沪科版九年级数学上册第21章二次函数专题(一)二次函数及图像性质 (基础知识测试题)

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初中数学沪科版九年级上册21.1 二次函数

2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
二次函数开口方向对称轴顶点坐标
y = ax 2
a＞0 a＜0
向上直线X=0
向下
(0,0)
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴顶点坐标
y = ax 2+k
a ＞0 a ＜0
向上直线X=0（0，K）
向下
（三）、形如y = a (x + h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向对称轴顶点坐标
y = a（x+h) 2+k a ＞ 0 向上直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2: （1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向上, 对称轴 X=３ , 顶点坐标是（３，1） (2)若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 〈0, m 〈0, n 〈0。

沪科版数学九年级上册 21.1二次函数-课件(共18张PPT)

1.学习目标
（1）学生理解二次函数的概念，能够根据实际问题列出二次函数关系式，并根据实际问题可以确定自变量的取值范围。
❖ （2）复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索
过程，提高学生分析问题、解决问题的能力．
2、学习重点：对二次函数概念的探究与理解。 3、学习难点：对二次函数模型的掌握。
例1、圆的半径是r(cm)时，面积s (cm²)与半径之间的关系是什么?
解： s=πr²
（r>0）
例2、用周长为20m的篱笆围成矩形场地，场地面积y(m²)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么？
解： y=x(20÷2-x)
=x(10-x)
=-x²+10x (0<x<10)
x>0
0<x<10
10-x>0
(3)如果函数y=（k-3）xk2-3k+2+x+1是二次函数,则k的值一定是 0
2. 用长20米的篱笆，一面靠墙（墙长超过20米),围成一个矩形花坛，如图所示。设AB的长为x米,花坛面积为y平方米，求 y关于x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
解：y=x(20-2x)
=-2x²+20x (0<x<1 0)
(2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的关系为 (h为定值是 )
（3）物体自由下落时，下落高度h与下落时间t之间的关系为
(g为定值) 是
（五）拓展延伸
1. 确定下列函数中k的值 (1)如果函数y= xk+2 是二次函数,则k的值一定是 0
(2)如果函数y=kxk2-3k+2+x+1是二次函数,则k的值一定是 3

沪科版九年级数学上21.1二次函数 (共22张PPT)

13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数。
注意：（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若
是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x-1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t² (5)y= _x1_²-x
(4) y=(x+3)²-x² (6) v=10πr²
先化简后判断
例2、y=（m+3）xm2-7 为二次函数，求m的值。

二次函数y=a(x+h)2+k的图象及性质课件沪科版九年级数学上册

例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
y
1 2
x2
就可以得到抛物线
y 1 (x 1)2 2
1
？
平移方法1
y 1 x2 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x -2
1
个单位
向下平移
-3 -4
-5 -6 -7
y 1 (x 1)2 1 向左平移 y 1 x2 1
2
1个单位
2
-8
-9
y 1 (x 1)2 1
括号内左加右减.
上下平移 y = ax2 左右平移
二次项系数a不变.
随堂训练
1.完成下列表格:
二次函数开口方向对称轴顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上向下向上向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
2 二次函数y=a（x+h）2+k与 y=ax2的关系

沪科版九上数学第21章：二次函数与反比例函数知识点总结

沪科版九上数学第21章:二次函数与反比例函数强化记忆知识点知识点1：二次函数的图象与系数的关系.二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。

a 越大，开口越小。

a 越小，开口越大。

（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若0>ab ，则对称轴a b x 2-=在y 轴左边，若0<ab ，则对称轴a bx 2-=在y 轴的右侧。

若b=0，则对称轴abx 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当0∆=时，抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．注：a +b +c 表示x=1时，对应的函数值。

a -b +c 表示x= －1时，对应的函数值.4a +2b +c 表示x=2时，对应的函数值。

9a -3b +c 表示x= －3时，对应的函数值.等知识2：一次函数的图象与系数的关系.一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限（2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.知识3：反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数性质. 反比例函数:y ＝xk（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: （1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。

沪科202X课标版初中数学九年级上册第二十一章21.2 二次函数的图像和性质(共27张PPT)

10.如图所示的抛物线：当x=_0_或__-2_时，y=0；当x<－2或x>0时， y__<___0；当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0；当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
11、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 ；
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y1(x1)21
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y1(x1)21 的开口向下, 2
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y1(x1)21
y=ax2
向左(右)平移 y=a(x+h)2
向上(下)平 y=a(x+h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x+h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
抛物线y=a(x+h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答：
当x x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x x=0或2 时，y=0;

