拆与角的配凑。

如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。

(3)降次与升次。

(4)化弦(切)法。

(4) 引入辅助角。

asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。

(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界。

2017年高考数学—三角函数(解答+答案)

2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=，（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。

8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值；（II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值；（2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。

2017数学高考分类·文科(2017高考真题+模拟新题)C单元三角函数

C 单元三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数15．C1、C5[2017·全国卷Ⅰ] 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.15.31010 [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，所以sin α＝25，cos α＝15，于是cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.9．C1、C2[2017·北京卷] 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．9.13[解析] 由题意可知角α在第一或第二象限，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin(π－α)＝sin α＝13.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式9．C1、C2[2017·北京卷] 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．9.13[解析] 由题意可知角α在第一或第二象限，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则β＝2k π＋π－α(k ∈Z )，所以sin β＝sin(π－α)＝sin α＝13.C3 三角函数的图象与性质8．B8、C3[2017·全国卷Ⅰ] 函数y ＝sin 2x1－cos x 的部分图像大致为( )ABCD图1-38．C [解析] 令f (x )＝sin 2x 1－cos x ，因为f (－x )＝sin （－2x ）1－cos （－x ）＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，可以排除B.又f (l)＝sin 21－cos 1＞0，所以可以排除A.而f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，所以可以排除D.故选C.16．F3、C3[2017·江苏卷] 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 16．解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0，于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝ 3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质7．C4[2017·天津卷] 设函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A ．ω＝23，φ＝π12 B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π247．A [解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T 4(2m ＋1)，m ∈N ，解得T ＝3π2m ＋1，m ∈N .∵f (x )的最小正周期大于2π，∴m ＝0，∴T ＝3π，∴ω＝23.由题意得23×5π8＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝π12＋2k π，k ∈Z ，又∵|φ|<π，∴φ＝π12.7．C4、C5[2017·山东卷] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A .π2 B .2π3 C ．π D ．2π7．C [解析] 因为y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＝2sin (2x ＋π6)，所以其最小正周期T ＝2π2＝π，故选C .3．C4[2017·全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD .π23．C [解析] 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为T ＝2π2＝π.13．C4、C5[2017·全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 13.5 [解析] 因为f(x)＝2cos x ＋sin x ＝5sin (x ＋φ)(其中tan φ＝2)，所以f(x)max ＝5.16．C4、C5、C6、C9[2017·北京卷] 已知函数f (x )＝3cos2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.16．解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，所以当x ∈－π4，π4时，f (x )≥－12.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切7．C4、C5[2017·山东卷] 函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A .π2 B .2π3 C ．π D ．2π7．C [解析] 因为y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＝2sin (2x ＋π6)，所以其最小正周期T ＝2π2＝π，故选C .11．C5、C8、C9[2017·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6 C.π4 D.π311．B [解析] 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0，所以sin A ＝－cos A ，得A ＝34π.又由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin3π4＝2sin C ，解得sin C ＝12，所以C ＝π6. 13．C4、C5[2017·全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝2cos x ＋sin x 的最大值为________． 13.5 [解析] 因为f(x)＝2cos x ＋sin x ＝5sin (x ＋φ)(其中tan φ＝2)，所以f(x)max ＝5.16．C5、C8[2017·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．16.π3 [解析] 因为2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，由正弦定理有2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C)＝sin B ，所以cos B ＝12，得B ＝π3.5．C5 [2017·江苏卷] 若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________.5.75 [解析] tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16×1＝75.15．C1、C5[2017·全国卷Ⅰ] 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.15.31010 [解析] 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，所以sin α＝25，cos α＝15，于是cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22(cos α＋sin α)＝31010.6．C5、C9[2017·全国卷Ⅲ] 函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.156．A [解析] 因为f (x )＝15⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x＝65⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最大值为65.16．C4、C5、C6、C9[2017·北京卷] 已知函数f (x )＝3cos2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.16．解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，所以当x ∈－π4，π4时，f (x )≥－12.C6 二倍角公式4．C6[2017·山东卷] 已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B .14C ．－18D .184．D [解析] 由二倍角公式得cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×916－1＝18，故选D .4．C6[2017·全国卷Ⅲ] 已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.794．A [解析] ∵sin α－cos α＝43，∴(sin α－cos α)2＝169，整理得1－sin 2α＝169，∴sin 2α＝－79.16．C4、C5、C6、C9[2017·北京卷] 已知函数f (x )＝3cos2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.16．解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，所以当x ∈－π4，π4时，f (x )≥－12.C7 三角函数的求值、化简与证明15．C7、C8[2017·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin (2B －A)的值．15．解：(1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b.由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin (2B －A)＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255.C8 解三角形11．C5、C8、C9[2017·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π311．B [解析] 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0，所以sin A ＝－cos A ，得A ＝34π.又由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin3π4＝2sin C ，解得sin C ＝12，所以C ＝π6. 16．C5、C8[2017·全国卷Ⅱ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．16.π3 [解析] 因为2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，由正弦定理有2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin (A ＋C)＝sin B ，所以cos B ＝12，得B ＝π3.15．C8[2017·全国卷Ⅲ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.15．75° [解析] 由正弦定理得6sin B ＝332，得sin B ＝22，∵b <c ，∴B <C ，∴B ＝45°，∴A ＝75°.15．