统编沪科版九年级数学上册优质课件 21.1 二次函数

状元成才路
综合应用
7.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围. 解：依题意，得AP=2t, BQ=4t.
∵AB=12, ∴PB=12-2t,
∴
S
1 2
PB
•
BQ
1 2
(12
-
2t )
4t＝- 4t 2
24t.
∴ t的取值范围为0≤t≤6.
状元成才路
拓展延伸
8. m为何值时，函数y (m - 4)xm2-5m6 mx 是关于x 的二次函数.
解：由题意可得
m2 5m 6 2,
m 4 0,
S =x(20 -x). （0＜x＜20）
这里x的取值有什么限制？
问题2
有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设增加x人，则每天装配玩具总数 y可表示为：
(2)当x为多少时，函数值为0？
解：（1）当x
-
2 3
时，y
2
2 3
2
3
2 3
2
8 9
（2）当y 0时，2x2 3x 2 0,
解得x1
2,
x2
1 2
.
状元成才路
知识点2 根据具体问题确定二次函数表达式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①仔细审题，分析数量之间的关系，将文字语言转化为符号语言； ②根据实际问题中的等量关系，列二次函数关系式，并化成一般形式； ③联系实际，确定自变量的取值范围.

沪科版九年级上册数学第21章二次函数与反比例函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

∴y1＜y2. 2
∵ 5 1 2 1 ，∴点C( 5 ，y3)到对称轴
的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离， ∴y2＜y3.∴y3＞y2＞y1.
感悟新知
归纳
知3－讲
解答此类题有两种思路，思路一：将三点的横坐标分别代入函数表达式，求出对应的y1，y2，y3的值，再比较大小，但本例这样计算比较困难，显然不是最佳的方案；思路二：根据二次函数图象的特征来比较，利用增减性以及点在抛物线上的大致位置，关键是由这些点与对称轴的位置关系来确定y1，y2，y3的大小，显然本例使用这种方法比较简单．
感悟新知
归纳
知2－讲
解答抛物线 y= a（x+h）2+k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性规律等问题，首先必须弄清顶点式y=a（x+h）2+ k 中 a，h，k 与开口方向、对称轴、顶点坐标、最值间的关系，比较题中给出的相关数据与a，h，k间的关系，再结合相关知识按题目要求解答 .
感悟新知
知3－练
1．对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线 x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x＞1 时，y 随 x 的增大而减小．其中正确的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
课堂小结
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质：
图象与y＝ax2的图象之间的关系，因此本题在描点画图
前，不妨先将函数
与
作一
比较．
y 1 (x 2)2 1 y 1 (x 2)2
2
2
感悟新知
知1－导
对于每一个给定的x值，函数 y 1 (x 2)2 1的值都要

沪科版数学九年级上册21.1 二次函数

(1) y 3x2 2 (2) y x2 1
x
(3) y (x 2)(x 3) (4) y x2 2x 3 (5) y (x 2)( x 2) (x 1)2
灿若寒星
做一做:
3、（1）正方形边长为x（cm），它的面积
y（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的表达式．
解：由函数是关于 x 的一次函数，得mm2＋－11≠＝00，，∴m＝1，所以当 m＝1 时，此函数是关于 x 的一次函数
灿若寒星
例3：已知二次函数 y=x²+px+q, 当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为 -5 ,求这个二次函数的表达式.
灿若寒星
5.已知二次函数 y 2(x 1)2 4
初中数学课件
金戈铁骑整理制作
灿若寒星
1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2。一次函数、正比例函数的定义是什么？
灿若寒星
问题一
某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗. 要使围成的水面面积最大，它的长应该是多少米？
设围成的矩形水面的长是x m，面积是
S m2，则 S x(20 x)
灿若寒星
练习 6、在某市开展的创新活动中，某居民小
区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上修
建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，
另三边用总长40米的栅栏围成.设花园的
BC边长为x米，花园的面积为y米2.
（1）求y与x之间的函
数关系式；
（2）满足条件的花园
A
D
面积能达到200米2吗？

新沪科版九年级上册初中数学 21-2-2二次函数的图形与性质教学课件

及最值.（重点） 3.会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
第三页，共二十页。
新课导入
前面我们已经学习了二次函数y=ax2的图象和性质，同学们能说出二次函数y=ax2的图象的开口方向、大小、对称轴、
顶点坐标、最值、以及增减性吗？今天我们将学习只有二次项和
常数项的二次函数y=ax2+k的图象和性质.
随x的增大而增大，因为x1= >0，x2=2>0，x1<x2，所以y1<y2，又
所以点C(
，y3)到对称轴的距离大于点B(2，y2)到对称轴的距离
，所以y2<y3，所以y3>y2>y1.
第十五页，共二十页。
课堂小结二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与系数a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系:
y=ax2+bx+c (a≠0)
配方试试
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成 y=a(x+h)2+k形式.
第九页，共二十页。
新课讲解
结论
几何性质：
（1）抛物线y＝ax2＋k开口方向由a决定，当a>0时
，开口向上，当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是y轴；
（3）顶点坐标是（0，k）；
（4）决定了抛物线的开口大小.
a
第十页，共二十页。
新课讲解
练一练
1 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－1与x轴的交点的个数
是( ) C
A．3
B．2
C．1
D．0
第十一页，共二十页。
新课讲解
知识点2 二次函数y=ax2+k的性质思考：观察二次函数y＝2x2－1与y＝2x2+1的图象，当x＜0