C7、C8[2017·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin (2B －A)的值．15．解：(1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B，得a ＝2b.由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin (2B －A)＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝⎛⎭⎫－55－35×255＝－255.17．C8、F3[2017·山东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.17．解：因为AB →·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6，因此tan A ＝－1，又0<A<π，所以A ＝3π4.又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝⎛⎭⎫－22＝29，所以a ＝29.18．G1、G5、C8[2017·江苏卷] 如图1-6，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)图1-6(1)将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；(2)将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．18．解：(1)由正棱柱的定义，CC 1⊥平面ABCD ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABCD ，CC 1⊥AC .记玻璃棒的另一端落在CC 1上点M 处．因为AC ＝107，AM ＝40，所以MC ＝402－（107）2＝30，从而sin ∠MAC ＝34.记AM 与水面的交点为P 1，过P 1作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1＝12，从而AP 1＝P 1Q 1sin ∠MAC＝16.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm) (2)如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK ＝OO 1＝32. 因为EG ＝14，E 1G 1＝62，所以KG 1＝62－142＝24，从而GG 1＝KG 21＋GK 2＝242＋322＝40. 设∠EGG 1＝α，∠ENG ＝β，则sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠KGG 1＝cos ∠KGG 1＝45.因为π2<α<π，所以cos α＝－35.在△ENG 中，由正弦定理可得40sin α＝14sin β，解得sin β＝725.因为0<β<π2，所以cos β＝2425.于是sin ∠NEG ＝sin(π－α－β)＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×2425＋⎝⎛⎭⎫－35×725＝35. 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2＝12，从而EP 2＝P 2Q 2sin ∠NEG ＝20.答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)C9 单元综合11．C5、C8、C9[2017·全国卷Ⅰ] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π311．B [解析] 因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0，所以sin A ＝－cos A ，得A ＝34π.又由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin3π4＝2sin C ，解得sin C ＝12，所以C ＝π6. 6．C5、C9[2017·全国卷Ⅲ] 函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.156．A [解析] 因为f (x )＝15⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x＝65⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以函数f (x )的最大值为65.16．C4、C5、C6、C9[2017·北京卷] 已知函数f (x )＝3cos2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.16．解：(1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin2x ＋π3≥sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，所以当x ∈－π4，π4时，f (x )≥－12.1年模拟3. [2017·鄂尔多斯月考]已知π2＜α＜π，3sin 2α＝2cos α，则cos(α－π)＝( ) A. 23 B. 64 C. 2 23 D. 3 263. C [解析] 由3sin 2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2＜α＜π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝⎛⎭⎫132＝2 23. 10.[ 2017·赣州月考]已知点 P ⎝⎛⎭⎫sin3π4，cos 3π4在角 θ的终边上(角θ的顶点为原点，始边为x 轴正半轴)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π3的值为________．10. 2－3 [解析] 根据三角函数定义知，tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，所以tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 8．[2017·甘肃五市联考]若cos 2θ＝13，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( )A.1318B.1118C.59D ．1 8．C [解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2 θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1－12×⎝⎛⎭⎫1－19＝59.9．[2017·长安模拟]若cos α＝－45，且α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12 B.12C ．2D ．－29．A [解析] 易知tan α2＝sinα2cos α2＝2sin 2α22sin α2cos α2＝1－cos αsin α＝1＋45－35＝－3，所以1＋tan α21－tan α2＝－12.4．[2017·西安一模]将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π244．B [解析] 函数图像的变换过程中，相应函数解析式的变换为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12→y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12.故选B. 6．[2017·九江一模]函数f ()x ＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，||φ<π2的部分图像如图K161所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，且f ()x 1＝f ()x 2，则f ()x 1＋x 2的值为( )图K161A ．－12B ．－32C ．－22 D.326．B [解析] 依题意得，A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2.∵2×π6＋φ＝kπ，k ∈Z ，∴φ＝k π－π3，k ∈Z ，又||φ<π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.∵x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，且f ()x 1＝f ()x 2，∴x 1＋x 2＝π6＋2π3＝5π6，∴f ()x 1＋x 2＝f ⎝⎛⎭⎫5π6＝sin 4π3＝－32.6. [2017·辽宁五校联考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，则△ABC 的形状是( )A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形6. D [解析] 由a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2－2ab cos C ＝23ab sin C ，得a 2＋b 2＝2ab sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6，由于2ab ≤a 2＋b 2＝2ab sin C ＋π6≤2ab ，故只能a ＝b 且C ＋π6＝π2，故△ABC为正三角形．7. [2017·武汉重点中学月考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b sin A ＋3a cos B ＝0，ac ＝43，则△ABC 的面积为( )A. 3B. 3C. 23 D. 47. B [解析] 由b sin A ＋3a cos B ＝0，得sin B sin A ＋3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以tan B ＝－3，所以B ＝120°，所以△ABC 的面积为12ac sin B ＝12×43×32＝3. 10.[2017·大庆质检]在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝4，B ＝A ＋π2.(1)求cos B 的值； (2)求sin 2A ＋sin C 的值．10．解：(1)由正弦定理得3sin A ＝4sin B ，∵B ＝A ＋π2，∴3－cos B ＝4sin B，∴－3sin B ＝4cos B ，两边平方得9sin 2B ＝16cos 2B ，又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴cos B ＝±35，又B >π2，∴cos B ＝－35.(2)∵cos B ＝－35，∴sin B ＝45.∵B ＝A ＋π2，∴2A ＝2B －π，∴sin 2A ＝sin(2B －π)＝－sin 2B ＝－2sin B cos B ＝－2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝2425. 又A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝3π2－2B ，∴sin C ＝－cos 2B ＝1－2cos 2B ＝725，∴sin 2A ＋sin C ＝2425＋725＝3125.11．[2017·济宁一模]设函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π2－12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12，a ＝3，求△ABC 的面积的最大值．11．解：(1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2＋cos x 2cos x 2－12＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x 2－12＝32sin x ＋12cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 由－π2＋2k π≤x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z .(2)由f ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝－12，∴sin A ＝32.由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得3＝b 2＋c 2＋bc ≥2bc ＋bc ＝3bc ，∴bc ≤1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤34，即△ABC 的面积的最大值为34.。

三角函数高考试题精选含详细答案)

三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若ta nθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。

2017年高考数学—三角函数(选择+填空+答案)

2017年高考数学—三角函数（选择+填空+答案）1.（17全国1理9）已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 2.（17全国1文8）.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为3.（17全国1文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。

已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（17全国2文3）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 5.（17全国3文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．796.（17全国3文6）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35 D ．157.（17全国3文7）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8.（17山东理（9））在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（17山东文（4））已知34cosx =,则2cos x = A ．-14B. 14C. - 18D.1810.（17山东文（7））函数sin2cos23+=y x x 最小正周期为A.2πB.23πC.πD.2π11.（17天津理（7））设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=12.（17全国3理6）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减13. （17全国1文15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。

三角函数高考试题精选(含详细答案解析)

三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin 2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos （﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin （3x﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ= ．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 1 ．【解答】解：f（x）=sin 2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t 2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x ﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为 4 ．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7 ．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx 的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC 的最小值是8 ．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x ﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。

高考数学三角函数练习与答案

D. α-β=π6
【练习 2】若锐角φ满足 sinφ-cosφ= 2,则函数
2
=cos2(x+φ)的单调递减区间为
A.[2kπ-5π ，2kπ + π ]（k∈Z）
12
12
B.[kπ-5π
12
，kπ
+
π ]（k∈Z）
12
C.[2kπ+ π
12
，2kπ
+
7π]（k∈Z）
12
D.[kπ+ π ，kπ + 7π]（k∈Z）
∵N（2， 2 ）是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ∴A= 2 . ∵N 到相邻最低点的图象曲线与 x 轴相交于 A、 B，B 点坐标为（ 6，0）
∴ 7 =|x B－xN|=4，∴T=16.
4
又∵T=
2
,∴ω=
2 T
=
8
∵xN= xA xB
2
∴xA=2xN－xB=－2 ∴A(－2,0) ∴y= 2 sin (x+2)
3 【练习 1】若 cosa= 3 且为第四象限角，tana 则的值等于（）
【练习 2】
二、看图求解析式
【练习 1】函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分
图象如图所示，则函数 f（x）的解析式为（）
A. ㌳䁠 ꀀ sin㌳䁠
B. ㌳䁠 ꀀ sin㌳䁠
C. ㌳䁠 ꀀ sin㌳䁠 h
四、三角函数的三角恋
【练习 1】设 sin 2α=-sin α,α∈ π ,π ,则 tan 2α的值是
.
【练习 2】若
[ , ],sin 2 42

2017年高考试题分类汇编(三角函数)

2017年高考试题分类汇编（三角函数）考点1 任意角的三角函数考法1 三角函数的定义1.(2017·北京卷·理12·文9) 在平面直角坐标系xoy 中，角α与角β均以ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=____． 2.(2017·全国卷Ⅰ·文科15) 已知(0,)2πα∈,tan 2α=，则cos ()4πα-=____.考法2 三角函数的图像与性质1.(2017·全国卷Ⅱ·文科3 )函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 2.(2017·全国卷Ⅲ·理科6 )设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ上单调递减3. (2017·全国卷Ⅰ·理科9)已知曲线1C :cos y x =，2C :2sin(2)3y x π=+，则下面结正确的是A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C ,B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π12个单位长度，得到曲线2C 4.(2017·全国卷Ⅰ·文科8)函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为5. (2017·天津卷·理科4)设R θ∈，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.(2017·天津卷·理科7)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A.23ω=，12ϕπ=B.23ω=，12ϕ11π=-C.13ω=，24ϕ11π=-D.13ω=，24ϕ7π= 7.(2017·山东卷·理科16)设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<．已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在ABC3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．考点2 三角恒等变换1.(2017·江苏卷·5)若1tan()66πα-=,则tan α= .2.(2017·全国卷Ⅱ·理科14 )函数()23sin 4f x x x =+-（[0,]2x π∈）的最大值是．3.(2017·全国卷Ⅱ·文科13 )函数()2cos sin f x x x =+的最大值为 .4.(2017·全国卷Ⅲ·文科4)已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A.79- B.29- C. 29 D.795.(2017·全国卷Ⅲ·文科6)函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为A.65B.1C.35D.156.(2017·山东卷·文科4)已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.187.(2017·山东卷·文科7)函数2cos2y x x +最小正周期为 A.π2 B.2π3C.πD. 2π8.(2017·北京卷·文科16)已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，()12f x ≥-．9.(2017·江苏卷·16)已知向量(cos ,sin )a x x = ,(3,b =,[]0,x π∈.（Ⅰ）若a ∥b，求x 的值；（Ⅱ）记()f x a b =⋅,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 考点3 解三角形1.(2017·全国卷Ⅰ·文科11)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2a =，c =C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π32.(2017·全国卷Ⅱ·文科16 )ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = .3.(2017·全国卷Ⅲ·文科15)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知60C = ,b =3c =，则A =4. (2017·山东卷·理科9)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆ 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =5.(2017·浙江卷·理14)已知ABC ∆，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上一点，2BD =，连结CD ，则B D C ∆的面积是______,cos BDC ∠= ________.6.(2017·北京卷·理15)在ABC ∆中，60A ∠=，37c a =. （Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.7.(2017·年全国卷Ⅱ·理科17 )ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2B AC +=．（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b8.(2017·全国卷Ⅲ·理科17 )ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =， a =2b =．（Ⅰ）求c ；（Ⅱ）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积．9.(2017·山东卷·文科17)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3b =,6AB AC ⋅=-,3ABC S ∆=,求A 和a .10.(2017·天津卷·理科15)在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A+的值.11.(2017·天津卷·文科15)在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c.已知sin4sina Ab B=，222)ac a b c--.（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin(2)B A-的值.。

专题06 三角函数图象与性质-2017年高考数学文母题题源系列新课标2专版含解析精品

【母题原题1】【2017全国Ⅱ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为 A ．4πB ．2πC ．πD ．π2【答案】C 【解析】由题意2ππ2T ==，故选C ．【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质： (1)max min =+y B A y B A =-，． (2)最小正周期2π.T ω=(3)由ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴． (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间．【2017全国Ⅱ，文13】函数()2cos sin f x x x =+的最大值为．【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值．【母题原题2】【2016全国Ⅱ，文3】函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(+)6y x π= （D ）2sin(+)3y x π=【答案】A【考点】三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．【2016全国Ⅱ，文11】函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为（A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B 【解析】试题分析：因为22311()12sin 6sin 2(sin )22f x x x x =-+=--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，()f x 取得最大值5，选B ．【考点】正弦函数的性质、二次函数的性质【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当3sin 2x =时，函数23112(sin )22y x =--+取得最大值．【母题原题3】【2015全国Ⅱ，文11】如图，长方形的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠= ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【考点定位】本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力．【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．【命题意图】考查三角函数图象的刻画及对三角函数图象的认识，通过相关条件确定函数周期、最值、单调性等性质，考查识图、作图及用图能力．【命题规律】通过给定图象确定关系式，通过关系式确定函数图象与性质，结合三角相关公式对解析式进行化简，求取所给函数的相关性质．【答题模板】确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0)性质的步骤： (1)判定函数定义域，周期由ωπ2=T 确定；(2)确定ωx ＋φ的范围，结合三角函数图象确定sin(ωx ＋φ)的范围，进而确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b 的取值范围；(3)借助正弦曲线t y sin =的相关性质，令t=ωx ＋φ，求取函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0)的相关性质．【方法总结】1．三角函数的图像与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图像的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换．高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用．尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．2．(1)图像变换与函数性质的综合问题可根据两种图像变换的规则，也可先通过图像变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．(2)函数图像与性质的综合问题，常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质． (3)三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． 3． 1个区别——两种图像变换的区别由y ＝sin x 的图像变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．4． 3种方法——由函数图像求解析式的方法(1)如果从图像可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)中的参数A 和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ．(2)通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ，依据是五点法． (3)运用逆向思维的方法，根据图像变换可以确定相关的参数．5．确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π．6．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m 个位时，用x+m(或x-m)代替x ，向下（或上）平移n 个单位时，用y+n(或y-n)代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k 倍，用k x代替x(或k y代替y)，即可获得解决．7．解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：(1)化为正弦(余弦)型函数 y ＝asin ωx ＋bcos ωx 型引入辅助角化为一角一函．(2)化为关于sinx(或cosx)的二次函数．(3)利用数形结合法．1．【2017陕西汉中二模】已知角φ的终边经过点P(1．1)，函数()()fx si n x ωϕ=+(0,0)2πωϕ><<图像的相邻两条对称轴之间的距离等于3π，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭=（） A ．2 B ．2 C ． 12 D ．3【答案】A【解析】由题设tan 1,02πϕϕ=<<，所以4πϕ=，又23T π=，则223233T ππωπ=⇒==，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，3sin 3sin 66442f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，应选答案A ．点睛：解答本题时，先依据题设待定4πϕ=，再依据题设条件求出最小正周期确定3ω=，从而使得问题简捷获解．2．【2017重庆二诊】已知函数()2sin (0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则ϕ=（）A ．6π B ． 4π C ． 3π D ． 2π【答案】B3．【2017四川资阳4月模拟】已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>）图象的一条对称轴方程为12x π=，则ω的最小值为A ． 2B ． 4C ． 10D ． 16 【答案】B【解析】解：由三角函数的性质可知，当12x π=时：(),12462x k k k Z ππωπω+=+∴=+∈ ，取0k = 可得ω 的最小值为4ω= ．本题选择B 选项．4．【2017安徽马鞍山二模】动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，其初始位置为012A ⎛ ⎝⎭，12秒旋转一周．则动点A 的纵坐标y 关于（单位：秒）的函数解析式为（）A ． sin 36y t ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ． cos 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ． sin 63y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ． cos 3m 36y t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】C5．【2017湖南娄底二模】已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++（0ω>， 2πϕ<），()1fα=-，()1f β=，若αβ-的最小值为34π，且()f x 的图象关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的单调递增区间是（） A ． 2,22k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈ B ． 3,32k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈ C ． 52,22k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈ D ． 53,32k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦， Z k ∈【答案】B【解析】由题设知()f x 的周期43minT αβπ=-=，所以223T πω==，又()f x 的图象关于点,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2s i n 034πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，因为2πϕ<，所以6πϕ=-．故()22s i n 136f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．再由222,2362k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，得33,2k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，故选B ．点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质求解析式：(1) max min max min,22y y y y A B -+==． (2)由函数的周期T 求2,.T πωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．6．【2017河北唐山二模】已知函数()()()cos 22f x x x ϕϕ=--（2πϕ<）的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ． 1-B ．．． 2- 【答案】C即()2sin 23f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，∵02x π-≤≤，∴42333x πππ-≤-≤-，∴()2f x ≤≤，则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ． 7．【2017四川泸州四诊】已知函数()()3sin 4cos f x x x x R =-∈的一个对称中心是()0,0x ，则0t a n x 的值为（） A ． 34-B ． 34C ． 43-D ． 43【答案】D【解析】由题意可得： ()()5sin f x x ϕ=-，其中4tan 3ϕ=，函数的对称中心满足： ()00,x k x k k Z ϕππϕ-=∴=+∈，可得： ()04tan tan tan 3x k πϕϕ=+==．本题选择D 选项．8．【2017河北唐山三模】函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足（） A ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．图象关于直线6x π=对称C ． 3f π⎛⎫=⎪⎝⎭．当512x π=时有最小值1- 【答案】D5cos 362f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭，C 错误；故选择D ． 9．【2017宁夏中卫二模】函数()cos2sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小值是__________．【答案】98-【解析】()2219cos221248f x x cosx cos x cosx cosx ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=，即()cos2sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是偶函数；当14cosx =-时，可取得最小值98-．10．【2017福建4月质检】已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是__________．【答案】3,34⎛⎫⎪⎝⎭【解析】函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，但没有最小值，所以33(,3)12423424ππππππωωω+<<+≤⇒∈．点睛：考察三角函数的最值及周期。

【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第04章三角函数

第四章三角函数第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无题型45 三角函数定义题——暂无题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减解析函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析（1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ．解析解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称，则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ，过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ，所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=，于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ，故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析（1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析（1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=，所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析（1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-．因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=，即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??，所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。

专题05 三角函数的性质-2017年高考数学理母题题源系列

母题五三角函数的性质【母题原题1】【2017全国卷Ⅲ，理6】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,)单调递减【答案】D函数()f x 图像的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图像关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【考点】函数()cos y A x ωϕ=+的性质【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.【母题原题2】【2016全国卷Ⅲ，理14】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到. 【答案】32π【考点】三角函数图像的平移变换，两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的平移变换与伸缩变换，三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性等），数形结合的思想，函数与方程的思想等. 【命题规律】高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是考查函数的性质；一种是考查函数的图象的变换．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用题意得出函数的解析式，然后利用三角函数的图象和性质即可处理该问题.【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：第一步：考查与函数解析式有关的问题，包括周期、对称轴、单调性等，利用题意得到关于a,b,c 的方程或不等式解决本问题的基础和关键是掌握三角函数的性质，结合余弦函数的性质和题中所给函数的解析式确定函数的周期、对称轴和单调区间即可；第二步：考查函数图象平移之后的特征 ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，这里主要考查三角函数的诱导公式的应用和函数的性质，首先要正确化简三角函数式，然后结合函数的零点特征确定该选项的说法正确即可. 【方法总结】1、正弦函数sin y x =的性质（1）定义域：x R ∈ （2）值域：[]1,1y ∈- （3）周期：2T π= （4）对称轴（最值点）：()2x k k Z ππ=+∈（5）对称中心（零点）：()(),0k k Z π∈，其中()0,0是对称中心，故sin y x =也是奇函数（6）单调增区间：2,2,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭单调减区间：32,2,22k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭2、余弦函数cos y x =的性质（1）定义域：x R ∈ （2）值域：[]1,1y ∈- （3）周期：2T π= （4）对称轴（最值点）：()x k k Z π=∈其中0x =是对称轴，故cos y x =也是偶函数（5）对称中心（零点）：(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭（6）单调增区间：()2,2,k k k Z ππππ-++∈ 单调减区间：()2,2,k k k Z πππ+∈3、sin y x =的性质：与正弦函数sin y x =相比，其图像可以看做是由sin y x =图像变换得到（x 轴上方图像不变，下方图像沿x 轴向上翻折），其性质可根据图像得到：（1）定义域：x R ∈ （2）值域：[]0,1y ∈ （3）周期：T π= （4）对称轴：()2k x k Z π=∈ （5）零点：()x k k Z π=∈（6）单调增区间：,,2k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭单调减区间：,,2k k k Z πππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭4、()()sin 0y A x A ωϕ=+>的性质：此类函数可视为正弦函数sin y x =通过坐标变换所得，通常此类函数的性质要通过计算所得。

[精品]2017年全国高考数学考前复习专题2.1三角函数解三角形和答案

【知识网络】【考点聚焦】对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）．1.原题（必修4第十页A组第五题）变式1下列说法中正确的是( )A ．第一象限角一定不是负角B ．－831°是第四象限角C ．钝角一定是第二象限角D ．终边与始边均相同的角一定相等【答案】C.变式2 已知θ为第二象限角，那么3θ是（） A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角【答案】D.【答案】C. 【解析】22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；答案：C .2.原题（必修4第十页B 组第二题）变式时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )A.143 π B．－143 πC.718 πD ．－718π【答案】B.【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的13，用弧度制表示就是－4π－13×2π＝－143π.故选B.3.原题（必修4第十九页例6）变式（1）已知sin α13=，且α为第二象限角，求tan α；（2）已知sin α=m (0,1)m m ≠≠±，求tan α. 【解析】（1）1sin 3α=，且α为第二象限角，cos α∴=sin tan cos ααα∴== （2）sin (0,1)m m m α=≠≠±，α∴为象限角.当α为第一或第四象限角时，cos αtan α=α为第二或第三象限角时，cos α=tan α=，综上，tan α.4.原题（必修4第十九页例7）变式若sin cos 1,sin cos 1,a b ab θθθθ+=-=则的值是（）【答案】B.5.原题（必修4第二十二页习题 1.2B 组第二题）变式化简为（）A. 2tan x C. 2tan x -B. 2tan x ± D. 不能确定【答案】C.【解析】:C .原式=2tan 2,4432tan 2,44xx k k x x k k ππππππππ⎧⎛⎫∈-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-∈++ ⎪⎪⎝⎭⎩6.原题（必修4第二十二页B 组第三题）变式已知tan 2α=，计算：（1）2sin cos sin 2cos αααα-+；（2）22sin sin cos 2cos αααα+-【解析】：（1）原式2tan 13tan 24αα-==+；（2）原式2222sin sin cos 2cos sin cos αααααα+-=+22tan tan 24tan 15ααα+-==+ 7.原题（必修4第二十三页探究）变式1( )A.sin 2cos 2+B.cos 2sin 2-C.sin 2cos 2-D.±cos 2sin 2- 【答案】C.【答案】B. 【解析】(2001)sin(2001)cos(2001)4sin()cos()f a b a b παβαβ=++π++=π++π+ sin cos 45a b αβ=--+=,sin cos 1a b αβ∴--=,(2010)sin(2010)cos(2010)4sin cos 4143f a b a b αβαβ=π++π++=++=-+=8.原题（必修4第二十七页例4）变式已知角x 终边上的一点P （-4，3），则()cos sin 29cos sin 22x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为. 【解析】()cos sin sin sin 2tan 9sin cos cos sin 22x x x x x x x x x ππππ⎛⎫+-- ⎪-∙⎝⎭==-∙⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据三角函数的定义，可知33tan ,=-tan 44y x x x ==-=所以原式 9.原题（必修4第四十一页练习题6）变式函数12log cos 34x y π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递增区间为.【解析】1122log cos log cos 3434x x y ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，∴所求的递增区间就是使cos 34x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值为正值的递减区间，由22,342x k k k zππππ≤+〈+∈得：3366,.44k x k k z ππππ-+≤〈+∈∴所求的递增区间为()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭答案：()336,644k k k z ππππ⎡⎫-++∈⎪⎢⎣⎭10.原题（必修4第五十三页例1）变式设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【答案】C.11.原题（必修4第五十六页练习题3）变式 sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为______，频率和初相分别为______，______.【解析】 21π4π-12.原题（必修4第五十八页例4）变式某正弦交流电的电压（单位V ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是),[0,)6v t t ππ=-∈+∞.（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅；（2）当1600t =，160时，求瞬时电压；（3）将此电压加在激发电压、熄灭电压均为84V 的霓虹灯的两端，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明：加在霓虹灯管两端电压大于84V 时灯管才发光.1.4≈）【解析】（1）周期2110050T ππ==，频率150f T==，振幅A =（2）1600t =时，1)06006v ππ=⨯-==（V ）；160t =时，13)6062v πππ=⨯-==-V ）. （3）由)846t ππ-> 1.4，得1sin(100)62t ππ->.结合正弦图象，取半个周期，有5100666t ππππ<-<，解得11300100t <<. 所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为112100300300-=（s ）. 13.原题（必修4第六十页例2）变式在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、2tan(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为（） A ．个 B ．个 C ．个 D ．个14.原题（必修4第六十九页复习参考题A 组第八题）变式已知1tan tan αα，是关于的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求2sin cos sin ααα+的值．【解析】21tan 31,2tan k k αα⋅=-=∴=±，而παπ273<<，则1t a n 2,t a n kαα+==得tan 1α=，则222222sin cos sin tan tan sin cos sin 1cos sin 1tan ααααααααααα+++===++. 15.原题（必修4第七十一页复习参考题B 组第六题）变式已知222121,yx y u x x-==+则的值域为. 【解析】221,x y -=()22221cos tan 12tan cos 2sin sin 2sin 1sec sin 12,1sin 1x sec y u sec θθθθθθθθθθθθ⎧==⎪∴⎨⎪=⎩∴=+=+=-++=--+-〈〈可设其中 sin u θ随的增大而增大.sin 12,sin 12u u θθ→-→-→→又当时，当时，∴所求值域为（-1，2）.16.原题（必修4第一百二十七页例2）变式已知431c o s ,,,t a n ,,,5232πααππββπ⎛⎫⎛⎫=-∈=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求()cos αβ+.17.原题（必修4第137页A 组第十题）已知：αtan ，βtan 是方程0382=--x x 的两根，试求)tan(βα+的值.变式已知：αt a n ,βtan 是方程0382=--x x 的两根，求2)c o s ()s i n (3)(s i n 2+++-+βαβαβα的值.【解析】由题意有8tan tan =+βα，3tan tan -=βα， ∴2)3(18tan tan 1tan tan )tan(=--=-+=+βαβαβα，∴2)cos()sin(3)(sin 2+++-+βαβαβα)(cos )(sin )](cos )([sin 2)cos()sin(3)(sin 22222βαβαβαβαβαβαβα+++++++++-+=5812223231)(tan 2)tan(3)(tan 32222=++⨯-⨯=++++-+=βαβαβα.18.原题（必修4第一百三十九页例1）变式 +的结果是. 【解析】2sin219.原题（必修4第147页复习参考题B 组第七题）变式如图，正方形ABCD 的边长为1，P 、Q 分别为AB 、DA 上的点，当∠PCQ=045时，求△APQ 的周长.20.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B 组第六题）变式若函数2()22cos f x x x m ++在区间[0,]2π上的最小值为3，求常数m 的值及此函数当[,]x a a π∈+(其中可取任意实数)时的最大值.21.原题（必修5第3页例1）变式 ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3C π=，326,a c ==则的值为（）B 1C 1D【解析】先求出sin A ，再求出sinB ，最后用一次正弦定理即得.选D. 22.原题（必修5第10页习题1.1A 组第2题）变式1 在三角形ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（） A ．a=8 b=16 A=30︒ B. a=25 b=30 A=150︒ C. a=30 b=40 A=30︒ D. a=72 b=60 A=135︒ 【解析】C.变式2 在△ABC 中，已知a =b B =45︒ ，求A 、C 及c .23.原题（必修5第10页习题1.1B 组第2题）变式（2010辽宁）在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即222a b c bc =++，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，故1cos 2A =-，A=120° （Ⅱ）由（Ⅰ）得：sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-1sin 2sin(60)B BB =+=︒+ 故当B=30°时，sinB+sinC 取得最大值1.24.原题（必修5第11页例2）变式如图,为了测量河对岸两个建筑物C 、D 之间的距离,在河岸这边取两点A 、B,测得∠BAC=45°,∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°.又AB=千米,A 、B 、C 、D 在同一平面内,试求C 、D 之间的距离.25.原题（必修5第19页习题1.2A 组第1题）变式一只船以均匀的速度由A 点向正北方向航行，如图，开始航行时，从A 点观测灯塔C 的方位角为30°，行驶60海里后，船在B 点观测灯塔C 的方位角为45°，求A 到C 的距离．【解析】A 到C 的距离为60+海里．【感受高考】1.【2016高考新课标1卷】已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为( )（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B 【解析】试题分析：因为4x π=-为()f x 的零点,4x π=为()f x 图像的对称轴,所以()444T kT ππ--=+,即41412244k k T ππω++==⋅,所以41(*)k k N ω=+∈,又因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调,所以5236181222T ππππω-=≤=,即12ω≤,由此ω的最大值为9.故选B.2.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D.3.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（）（A ）725（B ）15 （C ）15-（D ）725-【答案】D4.【2016高考新课标1卷】 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ；（II ）若c ABC =∆的面积为2,求ABC 的周长．【答案】（I ）C 3π=（II ）5【解析】（II ）由已知,1sin C 22ab =．又C 3π=,所以6ab =．由已知及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=．故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 的周长为5+5.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-(Ⅰ)求f (x )的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间,44ππ-]上的单调性. 【答案】（Ⅰ）,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，.π（Ⅱ）在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()()=2sin 23f x x π-，再根据正弦函数性质求定义域、周期()II 根据（1）的结论，研究三角函数在区间,44ππ-]上单调性试题解析：()I 解：()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 4sin cos 33f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21=4sin cos 2sin cos 2x x x x x x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭)()=sin 21-cos 2sin 22=2sin 23x x x x x π=-.所以,()f x 的最小正周期2.2T ππ==。

专题14 三角函数与解三角形综合测试大小题-2017年高考

一、选择题1．79πcos 6⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A.12-B.C.12【答案】B【解析】79π5π5πcos cos(14π)cos666⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭,故选B. 考点：诱导公式的运用. 【题型】选择题【难度】较易 2．若点在直线上，则（）A. B. C. D.【答案】A考点：三角恒等变换. 【题型】选择题【难度】较易 3．已知函数，其部分图象如图，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B考点：三角函数图象.【题型】选择题【难度】一般4．如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵点的坐标为，设，∴，，即，，∵，若，∴，则，则，故选B.考点：三角函数的定义及恒等变换.【题型】选择题【难度】一般5．若将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则图象的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A考点：三角函数图象的平移变换.【题型】选择题【难度】一般6．若，对任意实数都有成立，且，则实数的值等于( )A. 3-或1B. 1C. 1-或3D. 3-【答案】A【解析】由于，所以是图象的对称轴，即，而，所以或.考点：三角函数图象的性质.【题型】选择题【难度】一般7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的图象向右平移个单位，得到的图象，因为的图象都经过，所以，又因为，所以，所以由题意得所以此时或此时故选D ．考点：三角函数图象的性质. 【题型】选择题【难度】一般8()1312cos =-βα，()53sin -=+βα，则sin 2α=（） A.6556 B.6533- C.5665- D.6533【答案】C()1312cos =-βα，∴()()135cos 1sin 2=--=-βαβα，∵()sin αβ+=35-，∴()()54sin 1cos 2-=+--=+βαβα，则，故选C.考点：两角和与差的三角函数. 【题型】选择题【难度】一般9 （） A ．a b c >> B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b << 【答案】D考点：三角恒等变换. 【题型】选择题【难度】一般10．海上有三个小岛A ，B ，C ，测得135BAC ∠=︒，6AB =，AC =B ，C 两岛的连线段之间建一座灯塔D ，使得灯塔D 到A ，B 两岛距离相等，则B ，D 间的距离为（）A ．BCD ．【答案】B 【解析】设,BD t =由余弦定理可得22262690BC BAC BC =+-⨯⨯∠=⇒=2226cos 26t t ABC t t +-∠==⇒=⨯⨯B ．考点：解三角形．【题型】选择题【难度】一般11．在ABC △中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，若3=a c b +的最大值为（）A ．4B ．33 C.32 D ．2 【答案】C考点：正弦定理.【题型】选择题【难度】一般12．给出下列四个命题，其中错误．．的命题是（）①若cos()cos()cos()1A B B C C A---=，则ABC△是等边三角形；②若sin cosA B=，则ABC△是直角三角形；③若cos cos cos0A B C<，则ABC△是钝角三角形；④若sin2sin2A B=，则ABC△是等腰三角形.A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】D考点：三角函数诱导公式的应用.【题型】选择题【难度】一般二、填空题13．已知，，则__________．【答案】或【解析】由已知得，，则，所以，或.考点：两角差的正切，同角基本关系式.【题型】填空题【难度】较易14．已知1sin cos2αα=+的值为．【答案】-因此22cos2sin)π2sin4αααα==-=-⎛⎫+⎪⎝⎭.考点：同角三角函数关系.【题型】填空题【难度】一般15．,P Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为()2,A，点R的坐标为()2,0.()y fx=的最大值是_________.【答案】考点：三角函数的图象和性质及余弦定理的综合运用．【题型】填空题【难度】一般16．如图，在圆内接四边形中，，，，则四边形周长的取值范围为__________．【答案】【解析】由题图知，，由及正弦定理得，，即，整理得，，又，所以，又四边形为圆的内接四边形，所以，由余弦定理得，，又，所以，即，又，所以四边形的周长取值范围为.考点：正弦定理、余弦定理.【题型】填空题【难度】较难三、解答题17．化简：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）=.（2）原式.考点：三角诱导公式化简. 【题型】解答题【难度】一般 18．已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）（2）由（1）知，∵，∴，∴，∴，∴.考点：三角函数图象与恒等变换. 【题型】解答题【难度】一般19．已知,,a b c 分别为ABC △三个内角,,A B C sin cos 20A a B a --=．（1）求角B 的大小；（2，求,a c 的值．【答案】（1 （2）1,221a a c c ⎧==⎧⎨⎨==⎩⎩或考点：正余弦定理的应用．【题型】解答题【难度】一般20．已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.【答案】（1）（2）考点：三角函数的图象.【题型】解答题【难度】一般21．如图，为对某失事客轮AB 进行有效援助，现分别在河岸MN 选择两处C 、D 用强光柱进行辅助照明，其中A 、B 、C 、D 在同一平面内．现测得CD 长为100米，105ADN ∠=︒，30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒．（1）求BCD △的面积；（2）求船AB 的长．【答案】（1）32500平方米（2）3米【解析】（1）由30BDM ∠=︒，45ACN ∠=︒，60BCM ∠=︒，得30CBD ∠=︒，∴100BC BD ===（平方米）．（2）由题意得75ADC ∠=︒，45ACD ∠=︒，45BDA ∠=︒，在ACD △中，sin sin CD AD CAD ACD =∠∠，即100sin 60sin 45AD =︒︒，∴AD = 在BCD △中，BD === 在ABD △中，AB ==3=．故船长为3米．考点：正、余弦定理的应用．【题型】解答题【难度】一般22．在ABC △中，a ，b ，分别为角A ，B ，C 所对的边，S 为ABC △的面积，且222()4S a b c =--．（1）求角A 的大小；（2）若a =b c >，D 为BC的中点，且AD =sin C 的值．【答案】（1）2π3A = （2）14（2）由cos cos ADB ADC ∠=-∠得22222222AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-=-，又∵D 为BC的中点，∴BD DC ==AD 2220AB AC +=，即2220b c +=．又∵222821cos 232b c bc π+-==-，∴8bc =．又∵b c >，∴4b =，2c =，∴32sin 21sin c A C a === 考点：解三角形，三角恒等变换．【题型】解答题【难度】一般。

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三角函数大题综合训练一．解答题（共30小题）1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB ﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．21．（2015•济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围．24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．25．（2015•云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．26．（2015•历下区校级四模）已知向量，，若．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．27．（2015•高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin （A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（Ⅰ）求A，B，C；（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．29．（2015•新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．30．（2015•和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．三角函数大题综合训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．【解答】解：（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由S=bcsinA=bc•=bc=5，得bc=20．又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）又由正弦定理，得sinBsinC=sinA•sinA=•sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．（Ⅱ）由条件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x ﹣sin2x ）=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．∵cosB=，∴sinB=，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】（1）利用余弦定理，可求角C的值；（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．【解答】解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）∵b=2，△ABC的面积，∴=，解得a=3．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．【考点】余弦定理的应用；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，所以．…（3分）因为∠D∈（0，π），所以．…（5分）因为AD=1，CD=3，所以△ACD的面积．…（7分）（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．所以．…（9分）因为，，…（11分）所以．所以AB=4．…（13分）【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；②利用正弦定理解之．【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1．【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=2ac，解得a=c=．∴S△ABC==1．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．【专题】函数的性质及应用；解三角形．【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C 的范围即可求C的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由余弦定理可得：，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c，即可得出b．【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc ﹣c2，又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，∴a2=b2﹣=，即a=．∴cosC===．∵C∈（0，π），∴sinC==．∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦．【专题】解三角形．【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，∴C为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，余弦定理的应用，考查计算能力．17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【考点】正弦定理；余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．【解答】解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB ﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．【解答】解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin （x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【专题】解三角形．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．【解答】解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形．【分析】（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．【解答】解：（I）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（Ⅱ）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．21．（2015•济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（A）=确定出A的度数，再由a，sinB的值，利用正弦定理求出b的值，同时利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式求出sinC 的值，利用三角形面积公式即可求出S．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），∴函数f（x）=•=cos（2x﹣）+cos2x﹣sin2x=cos（2x﹣）+cos2x=cos2x+sin2x+cos2x=cos2x+sin2x=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），则函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+）=，得sin（2A+）=，∵A为△ABC的内角，由题意知0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，解得：A=，又a=2，B=，∴由正弦定理=，得b==，∵A=，B=，∴sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=snAcosB+cosAsinB=×+×=，则△ABC的面积S=absinC=×2××=．【点评】此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，正弦函数的单调性，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．【点评】本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，=（1）求角A；（2）若a=，求bc的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．【分析】（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知整理可得sin2A=1，从而可求A的值．（2）由（1）及正弦定理可得bc=，根据已知求得角的范围，即可求得bc的取值范围．【解答】解：（1）由余弦定理可得：a2+c2﹣b2=2accosB，，∴sin2A=1且，（2），又，∴b=2sinB，c=2sinC，bc=2sin（135°﹣C）•2sinC=，，∴．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 化简求得，求得，可得B的值．（Ⅱ）由余弦定理，可得，把、代入求得ac的值，再根据计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由2cosAcosC+1=2sinAsinC 得：∴2（cosAcosC﹣sinAsinC）=﹣1，∴，∴，又0＜B＜π，∴．（Ⅱ）由余弦定理得：，∴，又，，∴，故，∴．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．25．（2015•云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若（1）求A的大小；（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）共线向量的坐标运算可得（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC，再利用正弦定理将角的正弦转化为所对边的边长，再利用余弦定理即可求得A的大小；（2）依题意，利用正弦定理====2，可求得S=bcsinA=sinBsinC，逆用两角差的余弦即可求得S+cosBcosC取最大值及此时B的值．【解答】解：（1）∵∥，∴（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC﹣sinA）=sinBsinC根据正弦定理得（a+b+c）（c+b﹣a）=bc，即a2=b2+c2+bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得cosA=﹣，又A∈（0，π），∴A=；（2）∵a=，A=，∴由正弦定理得====2，∴b=2sinB，c=2sinC，∴S=bcsinA=×2sinB×2sinC×=sinBsinC，∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C），∴当B=C时，即B=C=时，S+cosBcosC取最大值．【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查平面共线向量的坐标运算及两角差的余弦，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．26．（2015•历下区校级四模）已知向量，，若．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣），由此求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）已知△ABC中，由（A为锐角），求得sinA=，可得A=．由正弦定理可得b=2c，根据a=3，再由余弦定理求出c、b的值．【解答】解：（Ⅰ）=sinxcosx﹣cos2x+=﹣=sin（2x﹣），故函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）已知△ABC中，（A为锐角），∴sinA=，∴A=．∵2sinC=sinB，∴由正弦定理可得b=2c，∵a=3，再由余弦定理可得9=b2+c2﹣2bc•cos．解得b=2，c=．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的正弦公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．27．（2015•高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin （A+）+2cos（B+C）=0，（1）求A的大小；（2）若a=6，求b+c的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（1）利用两角和公式和诱导公式对原等式整理可求得tanA的值，进而取得A．（2）根据正弦定理表示出b和c，求得b+c的表达式，化简整理，根据正弦函数的性质求得其最大值，结合两边之和大于第三边求得范围．【解答】解：（1）由条件结合诱导公式得，sinAcos+cosAsin=2cosA，整理得sinA=cosA，∵cosA≠0，∴tanA=，∵0＜A＜π，∴A=；（2）由正弦定理得：，∴，，∴==，∵，∴，即6＜b+c≤12（当且仅当B=时，等号成立）【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，两角和公式的运用．考查了学生综合运用知识的能力和一定的运算能力．28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（Ⅰ）求A，B，C；（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，结合已知条件，通过解三角方程即可求A，B，C；（Ⅱ）通过S△ABC=3+，以及正弦定理即可求a，c．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，即sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，得sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．∴C﹣A=B﹣C，或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）．即2C=A+B，得，∴，∵，则，或（舍去）∴．（Ⅱ）∵又∵，即，∴．【点评】本题考查正弦定理以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．29．（2015•新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（B）=1，求出B的度数，把sinA=3sinC利用正弦定理化简得到a=3c，利用余弦定理列出关系式，把b，cosB，a=3c的值代入求出a与c的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）∵=（2cosx，1），=（cosx，2sinxcosx﹣1），∴f（x）=•=2cos2x+2sinxcosx﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），∴x∈[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+）=1，∴sin（2B+）=，即2B+=，即B=，∵sinA=3sinC，∴a=3c，∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a=3，c=1，∵S=acsinB，∴△ABC的面积为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．30．（2015•和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】三角函数的求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数关系式由cosA=，cosB=，可求sinA，sinB的值，从而由正弦定理得即可求AC的值．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可求AB的值，可求，由余弦定理结合已知即可求得CD的值．【解答】（本题13分）文科解：（Ⅰ）∵在△ABC中，，，∴，．…（2 分）由正弦定理得，…（4 分）即．…（6 分）（Ⅱ）在△ABC中，AC=7，BC=5，，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB，…（8 分）即，整理得AB2﹣2AB﹣24=0，解得AB=6．…（10分）∵在△BCD中，，BC=5，，∴由余弦定理得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cosB，…（11分）即．∴．…（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于基本知识的考。